第4章 4.1 线段、射线、直线同步讲义2026-2027学年数学七年级上册（北师大版）

本讲义聚焦初中数学“线段、射线、直线”核心知识点，系统梳理从概念表示（直线、射线、线段的表示方法）到性质应用（两点确定一条直线、两点之间线段最短），再到距离计算、线段比较与和差及基本作图的完整学习支架。 资料以“解题知识+典例+变式”构建，通过生活实例（如钉木条、改直河道）培养数学眼光，变式题训练推理意识与运算能力，作图题发展空间观念。课中辅助教师系统授课，课后“过关验收”助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第4章 4.1 线段、射线、直线 内 容 导 航 题型1 直线、射线、线段 题型2 直线的性质：两点确定一条直线 题型3 线段的性质：两点之间线段最短 题型4 两点间的距离 题型5 比较线段的长短 题型6 线段的和差 题型7 作图—基本作图 考 点 演 练 题型1 直线、射线、线段 解｜题｜知｜识 （1）直线、射线、线段的表示方法 ①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB． ②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边． ③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）． （2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外． 【典例1】下列图形中，能比较长短的是（　　） A．直线与射线 B．射线与线段 C．直线与线段 D．两条线段 【答案】D 【解答】解：两条线段可以比较长短， 故选：D． 【变式1】下表是G1105次列车武汉站始发、终到广州白云站的高铁车次表，在不含返程的情况下，请你说明最终需要设计（　　）种车票． A．45 B．55 C．66 D．78 【答案】C 【解答】解：把这12个车站看作是一条线段上的12个点， 相邻两点之间构成一条线段共有11种情况， 隔一个点的两点构成一条线段有10种情况， 隔2个点的两点构成一条线段有9种情况， …， 隔10个点的两点构成一条线段有1种情况， ∴一共可以构成11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1＝66条线段， ∴在不含返程的情况下，最终需要设计66种车票， 故选：C． 【变式2】如图所示，下列说法不正确的是（　　） A．点A在直线BD外 B．点A到点C的距离是线段AC的长度 C．射线AC与射线BC是同一条 D．直线AC和直线BD相交于点B 【答案】C 【解答】解：选项A．点A在直线BD外，正确，故不符合题意； 选项B．点A到点C的距离是线段AC的长度，正确，故不符合题意； 选项C．射线AC与射线BC不是同一条，不正确，故符合题意； 选项D．直线AC和直线BD相交于点B，正确，故不符合题意； 故选：C． 【变式3】如图，以点O为端点的射线有（　　）条． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解答】解：射线有OA、OD、OB、OC，共4条， 故选：C． 题型2 直线的性质：两点确定一条直线 解｜题｜知｜识 （1）直线公理：经过两点有且只有一条直线． 简称：两点确定一条直线． （2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了． 【典例1】在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（　　） ①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上； ②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线； ③把弯曲的公路改直，就能缩短路程； ④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上． A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】C 【解答】解：①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释； ②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，可以用基本事实“无数个点组成线”来解释； ③把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释； ④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释． 故选：C． 【变式1】同一平面内的六个点最多可以确定的直线条数是（　　） A．12条 B．15条 C．30条 D．36条 【答案】B 【解答】解：两点确定1条直线； 不同三点最多可确定3条直线； 不同4点最多可确定（1+2+3）条直线； 不同5点最多可确定（1+2+3+4）条直线； … 所以平面上不同的6个点最多可确定1+2+3+4+5＝15条直线． 故选：B． 【变式2】如图，小亮为将一个衣架固定在墙上，他在衣架两端各用一个钉子进行固定，用数学知识解释他这样操作的原因是（　　） A．过一点有无数条直线 B．点动成线，线动成面 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】C 【解答】解：因为“两点确定一条直线”， 所以他在衣架两端各用一个钉子进行固定． 故选：C． 【变式3】在日常生活和生产中常常看到下列现象：①把弯曲的公路改直，可以缩短路程；②植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行树坑在一条直线上；③砌墙时，常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线；④用两个钉子就可以把直木条固定在墙上．其中能用“两点确定一条直线”来解释的现象有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【解答】解：①把弯曲的公路改直，可以缩短路程，是两点之间，线段最短； ②植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行树坑在一条直线上，是两点确定一条直线； ③砌墙时，常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，是两点确定一条直线； ④用两个钉子就可以把直木条固定在墙上，是两点确定一条直线． 其中能用“两点确定一条直线”来解释的现象有②③④． 故选：C． 题型3 线段的性质：两点之间线段最短 解｜题｜知｜识 线段公理 两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短． 简单说成：两点之间，线段最短． 【典例1】在下列日常生活的操作中，能体现基本事实“两点之间，线段最短”的是（　　） A．用两颗钉子固定一根木条 B．把弯路改直可以缩短路程 C．用两根木桩拉一直线把树栽成一排 D．沿桌子的一边看，可将桌子排整齐 【答案】B 【解答】解：A、用两颗钉子固定一根木条体现基本事实“两点确定一条直线”； B、把弯路改直可以缩短路程体现基本事实“两点之间，线段最短”； C、用两根木桩拉一直线把树栽成一排体现基本事实“两点确定一条直线”； D、沿桌子的一边看，可将桌子排整齐体现基本事实“两点确定一条直线”； 故选：B． 【变式1】若将弯曲的河道改直，可以缩短航程，根据是　两点之间线段最短　 ． 【答案】两点之间线段最短 【解答】解：将弯曲的河道改直，可以缩短航程，根据是：两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短． 【变式2】如图，从A到B有多条道路，人们通常会走中间的直路，而不走其他的路，这其中的数学道理是　两点之间线段最短　 ． 【答案】两点之间线段最短 【解答】解：道理是：两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短． 题型4 两点间的距离 解｜题｜知｜识 （1）两点间的距离 连接两点间的线段的长度叫两点间的距离． （2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离． 【典例1】下列说法正确的个数是（　　） ①连接两点的线段叫这两点之间的距离； ②将一根木条固定在墙上需要两枚钉子，其原理是两点确定一条直线； ③连接两点的所有线中，直线最短 ④若AP＝BP，则点P是线段AB的中点； ⑤0的绝对值、相反数、倒数都等于它本身． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解答】解：根据线段、直线的性质以及有理数的绝对值、相反数的性质逐项判断如下： ①两点之间线段的长度，叫做这两点间的距离，说法错误； ②说法正确； ③两点之间线段最短，说法错误； ④当点A，B，P在同一条直线上时，若AP＝BP，则点P是线段AB的中点，说法错误； ⑤0没有倒数，说法错误． 故选：A． 【变式1】在直线l上有A、B、C、D四点，其中点B是线段AD的三等分点，点C是线段AD的中点，点E是线段AD延长线上一点，且AE+BE＝2AD，则的值为 　或　 ． 【答案】或． 【解答】解：设AD＝x， ∵点C是线段AD的中点， ∴AC＝CDx， 当点B是靠近A的线段AD的三等分点时， ABx，BDx， ∵AE+BE＝2AD， ∴x+DEx+DE＝2x， ∴DEx， ∴， 当点B是靠近D的线段AD的三等分点时， BDx，ABx， ∵AE+BE＝2AD， ∴x+DEx+DE＝2x， ∴DEx， ∴， 答：的值为或． 【变式2】如图，有公共端点P的两条线段MP，NP组成一条折线M﹣P﹣N，若该折线M﹣P﹣N上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，点E为线段AC的中点，CD＝3，CE＝5，则线段BC的长为　4或16　 ． 【答案】4或16 【解答】解：①如图， CD＝3，CE＝5， ∵点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”， ∴AD＝DC+CB ∵点E为线段AC的中点， ∴AE＝ECAC＝5 ∴AC＝10 ∴AD＝AC﹣DC＝7 ∴DC+CB＝7 ∴BC＝4； ②如图， CD＝3，CE＝5， ∵点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”， ∴BD＝DC+CA ∵点E为线段AC的中点， ∴AE＝ECAC＝5 ∴AC＝10 ∴AC+DC＝13 ∴BD＝13 ∴BC＝BD+DC＝16． 综上所述，BC的长为4或16． 故答案为4或16． 【变式3】已知线段AB＝10且C是直线AB上一点，AC：BC＝2：3，求AC的长为　4或20　 ． 【答案】4或20． 【解答】解：已知线段AB＝10且C是直线AB上一点，AC：BC＝2：3， 设AC＝2k，BC＝3k（k＞0）． 当点C在线段AB上时，AB＝AC+BC＝5k＝10， 解得k＝2， 故AC＝2k＝4； 当点C在线段BA的延长线上时，BC＝AB+AC， 即3k＝10+2k， 解得k＝10， 故AC＝2k＝20． 故答案为：4或20． 题型5 比较线段的长短 解｜题｜知｜识 （1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法． 就结果而言有三种结果：AB＞CD、AB＝CD、AB＜CD． （2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点． （3）线段的和、差、倍、分及计算 做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段． 如图，AC＝BC，C为AB中点，ACAB，AB＝2AC，D 为CB中点，则CD＝DBCBAB，AB＝4CD，这就是线段的和、差、倍、分． 【典例1】线段AB上有P、Q两点，AB＝26，AP＝14，PQ＝11，那么BQ＝　23或1　 ． 【答案】23或1 【解答】解：本题有两种情形： （1）当点Q在线段AP上时，如图，BQ＝BP+PQ＝AB﹣AP+PQ＝26﹣14+11＝23； （2）当点Q在线段BP上时，如图，BQ＝BP﹣PQ＝AB﹣AP+PQ＝26﹣14﹣11＝1． 故答案为：23或1． 题型6 线段的和差 解｜题｜知｜识 线段的和差问题，通常可以考虑用“截长法”或“补短法”来完成， 【典例1】有两根木条，一根AB长为80cm，另一根CD长为130cm，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离MN是（　　） A．105cm B．20cm C．105cm或25cm D．105cm或20cm 【答案】C 【解答】解：由题知， ①如图所示， ∵M，N分别为AB和CD的中点， ∴AM，AN， ∴MN＝AN﹣AM＝65﹣40＝25（cm）； ②如图所示， ∵M，N分别为AB和CD的中点， ∴BM，BN， ∴MN＝BM+BN＝40+65＝105（cm）， 综上所述，MN的长为25cm或105cm． 故选：C． 【变式1】如图，点B在线段AC上，且BC＝2AB，D，E分别是AB，BC的中点．则下列结论：①；②B是AE的中点；③EC＝2BD；④；⑤若DE＝5，则图中所有线段之和为50．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【解答】解：①由BC＝2AB，AC＝AB+BC，得：，说法正确，故符合题意； ②由E是BC的中点，BC＝2AB，得BE＝AB，则B是AE的中点，说法正确，故符合题意； ③由D，E分别是AB，BC的中点，得：EC＝BE＝AB＝2BD，说法正确，故符合题意； ④由上述结论，得：，说法正确，故符合题意； ⑤由，DE＝5，得到，又，则AC＝10，，， ∴， ， ，， ∴图中所有线段之和为，说法正确，故符合题意， 故选：D． 【变式2】已知线段AC＝10，点B是线段AC的中点，点D是线段AC上一点，且BD＝2，则线段CD的长为（　　） A．3 B．3或7 C．8或3 D．8 【答案】B 【解答】解：①如图1，当点D在点B左侧时， ∵AC＝10，点B是线段AC的中点，BD＝2， ∴， ∴CD＝BC+BD＝5+2＝7； ②如图2，当点D在点B右侧时， ∵AC＝10，点B是线段AC的中点，BD＝2， ∴， ∴CD＝BC﹣BD＝5﹣2＝3， 故选：B． 【变式3】以下四个等式：①AB＝BC；②；③AC＝2BC；④AC＝2AB＝2BC．其中能表示点B是线段AC中点的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解答】解：点B在线段AC上，当AB＝BC时，点B是AC的中点，因此①错误； 点B在线段AC上，当时，点B是AC的中点，因此②错误； 点B在线段AC上，当AC＝2BC时，点B是AC的中点，因此③错误； 当AC＝2AB＝2BC，点B一定是AC的中点，因此④正确； 故选：A． 题型7 作图—基本作图 解｜题｜知｜识 基本作图有： （1）作一条线段等于已知线段． （2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线． 【典例1】如图，用尺规作图作出∠OBF＝∠AOB，则作图痕迹弧MN是（　　） A．以点B为圆心，以OD长为半径的弧 B．以点B为圆心，以DC长为半径的弧 C．以点E为圆心，以OD长为半径的弧 D．以点E为圆心，以DC长为半径的弧 【答案】D 【解答】解：作∠OBF＝∠AOB的作法： ①以点O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交射线OA，OB于点C，D； ②以点B为圆心，以OC为半径画，交射线BO于点E； ③以点E为圆心，以CD为半径画，交于点N，连接BN即可得出∠OBF， 则∠OBF＝∠AOB． 故选：D． 【变式1】用尺规作一个角等于已知角：如图，已知∠AOB，求作∠DEF，使∠DEF＝∠AOB．可以通过以下步骤作图： ①作射线EG； ②以点E为圆心，以OP为半径画弧交EG于点D； ③以O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点P，交OB于点Q； ④过点F作射线EF，∠DEF即为所求作的角； ⑤以点D为圆心，以PQ为半径画弧交前面的弧于点F． 则下列排序正确的是（　　） A．①②③④⑤ B．①③②⑤④ C．①②③⑤④ D．①⑤②③④ 【答案】B 【解答】解：根据作一个角等于已知角的方法可知，正确的排序为①③②⑤④． 故选：B． 【变式2】如图，用尺规作出了∠NCB＝∠AOD，作图痕迹中弧FG是（　　） A．以点C为圆心，OD为半径的弧 B．以点C为圆心，DM为半径的弧 C．以点E为圆心，OD为半径的弧 D．以点E为圆心，DM为半径的弧 【答案】D 【解答】解：根据作一个角等于已知角可得弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧． 故选：D． 【变式3】如图，已知点C在∠AOB的边OB上，利用尺规作图法在∠AOB内作∠OCD，使得点D在射线OA上，且∠OCD＝∠AOB．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，点D即为所求． 过 关 验 收 1．在平面上任意画4个点，那么这4个点确定的直线共有（　　） A．1条或4条 B．1条或6条 C．4条或6条 D．1条或4条或6条 【答案】D 【解答】解：如图1，4点共线时，可以确定1条直线； 如图2，3点共线时可以确定4条直线； 如图3，任意3点都不共线时，可以确定6条直线； 综上所述，这4个点确定的直线共有1条或4条或6条． 故选D． 2．如图，对于直线AB，线段CD，射线EF，其中能相交的图是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵直线没有端点，可以向两方无限延长， 射线只有一个端点，可以向一方无限延长， 线段有两个端点，不能向两方无限延长， ∴A，B，D不符合题意，C符合题意， 故选：C． 3．两条相交直线与另一条直线在同一平面内，它们的交点个数是（　　） A．1 B．2 C．3或2 D．1或2或3 【答案】D 【解答】解：当另一条直线与两条相交直线交于同一点时，交点个数为1； 当另一条直线与两条相交直线中的一条平行时，交点个数为2； 当另一条直线分别与两条相交直线相交时，交点个数为3； 故选：D． 4．如图，在平面内有A、B、C三点，根据下列语句画图： （1）画直线AC，线段BC，射线AB； （2）在线段BC上任取一点D（不同于点B、C），连接线段AD； （3）数数看，此时图中线段共有　6　 条． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图所示： （2）如图所示： （3）图中有线段AB，AC，AD，BC，BD，CD，一共6条． 故答案为：6． 5．射击是一项用枪支对准目标打靶的竞技项目，在正常情况下，射击时要保证瞄准点在准星和缺口确定的直线上（如图所示），才能射中目标，这样做的数学依据是　两点确定一条直线　 ． 【答案】两点确定一条直线． 【解答】解：这样做的数学依据是两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 6．用两个钉子就可以把木条固定在墙上，其中蕴含的数学知识是：　两点之间确定一条直线　 ． 【答案】两点之间确定一条直线 【解答】解：用两个钉子就可以把木条固定在墙上，其中蕴含的数学知识是：两点之间确定一条直线． 故答案为：两点之间确定一条直线． 7．如图，已知线段AB＝8cm，M是AB的中点，P是线段MB上一点，N为PB的中点，NB＝1.5cm，试求线段MP的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵M是AB的中点，AB＝8cm， ∴AM＝BM＝4cm， ∵N为PB的中点，NB＝1.5cm， ∴PB＝2NB＝3cm， ∴MP＝BM﹣PB＝4﹣3＝1（cm）． 8．如图，点C在线段AB上，点D是线段BC的中点，且AB＝12，AC＝2CD． （1）图中共有 　6　 条线段； （2）求BC的长； （3）若点E在线段AB上，且AE＝2，则CE的长为 　4　 ． 【答案】（1）6； （2）BC＝6； （3）4． 【解答】解：（1）图中线段有：AC、CD、DB、AD、CB、AB，共6条， 故答案为：6； （2）∵点D是线段BC的中点， ∴BC＝2CD， ∵AC＝2CD， ∴AC＝BC， ∵AB＝12， ∴BC＝AC＝6； （3）∵AE＝2，AC＝6， ∴CE＝4， 故答案为：4． 9．如图，下列关系式中与图不一定符合的式子是（　　） A．AD﹣CD＝AB+BC B．AC﹣BC＝AD﹣BD C．AC﹣BC＝BD﹣BC D．AC﹣AB＝BD﹣CD 【答案】C 【解答】解：A、AD﹣CD＝AB+BC，正确，不符合题意； B、AC﹣BC＝AD﹣BD，正确，不符合题意； C、AC﹣BC＝AB，而BD﹣BC≠AB，故本选项错误，符合题意； D、AC﹣AB＝BD﹣CD，正确，不符合题意． 故选：C． 10．如图，点B是线段AC上一点，且AB＝28cm，．点O是线段AC的中点，求线段OB的长． ∵AB＝28cm，， ∵， ∴AC＝AB+BC ＝　35　 （cm）， ∵O为AC中点， ∴OA＝　　 ＝　17.5　 （cm）， ∴OB＝AB﹣OA ＝　10.5　 （cm）． 【答案】BC，35，，17.5，OA，10.5． 【解答】解：∵AB＝28cm，， ∵， ∴AC＝AB+BC＝28+7＝35cm， ∵O为AC中点， ∴， ∴OB＝AB﹣OA＝28﹣17.5＝10.5cm． 答案为：BC，35，，17.5，OA，10.5． 11．如图，已知线段AB，延长线段AB到点C，使，反向延长AB到点D，使． （1）画出图形，并直接写出　2　 ； （2）若点E为线段DB中点，当CE＝7时，画出图形，并求AB的长． 【答案】（1）2； （2）6． 【解答】解：（1）根据题意画出图形如下： 设BC＝x， ∵， ∴AB＝3x， ∴AC＝AB+BC＝3x+x＝4x， ∵， ∴AD＝2x， ∴， 故答案为：2； （2）根据题意画出图形如下： 同（1）AD＝2x，BC＝x，AB＝3x， ∴BE＝CE﹣BC＝7﹣x，BD＝AD+AB＝5x， ∵点E为线段DB中点， ∴， 即， 解得：x＝2， ∴AB＝6． 12．（1）如图所示，已知线段a，b． ①作射线AM； ②在射线AM上依次截取AC＝CD＝a； ③在线段DA上截取DB＝b． 由作图可知AB＝ 　2a﹣b ．（用含a，b的式子表示） （2）在（1）的作图基础上，若a＝10，b＝8，E为线段AC的中点，F为线段BD的中点，求线段EF的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由作图可知，AD＝2a，DB＝b， ∴AB＝AD﹣DB＝2a﹣b． 故答案为：2a﹣b； （2）∵E为线段AC的中点，F为线段BD的中点，a＝10，b＝8， ∴AEACa＝5，FDBDb＝4， 由（1）可知，AD＝2a＝20， ∴EF＝AD﹣AE﹣DF＝20﹣5﹣4＝11． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 4.1 线段、射线、直线 内 容 导 航 题型1 直线、射线、线段 题型2 直线的性质：两点确定一条直线 题型3 线段的性质：两点之间线段最短 题型4 两点间的距离 题型5 比较线段的长短 题型6 线段的和差 题型7 作图—基本作图 考 点 演 练 题型1 直线、射线、线段 解｜题｜知｜识 （1）直线、射线、线段的表示方法 ①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB． ②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边． ③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）． （2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外． 【典例1】下列图形中，能比较长短的是（　　） A．直线与射线 B．射线与线段 C．直线与线段 D．两条线段 【变式1】下表是G1105次列车武汉站始发、终到广州白云站的高铁车次表，在不含返程的情况下，请你说明最终需要设计（　　）种车票． A．45 B．55 C．66 D．78 【变式2】如图所示，下列说法不正确的是（　　） A．点A在直线BD外 B．点A到点C的距离是线段AC的长度 C．射线AC与射线BC是同一条 D．直线AC和直线BD相交于点B 【变式3】如图，以点O为端点的射线有（　　）条． A．2 B．3 C．4 D．5 题型2 直线的性质：两点确定一条直线 解｜题｜知｜识 （1）直线公理：经过两点有且只有一条直线． 简称：两点确定一条直线． （2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了． 【典例1】在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（　　） ①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上； ②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线； ③把弯曲的公路改直，就能缩短路程； ④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上． A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【变式1】同一平面内的六个点最多可以确定的直线条数是（　　） A．12条 B．15条 C．30条 D．36条 【变式2】如图，小亮为将一个衣架固定在墙上，他在衣架两端各用一个钉子进行固定，用数学知识解释他这样操作的原因是（　　） A．过一点有无数条直线 B．点动成线，线动成面 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【变式3】在日常生活和生产中常常看到下列现象：①把弯曲的公路改直，可以缩短路程；②植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行树坑在一条直线上；③砌墙时，常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线；④用两个钉子就可以把直木条固定在墙上．其中能用“两点确定一条直线”来解释的现象有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 题型3 线段的性质：两点之间线段最短 解｜题｜知｜识 线段公理 两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短． 简单说成：两点之间，线段最短． 【典例1】在下列日常生活的操作中，能体现基本事实“两点之间，线段最短”的是（　　） A．用两颗钉子固定一根木条 B．把弯路改直可以缩短路程 C．用两根木桩拉一直线把树栽成一排 D．沿桌子的一边看，可将桌子排整齐 【变式1】若将弯曲的河道改直，可以缩短航程，根据是　 　 ． 【变式2】如图，从A到B有多条道路，人们通常会走中间的直路，而不走其他的路，这其中的数学道理是　 　 ． 题型4 两点间的距离 解｜题｜知｜识 （1）两点间的距离 连接两点间的线段的长度叫两点间的距离． （2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离． 【典例1】下列说法正确的个数是（　　） ①连接两点的线段叫这两点之间的距离； ②将一根木条固定在墙上需要两枚钉子，其原理是两点确定一条直线； ③连接两点的所有线中，直线最短 ④若AP＝BP，则点P是线段AB的中点； ⑤0的绝对值、相反数、倒数都等于它本身． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】在直线l上有A、B、C、D四点，其中点B是线段AD的三等分点，点C是线段AD的中点，点E是线段AD延长线上一点，且AE+BE＝2AD，则的值为 　 　 ． 【变式2】如图，有公共端点P的两条线段MP，NP组成一条折线M﹣P﹣N，若该折线M﹣P﹣N上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，点E为线段AC的中点，CD＝3，CE＝5，则线段BC的长为　 　 ． 【变式3】已知线段AB＝10且C是直线AB上一点，AC：BC＝2：3，求AC的长为　　 ． 题型5 比较线段的长短 解｜题｜知｜识 （1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法． 就结果而言有三种结果：AB＞CD、AB＝CD、AB＜CD． （2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点． （3）线段的和、差、倍、分及计算 做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段． 如图，AC＝BC，C为AB中点，ACAB，AB＝2AC，D 为CB中点，则CD＝DBCBAB，AB＝4CD，这就是线段的和、差、倍、分． 【典例1】线段AB上有P、Q两点，AB＝26，AP＝14，PQ＝11，那么BQ＝　 　 ． 题型6 线段的和差 解｜题｜知｜识 线段的和差问题，通常可以考虑用“截长法”或“补短法”来完成， 【典例1】有两根木条，一根AB长为80cm，另一根CD长为130cm，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离MN是（　　） A．105cm B．20cm C．105cm或25cm D．105cm或20cm 【变式1】如图，点B在线段AC上，且BC＝2AB，D，E分别是AB，BC的中点．则下列结论：①；②B是AE的中点；③EC＝2BD；④；⑤若DE＝5，则图中所有线段之和为50．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】已知线段AC＝10，点B是线段AC的中点，点D是线段AC上一点，且BD＝2，则线段CD的长为（　　） A．3 B．3或7 C．8或3 D．8 【变式3】以下四个等式：①AB＝BC；②；③AC＝2BC；④AC＝2AB＝2BC．其中能表示点B是线段AC中点的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型7 作图—基本作图 解｜题｜知｜识 基本作图有： （1）作一条线段等于已知线段． （2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线． 【典例1】如图，用尺规作图作出∠OBF＝∠AOB，则作图痕迹弧MN是（　　） A．以点B为圆心，以OD长为半径的弧 B．以点B为圆心，以DC长为半径的弧 C．以点E为圆心，以OD长为半径的弧 D．以点E为圆心，以DC长为半径的弧 【变式1】用尺规作一个角等于已知角：如图，已知∠AOB，求作∠DEF，使∠DEF＝∠AOB．可以通过以下步骤作图： ①作射线EG； ②以点E为圆心，以OP为半径画弧交EG于点D； ③以O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点P，交OB于点Q； ④过点F作射线EF，∠DEF即为所求作的角； ⑤以点D为圆心，以PQ为半径画弧交前面的弧于点F． 则下列排序正确的是（　　） A．①②③④⑤ B．①③②⑤④ C．①②③⑤④ D．①⑤②③④ 【变式2】如图，用尺规作出了∠NCB＝∠AOD，作图痕迹中弧FG是（　　） A．以点C为圆心，OD为半径的弧 B．以点C为圆心，DM为半径的弧 C．以点E为圆心，OD为半径的弧 D．以点E为圆心，DM为半径的弧 【变式3】如图，已知点C在∠AOB的边OB上，利用尺规作图法在∠AOB内作∠OCD，使得点D在射线OA上，且∠OCD＝∠AOB．（不写作法，保留作图痕迹） 过 关 验 收 1．在平面上任意画4个点，那么这4个点确定的直线共有（　　） A．1条或4条 B．1条或6条 C．4条或6条 D．1条或4条或6条 2．如图，对于直线AB，线段CD，射线EF，其中能相交的图是（　　） A． B． C． D． 3．两条相交直线与另一条直线在同一平面内，它们的交点个数是（　　） A．1 B．2 C．3或2 D．1或2或3 4．如图，在平面内有A、B、C三点，根据下列语句画图： （1）画直线AC，线段BC，射线AB； （2）在线段BC上任取一点D（不同于点B、C），连接线段AD； （3）数数看，此时图中线段共有　6　 条． 5．射击是一项用枪支对准目标打靶的竞技项目，在正常情况下，射击时要保证瞄准点在准星和缺口确定的直线上（如图所示），才能射中目标，这样做的数学依据是　 　 ． 6．用两个钉子就可以把木条固定在墙上，其中蕴含的数学知识是：　 　 ． 7．如图，已知线段AB＝8cm，M是AB的中点，P是线段MB上一点，N为PB的中点，NB＝1.5cm，试求线段MP的长． 8．如图，点C在线段AB上，点D是线段BC的中点，且AB＝12，AC＝2CD． （1）图中共有 　 条线段； （2）求BC的长； （3）若点E在线段AB上，且AE＝2，则CE的长为 　 　 ． 9．如图，下列关系式中与图不一定符合的式子是（　　） A．AD﹣CD＝AB+BC B．AC﹣BC＝AD﹣BD C．AC﹣BC＝BD﹣BC D．AC﹣AB＝BD﹣CD 10．如图，点B是线段AC上一点，且AB＝28cm，．点O是线段AC的中点，求线段OB的长． ∵AB＝28cm，， ∵， ∴AC＝AB+BC ＝　 　 （cm）， ∵O为AC中点， ∴OA＝　　 ＝　 　 （cm）， ∴OB＝AB﹣OA ＝　 　 （cm）． 11．如图，已知线段AB，延长线段AB到点C，使，反向延长AB到点D，使． （1）画出图形，并直接写出　 ； （2）若点E为线段DB中点，当CE＝7时，画出图形，并求AB的长． 12．（1）如图所示，已知线段a，b． ①作射线AM； ②在射线AM上依次截取AC＝CD＝a； ③在线段DA上截取DB＝b． 由作图可知AB＝ 　 ．（用含a，b的式子表示） （2）在（1）的作图基础上，若a＝10，b＝8，E为线段AC的中点，F为线段BD的中点，求线段EF的长． 学科网（北京）股份有限公司 $