18.1 分式及其基本性质（预习讲义）2026-2027学年人教版数学八年级上册

本讲义聚焦初中数学分式及其基本性质核心知识点，系统梳理分式的定义（形式判断）、有意义/无意义/值为0的条件，以及基本性质、约分、通分等内容，构建从概念理解到性质应用的递进式学习支架，为后续分式运算奠定基础。 该资料通过12个题型系统归纳（如分式判断、值的正负范围等），结合例题与变式题强化训练，培养学生抽象能力（分式形式判断）和推理意识（值的变化推理）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过巩固练习查漏补缺，提升知识应用能力。

第十八章 分式 01讲 分式及其基本性质 题型归纳 【题型1. 分式的判断 3】 【题型2. 分式无意义的条件 4】 【题型3. 分式有意义的条件 6】 【题型4. 分式为0的条件 7】 【题型5. 分式值为正（负）数时字母取值范围 11】 【题型6. 分式变形的判断 13】 【题型7. 分式值的变化的判断 14】 【题型8. 将分式的分子分母各项化为正数或整数 16】 【题型9. 分式值为整数时求字母参数 19】 【题型10. 约分 21】 【题型11. 最简分式及最简公分母 22】 【题型12. 通分 24】 【巩固练习 27】 知识清单 知识点1 分式 1.定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫作分式. 2.元素：A叫作分子，B叫作分母. 【提示】 ① 判断一个式子是不是分式不能化简再判断，如是分式，但化简之后的是整式，即进行分式判断只看形式，不能看化简后的结果； ② 分式有意义的条件：分式的分母不等于0； ③ 分式为0的条件：当分子=0，且分母≠0时，即A=0且B≠0时，=0. 知识点2 分式的基本性质 1.分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变. （其中A，B，C（C≠0）是整式） 知识点3 约分 1.定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分. 知识点4 最简分式 1.定义：分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式.如： . 知识点5 通分 1.定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分. 知识点6 最简公分母 1.定义：分式的通分，关键是确定几个分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，叫作最简公分母. 题型专练 题型1. 分式的判断 【例1】下列各式中，属于分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本概念，关键是抓住分母中是否含有字母． 分式是指分母中含有字母的代数式．根据定义，只需检查各选项分母是否含有字母即可． 【详解】A．分母为常数2，不是分式； B．分母含有字母，是分式； C．是多项式，分母为常数，不是分式； D．分母为常数2，不是分式． 故选：B． 【变式1】下列各式，，，，，属于分式的有（） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，根据分式的定义，分母中含有字母的式子才是分式．逐一判断各式中分母是否含有字母即可． 【详解】解：∵分式的定义是分母中含有字母， ∴，分母无字母，不是分式； 分母为常数2，无字母，不是分式； 分母含有字母，是分式； 分母含有字母，是分式； 分母为常数2，无字母，不是分式． ∴属于分式的有2个． 故选：C． 【变式2】下列各式，，，，中．分式的个数为（） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了分式的识别．根据分式的定义（分母中含有字母的式子称为分式），逐一判断每个式子是否符合定义，分式判断的关键是分母中是否含有字母，本题中π是圆周率，为数字，因此被认定为整式． 【详解】∵分式的定义要求分母中含有字母， ∴对每个式子进行判断： ：分母为3，是数字，不含字母，不是分式； ：分母为，含有字母，是分式； ：分母为，其中π为圆周率，为常数，故分母不含字母，不是分式； ：是整式，不是分式形式（无分母）； ：分母为0.5，是数字，不含字母，不是分式． ∴分式个数为1． 故选：D． 【变式3】下列各式中：，，，，0，，，其中分式共有_____个． 【答案】3 【分析】本题考查分式的判断，根据分式的定义，形如，中含有字母，这样的式子叫做分式，进行判断即可． 【详解】解：，，，，0，，中，分式有，，共3个； 故答案为：3． 题型2. 分式无意义的条件 【例1】若分式无意义，则实数的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件．根据分式无意义，分母等于0列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意可得出， 解得：， 故选：D． 【例2】请你写一个分式，使它满足，当时，分式无意义_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，分式无意义的条件是分母为0，据此写出一个当时，分式的分母为0的分式即可． 【详解】解：由题意得，满足题意的分式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】若分式的值不存在，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，能够通过条件列出方程是解题关键． 根据题意可列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵分式的值不存在， ∴分式无意义，即分母为0， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2】当时，下列分式没有意义的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式无意义的条件，根据分式无意义的条件进行判断即可，解题的关键是理解分母为零即为分式无意义的条件． 【详解】解：当时，， ∴当时，分式没有意义， 故选：B． 【变式3】当________时，分式无意义． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，分式无意义的条件是分母为0，据此求解即可． 【详解】解；∵分式无意义， ∴， ∴， 故答案为：． 题型3. 分式有意义的条件 【例1】若分式有意义，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零． 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母， ∴． 故选：B． 【例2】当________时，分式有意义． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是明确“分式有意义的条件是分母不为零”． 根据分式有意义的条件，分析该分式中分母的取值限制，确定的范围． 【详解】解：对于分式，其分式的分母为， 根据分式有意义的条件：分母不等于零， 因此当时，该分式有意义． 故答案为：． 【变式1】若分式有意义，则（   ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式有意义的条件，正确掌握分式有意义的条件是解题的关键． 先根据分式有意义的条件得分母不为零，再因式分解即可求解． 【详解】解：分式有意义， 分母 ， 则，， 即当且 时，分式有意义． 故选：B． 【变式2】要使分式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件：分式有意义的条件是分母不为0.有意义即. 【详解】解：∵有意义 ∴ ∴ 故答案为：. 【变式3】若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 解得，． 故答案为：． 题型4. 分式为0的条件 【例1】若分式的值为0，则的值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了分式值为零的条件：分子为0，分母不为0．分式值为零时，需分子为0，分母不为0，据此解答即可． 【详解】解：∵=0， ∴， ∴． 故选：D． 【例2】已知分式的值为，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查分式值为的条件，绝对值的运算，因式分解，掌握“分式值为的条件”是解题关键． 分式的值为，则分子为且分母不为，求解分子方程并验证分母是否不为． 【详解】解：由分式的值为，得分子，即，解得或， 当时，分母，分式无意义，故舍去； 当时，分母，满足条件． 故答案为：． 【变式1】若分式的值为零，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，根据分式的值为零的条件为：分子等于零，分母不等于零，计算即可得解，熟练掌握分式的值为零的条件是解此题的关键． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，， 解得：， 故选：B． 【变式2】若分式的值为0，则的取值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，根据分式的值为零的条件为分子等于零，分母不等于零，计算即可得解，熟练掌握分式的值为零的条件是解此题的关键． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， ∴， 故选：B． 【变式3】若分式的值为0，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式为0的条件，掌握分式为零的条件为分子为0、分母不为0是解题的关键． 分式值为0的条件是分子等于0且分母不等于0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， ∴或，且， ∴. 故答案为：． 【变式4】已知分式，当时，分式的值为0；当时，分式无意义．试求的值． 【答案】2 【分析】本题考查了分式值为0的条件以及分式有意义的条件，分式值为0的条件，分子为0且分母不为0，据此可得a的值；分式无意义的条件是分母等于零，据此可得b的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：将代入，得． ∵当时，分式的值为0， ∴，， ∴，． 将代入，得． ∵当时，分式无意义， ∴， ∴． ∴． 【变式5】已知分式． (1)当时，求分式的值； (2)当为何值时，分式有意义？ (3)当为何值时，分式的值为0？ 【答案】(1) (2)且 (3) 【分析】本题考查的是分式的求值，分式有意义的条件，分式的值为0的条件，掌握分式的基础概念是解本题的关键； （1）直接把代入计算即可； （2）由分母不为0建立不等式求解即可； （3）由分子为0，分母不为0，再求解即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）∵有意义， ∴且， 解得：且； （3）∵的值为0， ∴， 解得：， ∵且， ∴且； ∴； 题型5. 取值范围的求解 【例1】当分式的值为正数时，的取值范围是（   ） A． B． C． D．任意实数 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，解答本题的关键在于得到． 由分式的值为正数可知，最后解不等式即可． 【详解】当分式的值为正数时， ∴． 故选：B． 【例2】分式的值为负数，求的取值范围______． 【答案】且 【分析】本题考查分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向． 根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母必是正数，分子的值是负数则可，从而列出不等式求解即可． 【详解】解：∵分式若有意义，分母不能为0， ∴， ∴ ∴ ∵分式的值为负数， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 【变式1】若使分式的值为负数，则可以取的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查偶次幂的非负性，根据分数的值的正负判断未知数的取值范围，先根据偶次幂的非负性，可得分子为正数，结合分式的值为负数，可得分子分母异号，即可得到答案． 【详解】解： ，的值为负数， ， 解得：， 只有A选项符合题意， 故选：A． 【变式2】若分式的值为正，则的取值范围是______． 【答案】且 【分析】本题考查分式的性质，不等式的解法，由题意可得：且，再进一步解答即可． 【详解】解：∵的值为正， 又∵， ∴且， 且， 故答案为：且． 【变式3】分式的值为负数，求x的取值范围 _________． 【答案】且 【分析】本题考查分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向． 根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母必是正数，分子的值是负数则可，从而列出不等式． 【详解】解：∵分式若有意义，分母不能为0， ∴， ∴ ∴ ∵分式的值为负数， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 题型6. 分式变形的判断 【例1】下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质对各选项进行判断即可求解，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、，该选项从左到右的变形不正确； ．，该选项从左到右的变形不正确； ．，该选项从左到右的变形正确； ．当时，无意义，该选项从左到右的变形不正确； 故选：． 【变式1】分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质及分式的变形，先将分母变形为含有负号的形式，再根据分式的符号法则进行变形，最后与各选项对比得出答案． 【详解】解：． 故选：A． 【变式2】下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的数或式子，分式的值不变，据此求解即可． 【详解】解：A、不一定成立，原式错误，不符合题意； B、，原式正确，符合题意； C、，原式错误，不符合题意； D、，原式错误，不符合题意； 故选：B． 【变式3】下列分式中，与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质． 根据分式的基本性质，分子分母同时乘以或除以同一个非零数或整式，分式的值不变．对各选项逐一分析即可． 【详解】选项A：，若，则交叉相乘得，化简得，与题设矛盾，故不成立； 选项B：，同理可得，与题设矛盾，故不成立； 选项C：，分子分母同时乘以，根据分式的基本性质，，与原分式相等，故成立； 选项D：，为原分式的平方，显然不等于原分式（例如，时，），故不成立； 故选：C． 题型7. 分式值的变化的判断 【例1】把分式中的、都扩大倍，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大倍 C．扩大倍 D．缩小倍 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质，掌握相关知识是解决问题的关键．将分式中的 和 都扩大 3 倍后代入，约分后与原式比较． 【详解】解：∵ 和 都扩大 3 倍， ∴ 新分式为 ， ∴ 分式的值不变． 故选：A． 【变式1】如果把分式中的，同时变为原来的4倍，那么该分式的值（    ） A．不变 B．变为原来的4倍 C．变为原来的 D．变为原来的 【答案】B 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，正确化简分式是解题关键．直接利用分式的性质化简得出答案． 【详解】解：把分式中的x和y都扩大为原来的4倍， 则原式可变为：， 故分式的值扩大为原来的4倍． 故选：B． 【变式2】如果使分式有意义的和的值都扩大为原来的2倍，则分式的值也扩大为原来的2倍，那么整式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．利用分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：当表示时，，它的值与原分式的值相等，故A不符合题意； 当表示时，，它的值是原分式的值的相等，故B不符合题意； 当表示时，，它的值是原分式的值的2倍，故C符合题意； 当表示时，，它的值是原分式的值的8倍，故D不符合题意； 故选：C． 【变式3】把分式中的都缩小为原来的，则分式的值（   ） A．缩小到原来的 B．扩大到原来的2倍 C．改变为原来的 D．不改变 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式中分子、分母同乘一个不为零的数，分式值不变．熟练掌握分式中分子、分母的大小变化是解题的关键． 根据分式的基本性质，分式中， 缩小为原来的，然后代入化简求解比较即可． 【详解】∵分式中的、缩小为原来的， ∴原分式化为： ，原式不发生改变． 故选：D． 题型8. 将分式的分子分母各项化为正数或整数 【例1】不改变分式的值，把的分子、分母中含x项的系数化为整数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式的基本性质的应用，把分子分母扩大100倍即可. 【详解】解：． 故选：C 【例2】不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，_______ 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子和分母只能同时乘或除以一个不等于0 的数或整式，分式的值不变，据此把分式的分子分母同时乘以10即可得到答案． 【详解】解：把分式的分子分母同时乘以10得， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】不改变分式的值，把分式的分子与分母中各项的系数都化为整数，结果为_____． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简，根据分式的性质，分子分母同时乘以一个不为的整式，分式的值不变，只需将分式的分子和分母同时乘即可求解，掌握分式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1）______； （2）______； （3）______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）将分母中的负号提到分式前面即可； （2）分子和分母都乘以即可； （3）分子和分母都乘以即可． 【详解】（1） 故答案为： （2） 故答案为： （3） 故答案为： 【变式3】不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含负号： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______． 【答案】 【分析】本题考查的是利用分式的基本性质确定分式的三个符号之间的变换，掌握“这三个符号同时改变两个，分式的值不变.”是解题的关键. 对于一个分式有三个符号，分式本身，分子，分母，由分式的基本性质可得：这三个符号同时改变两个，分式的值不变，根据此原理逐一解答各题： （1）把的分子，分母的符号都改为“+”，可得答案； （2）把的分子的符号改为“+”，分母变为相反数，可得答案； （3）把的分母的符号改为“+”，分式本身的符号改为“-”，可得答案； （4）的分子的符号改为“+”，分式本身的符号改为“-”，可得答案． 【详解】解：（1）； 故答案为： （2）； 故答案为： （3）； 故答案为： （4）． 故答案为： 【变式4】不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1）______； （2）______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）分子与分母都乘以10即可； （2）分子与分母都乘以12即可． 【详解】解：（1） 故答案为： （2） 故答案为： 题型9. 分式值为整数时求字母参数 【例1】若分式的值为整数，则整数的值为（   ） A．1 B． C．3 D．1或3 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的值，根据分式的值为整数，确定出整数x的值即可． 【详解】解：∵分式的值为整数，且x为整数， ∴， ∴整数x的值为1或3， 故选：D 【例2】分式的值是正整数，则整数x＝________． 【答案】3或9 【分析】本题考查分式的值，根据题意得出的值求解即可． 【详解】由题意可知：或7 当时， ∴，符合题意 当时， ∴； 综上所述，或9； 故答案为：3或9． 【变式1】若分式的值是负整数，则m的值可能为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查分式的值及其性质、解一元一次不等式，先化简原分式为，再根据分式的值为负整数得到m是且的整数，进而根据选项中的数可求解． 【详解】解：∵分式的值是负整数， ∴且的整数， 选项B中的数符号题意，选项A、C、D中的数不符合题意， 故选：B． 【变式2】若使分式的值是整数，则所有符合条件的整数m的和为____________． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的值，把握分母是4的因数是解题的关键；由题意，是4的因数，且为奇数，由此可求得m的值，进而求得所有整数m的和． 【详解】解：要使分式的值是整数，则是4的因数， 故， 但是奇数，则， 所以或0 ； 所以； 故答案为：1． 【变式3】已知分式． (1)当为何值时，该分式无意义； (2)当为何整数值时，该分式的值为正整数． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据分母等于零，分式无意义可得，求出m的值即可，熟练掌握分式有无意义的条件是解题的关键； （2）根据题意分别令或，求解即可，利用分母是分子的正约数求解是解题的关键． 【详解】（1）解：该分式无意义， ， 解得， 即当时，该分式无意义． （2）解：该分式的值为正整数，且也为整数， 或， 解得或， 即当或时，该分式的值为正整数． 题型10. 约分 【例1】化简：，括号内应填（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了约分，分子分母同时约去即可得解，正确约分是解此题的关键． 【详解】解：， 故括号内应填， 故选：C． 【例2】约分： ___________． 【答案】 【分析】本题考查分式的约分，根据分式的基本性质进行约分即可． 【详解】解：； 故答案为： 【变式1】小陈同学计算了四个分式，其中有一个结果忘记约分了，是下面的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了约分．观察各分式，找出分子分母含有公因式的即可． 【详解】解：，，都是最简分式，不符合题意； ， 故选：D． 【变式2】化简：______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的约分．根据分式的基本性质进行约分化简即可． 【详解】解：． 故答案为： 【变式3】将化为最简分式________． 【答案】 【分析】本题考查分式的约分，将分子分母约去公因式即可． 【详解】解：将化为最简分式为． 故答案为： 【变式4】如果，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，分式的性质，掌握比例、分式的性质的计算是解题的关键． 根据题意可得，，代入式子，运用分式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 题型11. 最简分式及最简公分母 【例1】下列分式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】最简分式是分子与分母没有公因式的分式，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A，∵，分子分母含有公因式，可以约分，∴A不是最简分式； 选项B，与没有公因式，无法约分，∴B是最简分式； 选项C，∵，分子分母含有公因式，可以约分，∴C不是最简分式； 选项D，∵，分子分母含有公因式，可以约分，∴D不是最简分式． 【例2】从，，中任选两个代数式，组成一个最简分式____________________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了最简分式，利用最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式，进行求解即可，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键． 【详解】解：解：根据最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式， ∴组成一个最简分式可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】分式与的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是最简公分母，熟知通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母是解题的关键．根据最简公分母的定义解答即可． 【详解】解：分式与的最简公分母是． 故选：A． 【变式2】分式的最简公分母是_______． 【答案】 【分析】根据最简公分母的确定方法可得答案．本题考查了分式的最简公分母的概念，详解时注意以下步骤：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式确定；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】解：因为中的系数的最小公倍数是2，a的最高次幂是2，b的最高次幂是2，c的最高次幂是1，所以三分式的最简公分母是． 故答案为：． 【变式3】分式的最简公分母为______． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解答本题的关键．确定最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】解：∵， ∴分式的最简公分母为． 故答案为：． 题型12. 通分 【例1】若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了通分的基本步骤，先确定最简公分母，再根据分式的基本性质，计算即可． 【详解】∵分式与分式的最简公分母是， ∴分式的分母变为，则将两分式通分后，分式的分子应变为． 故选C． 【例2】分式、的最简公分母是______，通分为______． 【答案】 、 【分析】本题考查了最简公分母和通分，先对分式的分母进行因式分解，再根据最简公分母的定义可得出最简公分母，最后根据所得的最简公分母通分即可，掌握最简公分母的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴分式、的最简公分母是， ∴，， 故答案为：；、． 【例3】通分 (1) (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了通分．解答此题的关键是熟知找公分母的方法：系数取各系数的最小公倍数；凡出现的因式都要取；相同因式的次数取最高次幂． （1）最简公分母是，利用分式的性质变形即可； （2）中分式的分母分别为，，确定最简公分母是，然后利用分式的基本性质变形即可． 【详解】（1）解：∵最简公分母为， ∴，； （2）解：∵最简公分母为， ∴， ． 【变式1】已知，，则的值 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的求值，解题的关键是熟练掌握异分母分式相加减就，先通分，变为同分母的分式，再加减． 根据分式的加减法则“异分母分式相加减就，先通分，变为同分母的分式，再加减”得原式等于，再根据进行完全平方即可得，进行计算即可得． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ． 故选C． 【变式2】当时，的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质—通分和约分，由，得，然后整体代入即可求解，掌握分式基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】当时，__________． 【答案】 【解析】略 【变式4】（1）约分：； （2）通分：与． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查约分和通分： （1）原式先将分子、分母因式分解，再约去公因式即可； （2）找出分母的最简公分母求解即可； 【详解】解：（1） ； （2）              巩固练习 1．（25-26八年级下·吉林长春·期中）下列代数式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的定义判断选项即可，需注意是常数，不是表示未知数的字母． 【详解】解：A、是整式，A不符合要求． B、的分母含有字母，符合分式定义，B符合要求． C、的分母是常数，属于整式，C不符合要求． D、中是常数，分母不含字母，属于整式，D不符合要求． 2．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如果把分式中的同时缩小到原来的，那么分式的值（　　） A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的 C．不变 D．扩大到原来的4倍 【答案】B 【分析】根据分式的性质进行判断即可． 【详解】解：把分式中的a，b同时缩小到原来的，可得，即该分式的值缩小到原来的， 故选：B． 3．（25-26八年级下·四川资阳·期中）若分式的值为0，则的值是（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【详解】解：∵的值为0， ∴且， 解得． 4．（25-26八年级下·河南周口·期中）下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．无论x为何值，的值总为正数 D．当分式值为0时， 【答案】C 【分析】本题考查分式的相关概念，包括分式有意义的条件，最简公分母的确定，分式值为零的条件及分式值的正负判断，解题关键是掌握分式相关的基本性质。 【详解】解：A选项，因为分式有意义的条件是分母不为，即，不是，所以A错误； B选项，因为确定最简公分母需取系数最小公倍数与各字母因式最高次幂的乘积，所以分式与的最简公分母是，不是，所以B错误； C选项，因为对任意都有，所以，分子，所以恒成立，所以C正确； D选项，因为分式值为需满足分子为且分母不为，由得，又即，所以，D错误． 5．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·月考）下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简分式的定义，即分子与分母没有公因式的分式，对每个选项进行分析，判断是否存在公因式即可得到答案． 【详解】解：A、对于，∵分子分母有公因式，约分后得，∴不是最简分式； B、对于，∵分子分母有公因式，约分后得，∴不是最简分式； C、对于，∵分母不能分解因式，分子与分母没有公因式，∴是最简分式； D、对于，∵，分子分母有公因式，约分后得，∴不是最简分式． 综上，答案选C． 6．（2026·甘肃平凉·一模）关于分式，下列说法正确的是（    ） A．化为最简分式等于 B．分式无意义的条件是 C．当时，分式的值为零 D．当时，分式无意义 【答案】D 【分析】本题考查分式的化简、分式有意义的条件与分式值为零的条件，先对分母因式分解，再结合相关知识点逐一判断选项即可． 【详解】解： A选项：，最简分式为，A错误； B选项：分式无意义时，分母为，即，解得或，B错误； C选项：当时，，分母为，分式无意义，不存在分式值，C错误； D选项：当时，，分母为，分式没有意义，D正确． 故选：D． 7．（2026·河北邢台·一模）已知为正整数，若使分式的结果为整数，则所有的值的和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先对分式分离常数变形，根据分式值为整数，得到是的因数，结合是正整数的条件找出所有符合要求的，再计算它们的和即可。 【详解】解：∵ ， ∵分式的值为整数，为正整数，分式有意义要求， ∴为整数，即是的因数，若为负因数，则对应为非正整数，不符合要求，舍去， ∴的可取值为， 对应得 所有符合条件的的值的和为 ． 8．（2026·河北石家庄·一模）当x取不超过6的正整数时，分式的整数值是（   ） A．2 B．0 C． D．0或 【答案】C 【分析】先确定x的取值范围，再根据分式有意义的条件排除无意义的取值，化简分式后根据结果为整数的条件分析计算，即可得到最终结果． 熟练掌握分式的值为整数的条件是解决本题的关键，注意讨论分式的值的前提是要使分式有意义． 【详解】解：由题意得，x是不超过6的正整数，因此x的可能取值为， 又， ∵分式有意义时，分母不为0， ∴， 得且，排除， ∵分式结果为整数， ∴为整数， 又x是正整数， 因此x是3的正因数， 或， 又由分式有意义的条件可知， ， 代入化简后的分式得， 因此分式的整数值是． 9．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）定义：我们将能使方程成立的数对称为“的倒立数对”．例如：当，时，成立，则是“的倒立数对”． 若是“的倒立数对”，且，，当分式的值为整数时，符合条件的的整数值有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】由是“的倒立数对”，得到，推出，根据，，得到，，推出，则，再化简所求式子得到，即可求解． 【详解】解： 是“的倒立数对”， 如果，那的值可以是，吗？ ， ，， ，， ，， ， ， 分式的值为整数， 的整数值为，， ， 即的整数值有，，共个， 故选：B． 10．（2026·山东济南·一模）代数式的值为0，则______． 【答案】0 【分析】本题根据分式值为零的条件求解，分式值为零需满足分子为零且分母不为零． 【详解】解：分式的值为， ∴， 解， 得， 由得， 综上可得． 11．（2026·安徽·二模）化简：______． 【答案】 【分析】对分子和分母分别进行因式分解，再约去分子分母的公因式，得到最简分式． 【详解】解： ． 12．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）当正整数________时，分式的值也为整数． 【答案】1 【分析】本题考查分式的值为整数的参数求解，核心方法为分离常数法，将分式拆分为整式和分子为常数的最简分式，解题的关键是利用”除数为被除数的约数”确定参数的可能取值，再结合参数的取值范围筛选出符合题意的解．先对分式进行恒等变形，化为整式与最简分式的和，根据分式的值为整数，得到是2的正约数，结合为正整数的条件求解． 【详解】解：对分式变形： 分式的值为整数，为正整数， 为整数，即是2的正约数． 2的正约数为1,2， 当时，解得, 符合正整数题意： 当时，解得, 不是正整数，舍去． 故答案为：1． 13．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）当x______时，分式有意义． 【答案】 【详解】解：由题意得，， 解得：． 14．（25-26八年级下·广东深圳·期中）若分式的值为0，则______． 【答案】 【分析】根据分式值为时分子为且分母不为，列出等式与不等式求解，舍去使分母为的解即可. 【详解】解：∵分式的值为， ∴且， 解得或， 对因式分解得， 由得且， 综上，符合条件的． 15．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）如图，正方形的边长为，剪去一个边长为1的小正方形，剩余阴影部分与正方形的面积分别为，，则可化简为_____． 【答案】 【分析】根据题意得到，，再利用分式的约分对进行化简即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，， ∴， 即可化简为． 16．（25-26八年级下·全国·课后作业）约分： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了约分，完全平方公式分解因式，平方差公式分解因式，综合提公因式和公式法分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）利用分式的基本性质约分； （2）先将分子、分母分别分解因式，再约分． 【详解】（1）解：． （2）解：． 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）通分： (1)，； (2)，，，． 【答案】(1)， (2)，，， 【分析】本题考查了分式的通分，熟练掌握分式的通分方法是解题关键． （1）先确定两个分式的最简公分母是，再根据分式的性质通分即可得； （2）先确定四个分式的最简公分母是，再根据分式的性质通分即可得． 【详解】（1）解：∵，的最简公分母为， ∴，； （2）解：∵，，，的最简公分母为， ∴，，，． 18．（2025八年级上·北京·专题练习）不改变分式的值，将分式的分子分母化为整数． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质，给分子、分母同时乘以10即可． 本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：． 19．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知分式，回答下列问题． (1)若分式无意义，求的取值范围； (2)若分式的值是零，求的值； (3)当，时，分别求分式的值； (4)若分式的值是正数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)； (4) 【分析】本题考查分式的性质，解题的关键是掌握分式有意义的条件，分式的基本性质，分式值为零、分式值为正，分式所应具备的条件进行解答，即可． （1）根据分式无意义，则分母为； （2）根据分式值为零，分子为零，分母不为零，即可； （3）将的值代入分式计算即可； （4）分式值为正数，则分子分母同号，进而可得两个不等式组，再解即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 解得： （2）解：由题意得且， 解得，， ∴ （3）解：当时，； 当时， （4）解：由题意可得①， 此不等式组无解； ②，解得． ∴分式的值是正数，的取值范围是． 20．（25-26八年级下·全国·课后作业）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”． (1)若分式（为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求的值． (2)若分式的“巧整式”为． ①整式 ； ②判断是否是“巧分式”． 【答案】(1) (2)①；②是“巧分式” 【分析】（1）根据“巧分式”的定义，得到关于的方程，求解即可； （2）①根据给出的“巧分式”的定义求解即可；②将代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：分式（为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ． （2）解：①． 【提示】∵分式的“巧整式”为， ． ② ． 是整式， 是“巧分式”． 【点睛】本题考查的是分式的约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分，正确计算是解题的关键． 21．（25-26八年级上·山东滨州·月考）【阅读材料】 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即，配方法在解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题中都有着广泛应用． 例：求代数式的最小值． 解：， ， ． 当时，的最小值为1． 【类比探究】 （1）按照上述方法，用配方法求代数式最小值； 【灵活运用】 （2）试说明：无论取何实数，分式都有意义． 【答案】（1）5；（2）见解析. 【分析】本题考查了配方法的应用、分式有意义的条件，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． （1）仿照题干所给例子求解即可； （2）仿照题干所给例子求出当时，的最小值为5，再根据分式有意义的条件判断即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， 当时，的最小值是5； （2）证明： ， ， 当时，的最小值为5． 又， 无论取何实数，分式都有意义． 22．（25-26八年级下·福建泉州·期中）定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和的形式）． 如：；再如：． (1)下列各式：；；；，是假分式的有 （填序号）． (2)将假分式化为带分式的形式． (3)已知整数使分式的值为整数，求出满足条件的所有整数的值． (4)一个三位数，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数，十位数字与的百位数字相同，个位数字与的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数． 【答案】(1) (2) (3)或或或或或或或 (4)满足条件的两位数为 【分析】（1）根据“假分式”的定义直接进行求解即可； （2）根据分式的性质进行化简即可； （3）由题意可把原分式化简为，然后根据是整数进行求解即可； （4）设的百位数字为，十位数字为，则的个位数字为，的十位数字为，个位数字为，则有，进而根据，，且，均为整数，进行分类求解即可． 【详解】（1）解：根据“假分式”的定义可知：①③④都为假分式； （2）解：； （3）解：， 是整数，分式的值也是整数， 是整数， 或或或或或或或． （4）解：设的百位数字为，十位数字为，则的个位数字为，的十位数字为，个位数字为， ，， = = ． 由题意可得，，，且，均为整数． 这个三位数的平方能被这个两位数整除， 为整数，即为整数， 当时，，没有满足题意的值， 当时，，没有满足题意的值， 当时，，， 当时， ，没有满足题意的值， 综上，满足条件的两位数为． 1 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十八章 分式 01讲 分式及其基本性质 题型归纳 【题型1. 分式的判断 3】 【题型2. 分式无意义的条件 3】 【题型3. 分式有意义的条件 3】 【题型4. 分式为0的条件 4】 【题型5. 分式值为正（负）数时字母取值范围 5】 【题型6. 分式变形的判断 5】 【题型7. 分式值的变化的判断 5】 【题型8. 将分式的分子分母各项化为正数或整数 6】 【题型9. 分式值为整数时求字母参数 7】 【题型10. 约分 7】 【题型11. 最简分式及最简公分母 7】 【题型12. 通分 8】 【巩固练习 9】 知识清单 知识点1 分式 1.定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫作分式. 2.元素：A叫作分子，B叫作分母. 【提示】 ① 判断一个式子是不是分式不能化简再判断，如是分式，但化简之后的是整式，即进行分式判断只看形式，不能看化简后的结果； ② 分式有意义的条件：分式的分母不等于0； ③ 分式为0的条件：当分子=0，且分母≠0时，即A=0且B≠0时，=0. 知识点2 分式的基本性质 1.分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变. （其中A，B，C（C≠0）是整式） 知识点3 约分 1.定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分. 知识点4 最简分式 1.定义：分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式.如： . 知识点5 通分 1.定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分. 知识点6 最简公分母 1.定义：分式的通分，关键是确定几个分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，叫作最简公分母. 题型专练 题型1. 分式的判断 【例1】下列各式中，属于分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列各式，，，，，属于分式的有（） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式2】下列各式，，，，中．分式的个数为（） A． B． C．2 D．1 【变式3】下列各式中：，，，，0，，，其中分式共有_____个． 题型2. 分式无意义的条件 【例1】若分式无意义，则实数的值是（   ） A． B． C． D． 【例2】请你写一个分式，使它满足，当时，分式无意义_______． 【变式1】若分式的值不存在，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【变式2】当时，下列分式没有意义的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】当________时，分式无意义． 题型3. 分式有意义的条件 【例1】若分式有意义，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【例2】当________时，分式有意义． 【变式1】若分式有意义，则（   ） A． B．且 C． D． 【变式2】要使分式有意义，则x的取值范围是________． 【变式3】若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 题型4. 分式为0的条件 【例1】若分式的值为0，则的值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【例2】已知分式的值为，则的值为___________． 【变式1】若分式的值为零，则的值是（     ） A． B． C． D． 【变式2】若分式的值为0，则的取值是（   ） A． B． C． D． 【变式3】若分式的值为0，则的值为______． 【变式4】已知分式，当时，分式的值为0；当时，分式无意义．试求的值． 【变式5】已知分式． (1)当时，求分式的值； (2)当为何值时，分式有意义？ (3)当为何值时，分式的值为0？ 题型5. 取值范围的求解 【例1】当分式的值为正数时，的取值范围是（   ） A． B． C． D．任意实数 【例2】分式的值为负数，求的取值范围______． 【变式1】若使分式的值为负数，则可以取的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】若分式的值为正，则的取值范围是______． 【变式3】分式的值为负数，求x的取值范围 _________． 题型6. 分式变形的判断 【例1】下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】下列分式中，与相等的是（   ） A． B． C． D． 题型7. 分式值的变化的判断 【例1】把分式中的、都扩大倍，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大倍 C．扩大倍 D．缩小倍 【变式1】如果把分式中的，同时变为原来的4倍，那么该分式的值（    ） A．不变 B．变为原来的4倍 C．变为原来的 D．变为原来的 【变式2】如果使分式有意义的和的值都扩大为原来的2倍，则分式的值也扩大为原来的2倍，那么整式可以是（   ） A． B． C． D． 【变式3】把分式中的都缩小为原来的，则分式的值（   ） A．缩小到原来的 B．扩大到原来的2倍 C．改变为原来的 D．不改变 题型8. 将分式的分子分母各项化为正数或整数 【例1】不改变分式的值，把的分子、分母中含x项的系数化为整数为（   ） A． B． C． D． 【例2】不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，_______ 【变式1】不改变分式的值，把分式的分子与分母中各项的系数都化为整数，结果为_____． 【变式2】不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1）______； （2）______； （3）______． 【变式3】不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含负号： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______． 【变式4】不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1）______； （2）______． 题型9. 分式值为整数时求字母参数 【例1】若分式的值为整数，则整数的值为（   ） A．1 B． C．3 D．1或3 【例2】分式的值是正整数，则整数x＝________． 【变式1】若分式的值是负整数，则m的值可能为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式2】若使分式的值是整数，则所有符合条件的整数m的和为____________． 【变式3】已知分式． (1)当为何值时，该分式无意义； (2)当为何整数值时，该分式的值为正整数． 题型10. 约分 【例1】化简：，括号内应填（    ） A． B． C． D． 【例2】约分： ___________． 【变式1】小陈同学计算了四个分式，其中有一个结果忘记约分了，是下面的（    ） A． B． C． D． 【变式2】化简：______． 【变式3】将化为最简分式________． 【变式4】如果，那么______． 题型11. 最简分式及最简公分母 【例1】下列分式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【例2】从，，中任选两个代数式，组成一个最简分式____________________． 【变式1】分式与的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【变式2】分式的最简公分母是_______． 【变式3】分式的最简公分母为______． 题型12. 通分 【例1】若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为（　　） A． B． C． D． 【例2】分式、的最简公分母是______，通分为______． 【例3】通分 (1) (2) 【变式1】已知，，则的值 （   ） A． B． C． D． 【变式2】当时，的值是_______． 【变式3】当时，__________． 【变式4】（1）约分：； （2）通分：与． 巩固练习 1．（25-26八年级下·吉林长春·期中）下列代数式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如果把分式中的同时缩小到原来的，那么分式的值（　　） A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的 C．不变 D．扩大到原来的4倍 3．（25-26八年级下·四川资阳·期中）若分式的值为0，则的值是（    ） A． B． C． D．不存在 4．（25-26八年级下·河南周口·期中）下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．无论x为何值，的值总为正数 D．当分式值为0时， 5．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·月考）下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·甘肃平凉·一模）关于分式，下列说法正确的是（    ） A．化为最简分式等于 B．分式无意义的条件是 C．当时，分式的值为零 D．当时，分式无意义 7．（2026·河北邢台·一模）已知为正整数，若使分式的结果为整数，则所有的值的和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．（2026·河北石家庄·一模）当x取不超过6的正整数时，分式的整数值是（   ） A．2 B．0 C． D．0或 9．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）定义：我们将能使方程成立的数对称为“的倒立数对”．例如：当，时，成立，则是“的倒立数对”． 若是“的倒立数对”，且，，当分式的值为整数时，符合条件的的整数值有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．（2026·山东济南·一模）代数式的值为0，则______． 11．（2026·安徽·二模）化简：______． 12．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）当正整数________时，分式的值也为整数． 13．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）当x______时，分式有意义． 14．（25-26八年级下·广东深圳·期中）若分式的值为0，则______． 15．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）如图，正方形的边长为，剪去一个边长为1的小正方形，剩余阴影部分与正方形的面积分别为，，则可化简为_____． 16．（25-26八年级下·全国·课后作业）约分： (1)； (2)． 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）通分： (1)，； (2)，，，． 18．（2025八年级上·北京·专题练习）不改变分式的值，将分式的分子分母化为整数． 19．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知分式，回答下列问题． (1)若分式无意义，求的取值范围； (2)若分式的值是零，求的值； (3)当，时，分别求分式的值； (4)若分式的值是正数，求的取值范围． 20．（25-26八年级下·全国·课后作业）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”． (1)若分式（为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求的值． (2)若分式的“巧整式”为． ①整式 ； ②判断是否是“巧分式”． 21．（25-26八年级上·山东滨州·月考）【阅读材料】 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即，配方法在解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题中都有着广泛应用． 例：求代数式的最小值． 解：， ， ． 当时，的最小值为1． 【类比探究】 （1）按照上述方法，用配方法求代数式最小值； 【灵活运用】 （2）试说明：无论取何实数，分式都有意义． 22．（25-26八年级下·福建泉州·期中）定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和的形式）． 如：；再如：． (1)下列各式：；；；，是假分式的有 （填序号）． (2)将假分式化为带分式的形式． (3)已知整数使分式的值为整数，求出满足条件的所有整数的值． (4)一个三位数，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数，十位数字与的百位数字相同，个位数字与的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数． 1 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $