第二十六章二次函数学情自测试卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学二次函数单元复习卷，全面覆盖定义、图像性质、实际应用等核心内容，通过基础巩固与综合应用梯度设计，培养抽象能力、几何直观与模型意识，适配单元学情自测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|二次函数定义（题1）、图像性质（题3）、几何应用（题8）|结合图像辨析系数关系（题5），渗透空间观念| |填空题|6/18|解析式求解（题13）、表格数据分析（题14）、实际建模（题15）|通过喷泉水流问题（题15），强化模型意识| |解答题|8/72|配方法（题17）、平移变换（题18）、利润最值（题24）|以冰箱贴销售为情境（题24），融合方程与二次函数，提升运算能力与应用意识|

第二十六章二次函数学情自测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的识别，解题的关键是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、最高次为1次，不是二次函数，不符合题意； B、中为分式，不是二次函数，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、中为分式，不是二次函数，不符合题意； 故选：C． 2．已知二次函数可化为的形式，则的值是(    ) A． B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的一般式与顶点式的相互转化、待定系数法等知识，将顶点式化成一般式确定对应系数，然后配方即可求解，熟练能将一般式与顶点式相互转化是解题的关键． 【详解】解： ∴，， ∴． 故选：A． 3．关于的二次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象开口向上 B．对称轴为直线 C．当时，随的增大而增大 D．图象与轴交于点 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 通过二次函数的一般形式，分析系数的值，判断开口方向、对称轴、增减性和与轴交点． 【详解】解：， ，抛物线开口向下，故A错误，不符合题意； 对称轴，故B错误，不符合题意； ，开口向下，对称轴， 当时，随的增大而减小，故C错误，不符合题意； 当时，， 图象与轴交点为，故D正确，符合题意． 故选D． 4．在平面直角坐标系中，点，，的图象如下图所示，则的值可以为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数，一元一次不等式组，熟练掌握二次函数的图像性质即可顺利解题． 分别将，两点的横坐标代入，由图像知，时，，当时，，列出不等式组，即可求解． 【详解】解：将代入中时，得 ， 将代入中时，得 ， 根据图像可知，时，，当时，， 则有： ， 解得：， ∴只有满足， 故选D． 5．已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系以及性质，判断即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴； ∵抛物线的对称轴位于轴的右侧， ∴， ∴； ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴； ∴，故A选项错误． 由抛物线与轴的交点坐标可知，对称轴， ∴， ∵， ∴， 即，故B选项错误． 由图象可得，当时，， ∴①， 当时，②， ∴得，， ∴，故C选项正确． 由图象可得，当时，，故D选项错误． 综上所述，结论正确的是C选项． 6．如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则. 顶点的坐标为， 对称轴为直线，即， ，即，故A错误； 设抛物线的解析式为 . 令，得，即抛物线与轴的交点坐标为. 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方， ， 解得，故B正确； 根据图象得：当时，取得最大值为：， 对任意实数，， ∴，故C错误； ∵对称轴为， ∴，， 当时，两点到对称轴的距离相等，，故D错误． 7．已知抛物线过点、和，那么的值是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】点和纵坐标相同，可得抛物线的对称轴，用顶点式设抛物线方程，代入点和求出参数，再展开为一般式计算． 【详解】解：抛物线过点、，两点纵坐标相等， 对称轴为：， 设抛物线的顶点式为：． 将点，代入，得方程组： ， 化简：， 两式相减，得：，， 将代入，得： ，， 将顶点式展开：， ，，， ． 8．如图，是等腰直角三角形，，，点为边上一点，过点作，，垂足分别为，，点从点出发沿运动至点．设，，四边形的面积为，在运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值 B．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值 C．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值 D．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，一次函数和二次函数的定义，二次函数求最值．由等腰直角三角形的性质可得，再由，，推出和是等腰直角三角形，四边形是矩形，进而可得y与x的关系，再根据矩形的面积公式可得S与x的关系式，化为顶点式，即可得到最值． 【详解】解：是等腰直角三角形，， ， ，， 和是等腰直角三角形，四边形是矩形， ，， ， 即， y与x满足一次函数关系， ，最大值为1， S与x满足二次函数关系，且S存在最大值． 故选：A． 9．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点的左侧．若点在轴上，点在抛物线上，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意分三种情况讨论，然后根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， ∴当时， ∴ ∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形，点在轴上，点在抛物线上， ∴当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴ 将代入得， 解得或 ∴； 当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴ 同理可得； 当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴； 由图像可得，直线与抛物线有两个不同的交点， ∴此时有两个符合条件的点P， 综上所述，符合条件的点有3个． 10．如图所示，在中，，，点是边上一动点，沿的路径移动，过点作于点，设，的面积为S，则下列能大致反映S与m函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况分类讨论：当时，利用等腰直角三角形的性质得出与的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分；当时，利用三角形面积公式得出y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， 过点C作与点H， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向上， 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， 故选项B符合题意． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．若是二次函数，则________． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义，需满足自变量的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出方程与不等式求解即可得到的值． 【详解】解：是二次函数， 根据二次函数的定义可得， 解方程得，即． 由不等式得， ． 12．给出下列函数：①；②；③；④．其中是二次函数的有______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键．根据二次函数的一般形式：形如（a，b，c为常数且），逐一判断即可解答． 【详解】解：①不是二次函数； ②是一次函数，不是二次函数； ③不是二次函数； ④是二次函数； 综上，是二次函数的有④， 故答案为：． 13．已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 【答案】 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设此二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过点，，， ∴，解得， ∴此二次函数的解析式为． 14．在二次函数中，y与x的部分对应值如下表： … 0 1 3 4 … y … 2 4 2 … 下列结论： ①抛物线开口向下；②当时，y随x的增大而减小；③抛物线一定经过点；④当时，或；⑤对称轴是直线．其中正确的结论有_________．（只填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，对称轴，抛物线的增减性，熟练掌握待定系数法，准确判断符号与系数的关系，用好二次函数的增减性是解题的关键． 利用待定系数法确定二次函数的解析式，根据解析式求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过，和， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴抛物线开口向下，故①正确； ∴抛物线的对称轴为直线，故⑤错误； ②∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小；故②正确； 当时，，故③正确； ∵和是对称点，且抛物线开口向下， ∴当时，，故④错误． 综上所述，其中正确结论的个数是3． 故答案为：①②③． 15．某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，的长为，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到点的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系式（），则水流喷出的最大高度为_____________． 【答案】/米 【分析】由题意可得，抛物线经过点和，把上述两个点的坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度． 【详解】解：由题意可得，抛物线经过点和， 把上述两个点坐标代入二次函数表达式得： ， 解得：， ∴函数表达式为：， ∵，故函数有最大值， ∴当时，y取得最大值，此时， 答：水流喷出的最大高度为． 16．如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则__________． 【答案】 【分析】先根据矩形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得修改后的花园面积， ∵， ∴当时，修改后的花园面积达到最大． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．用配方法把二次函数化成的形式． 【答案】 【详解】解： ． 18．已知二次函数（b，c为常数）的图象经过，两点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若平移该二次函数的图象，使其经过点，且对称轴为直线，求平移后的二次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质，熟知待定系数法和平移的规律是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式； （2）利用平移的规律求得平移后的二次函数的解析式． 【详解】（1）解：把，代入， 得：， 解得：， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：由题意，设平移后的二次函数的解析式为， 将点代入，得， 解得． ∴将二次函数的图象平移后的二次函数的解析式为． 19．如图，二次函数的图象与轴交于，两点． (1)求，两点的坐标． (2)抛物线上点的坐标为，求的值． (3)若是抛物线上一点，且，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的结合、二次函数上点的坐标特征以及二次函数在给定区间内的最值问题，关键是掌握二次函数的图象性质与方程的结合． （1）求二次函数与轴的交点，只需令，解一元二次方程即可； （2）点在抛物线上，将点的坐标代入函数解析式，得到关于的一元二次方程，解方程即可； （3）先将二次函数化为顶点式，确定其开口方向与顶点坐标，再结合给定的的范围，分析的最值，从而确定取值范围． 【详解】（1）解：令，则， 因式分解得，解得，， 由图象可知点在轴负半轴，点在轴正半轴， 故，； （2）解：∵点在抛物线上， ∴将代入解析式得， 解得或． 故或； （3）解：， ∵抛物线开口向上，顶点坐标为， 又∵， ∴当时，取得最小值； 当时，； 当时，； 比较可得，当时，的最大值为，最小值为， 故的取值范围为． 20．某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽，涵洞顶点到水面的距离为，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？ 【答案】 【分析】设出解析式，待定系数法求出函数解析式即可. 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由题意，抛物线过点， ∴， ∴， ∴， 故抛物线的函数关系式是. 21．如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标； (3)在抛物线上存在点，满足，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）把点和原点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式即可得出答案； （2）把二次函数的解析式化为顶点式，即可得解； （3）根据三角形的面积公式求出点到的距离，然后分点在轴的上方与下方两种情况解答即可． 【详解】（1）解：将点，代入得， ，解得， 二次函数的解析式为； （2）解：∵， 抛物线的顶点坐标为； （3）解：， ， 设点到轴的距离为，则， 解得， 当点在轴上方时，， 解得， 点的坐标为； 当点在轴下方时，， 解得，， 点的坐标为或； 综上所述，点的坐标是或或． 22．如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作与x轴平行的直线，交抛物线相交于点B、C（点B在点C的左面），若，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系；根据解析式求得点，令，设，，进而根据根与系数的关系得出，，根据，即可求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴，， ∴ 设，， 则， ∴， ∴ 23．已知二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数图象的对称轴． (2)若的最大值为10，将该函数的图象向左平移3个单位长度，得到新的二次函数，当时，求的取值范围． (3)若存在直线l与抛物线交于点，点，当时，m有最大值8，求a的值及m的最小值． 【答案】(1)对称轴为直线 (2) (3)，m的最小值为0 【分析】（1）将点的坐标代入解析式，整理解析式即可得出，即可求出抛物线的对称轴； （2）根据对称轴和给出点的坐标即可求出抛物线的解析式为，然后再利用函数图象平移的性质即可求出新的抛物线的解析式，进一步求得当时的取值范围； （3）根据对称轴得出，从而可求出的取值范围，根据在抛物线上，m有最大值8，可得出a的值，确定二次函数的解析式，进而即可得出结果． 【详解】（1）解：将点代入， ∴，     ∴， ∴对称轴为直线； （2）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值10， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平移后的函数解析式为， ∴当时，； （3）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在抛物线上， ∴， ∴， ∵， 解得，， ∴抛物线的解析式为， 当时，m的最小值为0． 24．重庆市某景区是旅游热门景点，景区某商店有A、B两款热销冰箱贴，小鲁和小巴在旅游时购买了这两款冰箱贴，其中小鲁买件A款冰箱贴和件B款冰箱贴共花费元，小巴买件A款冰箱贴和件B款冰箱贴共花费元． (1)求A、B两款冰箱贴每件售价分别是多少元？ (2)景区内游客如潮，该商店推出了B款冰箱贴的优惠活动．若按（1）中求出的单价销售，每天可销售B款冰箱贴件．销售单价每下降元，每天可多售出件．已知B款冰箱贴成本为元，请求出B款冰箱贴每天的销售利润（元）与销售单价下降（元）（）之间的函数关系，当每件售价为多少元时，B款冰箱贴每天的销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)A、B两款冰箱贴每件售价分别是元、元 (2)当B款冰箱贴销售单价定为元时，该景区一天内销售这款冰箱贴获得的利润最大，最大利润是元 【分析】（1）设A、B两款冰箱贴每件售价分别为元，元，根据买件A款冰箱贴和件B款冰箱贴共花费元，买件A款冰箱贴和件B款冰箱贴共花费元，列方程组求解即可； （2）根据销售利润等于销售量乘以售价与进价的差，列出销售利润（元）与销售单价下降（元）之间的函数关系式，再依据二次函数的性质求得最大利润即可． 【详解】（1）解：设A、B两款冰箱贴每件售价分别为元，元， 根据题意得：，解得． 答：A、B两款冰箱贴每件售价分别是元、元． （2）解：销售单价下降元， ∴销售量为件， 根据题意得：， ， ，， 开口向下， 当时，有最大值为， B款冰箱贴销售单价：（元）． 答：当B款冰箱贴销售单价定为元时，该景区一天内销售这款冰箱贴获得的利润最大，最大利润是元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第二十六章二次函数学情自测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1.下列函数中，是二次函数的是() A.y=2x+3 B.y=16 C.y=x2+3x D.y=x2+1 2.已知二次函数y=r+hx+c可化为'=(x-2-3的形式，则b+c的值是() A.-3 B.3 C.-5 D.5 3.关于的二次函数"=-2r+8x-8 下列说法正确的是() A.图象开口向上 B.对称轴为直线x=-2 C.当x之2时，y随x的增大而增大 D.图象与'轴交于点08) 4.在平面直角坐标系0中，点4(2,3)，B(34),y=的图象如下图所示，则“的值 可以为() .B ● 2 -43-2-1234x -2 A.3 B.2 C.1.7 D.0.5 5.已知抛物线'=+hr+c(a≠0)】 的图象如图所示，则下列结论正确的是() 试卷第1页，共3页 A.abc<0 B.2a+b<0 C.2b-c<0 D.a+b+c>0 6。如图，点P是揽物线”=+c+ca≠0)的顶点.下列结论正确的是() 2 A.2a+b=0 C.对任意实数t,at+bt<4a+2b总成立 D.若点 A-m,片)B1+m,2) 在抛物线上，则片<乃 7.已知抛物线'=++c(a≠0)过点42，)、B6,》和C4,2),那么a+b+c的值是 () A.2 B.3 C.4 D.5 8.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=BC=2,点D为边AB上一点，过 点D作DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为E,F,点D从点A出发沿AB运动至点B,设 DE=x DF=y CFDE ,四边形的面积为，在运动过程中，下列说法正确的是() 试卷第2页，共3页 B A.y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值 B.y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值 C.y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值 D.y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值 9.如图，抛物线 =a+2r+c(a>0与》轴交于点C,与轴交于A,B两点，A点在 B点的左侧.若点E在x轴上，点P在抛物线上，且以A,C,E,P为顶点的四边形是 平行四边形，则符合条件的点P有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6,点E是△ABC边上一动点，沿 A→C→B的路径移动，过点E作EF⊥AB于点F,设AF=m,△AEF的面积为S,则下 列能大致反映S与函数关系的图象是() B F ◇ 试卷第3页，共3页 二、填空题（每题3分，共18分） 1.若y=(2-mx是二次函数，则m 12.给出下列函数：①y=2r:@y=-x+:®y=+ :④y=x(1-x). 其中是二次函数的有一· 13.已知二次函数的图象经过点40-3)，B(2-3),C(-1,0),则此=次函数的解折式是 y=ax2+bx+c(a≠0) 14.在二次函数 中，y与x的部分对应值如下表： 0 3 4 2 4 2 -2 … 下列结论： ①抛物线开口向下：②当x>4时，y随x的蜡大而减小，③抛物线一定经过点 当y>2时，x<0或x>3:⑤对称轴是直线x=1.其中正确的结论有 (只填 序号) 15.某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA的长为l.5m,水流 试卷第4页，共3页 在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示， 落点B到点O的距离为3m.建立平面直角坐标系，水流喷出的高度少（单位：m)与水平 距离”（单位：m)之间近似满足函数关系式 =ax2+x+ca≠0 ),则水流喷出的最大 高度为. 16.如图所示，是一个长16m、宽9m的矩形花园，根据需要将它的长缩短m、宽增加 m,要想使修改后的花园面积达到最大，则x= m 三、解答题（每题9分，共72分） 17.用配方法把二次函数y= 式-2x+3化废y=ak-+的形式 18,已知二次函数'=r+r+c (b,c为常数)的图象经过 -1,6).B2,3》两点. (1)求该二次函数的表达式： (2)若平移该二次函数的图象，使其经过点C(3,0),且对称轴为直线x=4,求平移后的二次 函数的表达式 y=x2-2x-3 19.如图，二次函数 的图象与”轴交于A,B两点. 试卷第5页，共3页 (1)求A,B两点的坐标. (2)抛物线上点P的坐标为 a,12 ,求“的值 M(m,m是抛物线上一点，且0≤m≤4，求”的取值范围。 (3)若 20.某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽16m,涵洞项点O到水面的距 离为24m,在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？ 21.如图，二次函数)=-4红+C的图象经过坐标原点，与'辅交于点4(4,0） (1)求二次函数的解析式 (2)求抛物线的顶点坐标： 3)在抛物线上存在点P,满足 S.= 8,请直接写出点P的坐标 2.如图，抛物线"=-3+m y轴交于点A,过点A作与x轴平行的直线，交抛物线 试卷第6页，共3页 y=(x+相交于点及、C(点B在点C的左面)，若BC=4,求m的值. 23.已知二次函数'=r+hr+6(a<0)】 A(4,6) 的图象经过点 (1)求该二次函数图象的对称轴. (2)若y=r2+bxr+6 的最大值为10，将该函数的图象向左平移3个单位长度，得到新的二 次函数片，当2<x<2时，求”的取值范围. (3)若存在直线1与抛物线交于 点M(,川，点，m）,当0≤5≤8 ,当 时，有最大值 8,求a的值及m的最小值. 24.重庆市某景区是旅游热门景点，景区某商店有A、B两款热销冰箱贴，小鲁和小巴在 旅游时购买了这两款冰箱贴，其中小鲁买2件A款冰箱贴和3件B款冰箱贴共花费116元， 小巴买1件A款冰箱贴和4件B款冰箱贴共花费113元. (I)求A、B两款冰箱贴每件售价分别是多少元？ (②)景区内游客如潮，该商店推出了B款冰箱贴的优惠活动.若按(1)中求出的单价销售， 每天可销售B款冰箱贴300件.销售单价每下降1元，每天可多售出50件.已知B款冰箱 贴成本为10元，请求出B款冰箱贴每天的销售利润W(元)与销售单价下降a(元)( a>0)之间的函数关系，当每件售价为多少元时，B款冰箱贴每天的销售利润最大，最大 利润是多少？ 试卷第7页，共3页