专题10二次函数的概念及图象与性质精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数概念及图象性质，从定义（y=ax²+bx+c，a≠0）切入，通过y=ax²→y=ax²+c→y=ax²+bx的递进关系，构建解析式与图象的数形结合，夯实系数作用、平移规律及顶点式应用等底层知识。 以实际情境（如利润、几何面积）构建模型培养模型意识，通过“三步走”判断、配方法转化等训练推理与运算能力，21种分层题型（标注难度星级）覆盖核心考点，课中助力教师系统教学，课后帮助学生查漏补缺强化应用。

专题10二次函数的概念及图象与性质精讲学案 课堂核心立意 结合实际情境构建二次函数模型，牢牢把控二次函数判定核心条件，以基础抛物线y=ax2为切入点，掌握抛物线图像性质与作图，建立解析式与抛物线数形结合思想，为二次函数增减性、最值、数综合题型筑牢底层知识根基。 二次函数的定义 形如 y = ax² + bx + c（a、b、c 为常数，a ≠ 0）的函数，叫做二次函数。等号右边是关于自变量 x 的整式，也就是不能含有分式或根号。化简后只要 x² 项系数不为零，就是二次函数；若化简后 x² 项的系数为零，则不是二次函数。 a ≠ 0 为什么是关键条件 a 是二次项系数，一旦 a = 0，x² 项就消失了，函数退化为 y = bx + c——这是一次函数（b ≠ 0 时）或常数函数。整个二次函数的核心性质——抛物线形状、开口方向、顶点、对称轴——全部建立在 a ≠ 0 这个前提上。判断一个函数是不是二次函数，第一步就是确认 a 是否为零。 三种特殊形式及其递进关系 从最简到一般，依次研究三种形式： y = ax²（b = 0，c = 0）：最简形式，顶点在原点，对称轴是 y 轴，是图象研究的起点。 y = ax² + c（b = 0）：由最简形式上下平移得到，顶点变为 (0, c)，对称轴不变。 y = ax² + bx（c = 0）：由最简形式左右平移得到，图象过原点。 三种形式最终统一为一般形式 y = ax² + bx + c。这条递进路径也对应了图象课的学习顺序：先讲 y = ax²，再讲上下平移，再讲左右平移。 系数 a、b、c 各自的作用 a：决定开口方向和宽窄。a > 0 开口向上，a < 0 开口向下；|a| 越大开口越窄。 b：与 a 共同决定对称轴位置，单独看不出效果，对称轴 x = -。 c：决定图象与 y 轴的交点，交点为 (0, c)，c > 0 交正半轴，c < 0 交负半轴。 判断二次函数的方法 三步走：先把函数关系式化简整理写成一般形式；然后确认是整式（不含分式、根号）；最后检查 a ≠ 0。 常见易错点：表面上看有 x² 项，但化简后 x² 项被消掉了——比如 y = (x+1)² - x²，展开化简后只剩 2x + 1，不是二次函数。 y = ax² 的图象是一条抛物线。 核心结论： 顶点在原点 (0, 0)，抛物线上离对称轴最近的点。 对称轴是 y 轴（直线 x = 0），抛物线是轴对称图形。 开口方向：a > 0 时开口向上，抛物线有最低点；a < 0 时开口向下，抛物线有最高点。 开口宽窄：|a| 越大，开口越窄（图象越陡）；|a| 越小，开口越宽（图象越平）。 对称关系：y = ax² 和 y = -ax² 的图象关于 x 轴对称。 画图方法：列表取点 -> 直角坐标系中描点 -> 用平滑曲线连接。 图象的平移规律 从 y = ax² 出发，通过平移可以得到任意顶点式的图象： 左右平移：将 x 替换为 x - h，图象左右平移 |h| 个单位。h > 0 时向右平移，h < 0 时向左平移。 上下平移：在函数值上加 k，图象上下平移 |k| 个单位。k > 0 时向上平移，k < 0 时向下平移。 两步叠加即得顶点式 y = a(x - h)² + k。此时顶点变到 (h, k)，对称轴变到 x = h。 口诀：「左加右减，上加下减」——"左加"指的是 x 后面加一个数（x + h）导致图象向左移，容易搞反，需要配合具体数值反复练。 顶点式的力量 顶点式 y = a(x - h)² + k 最大优势是直接读出两个关键信息： · 顶点坐标：(h, k) · 对称轴：x = h a 依然管开口方向和宽窄，规律与 y = ax² 一致。 根据顶点式还能直接判断最值：a > 0 时，当 x = h，y 取最小值 k；a < 0 时，当 x = h，y 取最大值 k。 题型 考察方向 难度 题型一 列二次函数关系式. ★★ 题型二 二次函数的识别 ★ 题型三 由二次函数定义求参数 ★★★ 题型四 y=ax2图象与性质 ★★ 题型五 y=ax2+k图象与性质 ★★ 题型六 y=a(x-h)2图象与性质 ★★ 题型七 y=a(x-h)2+k图象与性质 ★★★ 题型八 把y=ax2+bx+c化成顶点式 ★★★ 题型九 画y=ax2+bx+c的图象 ★★ 题型十 y=ax2+bx+c的图象与性质 ★★★ 题型十一 y=ax2+bx+c的最值 ★★★ 题型十二 二次函数图象与各项系数符号 ★★★ 题型十三 根据二次函数的图象判断式子符号 ★★★ 题型十四 一次函数二次函数图象综合判断 ★★★ 题型十五 反比例函数、二次函数图象综合判断 ★★★ 题型十六 两个二次函数图象综合判断 ★★★ 题型十七 抛物线上对称两点求对称轴 ★★ 题型十八 由二次函数的对称性求函数值 ★★★ 题型十九 由二次函数对称性求最短路径 ★★★★ 题型二十 二次函数图象的平移 ★★★ 题型二十一 待定系数法求二次函数解析式 ★★★ 拔高练 9题 星级说明：★基础题 ★★中档常考题 ★★★中考高频题 ★★★★压轴易错题 题型一：列二次函数关系式. 解题思路： ①区分自变量、因变量；②根据题干等量关系列式；③整理式子为标准整式形式； ④实际应用题标注自变量合理取值范围。 1．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，掌握“总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量”是解题的关键．由题意分析出每件商品的盈利为：元，再根据：总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量，再化简，进一步求解的范围即可． 【详解】解：由题意得：每件商品的盈利为：元， 所以： ， ∵且， ∴． 故答案为：， 2．如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是________． 【答案】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握等边三角形的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．先求出，根据直角三角形的性质得，再由勾股定理可得，然后等边的边长为1，得，，据此可得出函数的表达式． 【详解】解：如图，连接， 为等边三角形， ， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， 等边的边长为1，， ， ， ∴， 故答案为：． 3．边长为5的正方形，点F是上一动点，过对角线交点E作，交于点G，设的长为x，的面积为y，则y与x满足的函数关系是（　　） A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．以上都不是 【答案】C 【分析】先利用正方形的性质证明，可得，再利用勾股定理表示，再利用等腰直角三角形的面积公式可得函数关系式，从而可得答案． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴在中， 在中， ∴， ∴， ∴， 即， ∴y与x满足的函数关系是二次函数，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，列二次函数关系式，证明是解本题的关键． 题型二：二次函数的识别 解题思路： 先对原式化简整理，同时满足3个条件才属于二次函数： 1.自变量的最高次数为2； 2.表达式是整式，分母、根号内部不能含有自变量； 3.二次项系数a≠0； 4．下列表达式中，为自变量，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（是常数，）的函数叫做二次函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是二次函数，符合题意； B、中未知数的最高次数不是2，不是二次函数，不符合题意； C、中等式右边不是整式，不是二次函数，不符合题意； D、当时，不是二次函数，不符合题意； 故选：A． 5．下列函数，一定属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，形如（、、为常数，）的整式函数为二次函数是解题的关键． 根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．将展开得，符合二次函数定义，是二次函数； B．当时，是一次函数，故该函数不一定是二次函数； C．是一次函数，不符合二次函数定义 D．中含有分式，不是整式函数，不符合二次函数定义． 故选A． 6．下列各式中，是的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如（其中、、为常数，且）的函数叫二次函数，判断即可． 【详解】解：A．是二次函数，故A选项符合题意； B．，等式右边不是整式，故不是二次函数，故B选项不符合题意； C．自变量的最高次数是1，故不是二次函数，故C选项不符合题意； D．自变量的最高次数是3，故不是二次函数，故D选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 题型三：根据二次函数的定义求参数 解题思路：①列方程：令未知数次数等于2；②列不等式：二次项系数≠0；③方程求解，舍弃使二次项系数为0的解。 7．___________时，是关于的二次函数． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，注意二次项系数不能为0是解题的关键．根据二次函数的定义，可得，并且注意二次项系数不能为0，即，即可解答． 【详解】解：由题意得， 解得， ， 故答案为：． 8．若是关于的二次函数，则的值是（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义．需满足自变量最高次数为2且二次项系数不为0，据此列方程与不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数． ∴根据二次函数定义可得： 由，得， 即或 又∵， ∴ ∴． 故选：C 9．若是关于的二次函数，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握二次函数的两个核心条件是解题关键． 根据二次函数的定义，未知数的最高次数为，且二次项系数不为0，列方程求解． 【详解】解：∵ 是二次函数， ∴ 且， 由得， ∴ ， 由得， ∴ ． 故答案为：． 10．如果函数是二次函数，那么m的值一定是（   ） A．0 B．3 C．0或3 D．1或2 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义、一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数的定义是解题关键．先根据二次函数的定义可得，且，再解一元二次方程即可得． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且， 解得或（舍去）， 故选：A． 题型四：y=ax2的图象和性质 解题思路：①由a正负判断开口方向，|a|越大开口越窄；②锁定顶点(0,0)，对称轴为直线x=0；③以y轴为分界，分段判断函数增减性；④顶点位置直接确定函数最值。 11．根据函数图象填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 【答案】 轴（或直线） 下 下 高 【分析】本题考查形如的二次函数的图象性质．根据二次项系数的符号判断开口方向．结合函数性质即可求解各空． 【详解】（1）抛物线属于型二次函数． 根据二次函数性质，其对称轴是轴，即直线．顶点坐标是． ．则抛物线开口向上．且． 仅当时． 当时．．抛物线上的点都在轴上方． （2）抛物线中． ．根据二次函数性质，抛物线开口向下． ． 仅当，即顶点处时． 除顶点外，抛物线上的点都满足，都在轴的下方．开口向下的抛物线，顶点是抛物线上的最高点． 12．若抛物线上两点和，与原点点围成等腰直角三角形，且斜边轴，．则_________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，求二次函数的解析式．由题意得到两点关于轴对称的解题的关键． 利用等腰直角三角形的性质，且斜边轴，即可得到两点关于轴对称，再由的长度即可求出点的坐标，最后利用待定系数法即可求出的值． 【详解】解：是等腰直角三角形，且斜边轴， 轴垂直平分线段， 两点关于轴对称， ， ， 把代入中，解得． 故答案为：． 13．在平面直角坐标系中，点，，的图象如下图所示，则的值可以为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数，一元一次不等式组，熟练掌握二次函数的图像性质即可顺利解题． 分别将，两点的横坐标代入，由图像知，时，，当时，，列出不等式组，即可求解． 【详解】解：将代入中时，得 ， 将代入中时，得 ， 根据图像可知，时，，当时，， 则有： ， 解得：， ∴只有满足， 故选D． 题型五：y=ax2+k的图象和性质 解题思路：①依据“上加下减”，判断由y=ax2上下平移所得；②顶点(0,k)，对称轴保持y轴不变，a固定则开口不变；③增减变化规律与y=ax2完全相同；④函数最值直接取常数k。 14．已知二次函数的图象开口向上，请写出一个符合要求的实数a，则_________． 【答案】1（答案不唯一） 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∴写出一个符合要求的实数a，则（答案不唯一）． 15．若点、在抛物线上，则______（填“>”或“<”） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数，由于抛物线开口向下，对称轴为轴，点和点的横坐标与对称轴的距离不同，点距离更远，因此其纵坐标较小． 【详解】抛物线 的二次项系数为负，故开口向下，对称轴为 ， 点 的横坐标与对称轴的距离为 ， 点 的横坐标与对称轴的距离为 ， 由于点距离对称轴更远，且抛物线开口向下， 故 ， 故答案为：． 16．若点，，都在二次函数的图象上，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是y轴，根据时，y随x的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：∵的图象开口向下，对称轴是y轴，关于y轴的对称点是， ∴时，y随x的增大而减小， 又∵ ∴， 故选：D． 题型六：y=a（x-h）2的图象和性质 解题思路：①读取顶点(h,0)、对称轴直线x=h；②借助a判断抛物线开口特征；③以直线x=h划分区间，判断增减变化；④在顶点坐标处求取函数最值 17．若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________ 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，用代入法求解是关键．通过直接计算二次函数在各点处的函数值，比较大小关系即可． 【详解】解：对于二次函数， 当时，； 当时，； 当时，； ． 故答案为：． 18．已知二次函数（为常数），当时，函数最大值为0；当自变量满足时，其对应函数的最大值为，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先根据二次函数的性质得到当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，再分若，则当时，y最大，若，则当时，y最大，若，则最大值为0，三种情况根据最大值为进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数（h为常数）当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， 若，则当时，y最大，即，解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即，解得，（舍去）； 若，则最大值为0，与题意不符； 由上可得，h的值是6或1． 故答案为：6或1． 19．点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C．12 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．把点代入求出t的值，即可得到，然后根据m的取值范围得到最值求差解题即可． 【详解】解：， ， 解得：或 (舍去)， ， ， ∴抛物线的对称轴为直线：， ， ， 当时，有最大值，， 当时，有最小值， ， ∴函数的最大值与最小值的差为， 故选：D． 题型七：y=a（x-h）2+k的图象和性质 解题思路：①直接读出顶点(h,k)、对称轴x=h；②通过a判定开口朝向，区分最大、最小值；③以对称轴分割区间，描述两侧增减性；④顶点纵坐标k为函数最值。 20．抛物线的顶点坐标为_______ 【答案】 【详解】抛物线的顶点坐标为． 21．对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据抛物线顶点式的性质，分别判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即可得到正确选项． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴ ∴抛物线开口向上，故A错误 对称轴为直线，故B正确 顶点坐标为，故C错误 ∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 22．已知关于 的二次函数 ，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质．二次函数开口向下时，在对称轴右侧函数值随自变量增大而减小；根据条件时减小，可确定对称轴位置需满足的不等式． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，且抛物线开口向下， 当时，随的增大而减小． 当时，随的增大而减小， ，解得． 故答案为：． 23．如图，菱形中，，抛物线的顶点在菱形的边上或内部，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数点的坐标特征、二次函数与一次函数交点问题等内容，数形结合是解题的关键．由题易得顶点在直线上运动，画出图形，求出和直线的交点横坐标，再根据图形即可得解． 【详解】解：抛物线的顶点为， 抛物线的顶点在直线上运动， 如下图所示， 设直线的解析式是， 把点、的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线解析式为， 令， 解得：， 由图象可知，当时，抛物线的顶点在菱形的边上或内部． 故选： C． 题型八：把y=ax2+bx+c化成顶点式 解题思路：①配方法：提出二次项系数，对含x代数式配方，修正常数项；②公式法：代入h=-、k=，代入顶点式书写。 24．将二次函数化为的形式，结果为_____． 【答案】 【分析】先提取二次项系数，再利用完全平方公式配方即可得到结果. 【详解】解： ， 即. 25．二次函数，用配方法化为的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的关系式， 利用配方法将二次函数一般式化为顶点式，再匹配对应选项即可． 【详解】解：∵， ∴正确选项为A． 故选：A． 26．已知抛物线的顶点P随着m的变化而变化，当P点最高时，抛物线的函数解析式为_________ 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；通过求抛物线的顶点坐标，得到顶点的纵坐标表达式，进而确定当时顶点最高，然后问题可求解． 【详解】解：把抛物线配成顶点式为， ∴顶点坐标为， 由于，故，当时，取得最大值， 此时抛物线的解析式为； 故答案为：． 27．坐标平面上，若移动二次函数的图象，使其与轴交于两点，且此两点的距离为个单位，则移动方式可为（   ） A．向上平移个单位 B．向左平移个单位 C．向下平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的平移，二次函数平移与交点距离的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 通过将二次函数化为顶点式，确定与轴交点距离的表达式，垂直平移改变常数项，从而改变交点距离，水平平移不改变交点距离，设垂直平移量，令平移后交点距离为，求解即可． 【详解】解：将化为顶点式：即， 令，得， ∴， 解得， ∴交点距离为， 设垂直平移个单位，新函数为， 令，得， ∴交点距离为， 令，则， ∴， 解得， 即向下平移5个单位， 水平平移不改变交点距离，故选项B和D无效， 故选：C． 题型九：画y=ax2+bx+c的图象 解题思路：①计算顶点坐标与对称轴；②求解抛物线与x轴、y轴交点；③在对称轴两侧选取对称点；④平滑曲线依次描点连线绘图。 28．已知函数，有下列结论：①图象具有对称性，对称轴是直线；②当时，函数有最大值是4；③点，点在该函数图象上，则当时，；④函数图象与直线有4个交点，其中正确结论的序号是______． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据题意画出对应的函数图象，再利用函数图象进行求解即可． 【详解】解：如图所示，在x轴上方（包含x轴上）的函数图象即为， ∴的图象具有对称性，对称轴为直线，故①正确； 由函数图象可知，没有最大值，故②错误； 由函数图象可知，当，y随x增大而增大， ∴当时，，故③正确； 由函数图象可知，函数图象与直线有4个交点，故④正确； 故答案为：①③④． 29．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点M从点B出发以3cm/s的速度沿着边BC-CD-DA运动，到达点A停止运动，另一动点N同时从点B出发，以1cm/s的速度沿着边BA向点A运动，到达点A停止运动，设点M运动时间为x（s），△AMN的面积为 y（cm2），则y关于x的函数图象是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】分当0≤x≤1时，M点在BC边上，1＜x≤2时，M在CD边上，2＜x≤3时，M点在AD边上，三种情况分别求出对应的表达式，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得BN=x，AN=AB-BN=3-x ①当0≤x≤1时，M点在BC边上，BM=3x， 则△AMN的面积=BM•AN ∴； ②1＜x≤2时，M在CD边上， 则△BPQ的面积=AN•BC ， ∴ 可得y=•x•3=； ③2＜x≤3时，M点在AD边上，AM=9﹣3x， 则△BPQ的面积=AM•AN， ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解． 30．已知二次函数的与x的部分对应值如表：请结合描点画图的方法，判断下列说法中正确的是（　　） x … 0 1 3 … y … 1 3 1 … A．抛物线开口向上 B．抛物线与轴交于负半轴 C．当时， D．若抛物线与x轴正半轴的交点为，则 【答案】D 【分析】根据表格数据描点画图，根据图象，结合二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵当和时，， ∴抛物线的对称轴为直线， 该二次函数的图象如图： 由图知，抛物线的开口向下，故选项A说法错误，不符合题意； ∵当时，， ∴抛物线与y轴的正半轴相交，故选项B说法错误，不符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当和时，，故选项C说法错误，不符合题意； ∵抛物线与x轴负半轴的交点在和0之间， ∴抛物线与x轴正半轴的交点在3和4之间， ∴，故选项D说法正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，借助函数图象，利用数形结合思想求解是解答的关键． 题型十：y=ax2+bx+c的图象与性质 解题思路：①利用a判断抛物线开口方向；②套用公式计算对称轴、顶点坐标；③沿对称轴分段描述函数增减性；④依托顶点确定函数最值。 31．试说出函数（a、k是常数，）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表： 开口方向 对称轴 顶点坐标 【答案】填表如下： 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 直线（轴） 向下 【分析】利用二次函数（a、k是常数，）是由向上或向下平移个单位得到，先由时，抛物线开口向上；时，抛物线开口向下；再由平移的性质，得到对称轴为直线（轴）顶点坐标为． 【详解】略 32．如图，已知的顶点坐标分别为、、，若二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b的取值范围是__________ 【答案】 【分析】由对称轴时，二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与y轴的交点为， 又∵， ∴对称轴时，二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点， ∴． 33．已知抛物线 过点， ，当 时，若存在使，则下列结论一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用开口向上抛物线的函数值性质，先推导对称轴的位置，再利用对称轴左侧的单调性比较与的大小． 【详解】设抛物线对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向上，函数值满足：点离对称轴越远，函数值越大， ∵，抛物线 过点， ， ∴， ∴两边平方得， 整理得：， ∵， ∴， 不等式两边除以，不等号方向改变得：，即， ∵， ∴，要存在满足不等式，必有，即对称轴在轴右侧， ∵抛物线开口向上，对称轴左侧（）随增大而减小， 又∵，、都在对称轴左侧，将代入抛物线得， ∴一定成立． 题型十一：y=ax2+bx+c的最值 解题思路：①a>0存在最小值，a<0存在最大值；②无取值限制，最值取顶点纵坐标；③限定自变量区间，对比顶点、区间端点函数值确定最值。 34．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得出，利用二次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∴顶点坐标为． ∴的最小值为． 35．已知关于的二次函数，当时，函数的取值范围为______． 【答案】 【分析】先判断二次函数的开口方向和对称轴，根据开口向上时，越靠近对称轴函数值越小，离对称轴越远函数值越大，结合的取值范围，即可求解． 【详解】解：二次函数， ，抛物线开口向上，对称轴为， 在范围内， 计算各端点到对称轴的距离：，，， 可得， 当时，取得最小值， 代入得， 不能取，且时， ， 当时，的取值范围为． 36．当时，二次函数的最大值为m，最小值为n，则_______． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，再根据的取值范围，结合二次函数的性质，求出最大值和最小值，最后计算即可． 【详解】解：∵， ∴该二次函数二次项系数为，则开口向上，对称轴为直线， ∵ ，即对称轴在给定区间内， 当时，二次函数取得最小值， 当时，； 当时，； 比较得，二次函数的最大值， 因此． 37．如图，等腰直角的底边的中点为，点在直线上运动，以为直角顶点、为直角边构造等腰直角，连接．若长度为，下列说法正确的是（     ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 【答案】B 【分析】通过构造全等三角形，将的长度转化为关于线段长度的函数，利用二次函数的性质求最值． 【详解】解： 是等腰直角三角形，为中点， ， ， ， ， 过点作交直线于点， ， ， 又在 中，， ， 在 和 中 ， ， ， ， 设，则， 点在直线上，点在直线上，， ， 在 中，， ， 当时，取得最小值 4， 的最小值为2． 题型十二：二次函数图象与各项系数符号 解题思路：①开口方向直接判断a正负；②结合对称轴公式与a符号推导b正负；③抛物线与y轴交点判断c正负；④抛物线与x轴交点数量判断b2-4ac符号。 38．二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据函数图象可得各系数的关系：，，则点所在的象限即可判定． 【详解】解：观察图象得：开口向下，与y轴交于正半轴， ∴，， ∴点位于第二象限． 39．如图所示，在直角坐标系中，根据抛物线的位置判断a，b，c的正负，则a___0，b___0，c___0．（选用“”“”及“”号填写） 【答案】 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置求解． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴． 40．二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】①根据图象的开口方向即可判断，②根据图象与轴交点坐标即可判断；③根据图象与轴的交点的个数即可判断；④根据对称点，判断对称轴，再根据对称轴公式求出的关系即可判断． 【详解】关于①，由图可知二次函数开口向下，即，故①符合题意； 关于②，由图可知二次函数与轴交于正半轴，即，故②符合题意； 关于③，由图可知二次函数与轴有两个交点，即，故③符合题意； 关于④，由图可知二次函数与轴有两个交点分别为，，则对称轴为直线，因为，所以，即，故④符合题意； 综上，共有4个符合题意． 题型十三：根据二次函数的图象判断式子符号 解题思路：①给自变量赋值，结合图像上下位置判断代数式正负；②借助对称轴完成自变量等量代换；③结合交点、顶点特征判断组合代数式符号。 41．已知二次函数的图像如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解决本题的关键是根据抛物线的开口方向、与坐标轴的交点的位置确定二次函数解析式中各项系数的取值范围．根据抛物线的开口方向、对称轴的位置可以判断错误；根据对称轴为直线，通过变形可得正确；根据抛物线与轴的交点可得，可得错误；根据时，，可得错误． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 对称轴在轴的右侧， ， ， 抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ， ， 故错误； ∵对称轴为直线， ∴，变形得：，故正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故错误； ∵当时，， ∴，故错误； 故正确的有：，只有1个． 故选：B． 42．如图，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点在，两点之间，下列结论：①；②；③；④方程必有两个不相等的实数根．其中正确的结论有_____．（填正确的序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由图象可得，抛物线开口向下，与轴交于正半轴，且对称轴为，从而可得，，，求出，即可判断①③；由图象可得，当时，，由抛物线的对称性可得，当时，，即可判断②；方程，即，则，结合，的值无法确定大小，从而无法保证，即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，抛物线开口向下，与轴交于正半轴，且对称轴为， ∴，，， ∴， ∴，故①正确； 由图象可得，当时，， ∴由抛物线的对称性可得，当时，， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； 方程，即，则， ∵，的值无法确定大小， ∴无法保证，故④错误； 综上所述，正确的有①②③； 故答案为：①②③． 43．如图是二次函数的图象，对于下列说法：①；②；③；④当时，y随x的增大而减小．其中正确的说法个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据抛物线开口向上，交y轴于负半轴，对称轴在y轴的右侧，可知，，，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵由图象可知，抛物线开口向上，交y轴于负半轴，对称轴在y轴的右侧， ∴，，， ∴，，，即， 故①、③说法正确，②说法错误； ∵，且时，y随着x的增大而增大， ∴④说法错误； 综上，正确的说法个数有2个． 题型十四：一次函数、二次函数图象综合判断 解题思路：①从二次函数图像判断a、b、c符号；②依据系数符号判断一次函数经过象限；③结合增减趋势、交点位置排除错误图像。 44．函数和（m是常数，且）在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查图象的性质，熟知一次函数和二次函数的图象性质是解答的关键； 根据的图象判断，m 的正负，再判断的图象的开口方向即可； 【详解】解： 选项A：由函数的图象可知，则函数的图象应该开口向下，与图像不一致，不符合题意； 选项B：由函数的图象可知，则函数的图象应该开口向下，与图像一致，；符合题意； 选项C： 由函数的图象可知，则函数的图象应该开口向下，与图像不一致，不符合题意； 选项D：由函数的图象可知，则函数的图象应该开口向上，与图像不一致，不符合题意； 故选B． 45．已知函数的图象如图所示，那么函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数综合判断，正确根据二次函数推出，是解题的关键．先根据二次函数图象求出，，再根据一次函数图象与其系数的关系判断出一次函数经过的象限即可得到答案． 【详解】解：由二次函数图象可知，二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴四个选项中只有A选项符合题意， 故选：A． 46．在平面直角坐标系中，已知点，，若抛物线与线段有两个不同的交点，则a的取值范围是（     ） A．或 B．或 C．且 D．或 【答案】A 【分析】首先求出直线的表达式为，然后和抛物线联立得到，然后根据判别式求出，然后分和两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】解：设直线的表达式为， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 将直线和二次函数联立得，，即， 整理得，， ∵直线与抛物线有两个交点， ∴， 解得， 当时，抛物线开口向下 ∵抛物线与线段有两个不同的交点， ∴当时，；当时，， ∴， 解得： ∴； 当时，抛物线开口向上， ∵抛物线与线段有两个不同的交点， ∴当时，；当时，， ∴， 解得． 综上a的取值范围为：或． 题型十五：反比例函数、二次函数图象综合判断 解题思路：①由二次函数确定a的正负；②依靠a正负确定反比例函数所在象限；③选取特殊点坐标验证，剔除矛盾图像 47．函数与的图象如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；位于在一、三象限内，且均随着的增大而减小，据此即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，当时，随着的增大而减小； 位于一、三象限内，且在每一象限内均随着的增大而减小， 当时，，均随着的增大而减小， 故选：D． 48．如图，函数与（其中），同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质可确定反比例函数a的范围，再利用二次函数的性质确定二次函数中字母a的范围，看a的范围是否统一． 【详解】解：A、反比例函数图象在第一、三象限，则，二次函数的图象开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； B、二次函数的图象开口向下，则，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； C、反比例函数图象在第二、四象限，，二次函数的图象开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； D、反比例函数图象在第二、四象限，，二次函数的图象开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后一致，故此选项符合题意． 49．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是由二次函数的图象判断各项系数的符号，一次函数与反比例函数的图象，熟记一次函数与反比例函数的图象的性质是解本题的关键． 由二次函数的图象可得：，，，可得一次函数的图象经过一、二、三象限，的图象在二，四象限，从而可得答案． 【详解】解：由二次函数的图象可得：，， ∵， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、三象限， 的图象在二，四象限， ∴A，C，D不符合题意，B符合题意； 故选：B． 题型十六：两个二次函数图象综合判断 解题思路：①对比两个函数a，判断开口方向、宽窄是否匹配；②对比顶点坐标、对称轴位置；③对比坐标轴交点，排除冲突选项。 50．函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的识别是解答本题的关键．根据函数图象的开口方向、与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可． 【详解】解：由图象知，函数和函数的开口都向上，所以函数的开口一定向上，故C选项不符合题意； 由图象知，函数的对称轴在y轴的右侧，函数的对称轴也在y轴的右侧， 所以，函数的图象的对称轴也在y轴的右侧，故选项D不符合题意； 函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，且前者的绝对值小于后者的绝对值，所以，函数的图象与y轴的负半轴相交，故选项A不符合题意，选项B符合题意． 故选：B． 51．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由二次函数的图象可得，该二次函数的开口向下，对称轴在轴的右侧，从而可得，对称轴为直线，进一步得出，，推出二次函数的开口向上，对称轴在轴的左侧，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由二次函数的图象可得，该二次函数的开口向下，对称轴在轴的右侧， ∴，对称轴为直线， ∴，， ∴二次函数的开口向上，对称轴为直线， 即二次函数的开口向上，对称轴在轴的左侧， 故的图象可能是 ， 故选：D． 52．二次函数，的图象在同一平面直角坐标系下如图所示，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，结合题意，可知两个二次函数图象的开口向下，那么，当时，，从而得到，最后解得答案． 【详解】解：由题意可知，两个二次函数图象的开口向下，那么， 解得，； 根据图象，可知当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上，； 故答案为：． 题型十七：已知抛物线上对称的两点求对称轴 解题思路：①提取两个对称点横坐标x1、x2；②套用公式x=计算对称轴。 53．已知抛物线经过和两点，将该抛物线向右平移2个单位，那么平移后的抛物线的对称轴为_____． 【答案】直线 【分析】先根据抛物线上纵坐标相等的两点坐标求出原抛物线的对称轴，再根据抛物线平移规律得到平移后抛物线的对称轴． 【详解】∵抛物线经过和两点，两点纵坐标相等， ∴两点关于抛物线的对称轴对称， ∴原抛物线的对称轴为：直线， ∵将抛物线向右平移个单位时，对称轴同步向右平移个单位， ∴平移后抛物线的对称轴为直线 ． 54．类比学习是一种很重要的学习方法，小明在课堂上类比一次函数学习的过程，画二次函数和二次函数的图象时，列出如下表格，已知二次函数的图象平移后可以得到二次函数的图象，则平移方式为（    ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 1 3 1 ．．． ．．． 3 5 3 ．．． A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 C．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，解题的关键是掌握以上知识点． 通过表格数据确定和的顶点坐标，从而得出平移方式为向左平移1个单位，再向上平移2个单位． 【详解】解：∵的图象数据中，当和时，， ∴对称轴为直线，顶点坐标为； 的图象数据中，当和时，， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， ∴顶点坐标平移到顶点坐标，横向从1到0向左平移1单位，纵向从3到5向上平移2单位． ∴平移方式为先向左平移1个单位，再向上平移2个单位． 故选：A． 55．已知二次函数（为常数），若其图像上有两点，，则的值是________． 【答案】2 【分析】由、两点纵坐标相等，因此两点关于二次函数的对称轴对称，先求出二次函数的对称轴，再利用对称轴等于两点横坐标的中点，进而求得的值． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵二次函数的图像上有两点，，两点纵坐标相等， ∴点和点关于对称轴对称， ∴， 解得． 56．已知二次函数的图象上有两个点，其中，则下列说法正确的是（    ） A．若时，则 B．若时，则 C．若时，则 D．若时，则 【答案】A 【分析】先求出二次函数的对称轴，再通过作差得到的表达式，结合的正负和与的大小关系，判断和的大小即可． 【详解】解：当时，， 解得，， ∴二次函数经过点和， ∴对称轴为直线， ∵， ∴， ． ， ， ， ∵， ， 选项A：若，则， ，即，A正确． 选项B：若，则， ，即，B错误． 选项C：若，则， ，即，C错误． 选项D：若，则， ，即，D错误． 题型十八：根据二次函数的对称性求函数值 解题思路：①利用两点横坐标算出对称轴；②计算已知点关于对称轴的对称点横坐标；③利用对称点函数值相等，直接替换求值。 57．抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的对称性，解题关键是明确二次函数的对称性，根据关于对称轴对称点的坐标特征解答． 根据对称性可直接求出坐标． 【详解】解：设抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∵抛物线对称轴是直线， ∴抛物线与轴的两个交点关于直线对称， ∴， 解得：， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， 故选：D． 58．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与：的一个交点为，过点作轴的平行线，分别交这两条抛物线于点、（点在点左侧，点在点右侧）．已知点的横坐标为1，则的长为______． 【答案】 【分析】由两抛物线的解析式确定出两抛物线的对称轴，利用对称性确定出点B与C的横坐标，进而求出的长． 【详解】解：抛物线与的对称轴分别为直线与直线， ∵点A的横坐标为1， ∴点C的横坐标为5，点B的横坐标为， ∴． 59．抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x y 由表可知，抛物线与轴的一个交点是，则与轴另一个交点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查抛物线的对称性，解题关键是找到对称轴并应用对称性求点． 根据表中数据，抛物线上的点具有对称性，对称轴为直线 ，利用对称性求另一个交点． 【详解】解：∵点与关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线． 设另一个交点的横坐标为m， ∵抛物线与x轴的一个交点为，且两个交点关于对称轴对称， ∴则， 解得， ∴另一个交点为． 故选：C． 题型十九：利用二次函数对称性求最短路径 解题思路：①作定点关于抛物线对称轴的对称点；②连接对称点与另一个定点，线段长为最短路径；③计算连线与对称轴的交点坐标。 60．如图，在正方形中，，点E、F分别在边、上，且，将线段绕点F顺时针旋转90°至线段，连接，则线段的最小值为______． 【答案】 【分析】过点作交于点，连接，过作于，根据四边形是正方形，将线段绕点顺时针旋转至线段，可得，，又，即可证明，得，四边形是平行四边形，故，设，可得，由二次函数性质可得答案． 【详解】解：过点作交于点，连接，过作于，如图： 四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， 将线段绕点顺时针旋转至线段， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 设，则，， ， ， 当时，最小为， 最小为， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形中的旋转变换，涉及三角形全等的判定与性质，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 61．如图，抛物线与轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，当最小时，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了利用二次函数对称性求最短路径，由题意得点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点则点为所求点；则，即的最小值为的长度；据此即可求解； 【详解】解：如图，点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点则点为所求点， 则，即的最小值为的长度； 令，则，即； 令，则，解得，即； ∴， 故答案为： 62．已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（   ） A．5 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】如图所示过点P作PE⊥x轴于点E，由抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，得到PE=PF，则△PMF的周长=FM+PM+PF，则要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小，故当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME，由此求解即可． 【详解】解：如图所示过点P作PE⊥x轴于点E， ∵抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等， ∴PE=PF， ∴△PMF的周长=FM+PM+PF， ∴要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小， ∴当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME， ∵M坐标为（3，6）， ∴ME=6， ∴PF+PM=6 ∵F（0，2）， ∴ ∴△PMF周长的最小值=ME+FM=6+5=11， 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最短路径问题，两点距离公式，解题的关键在于能够准确读懂题意得到PE=PF． 题型二十：二次函数图象的平移 解题思路：①将解析式统一化为顶点式；②顶点遵循“左加右减，上加下减”完成平移；③a保持不变，根据新顶点写出解析式。 63．抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式是______． 【答案】 【分析】根据抛物线平移规律：左加右减，上加下减，计算即可得到平移后抛物线的解析式． 【详解】解：根据平移规律可得，平移的抛物线的解析式为． 64．将抛物线向左平移1个单位，得到的抛物线是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵二次函数图象的平移规律为：左右平移时对进行变化，符合“左加右减”规则，即向左平移个单位时，将原解析式中的替换为． 原抛物线解析式为，向左平移个单位， ∴将原解析式中的替换为， 得到新抛物线解析式为． 65．联结抛物线上任意两点的线段叫做抛物线的弦．如果抛物线的一条弦与抛物线的对称轴垂直，垂足为点，抛物线的顶点为，当时，的长称为这条抛物线的特征值．我们知道，平移不改变抛物线的特征值，那么抛物线的特征值是_______． 【答案】 【分析】由于平移不改变抛物线的特征值，抛物线的特征值是即为抛物线的特征值，据此画出图象结合新定义求解即可． 【详解】解：∵平移不改变抛物线的特征值， ∴抛物线的特征值即为抛物线的特征值，如图： 此时抛物线的对称轴为轴， ∵，轴 ∴，即 设，则， ∴， 将点代入，则， 解得或（舍去） ∴． 66．将二次函数的图象，向右平移10单位，平移过程中此图象与轴的交点也会跟着变化．假设此图象与轴的交点为，判断在平移过程中，点位置的变化情形是（    ） A．持续向下 B．持续向上 C．先向下再向上 D．先向上再向下 【答案】D 【分析】设向右平移距离为t，则新抛物线方程为，当时，，判断当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，即可求解． 【详解】解：设向右平移距离为t，则新抛物线方程为， 当时，， ∵是t的二次函数，且二次项系数为负， ∴ 开口向下，顶点在处， ∴ 当时，随增大而增大，当时，随增大而减小， ∴ P点先向上再向下移动． 题型二十一：待定系数法求二次函数解析式 解题思路：①已知顶点，选用顶点式y=a(x-h)2+k求解；②已知三点，选用一般式y=ax2+bx+c列方程组；③已知x轴两个交点，选用交点式y=a(x-x1)(x-x2)；④代入点坐标求出系数a，整理解析式。 67．已知抛物线的顶点坐标为且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是______． 【答案】 【分析】设二次函数的表达式为，再把代入表达式，即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为 设二次函数的表达式为， 抛物线经过坐标原点， 将代入表达式得， 解得 ， ∴抛物线解析式为． 68．定格动画是动画制作的一种方式，小涵利用定格动画制作了一个小鸟飞行的动画．如图，这是其中的一些关键画面，小鸟的飞行轨迹为抛物线，部分x与y的对应值如下表，则b和c的值分别为（   ） x 1 2 3 4 5 y 4 5 4 1 A．4，1 B．，1 C．4， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，加减消元法解二元一次方程组，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 取表中两对值，代入抛物线表达式中，转化为关于b和c的二元一次方程组，求出b和c的值． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故选：A． 69．若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”．现将抛物线向右平移m（）个单位长度后得到新的抛物线，若为“平衡点”，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据平移方式“左加右减”可得出抛物线的解析式，再根据点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，即将点代入两个解析式求值即可． 【详解】解：依题意得抛物线为：， ∵为“平衡点”， ∴既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上， ， 解得或， ， ． 70．如图，在的网格中建立平面直角坐标系，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过网格中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设以为顶点的抛物线（）与直线（）的两个交点为，，且．若是该抛物线的内接格点三角形，且点，，的横坐标，，满足，则在该的网格中，符合上述条件的抛物线的条数有（） A．8条 B．10条 C．12条 D．14条 【答案】B 【分析】先根据直线和定长，列举出网格内全部6组符合条件的格点线段，依据题干顶点横坐标介于横坐标之间的要求，确定每组对应的顶点整数横坐标仅有两种取值，设抛物线顶点式，代入每组坐标列方程组求解，通过顶点位于连线上方或下方，区分开口向下、向上两种抛物线，结合网格范围舍去超出边界的无效顶点，最后统计所有有效格点顶点，每个有效顶点对应唯一条抛物线，即可得出符合题意的抛物线总数． 【详解】直线上，满足的线段共6组，依次为：与与与与与与．设抛物线顶点为格点，解析式为，由题意得，逐组求解： ①.取， 由为整数，得，代入解析式： ， 时，解得顶点，超出网格范围，舍去； 时，解得顶点，在上方，开口向下； 两点均为格点，本组共1条有效抛物线； ②.取， 由为整数，得，代入解析式： ， 时，解得，顶点，在下方，开口向上； 时，解得，顶点，在上方，开口向下； 两点均为格点，本组共2条有效抛物线； ③.取， 由为整数，得，代入解析式： ， 时，解得，顶点，在下方，开口向上； 时，解得，顶点，在上方，开口向下； 两点均为格点，本组共2条有效抛物线； ④.取， 由为整数，得，代入解析式： ， 时，解得，顶点，在下方，开口向上； 时，解得，顶点，在上方，开口向下． 两点均为格点，本组共2条有效抛物线． ⑤.取， 由为整数，得，代入解析式： ， 时，解得，顶点，在下方，开口向上； 时，解得，顶点，在上方，开口向下； 两点均为格点，本组共2条有效抛物线； ⑥.取， 由为整数，得，代入解析式： ， 时，解得，顶点，在下方，开口向上； 时，解得，顶点，超出网格，舍去． 本组仅1条有效抛物线． 综上：有效抛物线总数为条． 解答题 1．如图，矩形的长是，宽是，如果将其长与宽各增加，那么面积增加． (1)写出与的函数关系式； (2)上述函数是什么函数？ (3)自变量的取值范围是什么？ 【答案】(1) (2)二次函数 (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟悉掌握矩形的面积公式列出函数是解题的关键． （1）根据矩形面积公式解答即可； （2）由函数式子判断即可； （3）结合题意解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 即：； （2）解：∵， ∴是的二次函数； （3）解：由题意得：自变量的取值范围是． 2．已知函数是关于的二次函数. (1)求满足条件的值； (2)当为何值时，此抛物线有最低点？这时，当取何值时，随的增大而减小； (3)当为何值时，此抛物线有最高点？最高点的坐标是多少？这时，当取何值时，随的增大而增大. 【答案】(1)或 (2)当时，抛物线有最低点，当时，随的增大而减小 (3)当时，抛物线有最高点，最高点坐标为，当时，随的增大而增大 【详解】（1）解：∵函数是关于的二次函数， ∴， 解得：或， ∴满足条件的值为． （2）解：当时，函数为，开口向上，此时抛物线有最低点，当时，随的增大而减小． （3）解：当时，函数为，开口向下，此时抛物线有最高点，最高点坐标为，当时，随的增大而增大． 3．在平面直角坐标系中，将点变换为点，称该变换为点到点的线性变换，记作：变换，．例如：按照线性变换进行变换，则得，即经变换后得到点． (1)若点经过线性变换后得到点，求点坐标； (2)二次函数图象上一点，经过线性变换后，所得的点恰好是该二次函数的顶点，求的值； (3)已知在二次函数图象上，点先经线性变换得到点；再将点经线性变换得到点．若、两点均在抛物线上，且满足，．试探究：是否存在这样的、、？若存在，求出所有值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在满足题意的、、．理由如下： ∵在二次函数图象上， ∴， 由题意得：，， ∵、两点均在抛物线上， ， ①－②，得， 整理得：， ∵， ∴ 将代入，得， ∵， ． 又， ． 又，，， ，即． 又， ∴不存在满足题意的、、． 【分析】（1）依据题意，根据线性变换的意义，由，，则可得的坐标，从而得解； （2）依据题意，设这点的坐标为，又二次函数为，从而顶点为，又点经过线性变换后，所得的点恰好是该二次函数的顶点，从而 ，进而计算可以得解； （3）由题意得：，，，则，结合，，得出，最后可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴点P坐标为． （2）解：设这点的坐标为， ∵二次函数为， ∴顶点为． ∵点经过线性变换后，所得的点恰好是该二次函数的顶点， ∴， ∴． （3）略 4．如图，点在抛物线上，且在抛物线的对称轴右侧． (1)写出抛物线的对称轴，并求a的值． (2)平移此抛物线，使平移后的抛物线对应的函数表达式为，求顶点移动的最短路程． 【答案】(1)对称轴为直线； (2)5 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，能根据函数表达式得出抛物线的对称轴和最值以及熟知平移的相关性质是解题的关键． （1）根据所给的函数表达式可得出抛物线的对称轴，再将代入解方程即可求出a的值． （2）根据顶点坐标的变化，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线． 把代入，得， 解得或． ∵点在抛物线的对称轴右侧， ∴． （2）解：∵抛物线是由抛物线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位(或先向下平移4个单位，再向左平移3个单位)得到的， ∴根据勾股定理，得顶点移动的最短路程为． 5．已知二次函数，它与x轴的交点坐标为，，与y轴的交点坐标为． (1)求出，，的值，并写出此二次函数的解析式； (2)求顶点坐标，画出函数图象，并求当时函数的最大值和最小值． 【答案】(1)， (2)顶点坐标为 当时，函数最大值为，最小值为 【分析】（1）利用待定系数法求出，，的值，即可得到二次函数的解析式； （2）把二次函数的解析式整理成顶点坐标式即可得到抛物线的顶点坐标，根据解析式画出抛物线，由函数图象可知当时，函数的最大值即为抛物线顶点的纵坐标，当时，有最小值，最小值为． 【详解】（1）解：将，，代入， 可得：， 解得：， ； （2）解：， 抛物线顶点坐标为，抛物线开口向下， 当时，函数最大值为， 当时，有最小值，最小值为， 图略． 6．在平面直角坐标系中，已知二次函数． (1)当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，用等式表示与关系，并说明理由； (2)当，时，将二次函数的图象记为，一次函数的图象记为，过点作轴的垂线分别交，于点，．当时，点与点的距离存在最大值，求的取值范围． 【答案】(1)，理由 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，且， 二次函数图象的对称轴为， ， ； (2) 【分析】（1）由当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，且，可知抛物线的对称轴为，根据对称轴公式可得与关系； （2）根据的取值范围与二次函数图象的性质分情况讨论． 【详解】（1）略 （2）解：当，时，二次函数为 设点，，则，， 解方程， 可得：，， 当时，可得：， 当时，可得：， 与的交点坐标为和， 设点与点的距离为， （ⅰ）如下图所示， 当时，， ， 当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， ； （ⅱ）如下图所示， 当时，， 当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减小， 当时，的最大值为； （ⅲ）如下图所示， 当时，， 此时随的增大而增大， ， 令，则， ， ， 令， 解得： 依题意，得， 解得：， 当时，存在最大值， 结合函数的图象，得． 7．已知抛物线过，，，四点． (1)若． （ⅰ）求该抛物线的对称轴； （ⅱ）比较，的大小． (2)若，，判断是否成立，并说明理由． 【答案】(1) （ⅰ）；（ⅱ） (2) 成立，理由见解析 【分析】（1）（ⅰ）因为抛物线的函数值相等的两个点关于对称轴对称，所以取B、C两点横坐标的平均值即可得到对称轴；（ⅱ）因为抛物线开口向下，所以点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小，计算A、C两点到对称轴的距离，比较距离大小后即可判断函数值大小； （2）首先如果，那么代入可得到和的关系，进而求出抛物线的对称轴；再根据和，可确定的符号；之后计算的表达式，结合的条件和对称轴的位置，判断的符号，即可验证结论是否成立． 【详解】（1）（ⅰ）∵，且抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称，点、， ∴对称轴为：； （ⅱ）到对称轴的距离：，到对称轴的距离：， ∵，开口向下， ∴点离对称轴越远纵坐标越小， ∵， ∴； （2）解：成立，理由如下： ∵，将代入抛物线得：， 整理得， ∴对称轴为：， ∵，开口向下， ∴当时，随增大而减小， 又∵ ， ∴， ∵， ∴异号， 结合得：， ∴． 8．已知抛物线． (1)抛物线的对称轴是________； (2)将该抛物线沿y轴正方向平移3个单位长度，得到新的二次函数图象．亮亮说：“当时，无论a取何非零常数值，新二次函数均不会在处取得最值．”判断亮亮的说法是否正确，说明理由； (3)已知，为抛物线上的两点，且，，，直接写出与的大小关系． 【答案】(1) (2) 亮亮的说法正确，理由见解析 (3) 【分析】（1）用二次函数对称轴公式即可求解； （2）先得到平移后的解析式，结合对称轴位置在给定区间内，判断最值的位置，即可验证亮亮的说法； （3）利用二次函数对称性，结合两点横坐标的关系判断两点关于对称轴对称，即可得到纵坐标的大小关系． 【详解】（1） 解：抛物线的对称轴为直线， 所以对称轴为直线； （2）解：亮亮的说法正确，理由如下： 将原抛物线沿轴正方向平移个单位长度，得到新抛物线的解析式为， ∵平移不改变抛物线的对称轴， ∴新抛物线对称轴仍为， ，对称轴在范围内， 当时，抛物线开口向上，最小值在对称轴处，最大值在离对称轴更远的端点处， 当时，抛物线开口向下，最大值在对称轴处，最小值在离对称轴更远的端点处， 因此无论取何非零值，新二次函数的最值都不会在处取得，因此亮亮的说法正确； （3）解：∵，，， 可得两点横坐标的中点为，正好是抛物线的对称轴， 因此和关于抛物线的对称轴对称， 因此两点纵坐标相等，即． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线对称轴上的一点，求的周长的最小值． 【答案】(1) (2)最小值为 【分析】（1）利用抛物线经过的两个点的坐标，代入抛物线解析式，通过解方程组求出系数，从而得到函数表达式； （2）根据题意得出对称轴为，确定，再由对称性求周长即可． 【详解】（1）解：已知抛物线过，代入得： ， 解得， 故； （2）解：抛物线的对称轴为， A与B关于对称轴对称， ∴， ∴周长最小值 由（1）得， ∴， ∴的最小值为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10二次函数的概念及图象与性质精讲学案 课堂核心立意 结合实际情境构建二次函数模型，牢牢把控二次函数判定核心条件，以基础抛物线y=ax2为切入点，掌握抛物线图像性质与作图，建立解析式与抛物线数形结合思想，为二次函数增减性、最值、数综合题型筑牢底层知识根基。 二次函数的定义 形如 y = ax² + bx + c（a、b、c 为常数，a ≠ 0）的函数，叫做二次函数。等号右边是关于自变量 x 的整式，也就是不能含有分式或根号。化简后只要 x² 项系数不为零，就是二次函数；若化简后 x² 项的系数为零，则不是二次函数。 a ≠ 0 为什么是关键条件 a 是二次项系数，一旦 a = 0，x² 项就消失了，函数退化为 y = bx + c——这是一次函数（b ≠ 0 时）或常数函数。整个二次函数的核心性质——抛物线形状、开口方向、顶点、对称轴——全部建立在 a ≠ 0 这个前提上。判断一个函数是不是二次函数，第一步就是确认 a 是否为零。 三种特殊形式及其递进关系 从最简到一般，依次研究三种形式： y = ax²（b = 0，c = 0）：最简形式，顶点在原点，对称轴是 y 轴，是图象研究的起点。 y = ax² + c（b = 0）：由最简形式上下平移得到，顶点变为 (0, c)，对称轴不变。 y = ax² + bx（c = 0）：由最简形式左右平移得到，图象过原点。 三种形式最终统一为一般形式 y = ax² + bx + c。这条递进路径也对应了图象课的学习顺序：先讲 y = ax²，再讲上下平移，再讲左右平移。 系数 a、b、c 各自的作用 a：决定开口方向和宽窄。a > 0 开口向上，a < 0 开口向下；|a| 越大开口越窄。 b：与 a 共同决定对称轴位置，单独看不出效果，对称轴 x = -。 c：决定图象与 y 轴的交点，交点为 (0, c)，c > 0 交正半轴，c < 0 交负半轴。 判断二次函数的方法 三步走：先把函数关系式化简整理写成一般形式；然后确认是整式（不含分式、根号）；最后检查 a ≠ 0。 常见易错点：表面上看有 x² 项，但化简后 x² 项被消掉了——比如 y = (x+1)² - x²，展开化简后只剩 2x + 1，不是二次函数。 y = ax² 的图象是一条抛物线。 核心结论： 顶点在原点 (0, 0)，抛物线上离对称轴最近的点。 对称轴是 y 轴（直线 x = 0），抛物线是轴对称图形。 开口方向：a > 0 时开口向上，抛物线有最低点；a < 0 时开口向下，抛物线有最高点。 开口宽窄：|a| 越大，开口越窄（图象越陡）；|a| 越小，开口越宽（图象越平）。 对称关系：y = ax² 和 y = -ax² 的图象关于 x 轴对称。 画图方法：列表取点 -> 直角坐标系中描点 -> 用平滑曲线连接。 图象的平移规律 从 y = ax² 出发，通过平移可以得到任意顶点式的图象： 左右平移：将 x 替换为 x - h，图象左右平移 |h| 个单位。h > 0 时向右平移，h < 0 时向左平移。 上下平移：在函数值上加 k，图象上下平移 |k| 个单位。k > 0 时向上平移，k < 0 时向下平移。 两步叠加即得顶点式 y = a(x - h)² + k。此时顶点变到 (h, k)，对称轴变到 x = h。 口诀：「左加右减，上加下减」——"左加"指的是 x 后面加一个数（x + h）导致图象向左移，容易搞反，需要配合具体数值反复练。 顶点式的力量 顶点式 y = a(x - h)² + k 最大优势是直接读出两个关键信息： · 顶点坐标：(h, k) · 对称轴：x = h a 依然管开口方向和宽窄，规律与 y = ax² 一致。 根据顶点式还能直接判断最值：a > 0 时，当 x = h，y 取最小值 k；a < 0 时，当 x = h，y 取最大值 k。 题型 考察方向 难度 题型一 列二次函数关系式. ★★ 题型二 二次函数的识别 ★ 题型三 由二次函数定义求参数 ★★★ 题型四 y=ax2图象与性质 ★★ 题型五 y=ax2+k图象与性质 ★★ 题型六 y=a(x-h)2图象与性质 ★★ 题型七 y=a(x-h)2+k图象与性质 ★★★ 题型八 把y=ax2+bx+c化成顶点式 ★★★ 题型九 画y=ax2+bx+c的图象 ★★ 题型十 y=ax2+bx+c的图象与性质 ★★★ 题型十一 y=ax2+bx+c的最值 ★★★ 题型十二 二次函数图象与各项系数符号 ★★★ 题型十三 根据二次函数的图象判断式子符号 ★★★ 题型十四 一次函数二次函数图象综合判断 ★★★ 题型十五 反比例函数、二次函数图象综合判断 ★★★ 题型十六 两个二次函数图象综合判断 ★★★ 题型十七 抛物线上对称两点求对称轴 ★★ 题型十八 由二次函数的对称性求函数值 ★★★ 题型十九 由二次函数对称性求最短路径 ★★★★ 题型二十 二次函数图象的平移 ★★★ 题型二十一 待定系数法求二次函数解析式 ★★★ 拔高练 9题 星级说明：★基础题 ★★中档常考题 ★★★中考高频题 ★★★★压轴易错题 题型一：列二次函数关系式. 解题思路： ①区分自变量、因变量；②根据题干等量关系列式；③整理式子为标准整式形式； ④实际应用题标注自变量合理取值范围。 1．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． 2．如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是________． 3．边长为5的正方形，点F是上一动点，过对角线交点E作，交于点G，设的长为x，的面积为y，则y与x满足的函数关系是（　　） A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．以上都不是 题型二：二次函数的识别 解题思路： 先对原式化简整理，同时满足3个条件才属于二次函数： 1.自变量的最高次数为2； 2.表达式是整式，分母、根号内部不能含有自变量； 3.二次项系数a≠0； 4．下列表达式中，为自变量，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 5．下列函数，一定属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 6．下列各式中，是的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 题型三：根据二次函数的定义求参数 解题思路：①列方程：令未知数次数等于2；②列不等式：二次项系数≠0；③方程求解，舍弃使二次项系数为0的解。 7．___________时，是关于的二次函数． 8．若是关于的二次函数，则的值是（ ） A． B． C． D．或 9．若是关于的二次函数，则的值为______． 10．如果函数是二次函数，那么m的值一定是（   ） A．0 B．3 C．0或3 D．1或2 题型四：y=ax2的图象和性质 解题思路：①由a正负判断开口方向，|a|越大开口越窄；②锁定顶点(0,0)，对称轴为直线x=0；③以y轴为分界，分段判断函数增减性；④顶点位置直接确定函数最值。 11．根据函数图象填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 12．若抛物线上两点和，与原点点围成等腰直角三角形，且斜边轴，．则_________． 13．在平面直角坐标系中，点，，的图象如下图所示，则的值可以为（    ） A．3 B．2 C． D． 题型五：y=ax2+k的图象和性质 解题思路：①依据“上加下减”，判断由y=ax2上下平移所得；②顶点(0,k)，对称轴保持y轴不变，a固定则开口不变；③增减变化规律与y=ax2完全相同；④函数最值直接取常数k。 14．已知二次函数的图象开口向上，请写出一个符合要求的实数a，则_________． 15．若点、在抛物线上，则______（填“>”或“<”） 16．若点，，都在二次函数的图象上，则有（    ） A． B． C． D． 题型六：y=a（x-h）2的图象和性质 解题思路：①读取顶点(h,0)、对称轴直线x=h；②借助a判断抛物线开口特征；③以直线x=h划分区间，判断增减变化；④在顶点坐标处求取函数最值 17．若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________ 18．已知二次函数（为常数），当时，函数最大值为0；当自变量满足时，其对应函数的最大值为，则的值为______． 19．点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C．12 D． 题型七：y=a（x-h）2+k的图象和性质 解题思路：①直接读出顶点(h,k)、对称轴x=h；②通过a判定开口朝向，区分最大、最小值；③以对称轴分割区间，描述两侧增减性；④顶点纵坐标k为函数最值。 20．抛物线的顶点坐标为_______ 21．对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 22．已知关于 的二次函数 ，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是__________． 23．如图，菱形中，，抛物线的顶点在菱形的边上或内部，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型八：把y=ax2+bx+c化成顶点式 解题思路：①配方法：提出二次项系数，对含x代数式配方，修正常数项；②公式法：代入h=-、k=，代入顶点式书写。 24．将二次函数化为的形式，结果为_____． 25．二次函数，用配方法化为的形式是（   ） A． B． C． D． 26．已知抛物线的顶点P随着m的变化而变化，当P点最高时，抛物线的函数解析式为_________ 27．坐标平面上，若移动二次函数的图象，使其与轴交于两点，且此两点的距离为个单位，则移动方式可为（   ） A．向上平移个单位 B．向左平移个单位 C．向下平移个单位 D．向右平移个单位 题型九：画y=ax2+bx+c的图象 解题思路：①计算顶点坐标与对称轴；②求解抛物线与x轴、y轴交点；③在对称轴两侧选取对称点；④平滑曲线依次描点连线绘图。 28．已知函数，有下列结论：①图象具有对称性，对称轴是直线；②当时，函数有最大值是4；③点，点在该函数图象上，则当时，；④函数图象与直线有4个交点，其中正确结论的序号是______． 29．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点M从点B出发以3cm/s的速度沿着边BC-CD-DA运动，到达点A停止运动，另一动点N同时从点B出发，以1cm/s的速度沿着边BA向点A运动，到达点A停止运动，设点M运动时间为x（s），△AMN的面积为 y（cm2），则y关于x的函数图象是（    ） A．B． C． D． 30．已知二次函数的与x的部分对应值如表：请结合描点画图的方法，判断下列说法中正确的是（　　） x … 0 1 3 … y … 1 3 1 … A．抛物线开口向上 B．抛物线与轴交于负半轴 C．当时， D．若抛物线与x轴正半轴的交点为，则 题型十：y=ax2+bx+c的图象与性质 解题思路：①利用a判断抛物线开口方向；②套用公式计算对称轴、顶点坐标；③沿对称轴分段描述函数增减性；④依托顶点确定函数最值。 31．试说出函数（a、k是常数，）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表： 开口方向 对称轴 顶点坐标 32．如图，已知的顶点坐标分别为、、，若二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b的取值范围是__________ 33．已知抛物线 过点， ，当 时，若存在使，则下列结论一定成立的是（     ） A． B． C． D． 题型十一：y=ax2+bx+c的最值 解题思路：①a>0存在最小值，a<0存在最大值；②无取值限制，最值取顶点纵坐标；③限定自变量区间，对比顶点、区间端点函数值确定最值。 34．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 35．已知关于的二次函数，当时，函数的取值范围为______． 36．当时，二次函数的最大值为m，最小值为n，则_______． 37．如图，等腰直角的底边的中点为，点在直线上运动，以为直角顶点、为直角边构造等腰直角，连接．若长度为，下列说法正确的是（     ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 题型十二：二次函数图象与各项系数符号 解题思路：①开口方向直接判断a正负；②结合对称轴公式与a符号推导b正负；③抛物线与y轴交点判断c正负；④抛物线与x轴交点数量判断b2-4ac符号。 38．二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 39．如图所示，在直角坐标系中，根据抛物线的位置判断a，b，c的正负，则a___0，b___0，c___0．（选用“”“”及“”号填写） 40．二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 题型十三：根据二次函数的图象判断式子符号 解题思路：①给自变量赋值，结合图像上下位置判断代数式正负；②借助对称轴完成自变量等量代换；③结合交点、顶点特征判断组合代数式符号。 41．已知二次函数的图像如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 42．如图，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点在，两点之间，下列结论：①；②；③；④方程必有两个不相等的实数根．其中正确的结论有_____．（填正确的序号） 43．如图是二次函数的图象，对于下列说法：①；②；③；④当时，y随x的增大而减小．其中正确的说法个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十四：一次函数、二次函数图象综合判断 解题思路：①从二次函数图像判断a、b、c符号；②依据系数符号判断一次函数经过象限；③结合增减趋势、交点位置排除错误图像。 44．函数和（m是常数，且）在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 45．已知函数的图象如图所示，那么函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 46．在平面直角坐标系中，已知点，，若抛物线与线段有两个不同的交点，则a的取值范围是（     ） A．或 B．或 C．且 D．或 题型十五：反比例函数、二次函数图象综合判断 解题思路：①由二次函数确定a的正负；②依靠a正负确定反比例函数所在象限；③选取特殊点坐标验证，剔除矛盾图像 47．函数与的图象如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 48．如图，函数与（其中），同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 49．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型十六：两个二次函数图象综合判断 解题思路：①对比两个函数a，判断开口方向、宽窄是否匹配；②对比顶点坐标、对称轴位置；③对比坐标轴交点，排除冲突选项。 50．函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 51．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A．B． C． D． 52．二次函数，的图象在同一平面直角坐标系下如图所示，则m的取值范围是________． 题型十七：已知抛物线上对称的两点求对称轴 解题思路：①提取两个对称点横坐标x1、x2；②套用公式x=计算对称轴。 53．已知抛物线经过和两点，将该抛物线向右平移2个单位，那么平移后的抛物线的对称轴为_____． 54．类比学习是一种很重要的学习方法，小明在课堂上类比一次函数学习的过程，画二次函数和二次函数的图象时，列出如下表格，已知二次函数的图象平移后可以得到二次函数的图象，则平移方式为（    ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 1 3 1 ．．． ．．． 3 5 3 ．．． A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 C．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 55．已知二次函数（为常数），若其图像上有两点，，则的值是________． 56．已知二次函数的图象上有两个点，其中，则下列说法正确的是（    ） A．若时，则 B．若时，则 C．若时，则 D．若时，则 题型十八：根据二次函数的对称性求函数值 解题思路：①利用两点横坐标算出对称轴；②计算已知点关于对称轴的对称点横坐标；③利用对称点函数值相等，直接替换求值。 57．抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 58．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与：的一个交点为，过点作轴的平行线，分别交这两条抛物线于点、（点在点左侧，点在点右侧）．已知点的横坐标为1，则的长为______． 59．抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x y 由表可知，抛物线与轴的一个交点是，则与轴另一个交点的坐标是（     ） A． B． C． D． 题型十九：利用二次函数对称性求最短路径 解题思路：①作定点关于抛物线对称轴的对称点；②连接对称点与另一个定点，线段长为最短路径；③计算连线与对称轴的交点坐标。 60．如图，在正方形中，，点E、F分别在边、上，且，将线段绕点F顺时针旋转90°至线段，连接，则线段的最小值为______． 61．如图，抛物线与轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，当最小时，则___________． 62．已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（   ） A．5 B．9 C．11 D．13 题型二十：二次函数图象的平移 解题思路：①将解析式统一化为顶点式；②顶点遵循“左加右减，上加下减”完成平移；③a保持不变，根据新顶点写出解析式。 63．抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式是______． 64．将抛物线向左平移1个单位，得到的抛物线是（     ） A． B． C． D． 65．联结抛物线上任意两点的线段叫做抛物线的弦．如果抛物线的一条弦与抛物线的对称轴垂直，垂足为点，抛物线的顶点为，当时，的长称为这条抛物线的特征值．我们知道，平移不改变抛物线的特征值，那么抛物线的特征值是_______． 66．将二次函数的图象，向右平移10单位，平移过程中此图象与轴的交点也会跟着变化．假设此图象与轴的交点为，判断在平移过程中，点位置的变化情形是（    ） A．持续向下 B．持续向上 C．先向下再向上 D．先向上再向下 题型二十一：待定系数法求二次函数解析式 解题思路：①已知顶点，选用顶点式y=a(x-h)2+k求解；②已知三点，选用一般式y=ax2+bx+c列方程组；③已知x轴两个交点，选用交点式y=a(x-x1)(x-x2)；④代入点坐标求出系数a，整理解析式。 67．已知抛物线的顶点坐标为且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是______． 68．定格动画是动画制作的一种方式，小涵利用定格动画制作了一个小鸟飞行的动画．如图，这是其中的一些关键画面，小鸟的飞行轨迹为抛物线，部分x与y的对应值如下表，则b和c的值分别为（   ） x 1 2 3 4 5 y 4 5 4 1 A．4，1 B．，1 C．4， D．， 69．若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”．现将抛物线向右平移m（）个单位长度后得到新的抛物线，若为“平衡点”，则m的值为______． 70．如图，在的网格中建立平面直角坐标系，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过网格中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设以为顶点的抛物线（）与直线（）的两个交点为，，且．若是该抛物线的内接格点三角形，且点，，的横坐标，，满足，则在该的网格中，符合上述条件的抛物线的条数有（） A．8条 B．10条 C．12条 D．14条 解答题 1．如图，矩形的长是，宽是，如果将其长与宽各增加，那么面积增加． (1)写出与的函数关系式； (2)上述函数是什么函数？ (3)自变量的取值范围是什么？ 2．已知函数是关于的二次函数. (1)求满足条件的值； (2)当为何值时，此抛物线有最低点？这时，当取何值时，随的增大而减小； (3)当为何值时，此抛物线有最高点？最高点的坐标是多少？这时，当取何值时，随的增大而增大. 3．在平面直角坐标系中，将点变换为点，称该变换为点到点的线性变换，记作：变换，．例如：按照线性变换进行变换，则得，即经变换后得到点． (1)若点经过线性变换后得到点，求点坐标； (2)二次函数图象上一点，经过线性变换后，所得的点恰好是该二次函数的顶点，求的值； (3)已知在二次函数图象上，点先经线性变换得到点；再将点经线性变换得到点．若、两点均在抛物线上，且满足，．试探究：是否存在这样的、、？若存在，求出所有值；若不存在，请说明理由． 4．如图，点在抛物线上，且在抛物线的对称轴右侧． (1)写出抛物线的对称轴，并求a的值． (2)平移此抛物线，使平移后的抛物线对应的函数表达式为，求顶点移动的最短路程． 5．已知二次函数，它与x轴的交点坐标为，，与y轴的交点坐标为． (1)求出，，的值，并写出此二次函数的解析式； (2)求顶点坐标，画出函数图象，并求当时函数的最大值和最小值． 6．在平面直角坐标系中，已知二次函数． (1)当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，用等式表示与关系，并说明理由； (2)当，时，将二次函数的图象记为，一次函数的图象记为，过点作轴的垂线分别交，于点，．当时，点与点的距离存在最大值，求的取值范围． 7．已知抛物线过，，，四点． (1)若． （ⅰ）求该抛物线的对称轴； （ⅱ）比较，的大小． (2)若，，判断是否成立，并说明理由． 8．已知抛物线． (1)抛物线的对称轴是________； (2)将该抛物线沿y轴正方向平移3个单位长度，得到新的二次函数图象．亮亮说：“当时，无论a取何非零常数值，新二次函数均不会在处取得最值．”判断亮亮的说法是否正确，说明理由； (3)已知，为抛物线上的两点，且，，，直接写出与的大小关系． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线对称轴上的一点，求的周长的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $