第四章数列 单元试卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 高中数学人教A版选择性必修二第四章数列单元卷，通过19道题（单选8、多选3、填空3、解答5）覆盖等差等比数列、前n项和等核心知识，梯度设计合理，注重数学思维与应用能力，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|等差数列通项与前n项和、Sn与an关系|基础巩固，如第5题考查Sn求an，体现抽象能力| |多选题|3|等差数列性质、前n项和最值|能力提升，如第10题结合公差讨论Sn，培养推理意识| |填空题|3|等比数列性质、方程根与数列|简洁应用，如第13题用方程根求等比数列项，体现数学语言| |解答题|5|等差等比证明、实际应用、求和|综合创新，如第19题证等比数列及求和，发展模型观念与创新意识|

高中数学人教A版选择性必修二第四章数列 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A A D B B B AB ACD 题号 11 答案 AD 1．B 【分析】根据等差中项的性质先求出，再结合条件求出，得到等差数列的公差，代入通项公式即可求得. 【详解】设等差数列的公差为，根据等差中项的性质，得， 又，所以，代入，得， 所以，因此等差数列的通项为， 所以. 2．D 【分析】将题目条件转化成和，即可得解. 【详解】由，得 ∴， 又公差 ， 所以. 3．A 【详解】设等差数列的公差为，则， 得，即. 4．A 【分析】利用等差数列前n项和公式、等差数列项的性质化简已知等式，进而求解k的值. 【详解】设数列公差为，由题设可得. 即，结合,可得 5．D 【详解】当时，，即，解得； 当时，，即，所以，解得. 6．B 【详解】. 7．B 【分析】分别假设等比数列为，公比为，等差数列为，公差为，根据题意列出，，，，求解. 【详解】设等比数列为，公比为，等差数列为，公差为， 由题意可得，，，， 从而　①， 　②， ③， 由①②③可解得，，所以. 8．B 【分析】先根据，结合题干条件，判断出等差数列的公差，再根据等差数列通项公式，将求的最小值转化为求的最小值，再通过赋值的方式求出的最小值即可求出答案. 【详解】设数列的公差为，设数列的公差为. 因为等差数列和的前16项均为正整数，且公差均不为0， 所以首项和公差为整数，即， 若数列是递增数列，则，这样，又题中所述，此时，与题意不符，故数列是递减数列，即，而， 所以， 若要求的最小值，只需求的最小值， 若要求的最小值，只需求最小值减去最大值，而最大值为， 下面分析最小值： 当时，，此时的最小值必定大于等于； 又，，所以，， 当时，，此时的最小值必定大于等于， 接下来验证时是否满足题意， 因为，在的最小值为16的情况下，， 解得，若或，满足题干所有条件， 若最小值为时，则，不可能，因公差必须是整数！ 若最小值为8时，则，由题设条件可推得，而已知，故，所以不可能为，故最小值不能为8. 综上的最小值为. 9．AB 【分析】由递推关系可判断是等比数列，公比为2，结合，求出首项，进而得到的通项公式.可直接计算验证A选项；写出的表达式，推导的结果验证B选项，先判断是首项为、公比为的等比数列，用等比数列前项和公式求其前项和，验证C选项，先由求出的通项，再对裂项，用裂项相消法求和，验证D选项. 【详解】由已知有意义，故， 又， 所以数列是公比的等比数列， 因为， 所以， 所以， 因此数列的通项公式为， 对于选项A，，A正确； 对于选项B，，， 因此，B正确； 对于选项C，数列是首项，公比为的等比数列， 数列的前项和，与选项给出的不符，C错误； 对于选项D，， 则， 所以，D错误. 10．ACD 【分析】根据等差数列的通项公式、求和公式和性质判断A的真假；寻找反例，说明B错误；根据求公差的取值范围；令，研究数列前项和的特点，可判断D的真假. 【详解】对A，因为，，所以， 所以，故A正确； 对B，若， 此时，故B错误； 对C，由，可得.故C正确； 对D，若，则，此时，所以若，则存在，使得成立.故D正确. 11．AD 【分析】利用等差数列前项和的性质依次分析选项即可. 【详解】因为数列为等差数列， 则，即， 且，即，可得， 所以公差，故A正确； 可知等差数列为递增数列，当时，；当时，； 所以当时，取最小值，故B错误； 由以上分析可知，故C错误，D正确． 12．18 【分析】将4代入通项公式，即得. 【详解】因为，所以. 13． 【分析】根据韦达定理及等比数列的性质求解即可. 【详解】由是方程的两个根，得，. 由等比数列的性质可得，， 又为正项数列，所以. 故. 14．7 【分析】利用等差数列前项和，求解公差为，从而解出. 【详解】设等差数列的公差为， 因为等差数列前项和，且， ， 所以，所以，所以， 所以. 15．(1) (2)60 【分析】（1）将条件转化为关于和的等式组，联立后结合等差数列通项公式即可求解； （2）将问题化为关于和的式子，并结合（1）中求得的值即可求解. 【详解】（1）设为的公差，由题意得，解得， 故. （2）由题意得 . 16．(1) (2) 【分析】（1）利用的关系得到，则是等比数列，求出其通项公式，进而得到数列的通项公式； （2）根据（1）中的结果分组求和即可. 【详解】（1）已知，当时，有， 两式相减得， 整理得，又当时， 得，所以是以为首项，为公比的等比数列， 其通项公式为，则的通项公式为. （2）由（1）可得 . 17．(1) (2)8 【分析】（1）根据题意列出关于的方程，求解出，然后写出的通项公式. （2）先写出，然后求解关于的不等式，解出即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，． ，，解得或（舍）． 所以的通项公式为． （2）由题意可得， 令，解得或（舍）， 故使成立的的最小值为8． 18． 【详解】令，则，得，， 由得，， 当时，也满足. 所以数列的通项公式为，则. 19．(1) (2)证明见解析， 【详解】（1）因为为等差数列，且， 设的首项为，公差为，则，解得， 所以. （2）因为， 所以， 因此为等比数列， 所以的前项和. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版选择性必修二第四章数列 一、单选题 1．在等差数列中，，则（    ） A．17 B．19 C．20 D．21 2．已知等差数列的前项和为，若， ，则 （ ） A． B． C．1 D． 3．已知等差数列满足，则（    ） A．82 B．41 C．83 D．84 4．为公差不为0的等差数列的前项和，若，则等于（    ） A．16 B．17 C．15 D．14 5．设数列的前n项和为，若，则（    ） A．5 B．8 C．7 D．6 6．数列的前n项和，则等于（    ） A．171 B．21 C．10 D．161 7．某学校组织名学生进行大型舞蹈节目排练，这些学生总共站成四排，四排的人数恰好依次成等比数列.排练中又来了7名同学参加，这7名同学有1名站在第一排，3名站在第二排，3名站在第三排，此时四排学生人数恰好依次成等差数列，则m=（   ） A．56 B．65 C．72 D．84 8．已知等差数列和的前16项均为正整数，且公差均不为0．若，则的最小值为（    ） A．32 B．16 C．12 D．8 二、多选题 9．设为数列的前项和，已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 10．已知等差数列的首项，公差为（且），前项和为，则（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则存在，使得 11．已知是等差数列的前项和，为公差，且，则下列说法正确的是（     ） A． B．当时，取最小值 C． D． 三、填空题 12．已知数列的通项公式为，则_________. 13．在正项等比数列中，是方程的两个根，则的值为___________ 14．等差数列的前n项和为，，且，则______． 四、解答题 15．已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式 (2)求 16．已知数列的前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 17．设等差数列的公差不为0，，且． (1)求的通项公式： (2)设数列的前项和为，求使成立的的最小值． 18． 已知数列的前项和为，且，，求的值. 19．已知数列为等差数列，，数列满足. (1)求； (2)求证数列为等比数列，并求该数列前项的和. 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $