3.1.1　第1课时　椭圆及其标准方程课件2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦椭圆的定义、标准方程及求法，以神舟十九号椭圆轨道实例导入，通过细绳画椭圆的动手操作引导学生抽象椭圆定义，推导标准方程过程为后续圆锥曲线学习搭建知识支架。 其亮点在于情境化与探究式结合，用航天实例培养数学眼光，严谨推导与例题变式训练发展数学思维，定义法与待定系数法对比强化数学语言表达。学生能深化理解，教师可高效实施分层教学。

椭圆及其标准方程 第三章　3.1.1　第1课时 学习目标 1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程.(重点) 2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.(重点) 3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.(难点) 椭圆是一种很美的数学曲线，在科研、生产和人类 生活中具有广泛的应用.例如，神舟十九号载人飞 船在进入太空后，先以椭圆轨道运行，后经过变轨 调整为圆形轨道.那么，椭圆上的点满足什么条件，如何精确地画出一个椭圆呢？今天我们来研究一番. 导语 3 内容索引 01 02 05 03 椭圆的标准方程 椭圆标准方程的求法 随堂演练 椭圆的定义 04 课时对点练 01 椭圆的定义 问题 1 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2(如图)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出 的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移 动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？ 提示　椭圆，笔尖(动点)到两个定点的距离的和等于常数. 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 的点的轨迹叫做椭圆，这　　　　　叫做椭圆的焦点，　　　　　　　　叫做椭圆的焦距，焦距的　　　称为半焦距. 知识梳理 常数(大于|F1F2|) 两个定点 两焦点间的距离 一半 (1)椭圆上的点到两焦点距离的和为定值. (2)定值必须大于两定点间的距离. (3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段. (4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在. 注意点 9 　设F1，F2为定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=10，则动点M的轨迹是 A.椭圆 B.圆 C.线段 D.不存在 √ 例1 解析： 因为|MF1|+|MF2|=10>|F1F2|=6， 由椭圆的定义知，动点M的轨迹为椭圆. 10 把例1中“|MF1|+|MF2|=10”改为“|MF1|+|MF2|=6”，则动点M的轨迹是 A.椭圆 B.圆 C.线段 D.不存在 延伸探究1 √ 解析： 因为|MF1|+|MF2|=6=|F1F2|， 所以动点M的轨迹是线段. 11 把例1中“|MF1|+|MF2|=10”改为“|MF1|+|MF2|=4”，则动点M的轨迹是 A.椭圆 B.圆 C.线段 D.不存在 延伸探究2 √ 解析： 因为|MF1|+|MF2|=4<|F1F2|， 所以动点M的轨迹不存在. 12 椭圆定义的理解 (1)椭圆定义中包含一动点和两定点. (2)椭圆定义要求动点到两定点间的距离之和大于两定点间的距离. 反思感悟 13 02 椭圆的标准方程 问题 2 观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？ 提示　观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示，设M(x，y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，那么焦点F1，F2的坐标分别为(-c，0)，(c，0). 根据椭圆的定义，设点M与焦点F1，F2的距离的和等于2a. 由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P={M||MF1|+|MF2|=2a}. 因为|MF1|=，|MF2|=， 所以+=2a. ① 为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边，得=2a-. ② 对方程②两边平方，得 (x+c)2+y2=4a2-4a+(x-c)2+y2， 整理，得a2-cx=a， ③ 对方程③两边平方，得 a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2， 整理，得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)， ④ 将方程④两边同除以a2(a2-c2)，得 +=1， ⑤ 由椭圆的定义可知，2a>2c>0，即a>c>0， 所以a2-c2>0. 令b=， 那么方程⑤就是+=1(a>b>0). ⑥ 我们将方程⑥称为焦点在x轴上的椭圆方程. 问题 3 如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，-c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？ 提示　+=1(a>b>0). 知识梳理   焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ________________ ________________ 图形     焦点坐标 ___________________ ___________________ a，b，c的关系 _________ +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) F1(-c，0)，F2(c，0) F1(0，-c)，F2(0，c) b2=a2-c2 注意点 (1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为2a. (2)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁对应的坐标轴上. 21 　(1)椭圆16x2+9y2=144的焦点坐标为　　　　　　　　　. 例2 (0，)，(0，-) 解析： 将椭圆方程化为标准方程为+=1.由16>9可知椭圆的焦点在y轴上， 且a2=16，b2=9，所以c==， 所以椭圆的焦点坐标为(0，)，(0，-). 22 (2)“2<m<3”是“方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 23 解析： 若方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆， 则解得2<m<4， 所以“2<m<3”是“方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆”的充分不必 要条件. 24 辨析椭圆方程，首先要把方程化成标准形式，然后比较分母的大小，最后确定焦点位置. 反思感悟 25 　(1)已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为　　　　； 跟踪训练1 (8，25) 解析： 因为方程表示焦点在y轴上的椭圆， 所以 解得8<m<25. 故实数m的取值范围为(8，25). 26 (2)若椭圆2kx2+ky2=1的一个焦点坐标为(0，-4)，则实数k=　　. 解析： 将椭圆方程化成标准方程为+=1， 因为椭圆的一个焦点坐标为(0，-4)， 所以-=16，解得k=. 故实数k的值为. 27 03 椭圆标准方程的求法 (课本例1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2，0)，(2，0)，并且经过点，求它的标准方程. 例3 解： 由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为+=1(a>b>0). 由椭圆的定义知c=2， 2a=+=2， 所以a=. 所以b2=a2-c2=10-4=6. 所以，所求椭圆的标准方程为+=1. 29 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)b=1，c=，焦点在y轴上； 解： 因为b=1，c=，所以a2=b2+c2=16， 因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为+x2=1. 例3 30 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (2)两个焦点的坐标分别是(0，-2)，(0，2)，并且椭圆经过点； 解： 方法一　由题意得椭圆的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为+=1(a>b>0)， 由椭圆的定义知， 2a=+=2， 即a=， 又c=2，所以b2=a2-c2=6， 所以所求椭圆的标准方程为+=1. 例3 31 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (2)两个焦点的坐标分别是(0，-2)，(0，2)，并且椭圆经过点； 解： 方法二　由题意得椭圆的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为+=1(a>b>0)， 由题意知 解得 所以所求椭圆的标准方程为+=1. 例3 32 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (3)经过点P，Q. 解： 方法一　(分类讨论法) ①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0). 依题意，有解得 由a>b>0，知不符合题意，故舍去； ②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0). 例3 33 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (3)经过点P，Q. 解： 依题意，有解得 所以所求椭圆的标准方程为+=1. 例3 35 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (3)经过点P，Q. 解： 方法二　(待定系数法) 设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n). 则解得 所以所求椭圆的方程为5x2+4y2=1， 故椭圆的标准方程为+=1. 例3 36 (1)定义法：从几何角度，结合椭圆的定义，计算出a，b的值，从而得到椭圆的标准方程； (2)待定系数法：首先要进行“定位”，即确定焦点的位置，其次是进行“定量”，即确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解. 反思感悟 37 　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)a=10，c=6； 跟踪训练2 解： 因为a=10，c=6， 所以b2=a2-c2=100-36=64， 则当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为+=1；当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为+=1. 所以所求椭圆的标准方程为 +=1或+=1. 38 　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (2)经过(0，2)和(1，0)两点. 跟踪训练2 解： 设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n). 则解得所以所求椭圆的标准方程为+x2=1. 39 课堂小结 1.知识清单： (1)椭圆的定义. (2)椭圆的标准方程. (3)椭圆标准方程的求法. 2.方法归纳：分类讨论、待定系数法. 3.常见误区： (1)忽视椭圆定义中a，b，c的关系. (2)混淆不同坐标系下椭圆的两种标准方程. 40 04 随堂演练 1 2 3 4 1.设P是椭圆+=1上的点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|+|PF2|的值为 A.10 B.8 C.6 D.4 解析： 由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=8. √ 2.(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(-3，0)，B(3，0)，点P为一动点，且|PA|+|PB|=2a(a≥0)，下列说法中正确的是 A.当a=2时，点P的轨迹不存在 B.当a=4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3 C.当a=4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6 D.当a=3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆 √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 解析： 当a=2时，2a=4<|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确； 当a=4时，2a=8>|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|=6，B错误，C正确； 当a=3时，2a=6=|AB|，故点P的轨迹为线段AB，D错误. 1 2 3 4 3.已知椭圆的焦点为(-1，0)和(1，0)，点P(2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为 A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+x2=1 √ 1 2 3 4 解析： 由已知得c=1，又由点P(2，0)在椭圆上， 可得a=2，则b2=3， ∴椭圆的方程为+=1. 1 2 3 4 4.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 A.(0，+∞) B.(0，2) C.(1，+∞) D.(0，1) 解析： ∵方程x2+ky2=2， 即+=1表示焦点在y轴上的椭圆， ∴>2，故0<k<1. √ 05 课时对点练 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对一对 13 14 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B A C A AC 5 题号 9 11 12 13 答案 +=1 AC B +=1(y≥0) 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)当焦点在x轴上时，由椭圆过点P(3，0)，知a=3. 因为a=3b，所以b=1， 所以椭圆的标准方程为+y2=1； 当焦点在y轴上时，由椭圆过点P(3，0)，知b=3， 所以a=9， 所以椭圆的标准方程为+=1. 综上所述，椭圆的标准方程为+y2=1或+=1. 13 14 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)设椭圆方程为Ax2+By2=1(A>0，B>0，A≠B)， 由题意得解得 所以椭圆的标准方程为+x2=1. (3)由题意知c=2，则焦点坐标为(2，0)，(-2，0). 因为椭圆经过点M(3，-2)， 13 14 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以2a=+=12， 即a=6，所以b2=32， 所以椭圆的标准方程为+=1. 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)由题意知曲线C是以A，B为焦点且2a为8的椭圆，又2c=4，则c=2，a=4，故b=2， ∴曲线C的标准方程为+=1. (2)由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3，因此鱼群此时距A，B两岛的距离比为5∶3，即鱼群距A，B两岛的距离分别为5海里和3海里，设P(x，y)，B(2，0)，由|PB|=3， 得=3， 14. 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∴ 解得或 ∴点P的坐标为(2，3)或(2，-3). 14. 13 14 1.以下方程表示椭圆的是 A.+=1 B.2x2-3y2=2 C.-2x2-3y2=-1 D.+=0 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础巩固 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析： A选项，方程+=1，即x2+y2=25，表示圆，不是椭圆，A选项错误； B选项，方程2x2-3y2=2，即x2-=1，方程中间是减号，不是椭圆，B选项 错误； C选项，方程-2x2-3y2=-1，即+=1， 表示焦点在x轴上的椭圆，C选项正确； D选项，方程+=0的右边不是1，不是椭圆，D选项错误. 2.若直线l：2x+by+3=0过椭圆C：10x2+y2=10的一个焦点，则实数b的值为 A.-1 B. C.-1或1 D.-或 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析： 椭圆C的方程可化为x2+=1，其焦点为(0，-3)，(0，3)，分别代入直线l：2x+by+3=0中，解得b=1或b=-1. √ 3.已知方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是 A.(1，3) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，+∞) √ 解析： 由方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，得3-m>m-1>0，解得1<m<2， 所以m的取值范围是(1，2). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.若动点P(x，y)满足方程+=6，则动点P的轨迹方程为 A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析： 由动点P(x，y)满足方程+=6及椭圆的定义，得点P的轨迹是以(0，2)，(0，-2)为焦点的椭圆，且2a=6，2c=4，所以a=3，c=2，则b2=a2-c2=14，所以动点P的轨迹方程为+=1. 5.若椭圆+=1的焦距为2，则m的值为 A.5 B.5或8 C.5或3 D.3 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析： 当椭圆+=1的焦点在x轴上时， 则有m-4=12，解得m=5； 当椭圆+=1的焦点在y轴上时， 则有4-m=12，解得m=3， 所以m的值为5或3. 6.已知椭圆C：+=1的右焦点为F，点M是C上的一点，点P是线段MF的中点，O为坐标原点，若|OP|=4，则|MF|等于 A.6 B.7 C.8 D.9 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析： 记椭圆C的左焦点为F1，连接MF1，如图， 又点P是线段MF的中点，O为FF1的中点， 所以|OP|=|MF1|， 又|OP|=4，所以|MF1|=8， 在椭圆C：+=1中，a=7， 又点M是C上的一点，所以|MF|+|MF1|=2a=14，所以|MF|=6. 7.(多选)已知点A(-1，0)，动点P(x，y)满足|PA|+|PB|=2，且动点P的轨迹是椭圆，则点B的坐标可能是 A.(0，0) B.(1，0) C.(0，1) D.(1，1) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析： 由已知可得|PA|+|PB|=2>|AB|， 即点B在以A为圆心，2为半径的圆内，且点A，B不重合， 即点B在圆(x+1)2+y2=4内， 由(0，0)，(0，1)在圆内， (1，0)在圆上，(1，1)在圆外， 可知A，C选项正确. 8.已知P是椭圆C：+=1(n>0)上的动点，A(-2，0)，B(2，0)，且|PA|+|PB|=6，则n=　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 解析： 因为|PA|+|PB|=6>|AB|=4， 所以点P的轨迹是以A(-2，0)，B(2，0)为焦点的椭圆. 易知2a=6，2c=4，即a=3，c=2， 所以n=a2-c2=32-22=5. 9.与椭圆+=1有相同的焦点，且经过点(5，3)的椭圆的标准方程为 　　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 +=1 解析： 椭圆+=1的焦点坐标是(±4，0)，又点(5，3)在椭圆上，所以由椭圆的定义，得2a=+=4，所以a=2，所以b2=a2-c2=40-16=24，所以所求椭圆的标准方程为+=1. 10.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点P(3，0)，a=3b； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当焦点在x轴上时，由椭圆过点P(3，0)，知a=3. 因为a=3b，所以b=1， 所以椭圆的标准方程为+y2=1； 当焦点在y轴上时，由椭圆过点P(3，0)，知b=3，所以a=9， 所以椭圆的标准方程为+=1. 综上所述，椭圆的标准方程为+y2=1或+=1. 解： 13 14 10.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (2)过点P和点Q； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设椭圆方程为 Ax2+By2=1(A>0，B>0，A≠B)， 由题意得解得 所以椭圆的标准方程为+x2=1. 解： 13 14 10.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (3)焦点在x轴上，焦距为4，且过点M(3，-2). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题意知c=2，则焦点坐标为(2，0)，(-2，0). 因为椭圆经过点M(3，-2)， 所以2a=+=12， 即a=6，所以b2=32， 所以椭圆的标准方程为+=1. 解： 13 14 11.(多选)关于x，y的方程x2sin α+y2cos α=1，下列说法正确的是 A.若α∈，则该方程表示椭圆，其焦点在y轴上 B.若α=，则该方程表示圆，其半径为 C.若α∈，则该方程表示椭圆，其焦点在x轴上 D.该方程不可能表示直线 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析： 对于A，当α∈时，0<cos α<sin α<1，则>>1， 方程x2sin α+y2cos α=1，即+=1表示椭圆，其焦点在y轴上，故A正确； 对于B，当α=时，方程x2+y2=表示圆，其半径为，故B错误； 对于C，当α∈时，0<sin α<cos α<1，则>>1， 方程x2sin α+y2cos α=1，即+=1表示椭圆，其焦点在x轴上，故C正确； 对于D，当α=2kπ，k∈Z时，方程y2=1表示两条直线y=1或y=-1，故D错误. 12.若P为椭圆C：+=1上的一点，F1，F2为椭圆C的两个焦点，且|PF1|2-|PF2|2=16，则|PF1|等于 A.4 B.5 C.7 D.8 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析： 对于椭圆C：+=1，a2=16，所以a=4，所以|PF1|+|PF2|=2a=8①. 又|PF1|2-|PF2|2=16，即(|PF1|+|PF2|)(|PF1|-|PF2|)=16，所以|PF1|-|PF2|=2②，由①②解得|PF1|=5. √ 13.“埙”(图1)是中国传统吹奏乐器之一，一款“埙”的外轮廓上部分是半椭圆，下部分是半圆. 上部分半椭圆的方程为+=1(a>b>0，y≥0)，下 部分半圆的方程为x2+y2=b2(y<0)(图2)，外轮廓线交 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点G，点M是半圆上的动点，当点M的坐标为时，△AGM的面积最大，此时半椭圆的方程是　　　　 . +=1(y≥0) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 点M的坐标为，代入x2+y2=b2(y<0)， 得b=，所以半圆的方程为x2+y2=(y<0)， 又半圆交x轴负半轴于点A，则A， 椭圆和y轴正半轴交于点G，则G(0，a)， 则kAG==， 当△AGM的面积最大时，即点M到直线AG的距离最大， 当OM⊥AG时，点M到直线AG的距离最大， 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 若两直线垂直且斜率存在，则有kAG·kOM=-1， 又kOM==-，则kAG·kOM=·=-1，解得a=2， 综上可知，a=2，b=， 故半椭圆的方程为+=1(y≥0). 13 14 14.某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，研究发现，某种鱼群在距A岛、B岛距离之和为8海里处洄游，以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示. (1)求鱼群的洄游路线曲线C的标准方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意知曲线C是以A，B为焦点且2a为8的椭圆，又2c=4，则c=2，a=4，故b=2， ∴曲线C的标准方程为+=1. 解： 14.某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，研究发现，某种 鱼群在距A岛、B岛距离之和为8海里处洄游，以A，B所在直线为x轴， AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示. (2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定P处的位置(即点P的坐标)？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3，因此鱼群此时距A，B两岛的距离比为5∶3，即鱼群距A，B两岛的距离分别为5海里和3海里， 设P(x，y)，B(2，0)，由|PB|=3， 得=3， 解： 14.某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，研究发现，某种 鱼群在距A岛、B岛距离之和为8海里处洄游，以A，B所在直线为x轴， AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示. (2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定P处的位置(即点P的坐标)？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∴解得或 ∴点P的坐标为(2，3)或(2，-3). 解： THANKS 本课结束 $