第3章 3.1.3 第2课时 函数奇偶性的应用（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦高中数学函数奇偶性的应用，系统梳理利用奇偶性求解析式的“求谁设谁”步骤（含分段函数、方程组法），及奇偶性与单调性结合的综合问题（比较大小、解不等式、求最值），搭建“方法—例题—探究—训练”的学习支架。 资料以问题链驱动，通过例1（奇函数求分段解析式）及延伸探究（改为偶函数），引导学生用数学眼光抽象对称区间转化方法，例4解不等式结合分类讨论培养数学思维逻辑性，规范步骤与课时对点练强化数学语言表达，课中助力分层教学，课后帮助学生查漏补缺。

第2课时　函数奇偶性的应用 学习目标　1.掌握用奇偶性求解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响并能用来比较大小、求最值、解不等式. 一、利用奇偶性求解析式 用奇偶性求解析式的步骤 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[-b，-a]上的解析式，其解决思路为 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设. (2)要利用已知区间的解析式进行代入. (3)利用f(x)的奇偶性写出-f(-x)或f(-x)，从而解出f(x). 角度1　求分段函数的解析式 例1　若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-2x+3，求f(x)的解析式. 解　当x<0时，-x>0， 则f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3， 因为f(x)是奇函数， 所以f(x)=-f(-x)=-x2-2x-3. 当x=0时，f(0)=0. 故f(x)= 延伸探究1　将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，其他条件不变，求当x<0时，函数f(x)的解析式. 解　当x<0时，-x>0， 则f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3， 因为函数f(x)是偶函数， 所以f(x)=f(-x)=x2+2x+3， 即当x<0时，f(x)=x2+2x+3. 反思感悟　已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，然后把x转化为-x，此时-x成了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式. 跟踪训练1　已知f(x)是R上的偶函数，且当x∈[0，+∞)时，f(x)=x(1+x)，求f(x)的解析式. 解　因为当x∈(-∞，0)时，-x∈(0，+∞)， 所以f(-x)=-x[1+(-x)]=x(x-1). 因为f(x)是R上的偶函数， 所以f(x)=f(-x)=x(x-1)，x∈(-∞，0). 所以f(x)= 角度2　利用解方程组求解析式 例2　设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=2x+x2，求函数f(x)，g(x)的解析式. 解　因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， 所以f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)， 在f(x)+g(x)=2x+x2中， ① 用-x代替x得f(-x)+g(-x)=-2x+(-x)2， 所以f(x)-g(x)=-2x+x2，② (①+②)÷2，得f(x)=x2. (①-②)÷2，得g(x)=2x. 反思感悟　利用f(x)，g(x)一奇一偶，把-x的负号或提或消，最终得到关于f(x)，g(x)的二元方程组，从而解出f(x)和g(x). 跟踪训练2　 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=求函数f(x)，g(x)的解析式. 解　∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， ∴f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x). 在f(x)+g(x)=中，① 用-x代替x得f(-x)+g(-x)= ∴f(x)-g(x)=② (①+②)÷2，得f(x)=； (①-②)÷2，得g(x)=. 二、函数奇偶性的综合问题 问题1　想一想奇函数与偶函数的图象特点，如果奇函数在(-2，-1)上单调递减，那么它在(1，2)上的单调性如何？如果偶函数在(-2，-1)上单调递减，那么它在(1，2)上的单调性如何？ 提示　奇函数在(1，2)上单调递减，偶函数在(1，2)上单调递增. 问题2　已知函数f(x)在(-2，-1)上的最大值为M，最小值为m，请根据奇函数与偶函数的图象特点回答：如果f(x)为奇函数，那么它在(1，2)上的最值情况如何？如果f(x)为偶函数，那么它在(1，2)上的最值情况又如何？ 提示　若f(x)为奇函数，则f(x)在(1，2)上的最小值为-M，最大值为-m；若f(x)为偶函数，则f(x)在(1，2)上的最大值为M，最小值为m. 知识梳理 1.若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[-b，-a]上单调递增，即在对称区间上单调性相同. 2.若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[-b，-a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反. 3.若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为M，则f(x)在[-b，-a]上有最小值为-M. 4.若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为N，则f(x)在[-b，-a]上有最大值为N. 以上a，b符号相同. 角度1　比较大小 例3　(课本例3)已知函数f(x)满足f(5)<f(3)，分别在下列各条件下比较f(-5)与f(-3)的大小： (1)f(x)是偶函数；　　(2)f(x)是奇函数. 解　(1)因为f(x)是偶函数， 所以f(-x)=f(x)， 因此f(-5)=f(5)，f(-3)=f(3)， 从而由条件可知f(-5)<f(-3). (2)因为f(x)是奇函数， 所以f(-x)=-f(x)， 因此f(-5)=-f(5)，f(-3)=-f(3)， 又由条件可知-f(5)>-f(3)， 从而f(-5)>f(-3). 例3　已知f(x)是奇函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，则f(-0.5)，f(-1)，f(0)的大小关系是(　　) A.f(-0.5)<f(0)<f(-1) B.f(-1)<f(-0.5)<f(0) C.f(0)<f(-0.5)<f(-1) D.f(-1)<f(0)<f(-0.5) 答案　B 解析　∵函数f(x)为奇函数， 且f(x)在区间[0，+∞)上单调递增， ∴f(x)在R上单调递增， ∴f(-1)<f(-0.5)<f(0). 延伸探究2　把例3中的条件“f(x)是奇函数”改为“f(x)是偶函数”，其余条件不变. (1)比较f(-0.5)，f(-1)，f(0)三者之间的大小； (2)比较f(-2)，f(π)，f(-3)三者之间的大小. 解　(1)由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，+∞)，f(x)单调递增， 则当x∈(-∞，0]时，f(x)单调递减， ∴f(-1)>f(-0.5)>f(0). (2)由(1)知当x∈[0，+∞)时，f(x)单调递增，当x∈(-∞，0]时，f(x)单调递减. 方法一　∵f(x)是偶函数，∴f(-3)=f(3)，f(-2)=f(2)， 又f(2)<f(3)<f(π)； ∴f(-2)<f(-3)<f(π). 方法二　其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小， ∵|-2|<|-3|<π， ∴f(π)>f(-3)>f(-2). 反思感悟　利用函数的奇偶性与单调性比较大小 (1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小. (2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小. 角度2　解不等式 例4　设定义在[-2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1-m)<f(m)，求实数实数m的取值范围. 解　因为f(x)是奇函数且f(x)在[0，2]上单调递减， 所以f(x)在[-2，2]上单调递减. 所以不等式f(1-m)<f(m)等价于 解得-1≤m<. 所以实数m的取值范围为. 延伸探究3　在本例中，把条件中的“奇函数”改为“偶函数”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 解　因为当x∈[0，2]时，f(x)单调递减，且f(x)为偶函数， 所以当x∈[-2，0]时，f(x)单调递增. 因为f(1-m)<f(m)， 所以解得-1≤m< 所以实数m的取值范围为. 反思感悟　要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响. 1.知识清单： (1)利用奇偶性求解析式. (2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式. 2.方法归纳：数形结合法、分类讨论法. 3.常见误区：解不等式易忽视函数的定义域. 1.奇函数y=f(x)的局部图象如图所示，则(　　) A.f(2)>0>f(4) B.f(2)<0<f(4) C.f(2)>f(4)>0 D.f(2)<f(4)<0 答案　A 解析　由题意可知，函数的图象如图，可知f(2)>0>f(4). 2.设F(x)=f(x)+f(-x)，x∈R，若是函数F(x)的单调递增区间，则下列一定是F(x)的单调递减区间的是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因为F(-x)=F(x)，所以F(x)是偶函数，因而在上，F(x)一定单调递减. 3.已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)=2x+3，则当x>0时，f(x)=　　　　　　　　.  答案　-2x+3 解析　当x>0时，-x<0，∴f(-x)=-2x+3，又f(x)为偶函数，f(x)=f(-x)，∴当x>0时，f(x)=-2x+3. 4.已知定义在R上的偶函数f(x)在(-∞，0]上单调递增，若f(a)>f(3)，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　(-3，3) 解析　由题意可知|a|<3，解得-3<a<3. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共6分 1.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=2x2-x，则f(1)等于(　　) A.-3 B.-1 C.1 D.3 答案　A 解析　方法一　∵f(x)为奇函数，f(-1)=2×(-1)2-(-1)=3，∴f(1)=-f(-1)=-3. 方法二　当x>0时，-x<0，则f(-x)=2x2+x=-f(x)，∴f(x)=-2x2-x，故 f(1)=-3. 2.若函数f(x)=ax2+(2+a)x+1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为(　　) A.(-∞，0] B.[0，+∞) C.(-∞，+∞) D.[1，+∞) 答案　A 解析　因为函数为偶函数，所以2+a=0，a=-2， 即函数f(x)=-2x2+1， 所以函数f(x)在(-∞，0]上单调递增. 3.若奇函数f(x)在区间[3，7]上单调递增，且最小值为5，则f(x)在区间[-7，-3]上(　　) A.单调递增，且有最大值-5 B.单调递增，且有最小值-5 C.单调递减，且有最大值-5 D.单调递减，且有最小值-5 答案　A 解析　因为f(x)在区间[3，7]上单调递增，且最小值为5，所以f(3)=5.由奇函数在对称区间上单调性相同，可知f(x)在区间[-7，-3]上单调递增，且有最大值f(-3)=-f(3)=-5. 4.已知偶函数f(x)在区间[0，+∞)上单调递增，则满足f(2x-1)<f 的x的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由题意得|2x-1|<⇒-<2x-1<⇒<2x<⇒<x<. 5.若f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(-2)的大小关系为(　　) A.f(0)>f(-2)>f(1) B.f(-2)>f(0)>f(1) C.f(0)>f(1)>f(-2) D.f(1)>f(0)>f(-2) 答案　C 解析　当m=1时，f(x)=6x+2不符合题意；当m≠1时，由题意可知，其图象关于y轴对称， ∴m=0，∴f(x)=-x2+2， ∴f(x)在(-∞，0)上单调递增，在[0，+∞)上单调递减. 又0<1<2，∴f(0)>f(1)>f(2)=f(-2). 6.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=x3+x2+1，则f(2)+g(2)等于(　　) A.-3 B.-1 C.1 D.3 答案　A 解析　∵f(x)-g(x)=x3+x2+1， ∴f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1. 又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数， ∴f(x)+g(x)=-x3+x2+1， ∴f(2)+g(2)=-3. 7.(5分)函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它是减函数，若实数a，b满足f(a)+f(b)>0，则a+b　　　　0.(填“>”“<”或“=”)  答案　< 解析　∵f(a)+f(b)>0，∴f(a)>-f(b)，∴f(a)>f(-b)， 又f(x)为减函数，∴a<-b，∴a+b<0. 8.(5分)已知偶函数f(x)在[0，+∞)上单调递减，f(2)=0.若f(x-1)>0，则x的取值范围是　　　　　　　　.  答案　(-1，3) 解析　因为f(x)是偶函数， 所以f(x-1)=f(|x-1|). 又因为f(2)=0， 所以f(x-1)>0可化为f(|x-1|)>f(2). 又因为f(x)在[0，+∞)上单调递减， 所以|x-1|<2， 解得-1<x<3. 9.(10分)已知f(x)是定义在(-1，1)上的奇函数，且f(x)在(-1，1)上是减函数，解不等式f(1-x)+f(1-2x)<0. 解　∵f(x)是定义在(-1，1)上的奇函数， 由f(1-x)+f(1-2x)<0，得 f(1-x)<-f(1-2x)， 即f(1-x)<f(2x-1). 又∵f(x)在(-1，1)上是减函数， ∴解得0<x< ∴原不等式的解集为. 10.(12分)已知二次函数f(x)=x2+bx+c满足f(1)=f(3)=-3. (1)求b，c的值；(3分) (2)若函数g(x)是奇函数，当x≥0时，g(x)=f(x). ①直接写出g(x)的单调递减区间；(3分) ②若g(a)>a，求实数a的取值范围.(6分) 解　(1)由f(1)=f(3)=-3， 得解得 (2)由(1)知f(x)=x2-4x. ①[-2，2]. ②由题意得当x≥0时，g(x)=x2-4x； 当x<0时，-x>0， 则g(-x)=(-x)2-4(-x)=x2+4x， 因为g(x)是奇函数，g(x)=-g(-x)， 所以当x<0时，g(x)=-x2-4x. 若g(a)>a，则或 解得a>5或-5<a<0. 综上，实数a的取值范围为(-5，0)∪(5，+∞). 11.若函数y=f(x)是奇函数，且函数F(x)=af(x)+bx+2在(0，+∞)上有最大值8，则函数y=F(x)在(-∞，0)上有(　　) A.最大值-8 B.最小值-8 C.最小值-6 D.最小值-4 答案　D 解析　∵y=f(x)和y=x都是奇函数， ∴T(x)=af(x)+bx也为奇函数. 又∵F(x)=af(x)+bx+2在(0，+∞)上有最大值8， ∴T(x)=af(x)+bx在(0，+∞)上有最大值6， ∴T(x)=af(x)+bx在(-∞，0)上有最小值-6， ∴F(x)=af(x)+bx+2在(-∞，0)上有最小值-4. 12.(多选)已知函数f(x)，g(x)的定义域都是R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，2f(x)+3g(x)=6x2-2x+3，则(　　) A.[f(x)]2-3g(x)是偶函数 B.f(x)=-x C.g(x)=2x2+1 D.g(2)=4 答案　ABC 解析　令F(x)=[f(x)]2-3g(x)， 因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， 所以F(-x)=[f(-x)]2-3g(-x)=[-f(x)]2-3g(x)=[f(x)]2-3g(x)=F(x)， 所以F(x)=[f(x)]2-3g(x)是偶函数，故A正确； 因为2f(x)+3g(x)=6x2-2x+3，① 所以2f(-x)+3g(-x)=-2f(x)+3g(x)=6x2+2x+3，② 由①②，得f(x)=-x，g(x)=2x2+1，故B，C正确； 易得g(2)=8+1=9，故D错误. 13.(5分)若奇函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，且f(3)=0，则不等式>0的解集为　　　　　　.  答案　(-3，0)∪(3，+∞) 解析　因为f(x)为奇函数，所以=f(x)，因为f(3)=0，所以f(-3)=0.因为f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以f(x)在(-∞，0)上单调递增，所以当x>0时，f(x)>0=f(3)，解得x>3；当x<0时，f(x)>0=f(-3)，解得-3<x<0.所以原不等式的解集为(-3，0)∪(3，+∞). 14.(5分)若函数f(x)=(t≠0)在[-2 025，2 025]上的最大值为M，最小值为N，且M+N=2 024，则实数t的值为　　　　.  答案　506 解析　由题意，f(x)=2t+x∈[-2 025，2 025]， 设g(x)=x∈[-2 025，2 025]，t≠0， 其定义域关于原点对称， 则f(x)=2t+g(x)，x∈[-2 025，2 025]. 因为g(-x)= =-=-g(x)， 所以g(x)=x∈[-2 025，2 025]为奇函数，其图象关于原点对称， 所以g(x)max+g(x)min=0， 所以f(x)max+f(x)min=2t+g(x)max+2t+g(x)min=4t+0=M+N=2 024， 所以t=506. 15.(5分)已知函数f(x)=是奇函数，且在上单调递减，则实数a=　　　　，实数m的取值范围为　　　　　　　　　.  答案　1　 解析　函数f(x)为奇函数，则满足f(-x)=-f(x)，所以f(-1)=-f(1). 又f(1)=1-a，f(-1)=-1+1=0，则1-a=0，得a=1，此时f(x)= 又函数y=x2-x的图象的对称轴为直线x=函数y=-x2-x的图象的对称轴为直线x=-则函数f(x)的图象如图所示. 则函数f(x)的单调递减区间为 因为函数f(x)在上单调递减， 所以解得即-≤m≤0， 即实数m的取值范围是. 16.(12分)已知函数f(2x+1)=|2x+4|-|2x-2|. (1)证明：f(x)是奇函数；(4分) (2)若不等式f(a2-5a-3)+f(4a-17)<0成立，求实数a的取值范围.(8分) (1)证明　令2x+1=t，则f(t)=-. 所以f(x)=- f(x)的定义域为R，关于原点对称， f(-x)=-=-=-f(x). 所以f(x)是奇函数. (2)解　因为不等式f(a2-5a-3)+f(4a-17)<0，且f(x)是奇函数. 所以f(a2-5a-3)<f(17-4a). 又f(x)=-= f(x)的图象如图， ①当a2-5a-3≤-3，即0≤a≤5时，则有17-4a>-3，即a<5，综上，0≤a<5； ②当-3<a2-5a-3<3，即-1<a<0或5<a<6时，则有a2-5a-3<17-4a， 解得-4<a<5，综上，-1<a<0； ③当a2-5a-3≥3，即a≤-1或a≥6时，原不等式无解. 综上，实数a的取值范围是{a|-1<a<5}. 学科网（北京）股份有限公司 $