第3章 3.1.1 第2课时 函数的表示方法（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦高中数学函数的表示方法，系统梳理解析法、列表法、图象法三种表示方法及其优缺点，衔接初中函数基础，通过问题引导过渡到解析式求法（待定系数法、换元法等）及图象作法，构建完整知识支架。 以“人才形容”类比引入激发兴趣，体现数学眼光，通过例1商场售电脑案例整合三种表示方法，归纳求解析式多种方法培养数学思维，跟踪训练结合实际问题强化数学语言表达，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

第2课时　函数的表示方法 学习目标　1.了解函数的三种表示方法及各自的优缺点，会根据不同需要选择恰当的方法表示函数.2.掌握求函数解析式的常用方法.3.会作函数的图象并从图象上获取有用信息. 导语 如果一个人极有才华，我们会用“才高八斗”来形容；如果一个人兼有文武才能，我们会用“出将入相”来形容；如果一个人是稀有而可贵的人才，我们会用“凤毛麟角”来形容；如果一个人品行卓越，天下绝无仅有，我们会用“斗南一人”来形容，那么对于呈现出来的不同函数，是否也会有不同的表示方法呢？让我们一起来探究吧. 一、函数的三种表示方法 问题　结合初中所学以及上节课的几个问题，你能总结出函数的几种表示方法？ 提示　解析法，列表法，图象法. 知识梳理　函数的表示方法 注意点： 函数三种表示方法的优缺点 例1　某商场新进了10台笔记本电脑，每台售价5 000元，试求售出台数x(单位：台，x为正整数)与销售总金额y(元)之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来. 解　(1)列表法： x/台 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y/元 5 000 10 000 15 000 20 000 25 000 30 000 35 000 40 000 45 000 50 000 (2)图象法：如图所示. (3)解析法：y=5 000x(x∈{1，2，3，…，10}). 反思感悟　应用函数三种表示方法应注意以下三点 (1)解析法必须注明函数的定义域. (2)列表法必须罗列出部分(或全部)自变量与函数值的对应关系. (3)图象法要注意图象是连续的曲线，还是离散的点. 跟踪训练1　已知完成某项任务的时间t与参加此项任务的人数x之间适合关系式t(x)=x+且参加此项任务的人数不能超过20. (1)用列表法表示此函数； (2)画出函数t(x)的图象. 解　(1)x=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，共取20个值，列表如下： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t 197 100 68.3 53 44.2 38.7 35 32.5 30.8 29.6 x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 t 28.8 28.3 28.1 28 28.1 28.25 28.5 28.9 29.3 29.8 注：表中的部分数据是近似值. (2)函数t(x)的图象是由20个点组成的，如图所示. 二、函数的解析式的求法 例2　(课本例7)已知二次函数的图象过点(-1，4)，(0，1)，(1，2)，求这个二次函数的解析式. 解　设函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，则 由此可解得a=2，b=-1，c=1，因此所求函数解析式为y=2x2-x+1. 例2　(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))+2f(x)=-x-2，求f(x)的解析式； (2)已知f(+1)=x+2求f(x)的解析式； (3)已知f(x)+2f =x(x≠0)，求f(x)的解析式； (4)已知f(x)是R上的函数，f(0)=1，并且对于任意的实数x，y都有f(x+y)=f(x)+y(4x+2y+1)，求f(x)的解析式； (5)已知2f(x-1)-f(1-x)=2x2-1，求f(x)的解析式. 解　(1)(待定系数法) 设f(x)=kx+b(k≠0)， 由f(f(x))+2f(x)=-x-2，得 k(kx+b)+b+2(kx+b)=-x-2， 即(k2+2k)x+kb+3b=-x-2， ∴ 解得 ∴f(x)=-x-1. (2)方法一　(配凑法) ∵f(+1)=x+2=(+1)2-1(+1≥1)， ∴f(x)=x2-1(x≥1). 方法二　(换元法) 令+1=t(t≥1)，则x=(t-1)2(t≥1)， ∴f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1). ∴f(x)=x2-1(x≥1). (3)由题意知，f(x)+2f =x(x≠0)， 用x代替得f+2f(x)=(x≠0). 于是得到关于f(x)与f 的方程组 解得f(x)=-(x≠0). (4)(赋值法) 由已知条件f(0)=1，f(x+y)=f(x)+y(4x+2y+1).令y=-x，得f(x-x)=f(x)+(-x)(2x+1)， ∴f(x)=2x2+x+1. (5)(解方程组法) 令x-1=t， 则1-x=-t，x=t+1. ∴2f(t)-f(-t)=2(t+1)2-1，① 用t代替-t得2f(-t)-f(t)=2(-t+1)2-1，② 由①②解得f(t)=2t2+t+1. 即函数f(x)的解析式为f(x)=2x2+x+1. 反思感悟　求函数解析式的常用方法 (1)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f(g(x))的解析式，求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)=t，反解出x，然后代入f(g(x))中求出f(t)，从而求出f(x). (2)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式. (3)消元法(或解方程组法)：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于这两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式. (4)赋值法：利用恒等式将特殊值代入，求出特定函数的解析式.这种方法灵活性强，必须针对不同的类型选取不同的特殊值. 跟踪训练2　(1)已知函数f(x)是二次函数，且f(0)=1，f(x+1)-f(x)=2x+2，求f(x)； (2)已知f(+4)=x+8求f(x2). 解　(1)(待定系数法) 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). ∵f(0)=1，∴c=1. 又∵f(x+1)-f(x)=2x+2， ∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x+2，整理，得2ax+(a+b)=2x+2. 由恒等式的性质，知上式中对应项的系数相等， ∴解得∴f(x)=x2+x+1. (2)方法一　(配凑法) ∵f(+4)=()2+8=(+4)2-16， ∴f(x)=x2-16(x≥4). ∴f(x2)=x4-16(x≥2或x≤-2). 方法二　(换元法) 令+4=t(t≥4)，则x=(t-4)2(t≥4). ∴f(t)=(t-4)2+8(t-4)=t2-16(t≥4)， 即f(x)=x2-16(x≥4). ∴f(x2)=x4-16(x≥2或x≤-2). 三、函数图象的作法及应用 一般地，将函数y=f(x)，x∈A中的自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点(x，y)组成的集合F称为函数的图象，即F={(x，y)|y=f(x)，x∈A}. 注意点： (1)如果F是函数y=f(x)的图象，则图象上任意一点的坐标(x，y)都满足函数关系y=f(x)；反之，满足函数关系y=f(x)的点(x，y)都在函数的图象F上. (2)实际作图时，经常先描出函数图象上一些有代表性的点，然后再根据有关性质作出函数图象，这称为描点作图法. 例3　作出下列函数的图象并求出其值域： (1)y=2x+1，x∈[0，2]； (2)y=x∈[2，+∞)； (3)y=x2+2x，x∈[-2，2]. 解　(1)当x∈[0，2]时，图象是直线y=2x+1的一部分，如图1，观察图象可知，其值域为[1，5]. (2)当x∈[2，+∞)时，图象是反比例函数y=的图象的一部分，如图2，观察图象可知，其值域为(0，1]. 图2 (3)当-2≤x≤2时，图象是抛物线y=x2+2x的一部分，如图3， 图3 观察图象可知，其值域为[-1，8]. 反思感悟　函数y=f(x)图象的画法 (1)若y=f(x)是已学过的基本初等函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有时需要根据定义域进行取舍. (2)若y=f(x)不是所学过的基本初等函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y=f(x)的图象. 跟踪训练3　作出下列函数的图象并求出其值域. (1)y=x+2，|x|≤3； (2)y=x2-2，x∈Z且|x|≤2. 解　(1)因为|x|≤3，所以函数的图象为线段，而不是直线，如图(1).观察图象可知，其值域为[-1，5]. (2)因为x∈Z且|x|≤2，所以函数的图象是五个孤立的点，如图(2).观察图象可知，其值域为{-2，-1，2}. 1.知识清单： (1)函数的三种表示方法. (2)函数解析式的求法. (3)函数图象的画法和应用. 2.方法归纳：配凑法、换元法、待定系数法、数形结合法. 3.常见误区：求函数解析式时易忽视定义域. 1.若f(x)=3x-4，g(x-1)=f(x)，则g(x)等于(　　) A.3x-3 B.3x-5 C.3x-1 D.3x+4 答案　C 解析　∵g(x-1)=3x-4=3(x-1)-1， ∴g(x)=3x-1. 2.已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出. x 1 2 3 f(x) 2 1 1 g(x) 3 2 1 则f(g(1))的值为　　　；当g(f(x))=2时，x=　　　.  答案　1　1 解析　由给出函数关系的表格，知g(1)=3， ∴f(g(1))=f(3)=1.由于g(2)=2， ∴f(x)=2，∴x=1. 3.已知函数f(x)是一次函数，且其图象过A(-2，0)，B(1，5)两点，则f(x)的解析式为　　　　　　　.  答案　f(x)=x+ 解析　设f(x)=kx+b(k≠0)，则 解得所以f(x)的解析式为f(x)=x+. 4.函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域是　　　　　　，值域是　　　　.  答案　[-1，0)∪(0，2]　[-1，1) 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.已知购买某种饮料x瓶所需y元.若每瓶2元，用解析法将y表示成x(x∈{1，2，3，4})的函数为(　　) A.y=2x B.y=2x(x∈R) C.y=2x(x∈{1，2，3，…}) D.y=2x(x∈{1，2，3，4}) 答案　D 解析　由题意得y=2x，x∈{1，2，3，4}. 2.下表表示y是x的函数，则函数的值域是(　　) x 0<x<5 5≤x<10 10≤x<15 15≤x≤20 y 2 3 4 5 A.[2，5] B.{2，3，4，5} C.(0，20] D.N+ 答案　B 解析　由表格可知，y的值为2，3，4，5.故函数的值域为{2，3，4，5}. 3.已知函数y=f(x)的对应关系如下表，函数y=g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))的值为(　　) x 1 2 3 f(x) 2 3 0 A.3 B.2 C.1 D.0 答案　B 解析　由函数g(x)的图象知，g(2)=1，则f(g(2))=f(1)=2. 4.已知f =则函数f(x)的解析式是(　　) A.f(x)=(x≠-1) B.f(x)=(x≠-1且x≠0) C.f(x)= D.f(x)=1+x 答案　B 解析　由题知x≠0且x≠-1，令t=则x=(t≠0且t≠-1)， ∴f==(t≠-1且t≠0)， ∴f(x)=(x≠-1且x≠0). 5.(多选)若一次函数的图象经过点A(1，6)和B(2，8)，则该函数的图象还可能经过的点的坐标为(　　) A. B. C.(-1，2) D.(-2，1) 答案　 AC 解析　设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)，由该函数的图象经过点A(1，6)和B(2，8)，得解得所以此函数的解析式为y=2x+4，故A，C选项的坐标符合此函数的解析式. 6.(多选)已知f(2x+1)=4x2，则下列结论正确的是(　　) A.f(3)=36 B.f(-3)=16 C.f(x)=4x2 D.f(x)=x2-2x+1 答案　BD 解析　当2x+1=3时，x=1，因此f(3)=4×12=4，所以A不正确； 当2x+1=-3时，x=-2，因此f(-3)=4×(-2)2=16，所以B正确； 令t=2x+1，则x=因此f(t)=4×=t2-2t+1，即f(x)=x2-2x+1，所以C不正确，D正确. 7.(5分)一个弹簧不挂物体时长12 cm，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比.如果挂上3 kg物体后弹簧总长是13.5 cm，则弹簧总长y(单位：cm)与所挂物体质量x(单位：kg)之间的函数解析式为　　　　　　　　；若弹簧的总长度为15 cm，则悬挂物体的质量是　　　　kg.(注：假设弹簧始终在弹性限度内)  答案　y=x+12(x≥0)　6 解析　设所求函数解析式为y=kx+12(k≠0)，把x=3，y=13.5代入，得13.5=3k+12，解得k=所以所求函数解析式为y=x+12(x≥0).当y=15时，即x+12=15，解得x=6. 8.(5分)设f(x)=2x+a，g(x)=(x2+3)，且g(f(x))=x2-x+1，则a的值为　　　　.  答案　-1 解析　因为g(x)=(x2+3)，f(x)=2x+a，所以g(f(x))=(2x+a)2+3]=(4x2+4ax+a2+3)=x2-x+1，解得a=-1. 9.(10分)画出下列函数的图象，并求出函数的定义域和值域： (1)y=；(3分) (2)y=-4x+5；(3分) (3)y=x2-6x+7.(4分) 解　(1)反比例函数y=的图象如图1所示，定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，值域为(-∞，0)∪(0，+∞). 图1 (2)一次函数y=-4x+5的图象如图2所示，定义域为R，值域为R. 图2 (3)二次函数y=x2-6x+7的图象如图3所示，定义域为R，值域为[-2，+∞). 图3 10.(10分)(1)已知f(+2)=x+4求函数f(x)的解析式；(3分) (2)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1，f(x+1)=f(x)+2x，求函数f(x)的解析式；(4分) (3)已知f(x)+2f(-x)=x2-x，求函数f(x)的解析式.(3分) 解　(1)设t=+2，则t≥2=t-2，即x=(t-2)2， 所以f(t)=(t-2)2+4(t-2)=t2-4， 所以f(x)=x2-4(x≥2). (2)因为f(x)是二次函数，所以设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 由f(0)=1，得c=1. 由f(x+1)=f(x)+2x，得a(x+1)2+b(x+1)+1=ax2+bx+1+2x， 整理得(2a-2)x+(a+b)=0， 所以解得所以f(x)=x2-x+1. (3)因为f(x)+2f(-x)=x2-x， ① 所以f(-x)+2f(x)=x2+x， ② ②×2-①，得3f(x)=x2+3x，所以f(x)=+x. 11.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是(　　) 答案　C 解析　距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速行驶，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C. 12.已知函数f(x)如表所示， x -2 -1 0 1 2 f(x) 2 1 0 -1 -2 则不等式f(f(x))≥0的解集为(　　) A.{1，2，0} B.{-1，-2，0} C.{1，2} D.{-1，-2} 答案　A 解析　由f(f(x))≥0可得，f(x)=-2或f(x)=-1或f(x)=0，解得x=2或x=1或x=0，所以不等式f(f(x))≥0的解集为{1，2，0}. 13.(多选)已知函数f(x)=g(x)+h(x)，g(x)关于x2成正比，h(x)关于成反比，且g(1)=2，h(1)=-3，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)=2x2+ B.函数f(x)的定义域为(0，+∞) C.f(4)= D.f =-3 答案　BD 解析　对于A，设g(x)=k1x2(k1∈R，且k1≠0)，h(x)=(k2∈R，且k2≠0)， 由于g(1)=2，h(1)=-3，所以k1=2，k2=-3. 所以f(x)=2x2-故A错误； 对于B，函数f(x)的定义域是(0，+∞)，故B正确； 对于C，f(4)=2×42-=故C错误； 对于D，因为f(x)=2x2-所以f =-3故D正确. 14.(5分)设函数f：R→R满足f(0)=1，且对任意x，y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，则f(x)的解析式为　　　　　　　　.  答案　f(x)=x+1 解析　f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，f(0)=1，当x=0时，f(1)=f(0)f(y)-f(y)+2=2，当y=0时，f(1)=f(x)f(0)-f(0)-x+2=2，因此f(x)=x+1. 15.(5分)已知函数f(x)=则f+f +f +…+f = 　　　　　　.  答案　15 解析　因为f(x)= 所以f(x)+f(1-x)=+=3， 所以f +f +f +…+f =5×3=15. 16.(12分)若至少存在两个不同的x0满足f(x0)=则称函数f(x)为“二次T函数”. (1)试问函数f(x)=x6是否为“二次T函数”？说明你的理由.(3分) (2)若函数f(x)的定义域为R，f =-2，且4f(x+y)+f(x)f(y)=16xy. ①求f(1)的值；(4分) ②证明：f(x)不是“二次T函数”.(5分) (1)解　由“二次T函数”的定义，令f(x)=x2，得x6=x2， 即x2=0，解得x=0或x=±1， 所以函数f(x)=x6为“二次T函数”. (2)①解　由4f+f(x)f=16xy， 令x=y=得4f(1)+f ×f =4， 因为f =-2，所以f(1)=0. ②证明　令y=1，得4f+f(x)f(1)=16x， 即f=4x=4所以f(x)=4x-4. 由二次T函数的定义，令f(x)=x2，得(x-2)2=0，解得x=2， 故函数f(x)不是“二次T函数”. 学科网（北京）股份有限公司 $