3.2 第1课时 二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

　　　　3.2　函数与方程、不等式之间的关系 第1课时　二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 　　　　 　 [教学方式:基本概念课逐点理清式教学] 　　　　　 　　　[课时目标] 体会函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系;通过一元二次函数的零点问题解一元二次不等式;了解高次不等式的解法. 逐点清(一)　函数的零点 [多维理解] 1.函数零点的概念 一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的函数值等于零,即f(α)=0,则称α为函数y=f(x)的零点. 2.函数零点的意义 不难看出,α是函数f(x)零点的充分必要条件是,(α,0)是函数图象与x轴的公共点.因此,由函数的图象可以方便地看出函数值等于0的方程的解集,以及函数值与0比较相对大小的不等式的解集.因此我们有:方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点. |微|点|助|解| (1)函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,也就是函数y1=f(x)与y2=g(x)的图象交点的横坐标. (2)如果方程f(x)=0有两个相等的实数根x,那么x称为函数y=f(x)的二阶零点(二重零点).如x=2就是函数f(x)=(x-2)2的二阶零点. [微点练明] 1.函数y=1+的零点是 (　 ) A.(-1,0) B.x=0 C.-1 D.1 解析:选C　由题意,令y=0,即1+=0,解得x=-1,即函数的零点为-1. 2.下列图象表示的函数没有零点的是 (　 ) 解析:选A　函数y=f(x)的零点就是函数图象与x轴交点的横坐标.A选项中函数图象与x轴没有交点,所以该函数没有零点;B选项中函数图象与x轴有一个交点,所以该函数有一个零点;C、D选项中的函数图象与x轴有两个交点,所以该函数有两个零点. 3.函数f(x)=(x2-1)(x+1)的零点个数是 (　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:选C　函数f(x)=(x2-1)(x+1)的零点,即方程(x2-1)(x+1)=0的根,显然方程的根为-1,1,所以函数f(x)有两个零点.故选C. 4.函数f(x)=的零点为　　　　　　　.  解析:当x≥0时,由2x-4=0,得x=2;当x<0时,由 2x2-3x-2=0,得 x=-或x=2(舍去). 答案:2,- 逐点清(二)　二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 [多维理解] 1.二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 函数 y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3 函数 的图象 方程的实数根 x1=-1,x2=3 x1=x2=1 无实数根 不等式 的解集 y>0的解集为 (-∞,-1) ∪(3,+∞) y>0的解集为 (-∞,1) ∪(1,+∞) y>0的 解集为R y<0的解集为(-1,3) y<0的解集为∅ y<0的解集为∅ |微|点|助|解| (1)图表具体表明了一元二次不等式的解集与对应的二次函数图象、一元二次方程的亲密关系,此图表是解一元二次不等式的依据之一. (2)x1,x2具有三重身份:对应的一元二次方程的实根;对应的二次函数的零点;对应的一元二次不等式解集区间的端点. 2.利用函数求不等式解集的基本步骤 (1)把一元二次不等式化成一般形式,并把二次项系数a的符号化为正; (2)计算其对应一元二次方程的根的判别式Δ; (3)求其对应一元二次方程的根; (4)写出解集(大于取两边,小于取中间). [微点练明] 利用函数求下列不等式的解集: (1)2x2+7x+3>0; (2)-x2+8x-3>0; (3)x2-4x-5<0; (4)-4x2+18x->0. 解:(1)对于方程2x2+7x+3=0,因为Δ=72-4×2×3=25>0,所以方程2x2+7x+3=0有两个不相等的实数根x1=-3,x2=-. 又因为二次函数y=2x2+7x+3的图象开口向上, 所以原不等式的解集为(-∞,-3)∪. (2)对于方程-x2+8x-3=0,因为Δ=82-4×(-1)×(-3)=52>0,所以方程-x2+8x-3=0有两个不相等的实数根x1=4-,x2=4+. 又因为二次函数y=-x2+8x-3的图象开口向下, 所以原不等式的解集为(4-, 4+). (3)对于方程x2-4x-5=0,因为Δ=(-4)2-4×1×(-5)=36>0,所以方程x2-4x-5=0有两个不相等的实数根x1=-1,x2=5.又因为二次函数y=x2-4x-5的图象开口向上,所以原不等式的解集为(-1,5). (4)对于方程-4x2+18x-=0,因为Δ=182-4×(-4)×=0,所以方程有两个相等的实数根x1=x2=.又因为二次函数y=-4x2+18x->0的图象开口向下,所以原不等式的解集为∅. 逐点清(三)　一元二次方程根的分布问题 [典例]　(1)若函数f(x)=x2-2ax+2在区间[0,4]内至少有一个零点,则实数a的取值范围为　　　　.  (2)已知关于x的一元二次方程x2+2mx+2m+1=0有两个不相同的实数根,且均在区间(0,1)内,则实数m的取值范围为　　　　.  [解析]　(1)∵函数f(x)=x2-2ax+2在区间[0,4]内至少有一个零点,且f(0)=2>0,则结合函数f(x)的图象(图略),可得 或解得≤a≤4或a>4,即a≥.故实数a的取值范围为[,+∞). (2)令f(x)=x2+2mx+2m+1,依题意得函数f(x)=x2+2mx+2m+1的图象与x轴的两个交点均在区间(0,1)内,画出函数的大致图象如图所示. 由图象得 即 ∴-<m<1-, 即m的取值范围是. [答案]　(1)[,+∞)　(2) |思|维|建|模| 一元二次方程根的分布问题,往往需要注意:①图象的开口方向;②判别式;③图象的对称轴;④端点函数值的大小等.如果做题时遗漏某个方面,就可能会导致所求参数范围不正确. 　　[针对训练] 　若函数f(x)=ax2-x-1的负零点有且仅有一个,则实数a的取值范围是　　　　.  解析:当a=0时,f(x)=-x-1,令f(x)=0,得x=-1,符合题意; 当a>0时,函数图象开口向上,且f(0)=-1<0, x=-=>0,结合二次函数的图象知符合题意; 当a<0时,函数图象开口向下,且f(0)=-1<0, x=-=<0,从而有Δ=1+4a=0,即a=-. 综上可知,实数a的取值范围为{a}. 答案: {a} [课时检测] 1.函数f(x)=x3-4x的零点为 (　 ) A.(0,0),(2,0) B.(-2,0),(0,0),(2,0) C.-2,0,2 D.0,2 解析:选C　令f(x)=0,得x(x-2)(x+2)=0,解得x=0或x=±2,故选C. 2.函数f(x)=(x2-1)的零点个数是 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选B　要使函数有意义,则x2-4≥0, 即x2≥4,x≥2或x≤-2. 由f(x)=0得x2-4=0或x2-1=0(不成立舍去). 即x=2或x=-2,所以函数的零点个数为2个. 3.已知函数f(x)=(x-m)(x-n)+1,且α,β是方程f(x)=0的两根,则实数m,n,α,β的大小关系可能是 (　 ) A.m<α<n<β B.m<α<β<n C.α<m<n<β D.α<m<β<n 解析:选B　设g(x)=(x-m)(x-n),则f(x)=g(x)+1,在同一平面直角坐标系内分别画出这两个函数的大致图象(图略),其中f(x)的图象可看成是由g(x)的图象向上平移1个单位长度得到的,可知α,β必在m,n之间.故它们之间的关系可能为m<α<β<n. 4.若函数f(x)=x2+2x+a没有零点,则实数a的取值范围为 (　　) A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-∞,1] D.[1,+∞) 答案:B 5.若不等式x2+bx+c<0的解集为{x|-2<x<3},则b-2c的值为 (　 ) A.11 B.13 C.-11 D.-13 解析:选A　由不等式x2+bx+c<0的解集为{x|-2<x<3},可知-2和3是方程x2+bx+c=0的实数根.由根与系数的关系知解得b=-1,c=-6.所以b-2c=-1-2×(-6)=11. 6.已知f(x)是定义域为R的奇函数,且在(0,+∞)内的零点有1 003个,则f(x)的零点的个数为 (　 ) A.1 003 B.1 004 C.2 006 D.2 007 解析:选D　根据奇函数的图象关于原点对称可得f(x)在(-∞,0)内的零点有1 003个.又f(0)=0,所以f(x)零点的个数为1 003×2+1=2 007. 7.已知一元二次方程x2-5x+1-m=0的两根均大于2,则实数m的取值范围是 (　 ) A. B.(-∞,5) C. D. 解析:选C　关于x的一元二次方程x2-5x+1-m=0的两根均大于2, 则解得-≤m<-5. 8.若方程x2+ax+a=0的一根小于-2,另一根大于-2,则实数a的取值范围是 (　 ) A.(4,+∞) B.(0,4) C.(-∞,0) D.(-∞,0)∪(4,+∞) 解析:选A　令f(x)=x2+ax+a,∵方程x2+ax+a=0的一根小于-2,另一根大于-2,∴f(-2)<0,即(-2)2-2a+a<0,解得a>4. 即实数a的取值范围是(4,+∞),故选A. 9.(5分)若函数f(x)=mx2-2x+3只有一个零点,则实数m的取值是　　　　.  解析:当m=0时,为一次函数,符合题意; 当m≠0时,有Δ=4-12m=0,解得m=. 综上所述,实数m的取值是0或. 答案:0或 10.(10分)已知函数f(x)=-3x2+2x-m+1. (1)当m为何值时,函数有两个零点、一个零点、无零点?(5分) (2)若函数恰有一个零点在原点处,求m的值.(5分) 解:(1)函数有两个零点,则对应方程-3x2+2x-m+1=0有两个不相等的实数根,所以Δ>0,即4+12(1-m)>0,解得m<; 由Δ=0,可解得m=; 由Δ<0,可解得m>. 故当m<时,函数有两个零点; 当m=时,函数有一个零点;当m>时,函数无零点. (2)因为0是对应方程的根,有1-m=0, 解得m=1. 11.(10分)已知2与-1是函数f(x)=x3+ax+b(a,b∈R)的两个零点. (1)求f(1)的值;(3分) (2)求不等式x(ax2-bx+1)>0的解集.(7分) 解:(1)因为2与-1是函数f(x)=x3+ax+b的两个零点, 所以 解得a=-3,b=-2,所以f(x)=x3-3x-2. 所以f(1)=13-3-2=-4. (2)由(1)得ax2-bx+1=-3x2+2x+1=(-3x-1)(x-1). 所以x(-3x-1)(x-1)>0, 即x(3x+1)(x-1)<0. 若x>0,则(3x+1)(x-1)<0,得-<x<1, 所以0<x<1; 若x<0,则(3x+1)(x-1)>0,得x<-或x>1,所以x<-. 综上可得,原不等式的解集为∪(0,1). 12.(10分)设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为“关联区间”.若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在[0,3]上是“关联函数”,求m的取值范围. 解:由题意可得函数y=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m在[0,3]上有两个不同的零点, 函数图象的对称轴为直线x=,所以当x=时,函数的最小值为--m. 当x=0时,y=4-m, 当x=3时,y=-2-m<4-m, 所以--m<0≤-2-m,解得-<m≤-2. 故m的取值范围为. 13.(15分)设函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),且f(1)=-. (1)求证:函数f(x)有两个零点;(5分) (2)设x1,x2是函数的两个零点,求|x1-x2|的取值范围.(10分) 解:(1)证明:由函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)且f(1)=-, 得a+b+c=-,则c=--b. 对于方程ax2+bx+c=0,因为a>0,所以Δ=b2-4ac=b2+6a2+4ab=(b+2a)2+2a2>0,所以函数f(x)有两个零点. (2)显然x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根, 则由根与系数的关系得x1+x2=-,x1x2=, 所以|x1-x2|======≥ . 则|x1-x2|的取值范围是[,+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$