第2章 2.2.4 第2课时 均值不等式的综合应用（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

本高中数学讲义聚焦均值不等式的综合应用，在学生掌握均值不等式基本形式及“一正二定三相等”条件的基础上，系统构建“1”的代换、分离消元法求最值，不等式证明及实际问题应用的学习支架，形成从理论到实践的完整知识脉络。 资料以例题解析与跟踪训练结合为特色，通过“1”的代换解决矩形围栏等实际问题，培养学生用数学眼光观察现实世界，借助分离消元法提升逻辑推理的数学思维，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固方法、查漏补缺。

第2课时　均值不等式的综合应用 学习目标　1.熟练掌握均值不等式及其变形的应用.2.能利用均值不等式证明简单的不等式.3.会用均值不等式解决生活中简单的最大(小)值问题. 一、巧用“1”的代换求最值问题 例1　若x>0，y>0，且x+4y=1，则+的最小值为　　　　.  答案　9 解析　因为x>0，y>0，x+4y=1，所以+=+=5++≥5+2=9，当且仅当=即x=y=时取等号. 反思感悟　常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用均值不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商. 跟踪训练1　已知x>0，y>0，x+8y=xy，求x+2y的最小值. 解　因为x>0，y>0，x+8y=xy， 所以+=1， 所以x+2y=(x+2y)=10++≥10+2=18， 当且仅当即时等号成立. 所以x+2y的最小值为18. 二、分离消元法求最值 例2　已知正实数x，y满足2x+y+6=xy，求xy的最小值. 解　∵2x+y+6=xy，∴y=x>1， xy== = =2 ≥2×=18， 当且仅当x-1=即x=3时，等号成立， ∴xy的最小值为18. 反思感悟　对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用均值不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题. 跟踪训练2　已知x>0，y>0，x+y+xy=4，求x+2y的最小值. 解　由x+y+xy=4可得x(y+1)=4-y，即x=0<y<4， 所以x+2y=+2y=+2(y+1)-2=+2(y+1)-3≥2-3， 当且仅当=2(y+1)，即y=-1时，等号成立. 所以x+2y的最小值为2-3. 三、利用均值不等式证明不等式 例3　(课本例6)已知a，b∈R，求证： (1)(a+b)2≥4ab； (2)2(a2+b2)≥(a+b)2. 证明　(1)因为a2+b2≥2ab，两边同时加上2ab，得a2+b2+2ab≥4ab， 即(a+b)2≥4ab. (2)因为a2+b2≥2ab，两边同时加a2+b2， 得2(a2+b2)≥a2+b2+2ab， 即2(a2+b2)≥(a+b)2. 例3　已知a，b，c均为正实数，且a+b+c=1. 求证：≥8. 证明　因为a，b，c均为正实数，a+b+c=1， 所以-1==≥ 同理-1≥-1≥. 上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 得≥··=8， 当且仅当a=b=c=时，等号成立. 延伸探究1　本例的条件不变，求证：++≥9. 证明　++=++=3+++≥3+2+2+2=9， 当且仅当a=b=c=时，等号成立. 反思感悟　利用均值不等式证明不等式的注意点 (1)此类问题的关键是：所证不等式中大多有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果. (2)注意多次运用均值不等式时等号能否取到. 跟踪训练3　已知a，b，c∈R，求证：a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2. 证明　由均值不等式可得 a4+b4=(a2)2+(b2)2≥2a2b2， 同理，b4+c4≥2b2c2，c4+a4≥2a2c2， 则(a4+b4)+(b4+c4)+(c4+a4)≥2a2b2+2b2c2+2a2c2， 从而a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2. 四、均值不等式在实际问题中的应用 例4　(课本例3)(1)已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？ (2)已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？ 解　(1)设矩形的长与宽分别为x与y， 依题意得xy=100. 因为x>0，y>0， 所以≥==10， 所以2(x+y)≥40. 当且仅当x=y时，等号成立，由可知此时x=y=10. 因此，当矩形的长和宽都是10时，它的周长最短，最短周长为40. (2)设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得2(x+y)=36，即x+y=18. 因为x>0，y>0，所以=≥. 因此≤9，即xy≤81.当且仅当x=y时，等号成立，由可知此时x=y=9. 因此，当矩形的长和宽都是9时，它的面积最大，最大面积为81. 例4　小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16 m2的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度. 解　设矩形围栏相邻两条边长分别为x m，y m，围栏的长度为2(x+y)m. 方法一　由已知得xy=16， 由≥可知x+y≥2=8， 所以2(x+y)≥16， 当且仅当x=y=4时，等号成立， 因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m. 方法二　由已知xy=16，得y= 所以2(x+y)=2≥2×2=16. 当且仅当x=y=4时，等号成立， 因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m. 延伸探究2　如果小明的爸爸只有12 m长的围栏，如何设计，才能使游乐园的面积最大？ 解　由已知得2(x+y)=12，故x+y=6，面积为xy，由≤==3， 可得xy≤9， 当且仅当x=y=3时，等号成立. 因此，当游乐园为边长为3 m的正方形时，面积最大，最大面积为9 m2. 反思感悟　利用均值不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意.设变量，并理解变量的实际意义； (2)构造定值.利用均值不等式求最值； (3)检验.检验等号成立的条件是否满足题意； (4)结论. 跟踪训练4　现要围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面围墙利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图.已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元). 试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用. 解　设矩形的另一边长为a m， 则y=45x+180(x-2)+180×2a=225x+360a-360. 由已知ax=360，得a= ∴y=225x+-360. ∵x>0，∴225x+≥2=10 800. ∴y=225x+-360≥10 440， 当且仅当225x=即x=24时，等号成立， ∴当x=24 m时，修建此矩形场地围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元. 1.知识清单： (1)巧用“1”的代换求最值问题. (2)分离消元法求最值. (3)利用均值不等式证明不等式. (4)均值不等式在实际问题中的应用. 2.方法归纳：配凑法. 3.常见误区：一正、二定、三相等，常因缺少条件或符号导致错误. 1.若x>0，y>0，且+=1，则x+y的最小值是(　　) A.3 B.6 C.9 D.12 答案　C 解析　x+y=(x+y)=5++ ≥5+2=9， 当且仅当=即x=3，y=6时取等号， 故x+y的最小值是9. 2.若正实数x，y满足xy+3x=3，则12x+y的最小值为(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 答案　C 解析　∵x>0，y>0，xy=3-3x>0， ∴0<x<1，y= ∴12x+y=12x+=12x+-3 ≥2-3=9， 当且仅当即x=时取等号， ∴12x+y的最小值为9. 3.将一根铁丝切割成三段做成一个面积为2 m2的直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是(　　) A.6.5 m B.6.8 m C.7 m D.7.2 m 答案　C 解析　设两直角边长分别为a，b，直角三角形框架的周长为l，则ab=2， ∴ab=4，又a>0，b>0，∴l=a+b+≥2+=4+2≈6.828(m)，当且仅当a=b时，等号成立.∵要求够用且浪费最少，∴应选7 m. 4.已知x，y是正数且x+y=1，则+的最小值为(　　) A. B. C.2 D.3 答案　B 解析　由x+y=1，得(x+2)+(y+1)=4， 即(x+2)+(y+1)]=1， ∴+ =·(x+2)+(y+1)] =≥×(5+4)= 当且仅当= 即x=y=时等号成立. ∴+的最小值为. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共6分 1.已知a>0，b>0，a+b=2，则+的最小值是(　　) A. B.4 C. D.5 答案　C 解析　∵a>0，b>0，a+b=2， ∴+=1， ∴+==++≥+2= 当且仅当b=2a，即a=b=时取等号. 2.某工厂生产某种产品，第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则(　　) A.x= B.x≤ C.x> D.x≥ 答案　B 解析　由题意得，A(1+a)(1+b)=A(1+x)2， 则(1+a)(1+b)=(1+x)2， 因为(1+a)(1+b)≤ 所以1+x≤=1+ 所以x≤当且仅当a=b时取等号. 3.已知正实数x，y满足+=1，则4xy-3x的最小值为(　　) A.8 B.9 C.10 D.11 答案　B 解析　由x>0，y>0，且+=1，可得xy=x+y. 所以4xy-3x=4x+4y-3x=x+4y. 又因为x+4y=(x+4y)=5++≥9， 当且仅当=即x=3，y=时取等号， 所以4xy-3x的最小值为9. 4.如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD所需要篱笆的(　　) A.最小长度为8 B.最小长度为4 C.最大长度为8 D.最大长度为4 答案　B 解析　设BC=a，CD=b， 因为矩形的面积为4，所以ab=4， 所以围成矩形ABCD所需要的篱笆长度为 2a+b=2a+≥2=4 当且仅当2a=即a=时，等号成立，即所需要篱笆的最小长度为4. 5.已知x>0，y>0，xy=x+4y，则x+y++的最小值为(　　) A.10 B.6 C.4 D.9 答案　A 解析　由xy=x+4y，得+=1， 所以x+y++=(x+y)+1=4+1+++1≥6+2=6+4=10， 当且仅当x=6，y=3时，等号成立， 所以x+y++的最小值为10. 6.(多选)已知正数x，y满足x+y=2，则下列选项正确的是(　　) A.+的最小值是2 B.xy的最大值是1 C.x2+y2的最小值是4 D.x(y+1)的最大值是2 答案　AB 解析　因为正数x，y满足x+y=2， 所以+=(x+y) =×≥×=2， 当且仅当即x=y=1时，等号成立， 所以+的最小值是2，故A正确； 因为正数x，y满足x+y=2， 所以xy≤==1， 当且仅当x=y=1时，等号成立， 所以xy的最大值是1，故B正确； 由≤得x2+y2≥2， 当且仅当x=y=1时，等号成立， 所以x2+y2的最小值是2，故C错误； x(y+1)≤== 当且仅当即x=y=时，等号成立， 所以x(y+1)的最大值是故D错误. 7.(5分)若a，b都是正数，且a+b=1，则(a+1)(b+1)的最大值是　　　　.  答案　 解析　因为a，b都是正数，且a+b=1， 所以(a+1)(b+1)≤= 当且仅当a+1=b+1，即a=b=时，等号成立.所以(a+1)(b+1)的最大值为. 8.(5分)若实数a，b满足a2+2ab=1，则a2+b2的最小值是　　　　.  答案　 解析　由a2+2ab=1可得b= 所以a2+b2=a2+=+-≥2-= 当且仅当a2=时，等号成立. 9.(10分)已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等.求证：++>a+b+c. 证明　∵a>0，b>0，c>0， ∴+≥2=2c，当且仅当a=b时，等号成立， +≥2=2a，当且仅当b=c时，等号成立， +≥2=2b，当且仅当a=c时，等号成立. 又a，b，c不全相等，故上述等号不能同时取到， ∴++>a+b+c. 10.(12分)已知x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，求： (1)xy的最小值；(6分) (2)x+y的最小值.(6分) 解　(1)方法一　由x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，得+=1， 则1=+≥2=得xy≥64， 当且仅当=即x=16，y=4时，等号成立. 所以xy的最小值为64. 方法二　因为x>0，y>0，且2x+8y-xy=0， 所以xy=2x+8y≥2 所以xy≥8即≥8，xy≥64， 当且仅当2x=8y，即x=16，y=4时，等号成立， 所以xy的最小值为64. (2)由(1)可得+=1， 则x+y=·(x+y) =10++≥10+2=18， 当且仅当=即x=12且y=6时等号成立， 所以x+y的最小值为18. 11.设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界.若a，b为正实数，且a+b=1，则--的上确界为(　　) A.- B. C. D.-4 答案　A 解析　因为a，b为正实数，且a+b=1， 所以+=(a+b)=+≥+2= 当且仅当b=2a，即a=b=时，等号成立. 因此有--≤- 即--的上确界为-. 12.(5分)如图，在半径为4(单位：cm)的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为　　　　(单位：cm2)，此时矩形的长、宽比是　　　　.  答案　16　2∶1 解析　如图所示，连接OC， 设OB=x(0<x<4)， 则BC== AB=2OB=2x， 所以，由均值不等式可得， 矩形ABCD的面积为S=AB·BC=2x·=2≤(16-x2)+x2=16， 当且仅当16-x2=x2， 即x=2时，等号成立， 此时AB=4 BC=2 所以长、宽比是2∶1. 13.(5分)设0<x<1，则当+取得最小值时，x的值是　　　　.  答案　 解析　由0<x<1，得1-x>0，由均值不等式可得+=[(1-x)+x]· =++5 ≥2+5=9， 当且仅当=即x=时，等号成立. 14.(5分)已知正实数a，b满足2a+b=1，则的最小值为　　　　　　　　　.  答案　9 解析　因为a，b均为正实数， 所以==+= =4+1++≥5+2=9， 当且仅当=即a=b=时，等号成立. 15.(5分)已知正实数a，b满足a+2b+5=ab，且不等式≥恒成立，则实数m的取值范围为　　　　　　　　.  答案　{m|m≥-18} 解析　因为正实数a，b满足a+2b+5=ab≥ 所以m≥=-=-(2a+b)， 而(2a+b)=++10≥2+10=18， 当且仅当=即a=b=时取等号， 所以-(2a+b)≤-18， 所以实数m的取值范围为{m|m≥-18}. 16.(12分)中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设.目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左、右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7 200元.设屋子的左、右两侧墙的长度均为x米(2≤x≤6). (1)当左、右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？(6分) (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元(a>0)，若无论左、右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功(报价低者竞标成功)，试求a的取值范围.(6分) 解　(1)设甲工程队的总报价为y元， 则y=3+7 200=900+7 200≥900×2+7 200=14 400，当且仅当x=即x=4时，等号成立， 即当左、右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低，为14 400元. (2)由题意可得，当2≤x≤6时，900+7 200>恒成立， 即> ∴a<=(x+1)++6， 又(x+1)++6≥2+6=12， 当且仅当x+1=即x=2时，等号成立. ∴a的取值范围为{a|0<a<12}. 学科网（北京）股份有限公司 $