第1章 章末复习课 集合与常用逻辑用语（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

该高中数学单元复习讲义通过知识框架系统梳理了集合与常用逻辑用语的内容，按集合概念及关系、基本运算、量词命题应用、充要条件判定递进构建体系，用数轴、维恩图呈现脉络，突出空集讨论、互异性检验等重难点。 讲义亮点在于例题与跟踪训练结合，如集合关系中用数轴分析参数范围，量词命题转化为集合包含关系，培养逻辑推理和数学运算素养。分层设计助基础生掌握方法，优秀生深入探究，教师可实施精准教学。

一、集合的概念及其基本关系 1.处理集合间的关系时需要注意：(1)涉及某些数集是不等式的解集时，利用数轴可较好地处理一些实数集之间的关系；(2)注意应用B⊆A的条件时，一定要考虑B=∅和B≠∅两种情况. 2.以形助数，直观形象，充分利用数形结合思想，同时注意转化思想、等价变形思想的灵活运用，提升逻辑推理素养. 例1　(1)(多选)已知集合A={0，m，m2-3m+2}，且2∈A，则实数m不可能为(　　) A.0 B.2 C.3 D.1 答案　ABD 解析　由2∈A可知，若m=2，则m2-3m+2=0，这与m2-3m+2≠0相矛盾；若m2-3m+2=2，则m=0或m=3，当m=0时，与m≠0相矛盾，当m=3时，此时集合A={0，3，2}，符合题意.当m=1时，不满足2∈A，且与m2-3m+2≠0相矛盾. (2)已知集合A={x|x<-1或x≥1}，B={x|2a<x≤a+1，a<1}，B⊆A，则实数a的取值范围为　　　　.  答案　(-∞，-2)∪ 解析　因为a<1，所以2a<a+1，所以B≠∅. 画数轴如图所示， 由B⊆A知，a+1<-1或2a≥1， 即a<-2或a≥. 由已知a<1，所以a<-2或≤a<1， 即所求a的取值范围是(-∞，-2)∪. 反思感悟　(1)因为集合元素的互异性，求出字母的值之后一定要回代检验是否满足互异性. (2)处理集合间关系问题的关键点 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系.合理利用数轴、维恩图帮助分析.同时还要注意“空集”这一“陷阱”. 跟踪训练1　(1)已知集合A={0，1，2}，则集合B={x-y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　) A.1 B.3 C.5 D.9 答案　C 解析　①当x=0时，y=0，1，2，此时x-y的值分别为0，-1，-2； ②当x=1时，y=0，1，2，此时x-y的值分别为1，0，-1； ③当x=2时，y=0，1，2，此时x-y的值分别为2，1，0. 综上所述，x-y的可能取值为-2，-1，0，1，2，共5个. (2)若集合A={x|2≤x≤3}，集合B={x|ax-2=0，a∈Z}，且B⊆A，则实数a=　　　　.  答案　0或1 解析　当B=∅时，a=0，满足B⊆A； 当B≠∅时，a≠0，B=又B⊆A， ∴2≤≤3， 即≤a≤1，又a∈Z，∴a=1. 综上所述，a的值为0或1. 二、集合的基本运算 1.集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.这也是高考对集合部分的主要考查点.对于较抽象的集合问题，解题时需借助维恩图或数轴等进行数形分析，使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解. 2.掌握集合的基本运算，重点提升逻辑推理和数学运算素养. 例2　(多选)已知集合A={x|x<2}，B={x|3-2x>0}，则(　　) A.A∩B= B.A∩(∁RB)= C.A∪B= D.(∁RA)∪B=R 答案　AB 解析　因为A={x|x<2}，B={x|3-2x>0}=∁RA={x|x≥2}，∁RB= 所以A∩B= A∩(∁RB)=A∪B={x|x<2}， (∁RA)∪B=. 反思感悟　借助数轴表示集合间的关系可以更直观，但操作时要规范，如区间端点的顺序、虚实不能标反. 跟踪训练2　已知集合M={(x，y)|y=3x2}，N={(x，y)|y=5x}，则M∩N中的元素个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　C 解析　联立解得或 因此M∩N中的元素个数为2. 三、全称量词命题与存在量词命题的应用 1.已知含量词的命题真假求参数的取值范围，解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制. 2.通过掌握全称量词命题与存在量词命题的应用，着重提升逻辑推理和数学运算素养. 例3　已知命题p：∀x∈{x|-2<x<4}，恒有1-a<x<3a+1成立，若p为真命题，求实数a的取值范围. 解　设集合A={x|-2<x<4}，B={x|1-a<x<3a+1}， 由题意知，A⊆B，则有解得a≥3. 故实数a的取值范围为{a|a≥3}. 反思感悟　牵涉到参数的全称量词命题一般是恒成立问题，必须对限定集合中每一个元素x验证成立，解题过程中可以借助于集合、数轴进行解决.牵涉到参数的存在量词命题一般是存在性问题，只要在限定集合中，能找到一个元素x0，使p(x0)成立即可. 跟踪训练3　已知命题“∀x∈{x|-3≤x≤-2}，mx>12”是假命题，则m的取值范围为(　　) A.{m|m>-4} B.{m|m≥-4} C.{m|m>-6} D.{m|m≥-6} 答案　D 解析　命题“∀x∈{x|-3≤x≤-2}，mx>12”是假命题，则命题“∃x∈{x|-3≤x≤-2}，mx≤12”是真命题，故m≥=-6. 四、充分条件、必要条件的判定及应用 1.充要条件是数学的重要概念之一，在数学中有着非常广泛的应用，在高考中有着较高的考查频率，其特点是以高中数学的其他知识为载体考查充分条件、必要条件、充要条件的判断. 2.解决此类问题要注意转化思想的运用，往往是先把条件化繁为简，要注意推理的严谨性，提升逻辑推理和数学运算素养. 例4　设p：实数x满足a<x<3a，其中a>0，q：实数x满足2<x≤3.若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 解　¬p是¬q的充分不必要条件， 即¬p⇒¬q且¬q¬p， 设A={x|x≤a或x≥3a，a>0}，B={x|x≤2或x>3}，则AB. 所以0<a≤2且3a>3，即1<a≤2. 所以实数a的取值范围是{a|1<a≤2}. 反思感悟　主要是根据充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解. 跟踪训练4　(1)已知p：m-1<x<m+1，q：2<x<6，且q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围为(　　) A.3<m<5 B.3≤m≤5 C.m<3或m>5 D.m≤3或m≥5 答案　B 解析　∵q是p的必要不充分条件， ∴p⇒q且qp. ∴且等号不能同时取得， ∴3≤m≤5. ∴实数m的取值范围是3≤m≤5. (2)若不等式1-a<x<a+1成立的一个充分条件是0<x<4，则实数a的取值范围是　　　　　　.  答案　[3，+∞) 解析　若不等式1-a<x<a+1成立的一个充分条件是0<x<4， 则(0，4)⊆(1-a，a+1)， 所以⇒⇒a≥3， 所以实数a的取值范围是[3，+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $