第3章 章末复习课 函数（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

该高中数学课件系统梳理了第三章函数的核心内容，通过知识网络将函数的概念、表示方法、性质及应用等模块串联，明确定义域与值域、解析式、单调性奇偶性、图像画法间的内在逻辑，帮助学生构建完整的函数知识体系。 其亮点在于采用“概念辨析-例题精讲-跟踪训练”的复习策略，如结合具体例题讲解定义域求法、利用奇偶性求解析式等，通过分层设计的跟踪训练题培养学生的数学抽象和逻辑推理能力。这种设计既帮助学生巩固知识，也为教师提供精准复习的教学支持。

章末复习课 第三章　 函　数 <<< 知识网络 一、函数的定义域、值域 二、函数的解析式 三、函数的单调性和奇偶性 内容索引 四、函数图象的画法及应用 函数的定义域、值域 一 1.求函数定义域的常用依据是分母不为0，偶次根式中被开方数大于或等于0等；由几个式子构成的函数，其定义域是使各式子有意义的集合的交集；函数的值域是在函数的定义域下函数值的取值范围，一般是利用函数的图象或函数的单调性求值域. 2.掌握基本集合的交、并、补运算，解简单的不等式，提升逻辑推理和数学抽象素养. (1)函数f(x)=+(3x-1)0的定义域是 A. B. C. D.∪ √ 例 1 由题意得解得x<1且x≠. 解析 6 (2)函数f(x)=的最大值和最小值分别为　　　，　　　. 2 - 作出f(x)的图象，如图. 由图象可知，当x=2时，f(x)取得最大值2； 当x=时，f(x)取得最小值-. 所以f(x)的最大值为2，最小值为-. 解析 7 (1)求函数定义域的类型与方法 ①已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合. ②实际问题：求函数的定义域既要考虑使解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义. ③复合函数问题： (ⅰ)若f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出； (ⅱ)若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域. (2)求函数的值域时常用的方法有：配方法、换元法、分离常数法、判别式法等，不论采用什么样的方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则. 反 思 感 悟 8 (1)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，值域为[-2，3]，则下列函数的值域也为[-2，3]的是 A.y=f(x+1) B.y=f(x)+1 C.y=f(-x) D.y=-f(x) 跟踪训练 1 √ √ 9 对于A，y=f(x+1)的图象可看作由y=f(x)的图象向左平移一个单位得到，故值域不变，故A符合题意； 对于B，由y=f(x)∈[-2，3]，可得y=f(x)+1∈[-1，4]，即y=f(x)+1的值域为[-1，4]，故B不符合题意； 对于C，函数y=f(-x)与函数y=f(x)的图象关于y轴对称，故函数y=f(-x)的值域与函数y=f(x)的值域相同，为[-2，3]，故C符合题意； 对于D，由y=f(x)∈[-2，3]，可得y=-f(x)∈[-3，2]，即y=-f(x)的值域为[-3，2]，故D不符合题意. 解析 10 (2)已知函数f(x)的定义域是[-2，2]，则函数g(x)=的定义域是 A.∪ B. C. D. √ ∵函数f(x)的定义域是[-2，2]， ∴得-3≤x≤1，且x≠0， ∴函数g(x)=∪. 解析 11 二 函数的解析式 1.函数的解析式实际上就是函数的对应法则的数学表示，求函数的解析式一般采用的是换元法、拼凑法、待定系数法、解方程组法等，特别是在分段函数中还要结合函数的奇偶性. 2.求函数的解析式往往考查的是分析能力和逻辑思维能力，以提高逻辑思维和数学运算的素养为主要目的. (1)函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)=+1，则f(x)的解析式 为　　　 　 .  例 2 f(x)= 14 设x<0，则-x>0，∴f(-x)=+1. ∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)， 即-f(x)=+1，∴f(x)=--1. ∵f(x)是奇函数，∴f(0)=0， ∴f(x)= 解析 15 (2)已知函数f(x-1)=x2+x-3，则f(x)=　　　　　.  x2+3x-1 设t=x-1，则x=t+1，故f(t)=(t+1)2+(t+1)-3=t2+3t-1，即f(x)=x2+3x-1. 解析 16 求函数解析式的题型与相应的解法 (1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法. (2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法. (3)含f(x)与f(-x)或f(x)与f 使用解方程组法. (4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法. 反 思 感 悟 17 (1)已知二次函数f(x)满足f(0)=1，f(1)=2，f(2)=5，则该二次函数的解析式为　　 　.  跟踪训练 2 设二次函数的解析式为f(x)=ax2+bx+c(a≠0)， 由题意得 解得故f(x)=x2+1. 解析 f(x)=x2+1 18 (2)若3f(x-1)+2f(1-x)=2x，则f(x)的解析式为　　 　　.  令t=x-1，则x=t+1，t∈R， 原式变为3f(t)+2f(-t)=2(t+1). ① 以-t代替t， ①式变为3f(-t)+2f(t)=2(1-t). ② 由①②消去f(-t)得f(t)=2t+ 故f(x)=2x+. 解析 f(x)=2x+ 19 函数的单调性和奇偶性 三 1.利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是考试重点考查内容，解不等式时经常结合图象，要注意勿漏定义域的影响. 2.掌握单调性和奇偶性的判断和证明，会简单的综合运用，提升数学抽象、逻辑推理和直观想象素养. 已知函数f(x)=. (1)判断f(x)的奇偶性； 例 3 函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)， 因为f(-x)==-=-f(x)， 所以函数f(x)是奇函数. 解 22 (2)当x∈(1，+∞)时，判断f(x)的单调性并证明； 函数f(x)在(1，+∞)上单调递增. 证明如下：任取x1，x2∈(1，+∞)，且x1<x2， 则f(x1)-f(x2)=-== = 因为x2>x1>1，所以x1-x2<0，x1x2>0，x1x2-1>0， 所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以函数f(x)在(1，+∞)上单调递增. 解 23 (3)在(2)的条件下，若实数m满足f(3m)>f(5-2m)，求m的取值范围. 由(2)知函数f(x)在(1，+∞)上单调递增， 所以3m>5-2m>1，解得1<m<2， 所以m的取值范围为(1，2). 解 24 函数的单调性和奇偶性 (1)注意函数单调性的定义及其等价形式，如函数在区间I上单调递增：∀x1，x2∈I，(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0 >0等. (2)函数的奇偶性的主要用途是实现函数值f(a)，f(-a)的转化，注意其图象的对称性的应用. 反 思 感 悟 25 已知函数f(x)=是奇函数，且f(2)=. (1)求实数m和n的值； 跟踪训练 3 ∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)， ∴=-=. 比较得n=-n，解得n=0. 又f(2)=∴=解得m=2. ∴实数m和n的值分别是2和0. 解 26 (2)求函数f(x)在区间[-2，-1]上的最值. 由(1)知f(x)==+. 任取x1，x2∈[-2，-1]，且x1≠x2，记y1=f(x1)，y2=f(x2)， 则===·. ∵x1，x2∈[-2，-1]且x1≠x2， ∴x1x2>1，x1x2-1>0，∴>0， ∴函数f(x)在[-2，-1]上为增函数，∴f(x)max=f(-1)=-f(x)min=f(-2)=-. 解 27 函数图象的画法及应用 四 1.利用函数的图象可以直观地观察函数的值域、最值、单调性、奇偶性等，重点是一次函数、二次函数、反比例函数等. 2.掌握简单的基本函数图象，提升直观想象素养. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)=x2+4x，函数f(x)在y轴左侧的图象如图所示，根据图象： 例 4 函数f(x)是定义在R上的奇函数，则函数f(x)的图象关于原点对称， 则函数f(x)的图象如图所示，故函数f(x)的单调递增区间为. 解 (1)画出f(x)在y轴右侧的图象，并写出函数f(x)的单调递增区间； 30 (2)写出函数f(x)的解析式； 令x>0，则-x<0，则f=x2-4x， 又函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(x)=-f=-x2+4x， 所以f(x)= 解 31 (3)已知g(x)=f(x)-a有三个零点，求实数a的取值范围. 已知g(x)=f(x)-a有三个零点， 即y=f(x)与y=a的图象有三个不同的交点，由图象可知-4<a<4， 故实数a的取值范围是(-4，4). 解 32 画函数图象的主要方法是描点法，要先研究函数性质再画图，一旦有了函数图象，可以使问题变得直观，但仍要结合代数运算才能获得精确结果. 反 思 感 悟 33 (1)已知函数f(x)=方程[f(x)]2-bf(x)=0，b∈ (0，1)，则方程的根的个数是 A.2 B.3 C.4 D.5 跟踪训练 4 √ 因为[f(x)]2-bf(x)=0，所以f(x)=0或f(x)=b， 作出函数f(x)=的图象如图， 结合图象可知， f(x)=0有2个不同的根，f(x)=b(0<b<1)有3个不同的根，且5个根都不相同，故方程的根的个数是5. 解析 34 (2)对于实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b=设函数f(x)=(x2-2) ⊗(x-1)，x∈R.若函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是 A.(-1，1]∪(2，+∞) B.(-2，-1]∪(1，2] C.(-∞，-2)∪(1，2] D.[-2，-1] √ 35 令(x2-2)-(x-1)≤1，得-1≤x≤2， 则f(x)= ∵函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点， 即函数f(x)的图象与直线y=c恰有两个公共点. ∴画出函数f(x)的图象(如图)， 可得实数c的取值范围是(-2，-1]∪(1，2]. 解析 36 第三章　 函　数 <<< $