第3章 习题课 二次函数的单调性与最值（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

该高中数学课件聚焦二次函数的单调性与最值，通过学习目标明确“利用单调性求参数范围”“给定区间求最值”两大任务，以例题解析为导入，结合跟踪训练构建从基础到应用的学习支架，衔接函数性质与复杂问题解决。 其亮点在于以数形结合和分类讨论为核心方法，通过含参数单调性分析（如区分“在某区间单调”与“单调区间为某区间”）培养数学思维，结合随堂演练和课时对点练，帮助学生用数学语言表达解题过程，提升抽象能力和应用意识。学生能系统掌握分类策略，教师可获得清晰教学路径与分层训练素材。

习题课 二次函数的单调性与最值 第三章　 函　数 <<< 1.会利用二次函数的单调性求参数的取值范围. 2.会根据给定自变量的范围求二次函数的最值. 学习目标 一、已知二次函数单调性求参数 二、二次函数最值问题 课时对点练 随堂演练 内容索引 已知二次函数单调性求参数 一 　　　若f(x)=ax2-(2-a)x+1在区间上为减函数，则a的取值范围是 A.(0，1] B.[0，1) C.[0，1] D.(0，1) √ 例 1 5 由题意，当a=0时，可得f(x)=-2x+1， 在R上单调递减，满足题意； 当a<0时，显然不成立； 当a>0时，要使f(x)在≥解得a≤1，∴0<a≤1. 综上，满足题意的a的取值范围是[0，1]. 解析 6 条件改为“若f(x)的单调递减区间为”，则a的值为　　　.  延伸探究 1 由条件可知，f(x)为开口向上的二次函数，且对称轴为x=所以a>0且=即a=1. 解析 7 解决二次函数单调性问题的关键是数形结合思想，重点研究二次函数的开口方向和对称轴，结合图象求解.解题时应注意所给条件是“在某区间上单调”还是“单调区间为某区间”. 反 思 感 悟 8 若二次函数y=kx2-4x+2在区间[1，2]上是增函数，则实数k的取值范围为 A.[2，+∞) B.(2，+∞) C.(-∞，0) D.(-∞，2) 跟踪训练 1 √ 9 二次函数y=kx2-4x+2的对称轴为x=当k>0时，要使函数y=kx2-4x+2在区间[1，2]上是增函数，只需≤1，解得k≥2. 当k<0时<0，此时抛物线的对称轴在区间[1，2]的左侧，该二次函数y=kx2-4x+2在区间[1，2]上是减函数，不符合要求. 综上可得，实数k的取值范围是[2，+∞). 解析 10 二 二次函数最值问题 已知函数f(x)=x2-2x+2在闭区间[t，t+1](t∈R)上的最小值为g(t). (1)求g(t)的函数表达式； 例 2 角度1　轴定区间动 12 依题意知，函数f(x)的图象是开口向上的抛物线， ∴函数f(x)有最小值，且当x=-=1时，f(x)min=1. 下面分情况讨论函数f(x)在闭区间(t∈R)上的取值情况： ①当闭区间⊆即t<0时，f(x)在x=t+1处取到最小值， 此时g=-2+2=t2+1； ②当1∈即0≤t≤1时，f(x)在x=1处取到最小值，此时g=1； ③当闭区间⊆即t>1时，f(x)在x=t处取到最小值，此时g=t2-2t+2. 解 13 综上，g的函数表达式为g= 解 14 (2)画出g(t)的简图，并写出g(t)的最小值. 由(1)可知，g为分段函数，作出其图象如图. 由图象可知g=1. 解 15 求函数y=-x(x-a)在x∈[-1，1]上的最大值. 例 3 角度2　轴动区间定 16 函数y=-+图象的对称轴为x=应分<-1，-1≤≤1>1，即a<-2，-2≤a≤2，a>2这三种情形讨论，图象如图所示. 解 (1)当a<-2时，由图①可知ymax=f(-1)=-(a+1). 图①　　　　图②　　　　图③ 17 (2)当-2≤a≤2时，由图②可知ymax=f =. (3)当a>2时，由图③可知ymax=f(1)=a-1. 解 综上，ymax= 图②　　　　图③ 18 求函数y=-x(x-a)在x∈[-1，a]上的最大值. 例 4 角度3　轴动区间动 19 函数图象的对称轴为x=又x∈[-1，a]，故a>-1>- ∴对称轴在x=-的右边. (1)当-1<≤a，即a≥0时，由二次函数图象(如图①)可知，ymax=f =. 解 图① 20 (2)当a<即-1<a<0时，由二次函数的图象(如图②)可知，ymax=f(a)=0. 解 综上可知，当-1<a<0时，ymax=0，当a≥0时，ymax=. 图② 21 二次函数的最值问题主要有三种类型：轴动区间动、轴动区间定、轴定区间动.无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论. 反 思 感 悟 22 设a是正数，且函数f(x)=2-ax+3x-x2在上的最大值为M(a)，求M(a)的表达式. 跟踪训练 2 23 f(x)=2-ax+3x-x2=-++2，x∈a>0， f(x)图象的对称轴为直线x=3-a， 将区间看作是不动的，对称轴变化，进行如下讨论. (1)当0<3-a<即时，解得0<a<1或2<a<3. 此时M(a)=f=+2. 解 24 (2)当3-a≥即时，解得1≤a≤2. 此时M(a)=f =2-a×+3×-=-+. (3)当3-a≤0，即a≥3时，M(a)=f(0)=2. 综上所述，M(a)= 解 25 1.知识清单： (1)二次函数单调性问题. (2)二次函数求最值的三种情形. 2.方法归纳：分类讨论、数形结合. 3.常见误区：分类讨论分类不清；二次项系数没讨论. 课堂小结 随堂演练 三 1 2 3 4 1.函数f(x)=x2-2x+t(t为常数，且t∈R)在[-2，3]上的最大值是 A.t-1 B.t+6 C.t+8 D.t+3 √ 由f(x)=x2-2x+t=(x-1)2+t-1(t为常数，且t∈R)，得f(x)在[-2，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，又f(-2)=8+t， f(3)=3+t<8+t，∴f(x)max=f(-2)=8+t. 解析 1 2 3 4 2.二次函数f(x)=ax2+2x-1在区间(-∞，1)上单调递增的一个充分不必要条件为 A.a>1 B.a<-2 C.-<a<0 D.0<a<1 √ 二次函数f(x)=ax2+2x-1在区间(-∞，1)上单调递增的充要条件为 ⇒-1≤a<0， ∴二次函数f(x)=ax2+2x-1在区间(-∞，1)上单调递增的一个充分不必要条件为-<a<0. 解析 1 2 3 4 3.函数f(x)=x2-4x-6的定义域为[0，m]，值域为[-10，-6]，则m的取值范围是 A.[0，4] B.[2，4] C.[2，6] D.[4，6] √ 函数f(x)=x2-4x-6的图象是开口向上，且以直线x=2为对称轴的抛物线， 故f(0)=f(4)=-6，f(2)=-10. ∵函数f(x)=x2-4x-6的定义域为[0，m]，值域为[-10，-6]， ∴2≤m≤4，即m的取值范围是[2，4]. 解析 1 2 3 4 4.已知函数f(x)=-2x2+mx+3(0≤m≤4，0≤x≤1)的最大值为4，则m的值为　　　.  f(x)=-2x2+mx+3=-2++3， ∵0≤m≤4，∴0≤≤1， ∴当x=时，f(x)取得最大值， ∴+3=4，解得m=2. 解析 2 课时对点练 四 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C A A D A B BCD 题号 8 9 　10 答案 14 　3 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题意得，函数f(x)的对称轴为x=1， (1)当1≥t+2，即t≤-1时，f(x)在[t，t+2]上为减函数， ∴f(x)的最小值为f(t+2)=(t+2)2-2(t+2)-3=t2+2t-3. (2)当t≤1<t+2，即-1<t≤1时， f(x)的最小值为f(1)=-4. 11. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)当1<t，即t>1时， f(x)在[t，t+2]上为增函数， ∴f(x)的最小值为f(t)=t2-2t-3. 设函数f(x)的最小值为g(t)，则有g(t)= 12. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)因为f(x)=x2≥0，所以值域为[0，+∞)， 所以“跟随区间”[a，b]⊆[0，+∞)， 又f(x)=x2在[0，+∞)上单调递增，所以f(a)=a，f=b， 从而f(x)=x2=x有两个非负根，解得x=0或x=2， 所以二次函数f(x)=x2的一个“跟随区间”为[0，2]. 12. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)g(x)=1-(x≠0)， 设[a，b]⊆{x|x≠0}， 可设[a，b]⊆(-∞，0)或[a，b]⊆(0，+∞)， 因为g(x)=1-在(-∞，0)和(0，+∞)上单调递增， 若[a，b]是函数g(x)=1-的“跟随区间”， 12. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 则则a，b是x2-x+1=0的两个不等且同号的实根， 又Δ=(-1)2-4×1×1=-3<0，所以x2-x+1=0无实数根， 所以函数g(x)=1-不存在“跟随区间”. 12. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)h(x)=的定义域为{x|x≠0}， 因为函数h(x)有“4倍跟随区间”[4m，4n]， 则[m，n]⊆{x|x≠0}，所以[m，n]⊆(-∞，0)或[m，n]⊆(0，+∞)， 所以h(x)=-在[m，n]上单调递增， 因为函数h(x)有“4倍跟随区间”[4m，4n]， 12. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 则有所以m，n是方程-=4x的两个不等且同号的 实根， 即4a2x2-(a2+a)x+1=0有两个不等且同号的实根， 所以Δ=-4×4a2×1>0， 则m+n==+mn= 12. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以n-m=== === =≤= 12. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当且仅当a=15时，n-m取得最大值. 又当a=15时符合Δ>0的条件， 所以当n-m取得最大值时，a的值为15. 一、单项选择题 1.函数f(x)=2x2-mx+3在(-∞，-2]上单调递减，在(-2，+∞)上单调递增，则f(1)等于 A.-3 B.7 C.13 D.不能确定 √ 由题意可知，对称轴x==-2， 所以m=-8，f(x)=2x2+8x+3，f(1)=13. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.已知函数y=x2-2ax+1在区间(2，3)内是单调函数，则实数a的取值范围是 A.a≤2或a≥3 B.2≤a≤3 C.a≤-3或a≥-2 D.-3≤a≤-2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二次函数y=x2-2ax+1的图象开口向上，对称轴为x=a，要使得二次函数y=x2-2ax+1在区间(2，3)内是单调函数，则对称轴不在(2，3)内部即可，即a≤2或a≥3. 解析 3.函数f(x)=-x2-4x+2在[m，0]上的值域为[2，6]，则m的取值范围是 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二次函数f(x)=-x2-4x+2图象的对称轴为直线x=-2，在f(0)=f=2，f=6，由图可知m的取值范围是. 解析 4.函数f(x)=kx2+(3k-2)x-5在[1，+∞)上单调递增，则k的取值范围是 A.(0，+∞) B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当k=0时，f(x)=kx2+(3k-2)x-5=-2x-5，函数f(x)在[1，+∞)上单调递减，不符合题意； 当k≠0时，要使函数f(x)在[1，+∞)上单调递增，只需 解得k≥. 综上，k的取值范围是. 解析 5.若函数f(x)=在R上为增函数，则实数b的取值范围为 A.[1，2] B. C.(1，2] D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 函数f(x)= 在R上为增函数， ∴ 解得1≤b≤2， ∴实数b的取值范围是[1，2]. 解析 6.已知在(-∞，1]上单调递减的函数f(x)=x2-2tx+1，且对任意的x1，x2∈[0，t+1]，总有|f(x1)-f(x2)|≤2，则实数t的取值范围是 A.[- B.[1 C.[2，3] D.[1，2] √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由于f(x)=x2-2tx+1的图象的对称轴为x=t， 又y=f(x)在(-∞，1]上是减函数，所以t≥1. 则在区间[0，t+1]上，f(x)max=f(0)=1， f(x)min=f(t)=t2-2t2+1=-t2+1， 要使对任意的x1，x2∈[0，t+1]，都有|f(x1)-f(x2)|≤2， 只需1-(-t2+1)≤2，解得-≤t≤. 又t≥1，∴1≤t≤. 解析 二、多项选择题 7.已知函数f(x)=x2-2x在区间[a，b]上的值域为[-1，3]，则b-a的可能取值是 A.1 B.2 C.3 D.4 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为函数f(x)=x2-2x在区间上单调递增， 所以f(x)在R上的最小值为f(1)=-1，且f(-1)=f(3)=3， (1)当a=-1时，可知必有1∈ 所以1≤b且f(b)≤3，解得1≤b≤3，此时2≤b-a≤4； (2)当b=3时，可知必有1∈ 所以a≤1且f(a)≤3，解得-1≤a≤1，此时2≤b-a≤4. 综上可知，2≤b-a≤4， 所以b-a的可能取值为2，3，4. 解析 三、填空题 8.若函数y=x2-2x，x∈[-2，a]，则函数的最小值g(a)=　　　 　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1，∴对称轴为直线x=1， 当-2<a<1时，函数在[-2，a]上单调递减，则当x=a时，ymin=a2-2a； 当a≥1时，函数在[-2，1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x=1时，ymin=-1. 综上，g(a)= 解析 9.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，则每天可销售100件.现准备采用提高售价的方法来增加利润，已知这种商品每件的售价每提高1元，每天的销量就要减少10件.要使该商场每天销售该商品所得的利润最大，则该商品每件的售价为　　 元.  设该商品每件的售价为x元，则每件商品售出所获利润为(x-8)元，销售量为[100-10(x-10)]件，商场每天销售该商品所得的利润 y=(x-8)[100-10(x-10)]=-10x2+280x-1 600=-10(x-14)2+360， 当x=14时，ymax=360，所以该商品每件的售价为14元. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 10.已知函数f(x)=x2-2mx(m>0)满足：∀x∈[0，2]，f(x)≥-8；∃x0∈[0，2]，f(x0)=-8，则m的值为　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题意知，函数f(x)=x2-2mx(m>0)在[0，2]上的最小值为-8，因为f(x)= (x-m)2-m2，对称轴是直线x=m，开口向上， 当0<m<2时，f(x)在[0，m]上单调递减，在[m，2]上单调递增，故f(x)的最小值为-m2=-8，解得m=±2不符合题意； 当m≥2时，f(x)在[0，2]上单调递减，f(x)min=f(2)=4-4m=-8，解得m=3，符合题意. 综上所述，m=3. 解析 四、解答题 11.已知函数f(x)=x2-2x-3，若x∈[t，t+2]，求函数f(x)的最小值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题意得，函数f(x)的对称轴为x=1， (1)当1≥t+2，即t≤-1时，f(x)在[t，t+2]上为减函数， ∴f(x)的最小值为f(t+2)=(t+2)2-2(t+2)-3=t2+2t-3. (2)当t≤1<t+2，即-1<t≤1时，f(x)的最小值为f(1)=-4. (3)当1<t，即t>1时，f(x)在[t，t+2]上为增函数， ∴f(x)的最小值为f(t)=t2-2t-3. 设函数f(x)的最小值为g(t)，则有g(t)= 解 12.一般地，若函数f(x)的定义域是[a，b]，值域为[ka，kb]，则称[ka，kb]为f(x)的“k倍跟随区间”，若函数的定义域为[a，b]，值域也为[a，b]，则称[a，b]为f(x)的“跟随区间”. (1)写出二次函数f(x)=x2的一个“跟随区间”； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为f(x)=x2≥0，所以值域为[0，+∞)， 所以“跟随区间”[a，b]⊆[0，+∞)， 又f(x)=x2在[0，+∞)上单调递增，所以f(a)=a，f=b， 从而f(x)=x2=x有两个非负根，解得x=0或x=2， 所以二次函数f(x)=x2的一个“跟随区间”为[0，2]. 解 (2)求证：函数g(x)=1-不存在“跟随区间”； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 g(x)=1-(x≠0)，设[a，b]⊆{x|x≠0}，可设[a，b]⊆(-∞，0)或[a，b]⊆(0，+∞)， 因为g(x)=1-在(-∞，0)和(0，+∞)上单调递增， 若[a，b]是函数g(x)=1-的“跟随区间”， 则则a，b是x2-x+1=0的两个不等且同号的实根， 又Δ=(-1)2-4×1×1=-3<0，所以x2-x+1=0无实数根， 所以函数g(x)=1-不存在“跟随区间”. 证明 (3)已知函数h(x)=有“4倍跟随区间”[4m，4n]，当n-m取得最大值时，求a的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 h(x)=的定义域为{x|x≠0}， 因为函数h(x)有“4倍跟随区间”[4m，4n]， 则[m，n]⊆{x|x≠0}，所以[m，n]⊆(-∞，0)或[m，n]⊆(0，+∞)， 所以h(x)=-在[m，n]上单调递增， 因为函数h(x)有“4倍跟随区间”[4m，4n]， 则有所以m，n是方程-=4x的两个不等且同号的实根， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 即4a2x2-(a2+a)x+1=0有两个不等且同号的实根， 所以Δ=-4×4a2×1>0， 则m+n==+mn= 所以n-m=== === =≤= 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当且仅当a=15时，n-m取得最大值. 又当a=15时符合Δ>0的条件， 所以当n-m取得最大值时，a的值为15. 解 第三章　 函　数 <<< $