第5章 5.5.2 第1课时 简单的三角恒等变换(一)（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦半角公式、和差化积与积化和差及三角变换应用，通过回顾同角关系、诱导公式及和差倍角公式，以问题“余弦二倍角展开形式”引导，搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生推导半角公式。 其亮点是问题驱动公式推导，如由二倍角公式变形推导半角公式培养数学思维，例题多解法（如和差化积求值用三种方法）强化数学语言表达，课堂小结分知识清单、方法归纳、常见误区系统梳理。学生能提升逻辑推理与应用能力，教师可借助结构化内容提高教学效率。

第1课时 简单的三角恒等变换(一) 第五章　5.5.2　简单的三角恒等变换 <<< 1.通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式. 2.了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题.(重点) 3.掌握两角和、差的正、余弦公式，通过积化和差、和差化积进行简单的化简、求值、证明.(难点) 学习目标 同学们，前面我们学习了三角函数中的很多公式，有同角的三角函数的基本关系、诱导公式、两角和、差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式，它们都属于三角变换.本节将综合运用和(差)角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换. 导 语 一、半角公式 二、和差化积、积化和差 课时对点练 三、三角函数式的化简、证明 随堂演练 内容索引 半角公式 一 提示　三种形式：cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. 余弦的二倍角展开有几种形式？请写出. 问题1 提示　cos α=cos2-sin2 =2cos2-1 =1-2sin2. 我们将二倍角的余弦公式中的“2α”换成“α”，你会得到什么式子？ 问题2 半角公式 sin=__________ cos=__________ tan=___________. ± ± ± 知识梳理 (1)半角公式中的±号不能去掉，若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留±两个符号；若给出α的具体范围时，则先求所在的范围，然后根据所在的范围选用符号. (2)涉及半角公式的正切值时，常用tan其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题. 注 意 点 <<< 9 　已知|cos θ|=且<θ<3π，求sintan的值. 例 1 ∵|cos θ|=<θ<3π， ∴cos θ=-. ∴sin=-=- cos=-=- ∴tan=2. 解 10 若条件变为“θ为第二象限角，tan θ=-且sin<cos”，如何求解？ 延伸探究 11 ∵θ为第二象限角，且sin<cos ∴为第三象限角，故sin <0，cos<0. ∵tan θ=-∴cos θ=-. ∴sin=-=- cos=-=- ∴tan=2. 解 12 利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解. (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围. (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2 cos2计算. (4)下结论：结合(2)求值. 反 思 感 悟 13 二 和差化积、积化和差 1.积化和差 sin αcos β=___________________； cos αsin β=___________________； cos αcos β=___________________； sin αsin β=____________________. sin(α+β)+sin(α-β)] sin(α+β)-sin(α-β)] cos(α+β)+cos(α-β)] -cos(α+β)-cos(α-β)] 2.和差化积 sin θ+sin φ=_______________； sin θ-sin φ=_______________； cos θ+cos φ=______________； cos θ-cos φ=_______________. 2sin 2cos 2cos -2sin 　求sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°的值. 例 2 17 方法一　sin220°+cos250°+sin 20°cos 50° =1-cos 40°)+1+cos 100°)+sin 70°+sin(-30°)] =cos 100°-cos 40°+sin 70°) =-2sin 70°sin 30°+sin 70°) =-sin 70°+sin 70°) =. 解 18 方法二　sin220°+cos250°+sin 20°cos 50° =1-cos 40°)+cos 50°(cos 50°+sin 20°) =1-cos 40°)+cos 50°(sin 40°+sin 20°) =1-cos 40°)+cos 50°·2sin 30°cos 10° =1-cos 40°)+cos 50°cos 10° =1-cos 40°)+cos 60°+cos 40°) =. 解 19 方法三　令A=sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°， B=cos220°+sin250°+cos 20°sin 50°. 则A+B=2+sin 70°， A-B=-cos 40°+cos 100°+sin(-30°) =-sin 70°- 两式相加得2A=即A= 故sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°=. 解 20 积化和差、和差化积的转换用到了换元的方法，如把α+β看作θ，α-β看作φ，从而把包含α，β的三角函数式转化为θ，φ的三角函数式.或者把sin αcos β看作x，cos αsin β看作y，把等式看作x，y的方程，则原问题转化为解方程(组)求x，它们都体现了化归思想. 反 思 感 悟 21 求下列各式的值： (1)cos 29°cos 31°-cos 2°； cos 29°cos 31°-cos 2° =cos(29°+31°)+cos(29°-31°)]-cos 2° =cos 60°+cos(-2°)-cos 2° =. 解 跟踪训练1 22 (2)cos+cos-2sin. cos+cos-2sin =2cos ·cos =2cos = =0. 解 23 三角函数式的化简、证明 三 　(1)化简：π<α<2π). 例 3 原式= ==. 又∵π<α<2π，∴<π， ∴cos<0， ∴原式==cos α. 解 25 (2)求证：. 方法一　左边= ==右边， 所以原等式成立. 方法二　左边= ==右边， 所以原等式成立. 证明 26 (1)化简问题中的“三变” ①变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的关系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式. ②变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切. ③变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等. (2)三角恒等式证明的思路 通过观察分析等式两端的结构，从两端角的差异、三角函数名称及结构的差异入手，寻求证明途径，左右归一，或者消除等式两端的差异，达到形式上的统一. 反 思 感 悟 27 化简：2. 原式=2 =2 =2|sin 4+cos 4|+2|cos 4|. 由于π<4< ∴sin 4<0，cos 4<0，sin 4+cos 4<0， ∴原式=-2(sin 4+cos 4)-2cos 4 =-2sin 4-4cos 4. 解 跟踪训练2 28 1.知识清单： (1)半角公式. (2)积化和差、和差化积. (3)三角函数式的化简、证明. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：半角公式符号的判断. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知cos α=-<α<π，则sin等于 A.- B. C.- D. √ 由<α<π可知故sin. 解析 1 2 3 4 2.已知cos θ=--180°<θ<-90°，则cos等于 A.- B. C.- D. √ 由-180°<θ<-90°可知-90°<<-45°，故cos . 解析 1 2 3 4 3.化简的结果是 A.-cos 1 B.cos 1 C.cos 1 D.-cos 1 √ 原式=因为0<1<故原式=cos 1. 解析 1 2 3 4 4.化简：=　　　　. 原式==tan. 解析 tan 课时对点练 五 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C D B D A BCD 2- 题号 9 11 12 13 15 答案 D AC 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为π<α<所以 所以cos<0，sin>0， 所以原式= = =-=-cos . 16 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 左边= = =. 右边= 所以左边=右边，即等式成立. 16 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 在锐角△ABC中，有A+B+C=π，则 则tan =tan 又tan 16 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 则左边=tan +tan tan =tan tan +tan tan =tan +tan tan =1-tan tan +tan tan =1=右边.故原式成立. 16 基础巩固 1.已知sin α=cos α=则tan等于 A.2- B.2+ C.-2 D.±-2) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　因为sin α=cos α= 所以tan-2. 方法二　因为sin α=>0，cos α=>0， 所以α的终边落在第一象限的终边落在第一或第三象限，所以tan>0， 故tan-2. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.设a=cos 6°-sin 6°，b=2sin 13°cos 13°，c=则有 A.c<b<a B.a<b<c C.a<c<b D.b<c<a √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a=sin 30°cos 6°-cos 30°sin 6°=sin(30°-6°)=sin 24°，b=2sin 13°· cos 13°=sin 26°，c=sin 25°，∵y=sin x在0°≤x≤90°时单调递增，∴a<c<b. 解析 3.若θ∈sin 2θ=则sin θ等于 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵θ∈∴2θ∈ ∴cos 2θ=-sin θ=. 解析 4.sin 20°·cos 70°+sin 10°·sin 50°的值为 A.- B. C. D.- √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 sin 20°·cos 70°+sin 10°·sin 50° =+ =sin 90°-sin 50°)+cos 40°-cos 60°) =sin 50°+cos 40° =sin 50°+sin 50°=. 解析 5.设-3π<α<-化简的结果是 A.sin+cos B.-cos-sin C.cos-sin D.sin-cos √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵-3π<α<- ∴-<-. ∴sin>0，cos<0， = ==sin-cos. 解析 6.设直角三角形中两锐角分别为A和B，则cos Acos B的取值范围是 A. B.(0，1) C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 直角三角形中两锐角分别为A和B，则A+B=则cos Acos B=cos(A-B) +cos(A+B)]=cos(A-B)，再结合A-B∈可得cos(A-B)∈(0，1]， ∴cos(A-B)∈. 解析 7.(多选)已知sin α=-180°<α<270°，则下列选项正确的是 A.sin 2α=- B.sin C.cos=- D.tan=-2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为sin α=-180°<α<270°， 所以cos α=- 所以sin 2α=2sin αcos α=2×故A错误； 因为90°<<135°， 所以sin cos =-=-=-tan=-2，故B，C，D均正确. 解析 8.在△ABC中，sin则tan=　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2- 因为在△ABC中，sin 所以cos A=且A为锐角， 所以tan=2-. 解析 9.计算：tan 20°+4sin 20°=　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原式=+4sin 20° = = =. 解析 10.化简：+. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为π<α<所以 所以cos<0，sin>0， 所以原式= = =-=-cos . 解 11.已知α∈(0，π)，且=-则tan 等于 A.- B. C. D. √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可得=-故tan α=-3， 即=-3，又故tan 负值舍去). 解析 12.(多选)已知cos(α+β)=-cos 2α=-其中α，β为锐角，下列判断正确的是 A.sin 2α= B.cos(α-β)= C.cos αcos β= D.tan αtan β= √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为cos(α+β)=-cos 2α=-其中α，β为锐角，所以sin(α+β)= sin 2α=故A正确； cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)= 故B错误； cos αcos β=cos(α+β)+cos(α-β)]=故C正确； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 sin αsin β=cos(α-β)-cos(α+β)]=所以tan αtan β =故D错误. 解析 13.已知tan θ=θ∈则等于　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 　 =2cos 因为tan θ=所以θ∈ 解得 又cos 所以2cos . 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.证明：=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 左边= = =. 右边= 所以左边=右边，即等式成立. 证明 16 15.已知sin α+sin β=cos α+cos β=则tan(α+β)的值为　　. 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 　 由sin α+sin β=cos α+cos β=得， 2sin2cos 两式相除得，tan则 tan(α+β)=. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16.在锐角△ABC中，求证：tan tan +tan tan +tan tan =1. 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 在锐角△ABC中，有A+B+C=π，则 则tan =tan 又tan 证明 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 则左边=tan +tan tan =tan tan +tan tan =tan +tan tan =1-tan tan +tan tan =1=右边.故原式成立. 证明 16 第五章　5.5.2　简单的三角恒等变换 <<< $