第5章 5.5.1 第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦二倍角的正弦、余弦、正切公式这一核心知识点，以两角和的正弦、余弦、正切公式为基础，通过令α=β推导出二倍角公式，进而延伸出降幂、升幂等变形，构建从已知到未知的知识支架。 该资料以王维诗句“倍思亲”引入“倍”的概念，用数学眼光联结生活与数学。通过问题链引导公式推导，培养推理能力（数学思维），例题与跟踪训练分层设计，强化公式灵活运用（数学语言）。课中助力教师引导学生构建知识，课后通过课时对点练帮助学生巩固提升，查漏补缺。

第3课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式 学习目标　1.会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.(重点)2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用.(难点) 导语 同学们，唐代诗人王维曾写出“独在异乡为异客，每逢佳节倍思亲”，一个“倍”字道出了思念亲人的急迫心情！生活中，我们也常说“加倍努力”.今天，就让我们来感受一下数学中的“倍”——三角函数中的“二倍”关系. 一、二倍角的正弦、余弦、正切公式 问题1　请同学们写出两角和的正弦、余弦、正切公式. 提示　sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β； cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β； tan(α+β)=. 问题2　当α=β时，你能写出sin 2α，cos 2α，tan 2α的表达式吗？ 提示　sin 2α=sin(α+α)=sin αcos α+cos αsin α=2sin αcos α； cos 2α=cos(α+α)=cos αcos α-sin αsin α =cos2α-sin2α； tan 2α=tan(α+α)=. 知识梳理　 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 记法 公式 S2α sin 2α=2sin αcos α C2α cos 2α=cos2α-sin2α T2α tan 2α= 2.二倍角公式的变形 (1)降幂公式：cos2α=；sin2α=. (2)升幂公式：1+cos 2α=2cos2α；1-cos 2α=2sin2α. 注意点： (1)这里的倍角专指二倍角，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去. (2)倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况，还可运用于4α作为2α的二倍，α作为的二倍，3α作为的二倍，α+β作为的二倍等情况，这里蕴含着换元的思想. (3)正切二倍角的范围：α≠且α≠+kπ(k∈Z). (4)常见二倍角公式的变形：cos 2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α)； 1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α =(sin α±cos α)2. 例1　求下列各式的值： (1)sin2-cos2； (2)； (3)cos 20°cos 40°cos 80°. 解　(1)原式=-=-cos =-cos=cos. (2)原式==2× =2×=2. (3)原式= = =. 反思感悟　对于给角求值问题，一般有两类 (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角. (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. 跟踪训练1　求下列各式的值： (1)sin cos ； (2)； (3)cos4-sin4. 解　(1)原式=×2sin×sin. (2)原式=×tan 45°=. (3)原式= =cos2-sin2=cos. 二、给值求值 例2　(1)(课本例5)已知sin 2α=，求sin 4α，cos 4α，tan 4α的值. 解　由<2α<π. 又sin 2α=， 所以cos 2α=-. 于是sin 4α=sin[2×(2α)]=2sin 2αcos 2α =2×； cos 4α=cos[2×(2α)]=1-2sin22α=1-2×； tan 4α=. 例2　(1)设α是第二象限角，已知cos α=-求sin 2α，cos 2α和tan 2α的值. 解　∵α是第二象限角， ∴sin α>0， ∵cos α=- ∴sin α= ∴sin 2α=2sin αcos α=2×=- cos 2α=1-2sin2α=1-2×=- ∴tan 2α= 综上所述，sin 2α=-cos 2α=-tan 2α=. (2)已知sin0<x<求的值. 解　方法一　 =cos x+sin x) =2cos. ∵0<x< ∴0<-x< ∴原式=2×. 方法二　∵ ∴cos=sin. 又∵cos 2x=sin=sin 2 =2sin ∴ =2cos. ∵0<x< ∴0<-x< ∴原式=2×. 反思感悟　解决给值求值问题的方法 (1)给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系. (2)当遇到±x这样的角时，可利用角的互余关系和诱导公式，将条件与结论关联起来.cos 2x=sin=2sin.类似这样的变换还有： ①cos 2x=sin=2sin； ②sin 2x=cos=2cos2-1； ③sin 2x=-cos=1-2cos2. 跟踪训练2　已知3sin=7cos α，则cos 2α等于(　　) A.- B.- C. D. 答案　A 解析　由3sin=7cos α，得3cos 2α+7cos α=0， 所以6cos2α+7cos α-3=0， 所以(2cos α+3)(3cos α-1)=0， 解得cos α=或cos α=-舍去)， 所以cos 2α=2cos2α-1=2×-1=-. 三、倍角公式的综合运用 例3　已知函数f(x)=2cosx∈R. (1)求f(π)的值； (2)若fα∈求f(2α)的值. 解　(1)f(π)=2cos=-2cos =-2×=-. (2)因为f =2cos=-2sin α= 所以sin α=-. 又α∈ 所以cos α= 所以sin 2α=2sin αcos α=- cos 2α=2cos2α-1=2×-1= 所以f(2α)=2cos =2cos 2αcos +2sin 2αsin =2×+2×. 反思感悟　要结合之前所学的所有的公式，对它们灵活运用，融会贯通，在解决具体问题时，要注意题目中的隐含条件，要会对三角函数值的符号进行判断.尤其是在三角形中，其最多只有一个直角或钝角，正弦值均为正，余弦和正切值并不一定为正. 跟踪训练3　若α∈(0，π)，cos α，sin α是一元二次方程x2+x-=0的两个实根，则cos 2α等于(　　) A. B.± C.- D. 答案　A 解析　∵cos α，sin α是一元二次方程x2+x-=0的两个实根， ∴cos α+sin α=-cos α·sin α=-. 又α∈(0，π)，cos α·sin α=-<0， ∴sin α>0，cos α<0， ∴cos α-sin α<0， ∴cos α-sin α=- =- =-=- ∴cos 2α=cos2α-sin2α =(cos α+sin α)(cos α-sin α) =. 1.知识清单： (1)二倍角公式的推导. (2)利用二倍角公式的正用、逆用进行化简、求值和证明. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：化简求值开根号时，忽视角的范围、实际问题中隐含的条件. 1.化简的结果是(　　) A.cos 115° B.sin 115° C.cos 35° D.sin 25° 答案　D 解析　 ==sin 25°. 2.已知sin α+cos α=则sin 2α等于(　　) A.- B. C.- D. 答案　D 解析　因为sin α+cos α=两边同时平方得sin2α+2sin αcos α+cos2α=1+sin 2α= 所以sin 2α=. 3.已知sin 2α=-则cos2的值为(　　) A.- B.- C. D. 答案　C 解析　cos2 =. 4.设sin 2α=-sin α，α∈则tan 2α的值是　　　　. 答案　 解析　∵sin 2α=-sin α，∴2sin αcos α=-sin α. 由α∈知sin α≠0， ∴cos α=-∴α=∴sin α=tan α=- ∴tan 2α=. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.cos275°+cos215°+cos 75°cos 15°的值等于(　　) A. B. C. D.1+ 答案　C 解析　原式=sin215°+cos215°+sin 15°cos 15° =1+sin 30°=1+. 2.已知tan θ=2，则等于(　　) A.- B. C.-2 D.2 答案　A 解析　=-=-. 3.已知sin(15°+α)=则sin(240°-2α)等于(　　) A. B.- C. D.- 答案　D 解析　由已知可得sin(240°-2α)=sin[270°-(30°+2α)]=-cos(30°+2α)=2sin2(15°+α)-1 =2×-1=-. 4.数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比m=的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin 18°，则 等于(　　) A.4 B.+1 C.2 D.-1 答案　C 解析　由题意可知m=2sin 18°， 所以m2=4sin218°， 则 ==2. 5.已知α是第二象限角，P(x，4)为其终边上一点，且cos α=则tan 2α等于(　　) A.- B. C.- D. 答案　D 解析　因为α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，所以x<0， 因为|OP|=其中O为坐标原点，cos α= 所以x=-3，所以tan α=- 所以tan 2α=. 6.(多选)下列各式中，值为的是(　　) A. B.cos2-sin2 C.cos 15°sin 45°-sin 15°cos 45° D. 答案　AB 解析　选项A =sin 60°=； 选项B，cos2-sin2=cos ； 选项C，cos 15°sin 45°-sin 15°cos 45°=sin(45°-15°)=sin 30°=； 选项Dtan 30°=. 7.(多选)已知-π<α<-且cos α=-则(　　) A.sin α=- B.tan α=5 C.cos 2α=- D.sin=- 答案　ACD 解析　因为-π<α<-且cos α=- 所以sin α=-tan α==7，故A正确，B错误； cos 2α=cos2α-sin2α==-故C正确； sin 2α=2sin αcos α=2× 则sinsin 2α+cos 2α)==-故D正确. 8.(5分)已知等腰三角形底角的正弦值为则顶角的余弦值是　　　　. 答案　 解析　设等腰三角形的底角为α ，则顶角为π-2α. ∴cos(π-2α)=-cos 2α=-(1-2sin2α)=2sin2α-1=2×-1=. 9.(5分)已知α∈(0，π)，且sin α+cos α=则cos 2α的值为　　　　. 答案　- 解析　∵sin α+cos α= ∴1+2sin αcos α= ∴sin αcos α=-. 又∵α∈(0，π)， ∴sin α>0，cos α<0，sin α-cos α>0， 又(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α= ∴sin α-cos α= ∴cos 2α=cos2α-sin2α =(cos α-sin α)(cos α+sin α)=-. 10.(10分)求证： (1)cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos 2Acos 2B；(6分) (2)cos2θ(1-tan2θ)=cos 2θ.(4分) 证明　(1)左边= = =cos 2Acos 2B-sin 2Asin 2B+cos 2Acos 2B+sin 2Asin 2B) =cos 2Acos 2B=右边， ∴原等式成立. (2)方法一　左边=cos2θ =cos2θ-sin2θ=cos 2θ=右边. ∴原等式成立. 方法二　右边=cos 2θ=cos2θ-sin2θ =cos2θ=cos2θ(1-tan2θ)=左边. ∴原等式成立. 11.函数f(x)=sin2x+sin xcos x在区间上的最大值是(　　) A. B.1 C. D.1+ 答案　A 解析　f(x)=sin 2x =+sin. ∵≤x≤∴≤2x- ∴f(x)max=+1=. 12.已知α，β是锐角，且则(　　) A.α-β= B.2β-α= C.β-α= D.2β-α= 答案　C 解析　由题意得 即 即=tan β=tan β， 即=tan β， 即tan=tan β，因为α，β为锐角， 所以α+=β，故β-α=. 13.(5分)若sin=-则cos 4x=　　　　. 答案　 解析　∵sin=-cos =-cos ∴cos2 ∴ ∴cos=- 即sin 2x=- ∴cos 4x=1-2sin22x=. 14.(11分)已知锐角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P. (1)求实数m及tan α的值；(3分) (2)求cos的值；(4分) (3)若0<β<且cos(α+β)=-求sin β的值.(4分) 解　(1)由于点P在单位圆上，且α是锐角，可得m>0，m2+=1， 则m=tan α=. (2)因为锐角α的终边与单位圆相交于点P 所以sin α=cos α= 可得cos 2α=cos2α-sin2α=sin 2α=2sin αcos α= 所以coscos 2α-sin 2α==-. (3)因为α为锐角，所以0<α<又0<β<所以0<α+β<π， 因为cos(α+β)=-所以sin(α+β)= 所以sin β=sin [(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=. 15.已知cos<x<则等于(　　) A.- B. C.- D. 答案　A 解析　因为<x< 所以<x+<2π， 因为cos 所以sin=-=- 所以cos x=cos ==- 因为<x< 所以sin x=-=- 可得sin 2x=2sin xcos x=2× tan x==7， 所以=-. 16.(12分)已知A，B，C为△ABC的三个内角，依据下列条件，判断三角形的形状： (1)sin C=2cos Asin B；(6分) (2)tan=sin C.(6分) 解　(1)∵sin C=sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B， ∴已知方程可化为sin Acos B-cos Asin B=0， 即sin(A-B)=0. 又-π<A-B<π， ∴A=B，故△ABC为等腰三角形. (2)在△ABC中，tan=sin C=sin(A+B) =2sin ∴2cos2=1， ∴cos(A+B)=0，∴A+B= ∴△ABC为直角三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $