第2章 §2.3 第2课时 一元二次不等式的应用（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦一元二次不等式的应用，系统梳理二次函数、一元二次方程与不等式的关系，详解分式不等式解法，构建二次函数模型解决实际问题，形成从理论关联到具体解法再到实践应用的学习支架。 通过实例探究（如由不等式解集反推参数、分式不等式等价变形、摩托车生产利润问题），培养学生用数学眼光观察数量关系、用数学思维推理逻辑联系、用数学语言表达实际问题的能力。课中助力教师系统授课，课后辅助学生巩固练习，有效查漏补缺。

第2课时　一元二次不等式的应用 学习目标　1.理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间的关系.(重难点)2.熟练掌握分式不等式的解法.(重点)3.构建二次函数模型，解决实际问题.(难点) 一 、二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用 例1　已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2+bx+a<0的解集. 解　由不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3}可知a<0，且2和3是方程ax2+bx+c=0的两根， 由根与系数的关系可知=-5=6. 故=- 又由a<0知c<0，故不等式cx2+bx+a<0， 即x2+x+>0，即x2-x+>0， 解得x<或x> 所以不等式cx2+bx+a<0的解集为. 延伸探究1　若本例条件不变，求关于x的不等式cx2-bx+a>0的解集. 解　由例1知=-5=6，且a<0， ∴b=-5a，c=6a且a<0. 不等式cx2-bx+a>0可化为6ax2+5ax+a>0， 即6x2+5x+1<0，解得-<x<-. 故原不等式的解集为. 延伸探究2　若将本例中条件“{x|2<x<3}”变为“{x|x<2或x>3}”，其他条件不变，如何求解？ 解　依题意，2与3是方程ax2+bx+c=0的两根，且a>0， ∴=-5=6，且a>0，则b=-5a，c=6a(a>0). 不等式cx2+bx+a<0可化为6ax2-5ax+a<0， 即6x2-5x+1<0，解得<x<. 故原不等式的解集为. 反思感悟　已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2+bx+c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循 (1)根据解集来判断二次项系数的符号. (2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式. (3)约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解. 跟踪训练1　已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为{x|1<x<2}，求关于x的不等式bx2+ax+1>0的解集. 解　∵x2+ax+b<0的解集为{x|1<x<2}， ∴方程x2+ax+b=0的两根为1，2. 由根与系数的关系得 解得 代入所求不等式，得2x2-3x+1>0. 解得x<或x>1. ∴bx2+ax+1>0的解集为. 二、解简单的分式不等式 问题　>0与(x-3)(x+2)>0同解吗？≥0与(x-3)(x+2)≥0同解吗？ 提示　>0与(x-3)(x+2)>0同解； ≥0与(x-3)(x+2)≥0不同解，前者的解集中不包含-2，后者的解集中包含-2. 例2　解下列不等式： (1)<0；(2)≥0； (3)>1. 解　(1)原不等式可化为(x+1)(2x-1)<0， ∴-1<x< 故原不等式的解集为. (2)原不等式可化为≤0， ∴ 即-<x≤1. 故原不等式的解集为. (3)原不等式可化为-1>0， ∴>0，即>0， 则x<-2.故原不等式的解集为{x|x<-2}. 反思感悟　分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零. (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解. 跟踪训练2　解下列不等式： (1)≤0；　(2)<3. 解　(1)不等式≤0可转化成不等式组 解得-1≤x<3. 即原不等式的解集为{x|-1≤x<3}. (2)不等式<3可转化为-3<0， 即<0. 可将这个不等式转化成2(x-1)(x+1)<0， 解得-1<x<1. 所以原不等式的解集为{x|-1<x<1}. 三、一元二次不等式的实际应用 例3　(课本例4)一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(单位：辆)与创造的价值y(单位：元)之间有如下的关系：y=-20x2+2 200x. 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60 000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？ 解　设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x辆摩托车，根据题意，得 -20x2+2 200x>60 000. 移项整理，得x2-110x+3 000<0. 对于方程x2-110x+3 000=0，Δ=100>0，方程有两个实数根x1=50，x2=60. 画出二次函数y=x2-110x+3 000的图象(如图)，结合图象得不等式x2-110x+3 000<0的解集为{x|50<x<60}，从而原不等式的解集为{x|50<x<60}. 因为x只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在51~59辆时， 这家工厂能够获得60 000元以上的收益. 例3　为了鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策，由政府协调，企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.某大学毕业生按照相关政策投资销售一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为10元/台，出厂价为12元/台，每月的销售量y(台)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数y=-10x+500. (1)设他每月获得的利润为W(元)，写出W与x之间的函数关系式. (2)根据相关部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果他想要每月获得不少于3 000元的利润，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？ 解　(1)依题意可知每台节能灯的销售利润为(x-10)元，每月的销售量为(-10x+500)台， 所以每月获得的利润W与销售单价x之间的函数关系式为W=(x-10)(-10x+500). (2)由每月获得不少于3 000元的利润， 得(x-10)(-10x+500)≥3 000， 化简得x2-60x+800≤0，解得20≤x≤40. 又因为这种节能灯的销售单价不得高于25元， 所以20≤x≤25. 设政府每个月为他承担的总差价为p元， 则p=(12-10)(-10x+500)=-20x+1 000. 由20≤x≤25，得500≤-20x+1 000≤600. 故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为{p|500≤p≤600}. 反思感悟　解不等式应用题的步骤 跟踪训练3　(课本例5)某种汽车在水泥路面上的刹车距离s(单位：m)和汽车刹车前的车速v(单位：km/h)之间有如下关系：s=v2. 在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少(精确到1 km/h)？ 解　根据题意，得v2>39.5. 移项整理，得v2+9v-7 110>0. 对于方程v2+9v-7 110=0，Δ>0，方程有两个实数根 v1=. 画出二次函数s=v2+9v-7 110的图象(如图)，结合图象得不等式的解集为{v|v<v1，或v>v2}，从而原不等式的解集为{v|v<v1，或v>v2}. 因为车速v>0，所以v>v2.而79.9<v2<80，所以这辆汽车刹车前的车速至少为80 km/h. 跟踪训练3　若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)满足关系式h=v0t-gt2，其中g≈10 m/s2，v0为初速度.某同学以v0=11 m/s的速度竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方2 m处及以上的位置最多停留的时间为(　　) A.1.8 s B.2.8 s C.3.8 s D.4.8 s 答案　A 解析　由题意得h=11t-5t2， 令h=11t-5t2≥2， 即5t2-11t+2≤0，解得0.2<t<2， 所以排球在抛出点上方2 m处及以上的位置最多停留时间为2-0.2=1.8 (s). 1.知识清单： (1)二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用. (2)简单的分式不等式的解法. (3)一元二次不等式的实际应用. 2.方法归纳：转化法、恒等变形法. 3.常见误区： (1)解分式不等式要同解变形. (2)利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义. 1.不等式<0的解集为(　　) A.{x|x>1} B.{x|x<-2} C.{x|-2<x<1} D.{x|x<-2或x>1} 答案　C 解析　原不等式可化为(x-1)(x+2)<0， 故原不等式的解集为{x|-2<x<1}. 2.已知不等式x2-3x+2≤0的解集为A，不等式≤0的解集为B，则“x∈A”是“x∈B”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案　C 解析　由x2-3x+2=(x-1)(x-2)≤0， 解得1≤x≤2，所以A={x|1≤x≤2}. 由(x-2)(x-1)≤0，解得1≤x≤2， 因为x-1≠0，所以x≠1， 所以B={x|1<x≤2}， 所以集合B是集合A的真子集， 所以“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件. 3.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-2<x<1}，那么关于x的不等式cx2-ax+b>0的解集为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-2<x<1}， 所以a<0，且-2和1是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实根， 所以-2+1=--2×1= 即c=-2a，b=a， 所以不等式cx2-ax+b>0可化为 -2ax2-ax+a>0， 因为a<0，所以2x2+x-1>0， 即(2x-1)(x+1)>0，解得x>或x<-1. 4.某公司的笔记本电脑的生产成本y(万元)与产量x(台)之间的关系为y=-0.1x2+10.5x+750(x∈N*)，每台电脑的售价为5 000元，要使公司盈利，则售出笔记本电脑的台数最少为(　　) A.141 B.151 C.161 D.171 答案　B 解析　由题意，每台电脑的售价为0.5万元， 则0.5x-(-0.1x2+10.5x+750)>0，化简得(x+50)(x-150)>0，又x∈N*， 解得x>150， 故最少售出151台才能盈利. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.(多选)下列不等式中，与不等式≥0不同解的不等式是(　　) A.(x-3)(2-x)≥0 B.0<x-2≤1 C.≥0 D.(x-3)(2-x)>0 答案　ACD 解析　由≥0，得 解得2<x≤3， A项，由(x-3)(2-x)≥0，得2≤x≤3，不同解； B项，由0<x-2≤1，得2<x≤3，同解； C项，由≥0，得(x-2)(x-3)≤0且x-3≠0，解得2≤x<3，不同解； D项，由(x-3)(2-x)>0，得2<x<3，不同解. 2.不等式≥1的解集是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　不等式≥1，移项得-1≥0， 即≤0，可化为 解得≤x<2，则原不等式的解集为. 3.“x2-x-2>0”是“<2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 答案　A 解析　由x2-x-2>0，解得x>2或x<-1， 由<2，解得x>或x<0， 由于{x|x>2或x<-1}是的真子集， 故“x2-x-2>0”是“<2”的充分不必要条件. 4.某服装厂生产某种风衣，月销售量x(单位：件)与售价p(单位：元/件)的关系为p=300-2x；与总成本r(单位：元)的关系为r=500+30x，为使月获利不少于8 600元，则月销售量x需满足(　　) A.55≤x≤60 B.60≤x≤65 C.65≤x≤70 D.70≤x≤75 答案　C 解析　由题意可得 (300-2x)x-(500+30x)≥8 600， 即x2-135x+4 550≤0， 则(x-65)(x-70)≤0，故65≤x≤70. 5.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx-c<0的解集为{x|3<x<5}，则不等式cx2+bx-a>0的解集为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因为关于x的一元二次不等式ax2+bx-c<0的解集为{x|3<x<5}， 所以a>0且方程ax2+bx-c=0的解为x=3或x=5， 所以-=8，-=15， 所以b=-8a，c=-15a， 则不等式cx2+bx-a>0， 即为不等式-15ax2-8ax-a>0， 即15x2+8x+1<0，解得-<x<- 所以不等式cx2+bx-a>0的解集为. 6.为建设美丽中国，增强民众幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程.某小区计划建设一块长为10 m、宽为6 m的矩形花园，其四周种植花卉，中间种植草坪(如图所示).如果花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的三分之一，那么花卉带的宽度可能为(　　) A.1 m B.2 m C.3 m D.4 m 答案　B 解析　设花卉带的宽度为x m，则 所以(5-x)(3-x)≤5，即(x-4)2≤6，可得4-≤x≤4+ 又⇒x<3，故4-≤x<3，而1<4-<2，结合选项得x的可能取值为2，即花卉带的宽度可能为2 m. 7.(多选)若不等式ax2-bx+c>0的解集是{x|-1<x<2}，则下列选项正确的是(　　) A.b<0且c>0 B.a-b+c>0 C.a+b+c>0 D.不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|-2<x<1} 答案　ABD 解析　对于A，由题意知a<0，且-1，2是方程ax2-bx+c=0的两个根，所以-1+2=1=-1×2=-2=所以b=a，c=-2a，所以b<0，c>0，所以A正确； 对于B，由题意知当x=1时不等式成立， 所以a-b+c>0，所以B正确； 对于C，当x=-1时，ax2-bx+c=0，即a+b+c=0，所以C错误； 对于D，由题意得ax2+bx+c>0可转化为ax2+ax-2a>0，因为a<0，所以x2+x-2<0，所以-2<x<1， 所以不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|-2<x<1}，所以D正确. 8.(5分)若关于x的不等式>0的解集为{x|x<-1或x>4}，则实数a=　　　　. 答案　4 解析　由题意知，不等式的解集为 {x|x<-1或x>4}， 则(x-a)(x+1)>0⇔(x+1)(x-4)>0， 故a=4. 9.(5分)已知函数y=ax2-(a2+2)x+2a，若不等式y+6x≤0的解集是{x|x≤-2或x≥-1}，则实数a的值为　　　　. 答案　-4 解析　y+6x≤0，即不等式ax2-(a2-4)x+2a≤0的解集是{x|x≤-2或x≥-1}， 所以a<0，且-2，-1是方程ax2-(a2-4)x+2a=0的两个实数根， 则 解得a=-4(a=1不符合题意，舍去). 10.(10分)某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润y(万元)与投入成本增加的比例x的关系式；(4分) (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？(6分) 解　(1)由题意得y=[12(1+0.75x)-10(1+x)]×10 000×(1+0.6x)(0<x<1)， 整理得y=-6 000x2+2 000x+20 000(0<x<1). (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加， 必须有 即 解得0<x< 所以投入成本增加的比例x应在0<x<的范围内. 11.若关于x的不等式>0的解集是{x|-1<x<3}，则关于x的不等式<0的解集是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因为>0等价于(ax-1)(x+b)>0， 所以(ax-1)(x+b)=0的两根为-b， 因为不等式解集为{x|-1<x<3}，故可得a<0，且=-1，-b=3，则a=-1，b=-3； 则<0即<0，等价于(2x+3)(2x-1)>0，解得. 12.某电商新售A产品，售价为每件50元，年销售量为11.8万件.为支持新品发售，第一年免征营业税，第二年需征收销售额x%的营业税(即每销售100元征税x元).第二年，电商决定将A产品的售价提高元，预计年销售量减少x万件.要使第二年A产品上交的营业税不少于10万元，则x的最大值是(　　) A.2 B.5 C.8 D.10 答案　D 解析　由题意，第二年A产品的年销售量为(11.8-x)万件，A产品的售价为元，所以第二年A产品的年销售额为(11.8-x)万元，则第二年A产品上交的营业税为(11.8-x)·x%万元.由题意可得(11.8-x)·x%≥10，化简得x2-12x+20≤0，即(x-2)(x-10)≤0，解得2≤x≤10，所以x的最大值是10. 13.(5分)已知关于x的不等式x2-bx+2b-3<0的解集为{x|x1<x<x2}，且<2，则实数b的取值范围是　　　　　　. 答案　 解析　因为x1+x2=b，x1x2=2b-3，所以<2， 所以-2=<0，即-3(b-2)(2b-3)<0，解得b<或b>2. 因为x2-bx+2b-3=0有两个不相等的实数根x1，x2， 所以Δ=b2-4(2b-3)>0， 解得b<2或b>6，则b的取值范围是. 14.(10分)已知关于x的不等式ax2+bx+c≤1的解集为. (1)求关于x的不等式ax2+(2b-1)x+4<0的解集；(6分) (2)若关于x的不等式ax2+(b-1)x+c-2≤0有且仅有6个整数解，求实数a的取值范围.(4分) 解　(1)由不等式ax2+bx+c≤1的解集为得a>0，且方程ax2+bx+c-1=0的两实根分别为-1和3， 则 不等式ax2+(2b-1)x+4<0等价于ax2-(4a+1)x+4<0，即(x-4)<0， 当0<<4，即a>时，解得<x<4； 当=4，即a=时，原不等式无解； 当>4，即0<a<时，解得4<x< 综上，当a>时，原不等式的解集为；当a=时，原不等式的解集为∅； 当0<a<时，原不等式的解集为. (2)由(1)知，不等式ax2+(b-1)x+c-2≤0等价于ax2-(2a+1)x-(3a+1)≤0， 即(x+1)≤0，又a>0，则3+>-1，解得-1≤x≤3+ 因为关于x的不等式ax2+(b-1)x+c-2≤0有且仅有6个整数解， 因此4≤3+<5，即1≤<2，解得<a≤1， 所以实数a的取值范围为. 15.(多选)若存在实数m，n(m<n-1)，使得0≤x2+ax+b≤c-x的解集为{x|m≤x≤m+1或x=n}，则下列结论正确的是(　　) A.x2+ax+b≥0的解集为{x|x≤m+1或x≥n} B.x2+ax+b≤c-x的解集为{x|m+1≤x≤n} C.c=-n D.a2+2a>4b-4c 答案　AD 解析　因为m<n-1，故m+1<n， 由题意得x2+ax+b≤c-x的解集为{x|m≤x≤n}，x2+ax+b≥0的解集为{x|x≤m+1或x≥n}，故A正确，B错误； x2+(a+1)x+b-c=0的两个根为m，n， x2+ax+b=0的两个根为m+1，n， 故m+n=-a-1，mn=b-c，m+1+n=-a，(m+1)n=b， 由于mn=b-c，(m+1)n=b，故b-c+n=b，所以n=c，故C错误； 因为n-m>1，所以n-m=>1，两边平方得a2+2a>4b-4c，故D正确. 16.(12分)某热带风暴中心B位于海港城市A南偏东60°的方向，与A市相距400 km.该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？ 解　如图，以A市为原点，正东方向为x轴的正方向建立直角坐标系. ∵AB=400，∠BAx=30°， ∴台风中心B的坐标为(200-200)，x h后台风中心B到达点P(20040x-200)处. 由已知，A市受台风影响时，有AP≤350， 即(200)2+(40x-200)2≤3502， 整理得16x2-160x+375≤0， 解这个不等式得3.75≤x≤6.25， A市受台风影响的时间为6.25-3.75=2.5(h). 故在3.75 h后，A市会受到热带风暴的影响，时间长达2.5 h. 学科网（北京）股份有限公司 $