第2章 §2.2 第1课时 基本不等式（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦基本不等式核心知识点，前承上节课重要不等式（∀a,b∈R，a²+b²≥2ab），通过变量替换推导得到基本不等式（a>0,b>0），结合作差法、性质法及几何意义完成证明，明确算术平均数与几何平均数关系，最终以配凑法解决最值问题，构建知识递进学习支架。 该资料以金店天平问题为导语，引导学生用数学眼光观察现实世界，发现数量关系。证明环节融合代数推理与几何直观，培养数学思维的逻辑推理能力。例题及延伸探究通过变式训练（如x不同取值范围下的最值），提升学生用数学语言表达和解决问题的能力。课中辅助教师高效授课，课后练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第1课时　基本不等式 学习目标　1.了解基本不等式的证明过程.2.掌握基本不等式(a>0，b>0).(重点)3.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.(难点) 导语 从前有个金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售.你觉得店主这个买卖做到诚信无欺了吗？要解决这个问题，我们一起进入今天的课堂吧！ 一、基本不等式的证明与理解 问题1　请写出我们上节课学习的重要不等式. 提示　∀a，b∈R，a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立. 问题2　如果a>0，b>0，我们用分别替换重要不等式中的a，b，能得到什么样的结论？ 提示　用分别替换重要不等式中的a，b可得到a+b≥2当且仅当a=b时，等号成立.我们习惯表示成当且仅当a=b时，等号成立. 问题3　上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的a>0，b>0都能成立？请给出证明. 提示　方法一　(作差法) ≥0，即当且仅当a=b时，等号成立. 方法二　(性质法) 要证 只需证2≤a+b， 只需证a+b-2≥0， 即证()2≥0， 显然()2≥0成立，当且仅当a=b时，等号成立. 方法三　(利用几何意义证明) 如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD=由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为由此也可以得出圆的半径不小于半弦. 知识梳理 1.基本不等式：如果a>0，b>0，则当且仅当a=b时，等号成立. 2.叫做正数a，b的算术平均数叫做正数a，b的几何平均数，从平均数的角度看，基本不等式反映了两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 注意点： (1)基本不等式也称为均值不等式，其条件要求为a>0，b>0. (2)等号成立的条件也是基本不等式的一部分，不要遗漏. 例1　(多选)下列说法正确的是(　　) A.对∀a，b∈R成立 B.若a>0，b>0且a≠b，则a+b>2 C.对∀a，b∈R，a2+b2≥2ab D.若x>2，则x+≥2中可以取等号 答案　BC 解析　A项，当a=-1，b=-1时，不等式不成立； D项，x+≥2=2时取等号的条件为无解，不等式中不可取等号. 反思感悟　利用基本不等式时要注意a>0，b>0和取等号的条件是否满足. 跟踪训练　(多选)下面四个推导过程正确的有(　　) A.若a，b为正实数，则≥2=2 B.若a∈R，a≠0，则+a≥2=4 C.若x，y∈R，xy<0，则=-≤-2=-2 D.若a<0，b<0，则<ab 答案　AC 解析　A中，∵a，b为正实数，∴为正实数，符合基本不等式的条件，故A正确； B中，a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，故B错误； C中，由xy<0，得均为负数，但在推导过程中将整体提出负号后，--均变为正数，符合基本不等式的条件，故C正确； D中，对任意的a，b∈R，都有a2+b2≥2ab，即≥ab，故D错误. 二、利用基本不等式求简单式子的最值 已知x，y都为正数，则 (1)如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2； (2)如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值S2. 简记为：积定和最小，和定积最大. 例2　(1)若x>0，则x+的最小值为　　　　　　；  (2)若0<a<2，则的最大值为　　　　　　. 答案　(1)4　(2)1 解析　(1)因为x>0， 所以x+≥2=4， 当且仅当x=即x=2时，等号成立，因此所求的最小值为4. (2)当0<a<2时，2-a>0， 则=1， 当且仅当2-a=a，即a=1时，等号成立， 因此所求的最大值为1. 延伸探究1　将例2(1)的条件“x>0”改成“x<0”，则x+的最大值为　　　　. 答案　-4 解析　x+=- 因为x<0，则-x>0， 故有-x+≥2=4， 所以-≤-4，当且仅当-x=-即x=-2时，等号成立. 故原式的最大值为-4. 延伸探究2　将例2(1)的条件“x>0”改成“x>2”，则x+的最小值为　　　　. 答案　6 解析　因为x>2，所以x-2>0， 则x+=x-2++2≥2+2=6， 当且仅当x-2=即x=4时，等号成立， 所以x+的最小值为6. 延伸探究3　将例2(1)的条件“x>0”改成“x<2”，则x+的最大值为　　　　. 答案　-2 解析　因为x<2，所以2-x>0， 则x+=x-2++2 =-+2≤-2+2=-2， 当且仅当2-x=即x=0时，等号成立， 所以x+的最大值为-2. 延伸探究4　将例2(1)的条件“x>0”改成“x>1”，则2-x-的最大值为　　　　. 答案　-1 解析　2-x-=1+1-x- =1- 由x>1，得x-1>0， 可得(x-1)+≥2=2， 当且仅当=x-1，即x=2时，等号成立， 故2-x-≤1-2=-1，即2-x-的最大值为-1. 延伸探究5　将例2(2)改为“若0<a<”，则的最大值为　　　　. 答案　 解析　当0<a<时，1-2a>0， 原式= = 当且仅当1-2a=2a，即a=时，等号成立，故原式的最大值为. 反思感悟　(1)利用基本不等式求最值的注意点 ①一正：各项必须为正. ②二定：各项之和或各项之积为定值. ③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备. (2)通过配凑法利用基本不等式求最值的策略 配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键，利用配凑法求最值应注意以下几个方面：①配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换；②代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 1.知识清单： (1)基本不等式的证明与理解. (2)利用基本不等式求简单代数式的最值. (3)配凑法求最值. 2.方法归纳：配凑法. 3.常见误区：利用基本不等式的条件“一正、二定、三相等”缺一不可，尤其是“当且仅当，等号成立”. 1.若实数a，b满足b>a>0，下列不等式中恒成立的是(　　) A.2a+≥2 B.2a+≤2 C.2a+<2 D.2a+>2 答案　A 解析　由题意b>a>0，所以由基本不等式可得2a+≥2=2当且仅当2a=即a=时等号成立，此时b>a=>0满足题意. 2.下列结论正确的是(　　) A.当x>0且x≠1时，x+的最小值为2 B.当x>0时≥2 C.当x≠0时，x+≥2 D.当x>0时，x+的最小值为2 答案　B 解析　选项A不满足“取等号时的条件”，故不正确；选项C不满足“各项必须为正”，故不正确；选项D不满足“积为定值”，故不正确. 3.已知x>0，a>0，4x+在x=3时取得最小值，则a的值为　　　　　. 答案　36 解析　∵x>0，a>0，∴4x>0>0， ∴4x+≥2=4当且仅当4x=即x=时，等号成立. 又∵4x+在x=3时取得最小值， ∴=3，∴a=36. 4.当x>1时，x+的最小值为　　　　. 答案　5 解析　因为x>1，故有x-1>0，所以x+=x-1++1≥2+1=5， 当且仅当x-1=即x=3时等号成立. 因此所求的最小值为5. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.若a，b为正实数，且a+b=2，则ab的最大值为(　　) A. B.1 C.2 D.2 答案　B 解析　因为a，b为正实数，且a+b=2≥2当且仅当a=b=1时等号成立，所以ab≤1. 2.不等式x-2y+≥2成立的前提条件为(　　) A.x≥2y B.x>2y C.x≤2y D.x<2y 答案　B 解析　基本不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以不等式x-2y+≥2成立的前提条件为x-2y>0，即x>2y. 3.下列不等式中正确的是(　　) A.a+≥4 B.a2+b2≥4ab C. D.x2+≥2 答案　D 解析　若a<0，则a+≥4不成立，故A错； 若a=1，b=1，则a2+b2<4ab，故B错； 若a=4，b=16，则故C错； 由基本不等式可知D项正确. 4.已知a>1，b>1，记M=N=则M与N的大小关系为(　　) A.M>N B.M=N C.M<N D.不确定 答案　A 解析　因为a>1，b>1， 所以M=≥2 当且仅当时取等号， 又故M>N. 5.已知x，y均为正实数，且(x+2)(y+1)=16，则x+y的最小值为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案　C 解析　x，y均为正实数，且(x+2)(y+1)=16， 所以x+2+y+1≥2=8，即x+y≥5， 当且仅当x+2=y+1=4，即x=2，y=3时取等号， 则x+y的最小值为5. 6.设x>0，则3-3x-的最大值是(　　) A.3 B.3-2 C.-1 D.3-2 答案　D 解析　∵x>0，∴3x+≥2=2当且仅当x=时，等号成立， ∴-≤-2 则3-3x-≤3-2 即3-3x-的最大值为3-2. 7.(多选)已知a，b∈R，且ab>0，则下列不等式成立的是(　　) A. B.ab≤ C.≥2 D. 答案　BC 解析　对于A，因为ab>0，故当a<0，b<0时，不等式不成立，故A不正确； 对于B，因为ab>0，所以ab≤恒成立， 当且仅当a=b时，等号成立，故B正确； 对于C，因为ab>0，所以>0>0，则≥2=2，当且仅当a=b时，等号成立，故C正确； 对于D，因为a2+b2≥2ab，所以(a+b)2≥4ab，当a<0，b<0时满足ab>0，但a+b<0，此时故D不正确. 8.(5分)若x>0，则的最小值是　　　　. 答案　2-3 解析　因为 x>0 ， 所以 =2x+-3≥2-3=2-3 ， 当且仅当2x=即 x= 时取等号.所以所求的最小值为2-3. 9.(5分)若a∈R，则的最小值是　　　　，此时a=　　　　. 答案　2　0 解析　 ≥2=2， 当且仅当 即a=0时，等号成立. 10.(10分)已知x>3，求+x的最小值. 解　因为x>3，所以x-3>0， 所以+x=+(x-3)+3 ≥2+3=2+3=7， 当且仅当=x-3， 即x=5时，等号成立. 所以+x的最小值为7. 11.的最小值为(　　) A.3 B.4 C.6 D.8 答案　B 解析　=|x|+≥2=4，当且仅当|x|=即x=±2时，等号成立，故所求最小值为4. 12.(多选)下列命题中，为真命题的有(　　) A.∀x>0，x+≥2 B.∃x<0，x+>-2 C.∀x>0 D.∃x<0≤- 答案　AD 解析　利用基本不等式可得∀x>0，x+≥2=2， 当且仅当x=1时，等号成立，故A正确； ∀x<0，x+=-≤-2=-2， 当且仅当x=-1时，等号成立，即命题∃x<0，x+>-2不成立，故B错误； 易知∀x>0 当且仅当x=1时，等号成立，故C错误； 易知当x=-1时=-即∃x<0≤-故D正确. 13.(5分)已知m=a+(a>2)，n=2-b2(b≠0)，则m，n的大小关系是　　　　. 答案　m>n 解析　由a>2，得a-2>0. 又m=a+=(a-2)++2， 所以m≥2+2=4. 当且仅当a-2=即a=3时取等号， 由于b≠0，所以n=2-b2<2<4. 因此m>n. 14.(11分)(1)已知x<求的最大值；(5分) (2)已知0<b<2，求(2-b)(1+2b)的最大值.(6分) 解　(1)∵x<∴5-4x>0， ∴原式= =4x-5++3=-+3 ≤-2+3=1， 当且仅当5-4x=即x=1时，等号成立， 故所求最大值为1. (2)(2-b)(1+2b)=(4-2b)(1+2b)≤ 当且仅当4-2b=1+2b，即b=时取得等号， ∴(2-b)(1+2b)的最大值为. 15.已知任意的正数a，b，c，有成立，当且仅当a=b=c时，等号成立.若0<m<3，则m2(3-m)的最大值为(　　) A.6 B.4 C.5 D.3 答案　B 解析　根据题意可得m2(3-m)=×m×m(6-2m)≤=4， 当且仅当m=6-2m，即m=2时，等号成立， 故m2(3-m)的最大值为4. 16.(12分)已知实数a>b>0， (1)比较b(a-b)与的大小；(5分) (2)求a2+的最小值及取最小值时a，b的值.(7分) 解　(1)∵a>b>0，∴a-b>0， ∴b(a-b)≤ 当且仅当b=a-b，即2b=a时，等号成立. ∴b(a-b)≤. (2)由(1)知0<b(a-b)≤当且仅当2b=a时等号成立， ∴ ∴ ∴a2+≥a2+≥2=20， 当且仅当a2=且2b=a， 即时取等号. 综上可知，当a=b=时，a2+取得最小值20. 学科网（北京）股份有限公司 $