第5章 周末练14 范围：§5.3～§5.4（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

这是一份高中数学三角函数章节的周测资料（周末练14），覆盖§5.3~§5.4内容，包含单选、多选、填空、解答题，提供详细解析，如分类讨论、换元法等解题方法，为学生搭建系统的学习支架。 资料特色突出核心素养培养，通过科学研究周期问题（如第9题）引导学生用数学眼光观察现实世界，解答题中分类讨论和公式推导（如第14题二次函数转化）培养数学思维，规范的符号表达强化数学语言。适合高一学生巩固三角函数基础，提升逻辑推理能力，也为教师提供分层训练素材和教学参考。

周末练14 范围：§5.3~§5.4 第五章　三角函数 <<< 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B D D A AC ABC 题号 9 10 11 12 答案 ACD 5 k∈Z 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)f(α)==sin αcos α. (2)由f(α)=sin αcos α=可得(cos α-sin α)2=cos2α-2sin αcos α+sin2α=1-2sin αcos α=1-2×.又∵<α< ∴cos α<sin α，即cos α-sin α<0， ∴cos α-sin α=-. 13. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (3)∵α=-=-4×2π+ ∴f =cos·sin =cos ·sin =cos·sin =cos =-. 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)当a=1时，f(x)=sin2x+cos x-2 =-cos2x+cos x-1=- 因为-1≤cos x≤1， 所以当cos x=-1时，函数取得最小值，最小值为-=-3. 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)因为f(x)=sin2x+acos x-a- =-cos2x+acos x-=- 当-1≤≤1，即-2≤a≤2时， 则当cos x=时，函数的最大值为=1， 解得a=1+>2(舍去)或a=1-； 当>1，即a>2时， 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 则当cos x=1时，函数取得最大值， 即1=-1+a-解得a=5； 当<-1，即a<-2时， 则当cos x=-1时，函数取得最大值， 即1=-1-a-解得a=-舍去). 综上，实数a的值为1-或5. 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (3)因为f(x)=-cos2x+acos x- 令t=cos x，由x∈得t∈ 设h(t)=-t2+at- 因为对任意x∈f(x)≥恒成立， 所以h(t)=-t2+at-在t∈上恒成立， 即a≥t+在t∈上恒成立， 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 设g(t)=t+ 由对勾函数的性质易知函数g(t)在上单调递减， 所以g(t)≤g所以a≥ 故实数a的取值范围为. 一、单项选择题 1.已知集合A=B={α|0<α<π}，且A∩B=C，则C等于 A. B. C. D. √ ∵A=B={α|0<α<π}， ∴A∩B=即C=. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.已知sin且α为第三象限角，则tan α等于 A.- B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为sin=-cos α=所以cos α=-又因为α为第三象限角， 所以sin α=-=- 则tan α=. 解析 3.已知函数f(x)=1+sin 2x，则f是 A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵f(x)=1+sin 2x， ∴f=1+ =1+=1-cos 2x， ∴T==π， ∴f 是最小正周期为π的偶函数. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.tan 48°，tan(-22°)，tan 114°的大小关系为 A.tan 114°>tan 48°>tan(-22°) B.tan(-22°)>tan 114°>tan 48° C.tan(-22°)>tan 48°>tan 114° D.tan 48°>tan(-22°)>tan 114° √ tan 114°=tan(180°-66°)=tan(-66°)， 因为当-90°<x<90°时，函数y=tan x单调递增，且-90°<-66°<-22°< 48°<90°， 所以tan(-66°)<tan(-22°)<tan 48°， 即tan 48°>tan(-22°)>tan 114°. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递增区间为 A.k∈Z B.k∈Z C.k∈Z D.k∈Z √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由f(x)的图象可知周期为T=2×=2， ∴ω==π，由图象可知，点A 将A代入f(x)中得 解析 cos=-1，即+φ=π+2kπ，k∈Z，即φ=+2kπ，k∈Z，故f(x)= cos的单调递增区间满足-π+2kπ<πx+<2kπ，k∈Z，解得-+2k< x<-+2k，k∈Z. 6.(2021·新高考全国Ⅰ)下列区间中，函数f(x)=7sin的单调递增区间是 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 方法一　(常规求法)令-+2kπ≤x-+2kπ，k∈Z，得-+2kπ≤x≤+ 2kπ，k∈Z.取k=0，则-≤x≤.因为 所以区间是函数f(x)的单调递增区间. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 方法二　(判断单调性法)当0<x<时，-<x-所以f(x)在上单调递增，故A正确； 当<x<π时<x-所以f(x)在上不单调，故B不正确； 当π<x<时<x-所以f(x)在上单调递减，故C不正确； 当<x<2π时<x-所以f(x)在上不单调，故D不正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 方法三　(特殊值法)因为<π，但f =7sin=7，f=7sin<7，所以区间不是函数f(x)的单调递增区间，排除B； 因为π<但f=7sin π=0，f =7sin=-<0，所以区间不是函数f(x)的单调递增区间，排除C； 因为<2π，但f=7sin=-7sin>-7，f=7sin=-7，所以区间不是函数f(x)的单调递增区间，排除D. 解析 二、多项选择题 7.已知sin(π+α)=-则下列计算正确的是 A.sin(5π-α)= B.sin C.cos=- D.tan 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 依题意，sin(π+α)=-sin α=-sin α= 所以cos α=±=± 所以sin(5π-α)=sin α=故A正确； sin=cos α=±故B错误； cos=-sin α=-故C正确； tan=±故D错误. 解析 8.已知函数f(x)=tan-1，则下列说法错误的是 A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的定义域为 C.f(x)的图象关于点对称 D.f(x)在上单调递增 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于A，由正切函数性质知，f(x)的最小正周期为T=A错误； 对于B，由2x++kπ(k∈Z)得x≠k∈Z)，∴f(x)的定义域为B错误； 对于C，令2x+k∈Z)，解得x=-k∈Z)，又f(x)=tan-1，∴f(x)的图象关于点对称，C错误； 对于D，当x∈时，2x+此时f(x)单调递增，D正确. 解析 9.★★科学研究已经证实：人的智力、情绪和体力分别以33天、28天和23天为周期，均可按y=sin ωx(ω>0)进行变化.记智力曲线为I，情绪曲线为E，体力曲线为P，则 A.第35天时情绪曲线E处于最高点 B.第33天到第42天时，智力曲线I与情绪曲线E不相交 C.第46天到第50天时，体力曲线P处于上升期 D.情绪曲线E与体力曲线P都关于点(322，0)对称 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ √ 设人的智力曲线、情绪曲线和体力曲线分别用f(x)=sin ω1x，g(x)=sin ω2x，h(x)= sin ω3x表示， 所以 ω1=ω2=ω3= 故f(x)=sinx，g(x)=sinx，h(x)=sinx， 第35天时，g(35)=sin=sin=sin=1，故E处于最高点，故A正确； 设F(x)=f(x)-g(x)=sinx-sinx， 因为F(33)=sin 2π-sin=-sin<0，F(42)=sin-sin 3π=sin>0， 故由函数零点存在定理可得存在x0∈(33，42)，使得F(x0)=0，故此时智力曲线I与情绪曲线E相交，故B错误； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为x∈(46，50)，所以x∈ 因为所以根据正弦函数的性质可得此时h(x)=sinx单调递增， 故处于上升期，故C正确； 因为g(322)=sin=sin 23π=0，h(322)=sin=sin 28π=0， 所以情绪曲线E与体力曲线P都关于点(322，0)对称，故D正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 三、填空题 10.已知函数f(x)=ax3+bsin x+3，若f(m)=1，则f(-m)=　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 设g(x)=f(x)-3=ax3+bsin x， 则g(-x)=a(-x)3+bsin(-x)=-ax3-bsin x=-g(x)，即函数g(x)是奇函数， f(x)=g(x)+3，则f(m)+f(-m)=g(m)+3+g(-m)+3=6，而f(m)=1， 所以f(-m)=5. 解析 11.函数f(x)=sin+cos的对称中心为　　 　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 f(x)=sin+cos =sin+sin=2sin. 由x+=kπ，k∈Z，得x=kπ-k∈Z， 所以f(x)的对称中心是k∈Z. 解析 k∈Z 12.函数y=的值域为　　 　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 方法一　y= =1+. 因为-1≤sin x<1，所以0<1-sin x≤2. 所以当sin x=-1时，ymin=1+. 所以函数的值域为. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 方法二　由y=得ysin x-y=sin x-2，即sin x=y-2，显然y≠1. 故sin x=. 因为-1≤sin x<1， 所以 解得y≥所以函数的值域为. 解析 四、解答题 13. 已知f(α)=. (1)化简f(α)； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 f(α)==sin αcos α. 解 (2)若f(α)=且<α<求cos α-sin α的值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由f(α)=sin αcos α=可得(cos α-sin α)2=cos2α-2sin αcos α+sin2α=1-2sin αcos α= 1-2×.又∵<α< ∴cos α<sin α，即cos α-sin α<0， ∴cos α-sin α=-. 解 (3)若α=-求f(α)的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵α=-=-4×2π+ ∴f =cos·sin =cos ·sin =cos·sin =cos =-. 解 14.★★已知函数f(x)=sin2x+acos x-a-x∈R. (1)当a=1时，求函数f(x)的最小值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当a=1时，f(x)=sin2x+cos x-2 =-cos2x+cos x-1=- 因为-1≤cos x≤1， 所以当cos x=-1时，函数取得最小值，最小值为-=-3. 解 (2)若f(x)的最大值为1，求实数a的值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为f(x)=sin2x+acos x-a- =-cos2x+acos x-=- 当-1≤≤1，即-2≤a≤2时， 则当cos x=时，函数的最大值为=1， 解得a=1+>2(舍去)或a=1-； 当>1，即a>2时， 则当cos x=1时，函数取得最大值，即1=-1+a-解得a=5； 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当<-1，即a<-2时， 则当cos x=-1时，函数取得最大值， 即1=-1-a-解得a=-舍去). 综上，实数a的值为1-或5. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (3)对于任意x∈不等式f(x)≥恒成立，求实数a的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为f(x)=-cos2x+acos x- 令t=cos x，由x∈得t∈ 设h(t)=-t2+at- 因为对任意x∈f(x)≥恒成立， 所以h(t)=-t2+at-在t∈上恒成立， 即a≥t+在t∈上恒成立， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 设g(t)=t+ 由对勾函数的性质易知函数g(t)在上单调递减， 所以g(t)≤g所以a≥ 故实数a的取值范围为. 解 第五章　三角函数 <<< $