第5章 5.4.2 第2课时 单调性与最值（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦正弦函数、余弦函数的单调性与最值，通过回顾周期性、奇偶性，类比指数对数函数引出值域与单调性问题，引导学生观察图像发现规律，搭建前后知识联系的学习支架。 其亮点在于以问题驱动结合方法归纳，通过表格对比正余弦函数性质培养数学眼光，换元法求单调区间体现数学思维，例题步骤化解析强化数学语言表达，分层练习助力学生巩固，教师可直接使用提升教学效率。

单调性与最值 第2课时 第五章　5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质 <<< 1.理解正弦函数、余弦函数的单调性具有周期性变化的规律.(重点) 2.能够利用函数的单调性解决比较函数值的大小以及求函数的最值、值域等问题(难点). 学习目标 同学们，前面我们研究了正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性，根据我们之前学习指数函数和对数函数的经验，三角函数还有哪些性质有待我们去研究呢？请同学们继续观察正弦曲线和余弦曲线，它们的值域、单调性有什么样的规律呢？这就是我们本节课要研究的问题. 导 语 一、正弦函数、余弦函数的单调性与最值 二、利用单调性比较大小 课时对点练 三、求正弦函数、余弦函数的单调区间 随堂演练 内容索引 四、求正弦函数、余弦函数的最值(值域) 正弦函数、余弦函数的单调性与最值 一 你能作出正弦函数y=sin x，x∈的函数图象吗？观察图象，研究函数y=sin x，x∈的单调性与最值. 问题 提示　如图， 由图可知，区间正好是函数的一个周期，其中函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.当x=时，ymax=1，当x=-时，ymin=-1. 正弦函数、余弦函数的单调性与最值(表中k∈Z)   正弦函数 余弦函数 图象     值域 _______ _______ [-1，1] [-1，1] 知识梳理   正弦函数 余弦函数 单调性 在_____________________上单调递增，在____________________ 上单调递减 在 上单调递增，在 上单调递减 最值 当x=______时，ymax=1； 当x=______时，ymin=-1 当x= 时，ymax=1； 当x= 时，ymin=-1 [-π+2kπ，2kπ] [2kπ，π+2kπ] +2kπ -+2kπ 2kπ π+2kπ (1)正、余弦函数都不是单调函数，但它们都有无数个单调区间. (2)利用单调性，可以比较同一个单调区间内的同名三角函数值的大小. 注 意 点 <<< 9 二 利用单调性比较大小 　(课本例4)不通过求值，比较下列各组数的大小： (1)sin； 例 1 因为-<0， 正弦函数y=sin x在区间. 解 11 (2)cos. cos， cos. 因为0< ， 即cos. 解 12 　利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小： (1)cos cos ； 例 1 cos =cos cos =cos 因为0<<π，又y=cos x在[0，π]上单调递减， 所以cos >cos 即cos >cos . 解 13 (2)cos 1，sin 1； 因为cos 1=sin又0<-1<1<且y=sin x在上单调递增， 所以sin<sin 1，即cos 1<sin 1. 解 14 (3)sin 164°与cos 110°. sin 164°=sin(180°-16°)=sin 16°， cos 110°=cos(90°+20°)=-sin 20°=sin(-20°). 因为y=sin x在上单调递增， 所以sin(-20°)<sin 16°， 即cos 110°<sin 164°. 解 15 比较三角函数值大小的步骤 (1)异名函数化为同名函数. (2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上. (3)利用函数的单调性比较大小. 反 思 感 悟 16 (1)下列关系式中正确的是 A.sin 11°<sin 168°<cos 10° B.sin 168°<sin 11°<cos 10° C.sin 11°<cos 10°<sin 168° D.sin 168°<cos 10°<sin 11° 跟踪训练1 因为sin 168°=sin 12°，cos 10°=sin 80°，所以只需比较sin 11°， sin 12°，sin 80°的大小.因为y=sin x在上单调递增，所以sin 11° <sin 12°<sin 80°， 即sin 11°<sin 168°<cos 10°. 解析 √ 17 (2)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是 A.sin α<sin β B.cos α<sin β C.cos α<cos β D.cos α>cos β 因为α，β是锐角三角形的两个内角，故有α+β>所以0<-β<α< 所以cos α<cos=sin β. 解析 √ 18 求正弦函数、余弦函数的单调区间 三 　(课本例5)求函数y=sin，x∈[-2π，2π]的单调递增区间. 例 2 令z=. 因为y=sin z，z∈， 得-. 所以，函数y=sin. 解 20 　求函数y=2sin的单调区间. 例 2 21 令z=x-则y=2sin z. ∵z=x-是增函数， ∴y=2sin z单调递增(减)时， 函数y=2sin也单调递增(减). 由z∈k∈Z)， 得x-k∈Z)， 解 22 即x∈k∈Z)， 故函数y=2sin的单调递增区间为k∈Z). 同理可求函数y=2sin的单调递减区间为 k∈Z). 解 23 求函数f(x)=2sinx∈[0，2π]的单调区间. 延伸探究1 由例题知f(x)=2sin的单调递增区间为k∈Z， 又∵x∈[0，2π]， ∴0≤x≤≤x≤2π， 同理函数f(x)=2sinx∈[0，2π]的单调递减区间为. ∴函数f(x)=2sinx∈[0，2π]的单调递增区间为单调递减区间为. 解 24 函数y=2sin的单调递减区间为_____________________ 　　 . 延伸探究2 k∈Z 25 y=2sin=-2sin 令z=x-求y=-sin z的单调递减区间，即求y=sin z的单调递增区间. 所以-+2kπ≤z≤+2kπ，k∈Z. 即-+2kπ≤x-+2kπ，k∈Z. 所以-+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z. 所以函数y=2sin的单调递减区间是k∈Z. 解析 26 求正、余弦函数的单调区间的策略 (1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间. (2)在求形如y=Asin(ωx+φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx+φ”看作一个整体“z”，即通过求y=Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间.求形如y=Acos(ωx+φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，方法亦如此. 反 思 感 悟 27 求函数y=2cos的单调区间. 跟踪训练2 28 令2kπ-π≤2x-≤2kπ(k∈Z)， 即2kπ-≤2x≤2kπ+k∈Z)， ∴kπ-≤x≤kπ+k∈Z). ∴函数的单调递增区间为k∈Z). 令2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z)， 即2kπ+≤2x≤2kπ+k∈Z)， ∴kπ+≤x≤kπ+k∈Z)， 解 29 ∴函数的单调递减区间为k∈Z). ∴函数y=2cos的单调递增区间为k∈Z)，单调递减区间为k∈Z). 解 30 求正弦函数、余弦函数的最值(值域) 四 　(课本例3)下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量x的集合，并求出最大值、最小值. (1)y=cos x+1，x∈R； 例 3 容易知道，这两个函数都有最大值、最小值. 使函数y=cos x+1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y=cos x，x∈R取得最大值的x的集合{x|x=2kπ，k∈Z}； 使函数y=cos x+1，x∈R取得最小值的x的集合，就是使函数y=cos x，x∈R取得最小值的x的集合{x|x=(2k+1)π，k∈Z}. 函数y=cos x+1，x∈R的最大值是1+1=2；最小值是-1+1=0. 解 32 (2)y=-3sin 2x，x∈R. 令z=2x，使函数y=-3sin z，z∈R取得最大值的z的集合，就是使y=sin z，z∈R取得最小值的z的集合. 由2x=z=-+kπ.所以，使函数y=-3sin 2x，x∈R取得最大值的x的集合是 同理，使函数y=-3sin 2x，x∈R取得最小值的x的集合是 函数y=-3sin 2x，x∈R的最大值是3，最小值是-3. 解 33 　已知函数f(x)=ω>0)的最小正周期T=π. (1)求ω的值； 例 3 因为T==π，所以ω=±2， 又因为ω>0，所以ω=2. 解 34 (2)求f(x)在区间上的最大值与最小值. 当x∈时，-π≤2x- 所以当2x-=- 即x=-时，f(x)min=-； 当2x- 即x=时，f(x)max=. 所以f(x)在区间上的最大值为最小值为-. 解 35 三角函数的值域(最值)问题的求解方法 (1)形如y=Asin x(或y=Acos x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对A正、负的讨论. (2)形如y=Asin(ωx+φ)+b(或y=Acos(ωx+φ)+b)型，可先由定义域求得ωx+φ的范围，然后求得sin(ωx+φ)(或cos(ωx+φ))的范围，最后求得值域(最值). (3)求给定区间上最值(值域)的问题，可利用换元思想，设t=ωx+φ，转换成y=Asin x(或y=Acos x)型的函数求值. 反 思 感 悟 36 求函数y=cos+1，x∈的值域. 由y=cos+1，x∈ 可得x+ 因为函数y=cos x在区间上单调递减， 所以cos 所以函数y=cos+1，x∈的值域为. 解 跟踪训练3 37 1.知识清单： (1)正弦、余弦函数的单调区间. (2)比较三角函数值的大小. (3)正弦、余弦函数的最值(值域). 2.方法归纳：整体代换、换元法. 3.常见误区：单调区间漏写k∈Z；求值域时忽视sin x，cos x本身具有的范围. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 1.函数y=-cos x在区间上 A.单调递增 B.单调递减 C.先减后增 D.先增后减 √ 因为y=cos x在区间上先增后减， 所以y=-cos x在区间上先减后增. 解析 1 2 3 4 2.函数y=2-sin x的最大值及取最大值时x的值为 A.ymax=3，x= B.ymax=1，x=+2kπ(k∈Z) C.ymax=3，x=-+2kπ(k∈Z) D.ymax=3，x=+2kπ(k∈Z) √ ∵y=2-sin x， ∴当sin x=-1时，ymax=3， 此时x=-+2kπ(k∈Z). 解析 1 2 3 4 3.设a=sin 30°，b=cos 45°，c=sin 35°，则a，b，c三者的大小关系是 A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.b<c<a √ 因为函数y=sin x在上单调递增， b=cos 45°=sin 45°， 且30°<35°<45°， 所以sin 30°<sin 35°<sin 45°， 即a<c<b. 解析 1 2 3 4 4.函数f(x)=的单调递减区间是 　　　　　　　　　　　　. 令2kπ≤2x-≤π+2kπ(k∈Z)， 得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z)， 即f(x)=的单调递减区间是k∈Z). 解析 k∈Z) 课时对点练 六 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C C D C A BD (-π，0] 题号 9 11 12 13 15 答案 D D B D 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)令2kπ-π≤3x+≤2kπ(k∈Z)， 得≤x≤k∈Z). ∴f(x)的单调递增区间为k∈Z). (2)当3x+=2kπ-π(k∈Z)， 即x=k∈Z)时，f(x)取得最小值-2. 16 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)函数f(x)的最小正周期T==π； 令+2kπ≤2x-+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 即f(x)的单调递减区间为k∈Z). 16 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)当x∈时，2x- 令t=2x-即t∈ 画出y=2sin t的图象如图， 因为f(x)在上的值域为[-2， 所以≤2m-解得≤m≤即实数m的取值范围为. 16 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)因为f(x)=cos(2x+θ) 由y=f=cos是奇函数， 所以-+θ=-+kπ(k∈Z)， 解得θ=-+kπ(k∈Z)， 又-<θ<则θ=-. 16 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为函数y=3-sin(2x+θ)-2cos2(2x+θ)=3-sin-2cos2 =2sin2-sin+1 =2 由x∈ 则2x- 所以sin 16 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 故当sin时，ymin=； 当sin=-或1时，ymax=2. 故所求函数的值域为. 16 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)因为函数f(x)=cos在区间上均单调递增， 令t=2x- 则g(t)=cos t在区间上单调递增， 故-π<a-≤0且π≤6a-<2π， 解得≤a≤ 则实数a的取值范围为. 16 基础巩固 1.y=2sin的值域是 A.[-2，2] B.[0，2] C.[-2，0] D.[-1，1] √ 因为sin∈[-1，1]， 所以y∈[-2，2]. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知函数f(x)=sin在x0处取得最大值，则x0可能是 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x++2kπ，k∈Z，即x=+2kπ，k∈Z时，f(x)取最大值. 解析 3.函数y=3cos的单调递减区间为 A.k∈Z B.[2kπ，2kπ+π]，k∈Z C.k∈Z D.k∈Z √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为y=3cos=-3sin x， 且y=sin x的单调递增区间为k∈Z， 所以函数y=3cos的单调递减区间为k∈Z. 解析 4.已知函数y=sin x与y=cos x，在下列区间内同为单调递增的是 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵y=sin x的单调递增区间为k∈Z， y=cos x的单调递增区间为[2kπ-π，2kπ]，k∈Z， 结合选项，可知当k=1时为正弦函数与余弦函数的单调递增 区间的交集， 即能使函数y=sin x与函数y=cos x同时单调递增的区间是闭区 间或开区间均可). 解析 5.函数f(x)=-+1，x∈的值域为 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为x∈所以2x+则cos 故-故f(x)的值域为. 解析 6.已知函数f(x)=acos x+b的最大值为1，最小值为-3，则函数g(x)=absin x+ 3的最大值为 A.5 B.-5 C.1 D.-1 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若a>0，则 所以g(x)=-2sin x+3≤5(当sin x=-1时取等号)； 若a<0，则 所以g(x)=2sin x+3≤5(当sin x=1时取等号). 综上可知，g(x)的最大值为5. 解析 7.(多选)下列不等式中成立的是 A.sin>sin B.cos 400°>cos C.sin 3>sin 2 D.sin>cos 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y=sin x在上单调递增， 又-<- ∴sin<sin故A不成立； cos 400°=cos 40°>cos 50°=cos(-50°)，故B成立； y=sin x在上单调递减， 又<2<3<π，∴sin 2>sin 3，故C不成立； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 sin=-sin cos=-cos=-sin=-sin. ∵0<且y=sin x在上单调递增. ∴sin<sin∴sin>cos故D成立. 解析 8.函数y=cos x在区间[-π，a]上单调递增，则a的取值范围是　　 　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (-π，0] 因为y=cos x在[-π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减，所以只有-π<a ≤0时满足条件，故a的取值范围是(-π，0]. 解析 9.函数f(x)=3sin x-1，x∈的值域是　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为x∈所以sin x∈ 所以3sin x-1∈. 故f(x)的值域为. 解析 10.已知函数f(x)=2cos. (1)求f(x)的单调递增区间； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令2kπ-π≤3x+≤2kπ(k∈Z)， 得≤x≤k∈Z). ∴f(x)的单调递增区间为k∈Z). 解 (2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当3x+=2kπ-π(k∈Z)， 即x=k∈Z)时，f(x)取得最小值-2. 解 11.若f(x)=sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在上单调递减，则ω的值为 A.2 B. C. D. √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x=时，函数f(x)取得最大值，则sin=1，所以=2kπ+k∈Z)，所以ω=6k+k∈Z)，又ω>0，结合选项可知ω=符合题意. 解析 12.已知定义在R上的偶函数f(x)满足在区间(0，1)上单调递增.若m=cos n=cos t=cos则f(m)，f(n)，f(t)的大小关系为 A.f(m)<f(n)<f(t) B.f(m)<f(t)<f(n) C.f(n)<f(t)<f(m) D.f(t)<f(m)<f(n) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为n=cos =-cos t=cos=cos 由得0<cos <cos <cos <1. 所以0<t<m<-n<1， 又f(x)在区间(0，1)上单调递增， 则f(t)<f(m)<f(-n)， 又函数f(x)为偶函数，故f(-n)=f(n)， 所以f(t)<f(m)<f(n). 解析 13.定义运算a⊕b=则函数f(x)=sin x⊕cos x的值域为 A.(-1，1) B. C. D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得f(x)=sin x⊕cos x= 因为y=sin x，y=cos x都是以2π为周期的函数，所以f(x)也是以2π为周期的函数， 取x∈由sin x≥cos x，得≤x≤ 则f(x)=sin x⊕cos x= 当x∈时，f(x)=sin x∈； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x∈时，f(x)=cos x∈ 所以函数f(x)=sin x⊕cos x的值域为. 解析 14.已知函数f(x)=2sin. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 函数f(x)的最小正周期T==π； 令+2kπ≤2x-+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 即f(x)的单调递减区间为k∈Z). 解 16 (2)若函数f(x)在区间上的值域为[-2，求实数m的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x∈时，2x- 令t=2x-即t∈ 画出y=2sin t的图象如图， 因为f(x)在上的值域为[-2， 所以≤2m-解得≤m≤即实数m的取值范围为. 解 15.函数f(x)=2sing(x)=mcos-2m+3(m>0)，若对任意x1∈ 存在x2∈使得g(x1)=f(x2)成立，则实数m的取值范围是 A. B. C. D. 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由x∈得2x+ ∴f(x)=2sin∈[1，2]. 对于g(x)=mcos-2m+3(m>0)， 当x∈时，2x- 则cos ∴g(x)∈. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵对任意x1∈存在x2∈使得g(x1)=f(x2)成立， ∴解得1≤m≤即实数m的取值范围是. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16.已知函数f(x)=cos(2x+θ)满足函数y=f是奇函数. (1)求函数y=3-sin(2x+θ)-2cos2(2x+θ)，x∈的值域； 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为f(x)=cos(2x+θ) 由y=f=cos是奇函数， 所以-+θ=-+kπ(k∈Z)， 解得θ=-+kπ(k∈Z)， 又-<θ<则θ=-. 因为函数y=3-sin(2x+θ)-2cos2(2x+θ)=3-sin-2cos2 =2sin2-sin+1=2 解 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由x∈ 则2x- 所以sin 故当sin时，ymin=； 当sin=-或1时，ymax=2. 故所求函数的值域为. 解 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为函数f(x)=cos在区间上均单调递增， 令t=2x- 则g(t)=cos t在区间上单调递增， 故-π<a-≤0且π≤6a-<2π， 解得≤a≤ 则实数a的取值范围为. 解 16 (2)函数f(x)在区间上均单调递增，求实数a的取值范围. 第五章　5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质 <<< $