第4章 习题课 函数的零点与方程的解的应用（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦函数零点与方程解的应用，通过三次函数零点求参数实例导入，衔接零点存在定理与一元二次方程根的分布，构建从具体问题到抽象方法的学习支架。 其亮点在于运用数形结合与分类讨论，如根的分布问题结合函数图象分析，培养数学思维与直观想象。通过例题解析、反思感悟与跟踪训练，系统总结方法，助力学生提升解题能力，也为教师提供清晰的教学流程与练习设计。

习题课 函数的零点与方程的解的应用 第四章　指数函数与对数函数 <<< 1.进一步应用函数零点存在定理，已知零点(方程的解)的情况求参数范围.(重难点) 2.掌握一元二次方程的根的分布情况.(难点) 学习目标 一、根据零点情况求参数 二、一元二次方程的根的分布问题 课时对点练 随堂演练 内容索引 根据零点情况求参数 一 　若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有三个零点0，1，x0，且x0∈(1，2)，则a的取值范围是 A.(-2，0) B.(1，2) C.(2，3) D.(-3，-2) 例 1 √ 5 因为函数f(x)=x3+ax2+bx+c有三个零点0，1，x0， 所以 解得 所以f(x)=x3+ax2+(-1-a)x=x(x-1)(x+a+1)，所以x0=-1-a，又x0∈(1，2)， 所以1<-1-a<2，解得-3<a<-2. 解析 6 已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)的常用方法 (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数值(取值范围). (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决. (3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，利用数形结合的方法求解. 反 思 感 悟 7 若方程xlg(x+2)=1的实数根在区间(k，k+1)(k∈Z)上，则k等于 A.-2 B.1 C.-2或1 D.0 跟踪训练1 √ 由题意知x≠0，则原方程即为lg(x+2)=在同一平面直角坐标系中作出函数y=lg(x+2)与y=的图象，如图所示， 由图象可知，原方程有两个根，一个在区间(-2，-1) 解析 上，一个在区间(1，2)上 所以k=-2或k=1. 8 二 一元二次方程的根的分布问题 　已知关于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0. (1)若方程有两个实根，且一个比2大，一个比2小，求实数m的取值范围； 例 2 设f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6， f(x)的大致图象如图所示， ∴f(2)<0，即4+4(m-1)+2m+6<0， 得m<-1， ∴实数m的取值范围为(-∞，-1). 解 10 (2)若方程有两个实根α，β，且满足0<α<1<β<4，求实数m的取值范围； f(x)的大致图象如图所示， ∴ 解得-<m<- ∴实数m的取值范围为. 解 11 (3)若方程至少有一个正根，求实数m的取值范围. 12 方法一　方程至少有一个正根，则有三种可能的情况， ①有两个正根，此时如图1，可得 即∴-3<m≤-1. ②有一个正根，一个负根，此时如图2， 可得f(0)<0，得m<-3. 解 13 ③有一个正根，另一根为0，此时如图3， 可得 ∴m=-3. 综上所述，当方程至少有一个正根时，实数m的取值范围为(-∞，-1]. 解 14 方法二　不妨设方程的两根分别为x1，x2， 且x1>0， 由题知Δ≥0，解得m≤-1或m≥5， 由根与系数的关系， 当x2≥0时 得-3≤m<1， ∴-3≤m≤-1， 当x2<0时，x1x2<0，此时m<-3. 综上所述，m≤-1. 解 15 一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根的分布问题(只考虑方程有两个不相等的实数根) 反 思 感 悟 根的分布(m，n，p为常数) 图象 满足条件 x1<x2<m   m<x1<x2   16 反 思 感 悟 根的分布(m，n，p为常数) 图象 满足条件 x1<m<x2   f(m)<0 m<x1<x2<n   17 反 思 感 悟 根的分布(m，n，p为常数) 图象 满足条件 m<x1<n<x2<p   x1，x2有且只有一个在(m，n)之间且f(m)·f(n)≠0   f(m)·f(n)<0 18 若关于x的方程ax2-2ax+1=0有两个不相等的正实数根，则实数a的取值范围是 A.(0，1) B.(0，+∞) C.(1，+∞) D.(-∞，0) 因为关于x的方程ax2-2ax+1=0有两个不相等的正实数根，所以解得a>1， 故实数a的取值范围是(1，+∞). 解析 跟踪训练2 √ 19 1.知识清单： (1)根据零点情况求参数. (2)一元二次方程根的分布. 2.方法归纳：判别式法、数形结合法. 3.常见误区：不能把函数、方程问题相互灵活转化. 课堂小结 随堂演练 三 1 2 3 4 1.已知函数f(x)=mx+1的零点在区间(1，2)内，则m的取值范围是 A. B. C. D.(-∞，-1)∪ √ 因为函数f(x)=mx+1的零点在区间(1，2)内，且此函数是连续函数， 所以f(1)f(2)<0，即(m+1)(2m+1)<0， 解得-1<m<-. 解析 1 2 3 4 2.若函数f(x)=x2-2x+a在(0，2)上有两个零点，则实数a的取值范围为 A.(0，2) B.(0，1) C.(1，2) D.(-∞，1) √ 函数f(x)=x2-2x+a在(0，2)上有两个零点，函数f(x)的图象的对称轴为直线x=1， 可得解得0<a<1. 则实数a的取值范围为(0，1). 解析 1 2 3 4 3.(多选)已知函数f(x)=ax-x-a(a>0，a≠1)，则下列说法中正确的是 A.当a>1时，f(x)有1个零点 B.当a>1时，f(x)有2个零点 C.当0<a<1时，f(x)没有零点 D.当0<a<1时，f(x)有1个零点 √ √ 1 2 3 4 在同一平面直角坐标系中作出函数y=ax与y=x+a的图象， 当a>1时，如图(1)，y=ax与y=x+a有2个交点，则f(x)有2个零点； 当0<a<1时，如图(2)，y=ax与y=x+a有1个交点，则f(x)有1个零点. 解析 1 2 3 4 4.若函数f(x)=3x2-5x+a的一个零点在区间(-2，0)内，另一个零点在区间(1，3)内，则实数a的取值范围是　　　　. ∵f(x)=3x2-5x+a的一个零点在区间(-2，0)内，另一个零点在区间(1，3)内， ∴解得-12<a<0， 故a的取值范围为(-12，0). 解析 (-12，0) 课时对点练 四 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C A C D B BC AC 题号 9 10 11 12 答案 AD (-1，1) (e，e2) (0，1) 13. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由f(x)=0得a-1=2|x|-x2， 因为函数f(x)=x2-2|x|+a-1有四个不同的零点， 所以函数y=a-1与y=2|x|-x2的图象有四个交点， 画出函数y=2|x|-x2的图象，如图所示， 观察图象可知0<a-1<1，即1<a<2， 所以实数a的取值范围是(1，2). 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)由题意得 则-<a<0或0<a<. 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)由f(x)的两个零点一个在(0，1)内，另一个在(2，3)内，故a≠0， 当f(x)的图象开口向上时， 解得<a<2； 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当f(x)的图象开口向下时， 所以无解. 综上，a的取值范围为. 一、单项选择题 1.当|x|≤1时，函数f(x)=ax+2a+1的值有正也有负，则实数a的取值范围是 A. B.(-∞，-1] C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 |x|≤1⇒-1≤x≤1. 当a=0时，f(x)=1，函数值恒为正，不符合题意； 当a≠0时，要想函数f(x)=ax+2a+1的值有正也有负， 只需f(1)f(-1)<0， 即(a+2a+1)(-a+2a+1)=(3a+1)(a+1)<0， 解得-1<a<-. 综上所述，-1<a<-. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.方程x+log3x=3的解为x0，若x0∈(n，n+1)，n∈N，则n等于 A.0 B.1 C.2 D.3 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 设f(x)=x+log3x-3， 则f(2)=2+log32-3=log32-1<0， f(3)=3+log33-3=1>0， 又易知f(x)为增函数，所以f(x)在(2，3)内有唯一零点， 所以方程x+log3x=3的解在(2，3)内，因此n=2. 解析 3.若方程-x2+ax+4=0的两实根中一个小于-1，另一个大于2，则实数a的取值范围是 A.(0，3) B.[0，3] C.(-3，0) D.(-∞，1)∪(3，+∞) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为方程-x2+ax+4=0有两根，一个大于2，另一个小于-1， 所以函数 f(x)=-x2+ax+4有两个零点，一个大于2，另一个小于-1，由二次函数的图象可知， 解得0<a<3. 解析 4.若函数f(x)=其中a>2)存在零点，则实数a的取值范围是 A.(2，+∞) B.(3，+∞) C.(2，3) D.(2，3] √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意知a>2， 因为指数函数y=ax单调递增，在区间(2，a]上无零点， 所以函数y=loga(x-2)在区间(a，+∞)上存在零点， 由于y=loga(x-2)单调递增， 故当x=a时，有loga(a-2)<0=loga1， 从而a-2<1⇒a<3， 所以实数a的取值范围是(2，3). 解析 5.已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d，若f(x)=2 025-(x-a)(x-b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是 A.a>c>b>d B.a>b>c>d C.c>d>a>b D.c>a>b>d √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意设g(x)=(x-a)(x-b)，则f(x)=2 025-g(x)，且g(x)=0的两个根是a，b.由题意知f(x)=0的两个根是c，d，也就是g(x)=2 025的两个根，画出y=g(x)(开口向上)以及y=2 025的大致图象(图略)，则y=2 025与y=g(x)的图象交点的横坐标就是c，d，y=g(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是a，b，则c，d在a，b外，又a>b，c>d，则c>a>b>d. 解析 6.对实数a，b，定义运算“*”：a*b=设函数f(x)=(x2+1)*(x +2)，若函数y=f(x)-c有两个零点，则实数c的取值范围是 A.(2，4)∪(5，+∞) B.(1，2]∪(4，5] C.(-∞，1)∪(4，5] D.[1，2] √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意知， 当(x2+1)-(x+2)≤1，即-1≤x≤2时，f(x)=x2+1； 当(x2+1)-(x+2)>1，即x>2或x<-1时，f(x)=x+2. ∴f(x)= ∵函数y=f(x)-c有两个零点， ∴函数y=f(x)的图象与函数y=c的图象有两个交点.画出函数y=f(x)的图象，如图所示. 由图可知，当c∈(1，2]∪(4，5]时，函数y=f(x)-c有两个零点. 解析 二、多项选择题 7.已知函数f(x)=a|x-1|的图象与直线y=2x+a有两个不同的交点，则正实数a的取值可以是 A.2 B.3 C.4 D.1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 在同一平面直角坐标系中作出函数y=f(x)与y=2x+a的大致图象，如图所示，两图象都经过点(0，a)，易知只有当a>2时才能在x>1的区域上有第二个交点，故a的取值范围为a>2. 解析 8.已知二次函数y=ax2-4ax-3a+2(a<0)有两个零点x1，x2，且x1<x2，则 A.x1+x2-4=0 B.x1x2+3>0 C.x2-x1>2 D.-<x1<x2< 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 y=ax2-4ax-3a+2有两个零点x1，x2，且x1<x2，令y=0，因此Δ=16a2-4a(-3a +2)=28a2-8a，由于a<0，所以Δ>0恒成立，故 x1+x2-4=0，故A正确； x1x2+3=-3++3=<0，故B错误； x2-x1==2故C正确； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由于二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线x=2，f =f =2-a>0，因此两个零点x1<-x2>故D错误. 解析 9.已知二次函数f(x)=x2+bx+c在(0，2)上有两个零点.下列说法正确的有 A.f(0)>0且f(2)>0 B.f(1)<0 C.f(0)f(2)>1 D.f(0)和f(2)中至少有一个小于1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 不妨设二次函数f(x)=x2+bx+c在(0，2)上的两个零点为x1，x2，且x1<x2， 所以故A正确； 当x1，x2∈(0，1)时，f(1)>0，故B错误； 若x1=1，x2= 则f(x)=(x-1=x2-x+ 解析 此时f(0)=f(2)= 则f(0)f(2)=<1，故C错误； 方法一　当f(1)=1+b+c<0时，4+2b+2c<2，即f(0)+f(2)<2， 所以f(0)和f(2)中至少有一个小于1； 当f(1)=1+b+c≥0时，-∈(0，1)或(1，2)， 若-∈(0，1)，则f(0)=c<<1， 若-∈(1，2)，则f(2)=4+2b+c<4+2b+<1， 故D正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 方法二　若f(0)≥1，f(2)≥1，即c≥1，4+2b+c≥1， 由Δ=b2-4c>0，得b2>4c≥4， 则b<-2或b>2，结合0<-<2， 得-4<b<-2， 则f(2)=4+2b+c<4+2b+<1， 这与f(2)≥1矛盾，故f(0)和f(2)至少有一个小于1，故D正确. 解析 三、填空题 10.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-k有三个零点，则实 数k的取值范围是　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (-1，1) 令g(x)=f(x)-k=0，可得f(x)=k， 作出y=f(x)的图象，如图， 由图可知，当y=k与y=f(x)的图象有三个不同的交点时，-1<k<1，所以k的取值范围是(-1，1). 解析 11.已知函数f(x)=若正实数a，b，c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则a·b·c的取值范围为　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (e，e2) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 画出f(x)的图象如图所示， ∵正实数a，b，c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)， 不妨设a<b<c， 则由图象可得0<a<1<b<e<c<e2， 且-ln a=ln b，则可得a·b=1， ∴a·b·c=c∈(e，e2). 解析 12.已知函数f(x)=若存在两个不相等的实数x1，x2，使得f(x1)=f(x2)，则实数a的取值范围是　　　　. (0，1) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为存在两个不相等的实数x1，x2，使得f(x1)=f(x2)，故函数不是单调函数， 又y=x+1与y=2x的图象交于点(0，1)和(1，2)，画出图象如图所示， 由图可知，当0<a<1时，满足题意. 即实数a的取值范围是(0，1). 解析 四、解答题 13.函数f(x)=x2-2|x|+a-1有四个不同的零点，求实数a的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由f(x)=0得a-1=2|x|-x2， 因为函数f(x)=x2-2|x|+a-1有四个不同的零点， 所以函数y=a-1与y=2|x|-x2的图象有四个交点， 画出函数y=2|x|-x2的图象，如图所示， 观察图象可知0<a-1<1，即1<a<2， 所以实数a的取值范围是(1，2). 解 14.已知函数f(x)=ax2-5x+a. (1)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意得 则-<a<0或0<a<. 解 (2)若函数f(x)的一个零点在(0，1)内，另一个零点在(2，3)内，求实数a的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由f(x)的两个零点一个在(0，1)内，另一个在(2，3)内，故a≠0， 当f(x)的图象开口向上时， 解得<a<2； 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当f(x)的图象开口向下时， 所以无解. 综上，a的取值范围为. 解 第四章　指数函数与对数函数 <<< $