第4章 4.3.2 第1课时 对数的运算（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦对数的运算性质，通过开普勒简化天文计算的历史情境导入，衔接指数运算性质，以问题链引导学生推导积、商、幂的对数法则，构建指数到对数运算的知识支架。 其亮点在于以历史案例培养数学眼光，通过问题推导发展数学思维，结合例题分层训练强化数学语言应用。课堂小结梳理知识清单与方法，随堂演练巩固重点，助力学生掌握运算技能，为教师提供系统教学资源。

第1课时 对数的运算 第四章　 4.3.2　对数的运算 <<< 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件.(重点) 2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.(难点) 学习目标 同学们，数学运算的发展可谓是贯穿了整个人类进化史，从人们对天文、航天、航海感兴趣开始，发现数太大了，比如天文学家开普勒利用他的对数表简化了行星轨道的复杂计算，对数被誉为“用缩短计算时间而使天文学家延长寿命”，对整个科学的发展起到了重要作用. 导 语 一、对数的运算性质 二、对数运算性质的运用 课时对点练 三、利用对数的运算性质化简、求值 随堂演练 内容索引 对数的运算性质 一 提示　由M=ap，N=aq得p=logaM，q=logaN. 由MN=ap+q得p+q=loga(MN). 从而得出loga(MN)=logaM+logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0). 将指数式M=ap，N=aq化为对数式，结合指数运算性质MN=apaq =ap+q能否将其化为对数式？它们之间有何联系(用一个等式表示)？ 问题1 提示　将指数式=ap-q化为对数式，得 loga=p-q=logaM-logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0). 结合问题1，若=ap-q，又能得到什么结论？ 问题2 提示　由Mn=anp，得logaMn=np=nlogaM(a>0，且a≠1，M>0，n∈R). 结合问题1，若Mn=(ap)n=anp(n∈R)，又能有何结果？ 问题3 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)= . (2)loga= . (3)logaMn= (n∈R). logaM+logaN logaM-logaN nlogaM 知识梳理 (1)性质的逆运算仍然成立. (2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(-2)·(-3)]有意义，而log2(-2)与log2(-3)都没有意义. (3)性质(1)可以推广为：loga(N1·N2·…·Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk，其中Nk>0，k∈N*. 注 意 点 <<< 10 　(课本例3)求下列各式的值： (1)lg； 例 1 lg； 解 (2)log2(47×25). log2(47×25)=log247+log225 =7log24+5log22 =7×2+5×1=19. 解 11 　求下列各式的值. (1)log3e+log3； 例 1 log3e+log3=log3=log33=1. 解 (2)lg 50-lg 5； lg 50-lg 5=lg=lg 10=1. 解 12 (3)lg+2lg 2. lg+2lg 2=lg 5-lg 2+2lg 2 =lg 5+lg 2=lg 10=1. 解 13 对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行. 反 思 感 悟 14 　求下列各式的值： (1)log2； 跟踪训练 1 log2=log2. 解 (2)2log52+log50.25； 2log52+log50.25=log522+log50.25=log5(4×0.25)=log51=0. 解 15 (3)ln 3+ln； ln 3+ln=ln=ln 1=0. 解 (4)log35-log315. log35-log315=log3=log3=log33-1=-1. 解 16 二 对数运算性质的运用 　(课本例4)用ln x，ln y，ln z表示ln 例 2 ln =ln x2+ln =2ln x+ln z. 解 18 　用lg x，lg y，lg z表示下列各式： (1)lg(xyz)； 例 2 lg(xyz)=lg x+lg y+lg z. 解 (2)lg； lg=lg(xy3)-lg =lg x+lg y3-lg =lg x+3lg y-lg z. 解 19 (3)lg. lg=lg -lg(y2z)=lg -(lg y2+lg z) =lg x-2lg y-lg z. 解 20 用已知对数的值来表示所求对数的值时，要增强目标意识，把真数拆解成已知对数的真数，合理地把所求向已知条件转化. 反 思 感 悟 21 　已知lg 2=a，lg 3=b，则lg=　　　　(结果用含a，b的代数式表示).  跟踪训练 2 lg=lg 12-lg 5=lg(3×22)-(1-lg 2) =lg 3+lg 22-1+lg 2 =lg 3+3lg 2-1=b+3a-1. 解析 b+3a-1 22 利用对数的运算性质化简、求值 三 计算下列各式的值： (1)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2； 例 3 原式=(lg 5)2+(2-lg 2)lg 2 =(lg 5)2+(1+lg 5)lg 2 =(lg 5)2+lg 2·lg 5+lg 2 =(lg 5+lg 2)·lg 5+lg 2 =lg 5+lg 2=1. 解 24 (2； 原式= =. 解 25 (3)log535-2log5+log57-log51.8. 原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5 =log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55 =2log55=2. 解 26 利用对数运算性质化简求值 (1)“收”：将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数，即公式的逆用. (2)“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差)，即公式的正用. (3)“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用lg 2+lg 5=1，进行计算或化简. 反 思 感 悟 27 　计算下列各式的值： (1)2log23-log2+log27； 跟踪训练 3 方法一　原式=2log23-(log263-log28)+log27 =2log23-log27-log29+log28+log27 =2log23-2log23+3=3. 方法二　原式=log29-log2+log27 =log2=log28=log223=3. 解 28 (2)lg 25+lg 8+lg 5×lg 20+(lg 2)2. 原式=2lg 5+2lg 2+lg 5×(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2 =2lg 10+(lg 5+lg 2)2 =2+(lg 10)2=2+1=3. 解 29 1.知识清单： (1)对数的运算性质. (2)对数运算性质的运用. (3)利用对数的运算性质化简、求值. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：要注意对数的运算性质的结构形式，易混淆，且不可自创运算法则. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.计算lg 2-lg等于 A.-1 B. C.1 D.5 √ 原式=lg=lg 10=1. 解析 1 2 3 4 2.若a>0，且a≠1，x>0，n∈N*，则下列各式中正确的为 A.(logax)n=nlogax B.(logax)n=logaxn C.logax=-loga D.logax √ 根据对数的运算性质logaMn=nlogaM(M>0，a>0，且a≠1，n∈R)知C正确. 解析 1 2 3 4 3.已知lg 3=a，lg 7=b，则lg的值为 A.a-b2 B.a-2b C. D. ∵lg 3=a，lg 7=b， ∴lg=lg 3-lg 49=lg 3-2lg 7=a-2b. 解析 √ 1 2 3 4 4.=　　.  原式==2. 解析 2 课时对点练 五 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A A A C BD B 题号 9 11 12 13 15 答案 AC B D [0,6] 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)原式=log3+log10(25×4)+2 =log3+log10102+2=-+2+2=. (2)原式=2log32-(log325-log39)+3log32- =2log32-5log32+2log33+3log32-9=2-9=-7. 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题可得lg(x-2y)2=lg(xy)， 所以(x-2y)2=xy，即x2-5xy+4y2=0， 所以(x-y)(x-4y)=0，解得x=y或x=4y， 所以=1或=4. 又所以>2，所以=4. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，得 lg(267-1)≈lg 267=67lg 2≈67×0.301=20.167， ∴267-1≈1020.167， ∴267-1这个数的位数为21. 基础巩固 1.log242+log243+log244等于 A.1 B.2 C.24 D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原式=log24(2×3×4)=log2424=1. 解析 2.计算lg 2-lg-eln 2等于 A.-1 B. C.3 D.-5 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原式=lg 10-2=-1. 解析 3.已知3a=2，那么log38-2log36用a表示是 A.a-2 B.5a-2 C.3a-(1+a)2 D.3a-a2 因为3a=2，所以a=log32， 所以log38-2log36=log323-2(log32+1)=log32-2=a-2. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4.若lg x-lg y=t，则lg-lg等于 A.3t B.t C.t D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 lg-lg=3lg-3lg =3lg=3(lg x-lg y)=3t. 解析 5.若lg a，lg b是方程2x2-4x+1=0的两个实根，则ab的值等于 A.2 B. C.100 D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得lg a+lg b=2， ∴lg(ab)=2， ∴ab=100. 解析 6.(多选)若x>0，y>0，则下列各式中，一定成立的是 A.lg x+lg y=lg(x+y) B.lg=lg x-lg y C.lg x2=(lg x)2 D.lg=3lg y-lg x √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 lg x+lg y=lg(xy)，故A不正确； 根据对数的运算法则得lg=lg x-lg y，故B正确； lg x2=2lg x，故C不正确； lg=lg y3-lg =lg y3-lg =3lg y-lg x，故D正确. 解析 √ 7.已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，设N=45×910，则N所在的区间为 A.(1011，1012) B.(1012，1013) C.(1013，1014) D.(1014，1015) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ lg N=lg(45×910)=10lg 2+20lg 3≈12.552，对选项中的区间端点值同样取以10为底的对数值，可知B正确. 解析 8.设alog34=2，则4-a=　　.  因为alog34=2， 所以log34a=2，则4a=32=9， 则4-a=. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知lg 2=m，lg 3=n，则=　　　　　.(用m，n表示)  ∵lg 2=m，lg 3=n， ∴ =. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.计算下列各式的值： (1)log3+log1025+log104+； 解 原式=log3+log10(25×4)+2 =log3+log10102+2=-+2+2=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)2log32-log3+log38-. 解 原式=2log32-(log325-log39)+3log32- =2log32-5log32+2log33+3log32-9=2-9=-7. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)下列等式成立的是 A.=1 B.=2 C.lg 14-2lg+lg 7-lg 18=0 D.(lg 2)2+lg 2lg 5+lg 5=2 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ =1，A成立； =1，B不成立； lg 14-2lg+lg 7-lg 18=(lg 7+lg 2)-(2lg 7-2lg 3)+lg 7-(2lg 3+lg 2)=0，C成立； (lg 2)2+lg 2lg 5+lg 5=lg 2(lg 2+lg 5)+lg 5=lg 2+lg 5=1，D不成立. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知2log3+log3b=0，则下列等式一定正确的是 A.(2a)2=2b B.a·eln a=b C.b=2a D.log2a=3log2(ab) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由2log3+log3b=0，得a>0，b>0， 且log3a-2+log3b=0， 即log3(a-2b)=0， ∴a-2b=1，b=a2，而此时b=2a不总是成立，故C错误； 若(2a)2=2b，即22a=2b，则b=2a，结合以上分析可知A错误； 由于a·eln a=a·a=a2=b，故B正确； 又log2(ab)=log2a3=3log2a，故D错误. 解析 13.已知logax=2，logbx=1，logcx=4(a，b，c，x>0且a，b，c，x≠1)，则logx(abc)等于 A. B. C. D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得x=a2=b=c4， 所以(abc)4=x7， 又a，b，c，x>0，且x≠1， 所以abc=所以logx(abc)=. 解析 √ 14.已知2lg(x-2y)=lg x+lg y，求. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题可得lg(x-2y)2=lg(xy)， 所以(x-2y)2=xy，即x2-5xy+4y2=0， 所以(x-y)(x-4y)=0，解得x=y或x=4y， 所以=1或=4. 又所以>2，所以=4. 解 15.已知x>0，y>0，若-1≤lg ≤2，1≤lg x≤4，则lg 的取值范围是 　　　　.  拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [0，6] 因为x>0，y>0，-1≤lg ≤2，1≤lg x≤4，可知>0， 则lg =lg=lg +lg x∈[0，6]， 所以lg 的取值范围是[0，6]. 解析 16.267-1这个数的位数是多少？(参考数据：lg 2≈0.301) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 由题意，得 lg(267-1)≈lg 267=67lg 2≈67×0.301=20.167， ∴267-1≈1020.167， ∴267-1这个数的位数为21. 第四章　 4.3.2　对数的运算 <<< $