第4章 4.2.2 指数函数的图象和性质(一)（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦指数函数的图象和性质，通过回顾指数函数定义，类比幂函数研究方法，引导学生从具体函数（y=2^x、y=(1/2)^x）的列表描点作图开始，搭建从特殊到一般的学习支架。 其亮点是以问题链驱动探究，通过对比具体函数图象分析性质，结合表格梳理a>1与0<a<1的共性差异，培养数学思维（推理能力）和数学眼光（几何直观）。例题与训练注重数形结合，助学生掌握图象应用及定义域值域求法，教师可直接用于教学，提升学生学习效率。

4.2.2 指数函数的图象和性质(一) 第四章　§4.2　指数函数 <<< 1.掌握指数函数的图象和性质.(重点) 2.学会利用指数函数的图象和性质解决简单的函数定义域、值域的问题.(难点) 学习目标 请同学们回顾指数函数的定义和指数函数的解析式的特征.一般来说，函数的图象与性质紧密联系，图象可反映函数的性质，所以我们今天类比研究幂函数的图象和性质的过程和方法，进一步研究指数函数. 导 语 提示　y=2x和y=的图象如图所示. 用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再画出 指数函数y=2x与y=的图象. 问题1 x -2 -1 0 1 2 y=2x           y=           1 2 4 4 2 1 通过图象，分析y=2x与y=的性质并完成下列表格. 问题2 函数 y=2x y= 定义域     值域     单调性     最值     奇偶性     特殊点     y的变化情况 当x<0时，　　　　；  当x>0时，　　　  当x<0时，　　 　；  当x>0时，　　　   R R (0，+∞) (0，+∞) 增函数 减函数 无最值 无最值 非奇非偶函数 非奇非偶函数 (0，1) (0，1) 0<y<1 y>1 y>1 0<y<1 提示　相同点：定义域、值域、最值的情况、奇偶性、经过一个共同点； 不同点：单调性、函数值的变化.我们还发现y=2x与y=这两个底数互 为倒数的函数的图象关于y轴对称. 比一比y=2x与y=的图象有哪些相同点？有哪些不同点？ 问题3 提示　共同的性质：(1)当a>1时，函数在R上单调递增，当0<a<1时，函数在R上单调递减. (2)函数的图象恒过点(0，1). 再选取底数，a=3，a=4，a=a=在同一个坐标系中画 出相应的指数函数的图象，观察这些图象的位置和变化趋势，它们有哪些共同的性质？ 问题4   a>1 0<a<1 图象     性 质 定义域 R 值域 __________ 最值 __________ 过定点 过定点 ，即x= 时，y=__ 指数函数的图象和性质 (0，+∞) 无最值 (0，1) 0 1 知识梳理   a>1 0<a<1 性 质 函数值的变化 当x<0时， ； 当x>0时，______ 当x>0时， ； 当x<0时，______ 单调性 在R上是________ 在R上是________ 奇偶性 ________________ 对称性 y=ax与y=的图象关于 对称 0<y<1 y>1 0<y<1 y>1 增函数 减函数 非奇非偶函数 y轴 (1)函数图象只出现在x轴上方. (2)当x=0时，有a0=1，故过定点(0，1). (3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近y轴. (4)当a>1时，底数越大，图象越靠近y轴. (5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称. 注 意 点 <<< 10 一、指数函数的图象 二、指数函数图象的应用 课时对点练 三、与指数函数有关的定义域(值域)问题 随堂演练 内容索引 指数函数的图象 一 　如图是指数函数①y=ax，②y=bx，③y=cx，④y=dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是  A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c 例 1 作直线x=1，由下到上分别与②，①，④，③相交，所以b<a<1<d<c. 解析 √ 13 解决指数函数图象问题的注意点 (1)熟记当底数a>1和0<a<1时，图象的大体形状. (2)在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”. 反 思 感 悟 14 　函数y=ax，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是 跟踪训练 1 由题意知a>0且a≠1，且函数y=x+a为增函数. 当0<a<1时，y=ax为减函数，直线y=x+a在y轴上的截距大于0且小于1； 当a>1时，y=ax为增函数，直线y=x+a在y轴上的截距大于1.只有选项D符合. 解析 √ 15 二 指数函数图象的应用 　(1)函数f(x)=ax-2+1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点 A.(0，1) B.(0，2) C.(2，1) D.(2，2) 例 2 方法一　令x-2=0， 得x=2，则f(2)=2， 故函数f(x)的图象恒过定点(2，2). 方法二　因为y=ax(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(0，1)， 又f(x)=ax-2+1的图象是由y=ax的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的， 故f(x)的图象恒过定点(2，2). 解析 √ 17 (2)要使g(x)=3x+1+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为 A.t≤-1 B.t<-1 C.t≤-3 D.t≥-3 ∵函数g(x)=3x+1+t的图象过定点(0，3+t)，且为增函数，要使g(x)的图象不经过第二象限，则3+t≤0，解得t≤-3. 解析 √ 18 与指数函数相关的图象问题 (1)定点问题：令函数解析式中的指数为0，即可求出横坐标，再求纵坐标即可. (2)平移问题：对于横坐标x满足“左加右减”. 反 思 感 悟 19 　(1)函数f(x)=2ax+1-3(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是　　　 . 跟踪训练 2 因为y=ax的图象过定点(0，1)， 所以令x+1=0，即x=-1， 则f(-1)=-1， 故f(x)=2ax+1-3的图象恒过定点(-1，-1). 解析 (-1，-1) 20 (2)已知直线y=2a与函数y=|2x-2|的图象有两个公共点，求实数a的取值范围. 函数y=|2x-2|的图象如图所示.要使直线y=2a与该图象有两个公共点，则有0<2a<2，即0<a<1，故实数a的取值范围为(0，1). 解 21 与指数函数有关的定义域(值域)问题 三 求下列函数的定义域、值域： (1)y=32x+1； 例 3 函数的定义域为R， ∵x∈R，∴2x+1∈R， ∴函数y=32x+1的值域为(0，+∞). 解 23 (2)y=23-x； 函数的定义域为R， ∵x∈R，∴3-x∈R， ∴函数y=23-x的值域为(0，+∞). 解 24 (3)y=. 由x-1≠0得x≠1， ∴函数的定义域为(-∞，1)∪(1，+∞)， ∴≠0≠1， ∴函数的值域为(0，1)∪(1，+∞). 解 25 y=af(x)(a>0，且a≠1)型函数的定义域、值域的求法 (1)形如y=af(x)(a>0，且a≠1)的函数的定义域就是f(x)的定义域. (2)形如y=af(x)(a>0，且a≠1)的函数的值域，先求出u=f(x)的值域，再结合y=au的单调性求出y=af(x)的值域.若a的取值范围不确定，则需对a进行分类讨论. 反 思 感 悟 26 　(1)函数f(x)=的定义域为　　　　. 跟踪训练 3 由题意可得解得-1≤x≤2，所以函数的定义域为[-1，2]. 解析 [-1，2] 27 (2)将例3(2)的函数解析式变为f(x)=(a>0，且a≠1)，求此函数的值域. f(x)的定义域是R， 因为-x2-2x+3=-(x+1)2+4≤4， 所以当a>1时，函数f(x)的值域为(0，a4]， 当0<a<1时，函数f(x)的值域为[a4，+∞). 解 28 1.知识清单： (1)指数函数的图象. (2)指数函数图象的应用. (3)与指数函数有关的定义域(值域)问题. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：形如函数y=af(x)(a>0且a≠1)过定点的问题，要使f(x)=0. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.函数f(x)=πx与g(x)=的图象关于 A.原点对称 B.x轴对称 C.y轴对称 D.直线y=-x对称 √ 设点(x，y)为函数f(x)=πx的图象上任意一点，则点(-x，y)为g(x)=π-x= 的图象上的点.因为点(x，y)与点(-x，y)关于y轴对称，所以函数f(x)=πx 与g(x)=的图象关于y轴对称. 解析 1 2 3 4 2.指数函数y=ax与y=bx的图象如图所示，则 A.a<0，b<0 B.a<0，b>0 C.0<a<1，b>1 D.0<a<1，0<b<1 √ 结合指数函数图象的特点可知0<a<1，b>1. 解析 1 2 3 4 3.函数f(x)=3-ax+1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点 A.(-1，2) B.(1，2) C.(-1，1) D.(0，2) ∵y=ax的图象恒过定点(0，1)， ∴令x+1=0，即x=-1，则f(-1)=2. 故f(x)=3-ax+1的图象恒过定点(-1，2). 解析 √ 1 2 3 4 4.函数y=的定义域为　　　　，值域为　　　　 . 由x-2≥0，得x≥2， 所以定义域为{x|x≥2}≥0， 又因为0<<1，所以0<≤1， 即y=的值域为{y|0<y≤1}. 解析 {x|x≥2} {y|0<y≤1} 课时对点练 五 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D C AD D B (--1)∪(1) 题号 9 11 12 13 15 答案 4 C ABD (0,1) B 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 函数图象如图所示，定义域为R；值域为{y|y≥0}；单调递减区间为(-∞，0)，单调递增区间为(0，+∞)；最小值为0，无最大值. 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)因为函数f(x)=ax-1(x≥0)的图象经过点 所以a2-1=a=. (2)由(1)得f(x)=(x≥0)， 故函数f(x)在区间[0，+∞)上是减函数， 当x=0时，函数f(x)取得最大值2，故f(x)∈(0，2]， 所以函数y=f(x)+1=+1∈(1，3]， 所以函数y=f(x)+1(x≥0)的值域为(1，3]. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由题图①知f(x)的图象过点(2，0)，(0，-2)，所以 又因为a>0，且a≠1， 所以a=b=-3. (2)由题图②知f(x)单调递减，所以0<a<1， 又f(0)<0，即a0+b<0，所以b<-1. 故a的取值范围为(0，1)， b的取值范围为(-∞，-1).  16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)由(1)知f(x)=()x-3，则画出|f(x)|=|()x-3|的图象如图所示，要使|f(x)|=m有且仅有一个实数根，则m=0或m≥3. 故m的取值范围为{0}∪[3，+∞). 基础巩固 1.下列图象中，函数y=2-x的大致图象是 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 易得y=2-x=∵0<<1， ∴y=2-x是减函数，且当x=0时，y=1. 解析 2.函数y=-1的定义域是 A.R B.{x|x≠1} C.{x|x≠0} D.{x|x≠0且x≠1} √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 要使y=-1有意义， 只需有意义，即x≠0. 解析 3.函数f(x)=的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是 A.a>1，b<0 B.a>1，b>0 C.0<a<1，b>0 D.0<a<1，b<0 从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0<a<1； 又当x=0时，f(x)<1，即a-b<1=a0，∴-b>0，即b<0. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4.若函数f(x)=2ax+m-n(a>0，且a≠1)的图象恒过点(-1，4)，则m+n等于 A.3 B.1 C.-1 D.-2 √ 由题意知 解得∴m+n=-1. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)已知函数f(x)=2x+a，则 A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为R C.f(x)是偶函数 D.f(x)既不是奇函数也不是偶函数 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f(x)的定义域为R，值域为(0，+∞)，故A项正确，B项错误； f(-x)=2-x+a≠f(x)≠-f(x)，所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数，故C项错误，D项正确. 解析 √ 6.若a>1，-1<b<0，则函数y=ax+b的图象一定不过 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵a>1，且-1<b<0， ∴函数的图象如图所示. 故图象过第一、二、三象限. 解析 7.函数f(x)=的图象大致为 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ f(x)= 由指数函数的图象知B正确. 解析 8.若指数函数f(x)=(a2-1)x在R上为减函数，则a的取值范围为____________ 　　　　　. 由题意得， 0<a2-1<1， 即1<a2<2， ∴-<a<-1或1<a<. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (--1)∪ (1) 9.已知函数y=的图象与指数函数y=ax的图象关于y轴对称，则实数a=　　　. 因为y=与y=ax的图象关于y轴对称， 所以=a-1=解得a=4. 此时，y=与y=4x的图象关于y轴对称，符合题意. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 10.画出函数y=|2x-1|的图象，根据图象写出函数的定义域、值域、单调区间和最值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 函数图象如图所示，定义域为R；值域为{y|y≥0}；单调递减区间为(-∞，0)，单调递增区间为(0，+∞)；最小值为0，无最大值. 11.设函数f(x)=则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是 A.(-∞，0) B.(0，+∞) C.(-∞，1) D.(0，1) √ 综合运用 函数f(x)=的图象如图， 显然函数f(x)在R上单调递减， ∵f(x+1)<f(2x)， ∴x+1>2x，解得x<1. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)已知实数a，b满足等式2 025a=2 026b，下列等式可以成立的是 A.a=b=0 B.a<b<0 C.0<a<b D.0<b<a 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 如图，观察易知，a<b<0或0<b<a或a=b=0. 解析 13.若关于x的方程=k有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围 为　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (0，1) 由题意知，y=与y=k的图象有两个不同的交点， 又y= 如图所示， 所以0<k<1. 解析 14.已知函数f(x)=ax-1(x≥0)的图象经过点其中a>0，且a≠1. (1)求a的值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为函数f(x)=ax-1(x≥0)的图象经过点 所以a2-1=a=. 解 (2)求函数y=f(x)+1(x≥0)的值域. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)得f(x)=(x≥0)， 故函数f(x)在区间[0，+∞)上是减函数， 当x=0时，函数f(x)取得最大值2，故f(x)∈(0，2]， 所以函数y=f(x)+1=+1∈(1，3]， 所以函数y=f(x)+1(x≥0)的值域为(1，3]. 解 15.已知函数f(x)=若存在x1，x2，x3(x1<x2<x3)，使f(x1) =f(x2)=f(x3)，则f(x1+x2+x3)的取值范围是 A.(0，1] B.[0，1] C.(-∞，1] D.(-∞，1) 拓广探究 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 作出f(x)的大致图象如图，其与直线y=a(0<a<1)的交点的横坐标自左向右依次排列为x1，x2，x3， 由图可知，x1，x2关于直线x=-1对称，x3>0，即x1+x2=-2， 则x1+x2+x3>-2. 由图象知，当x>-2时，f(x)∈[0，1]， 所以f(x1+x2+x3)的取值范围是[0，1]. 解析 16.已知函数f(x)=ax+b(a>0，且a≠1). (1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 由题图①知f(x)的图象过点(2，0)，(0，-2)，所以 又因为a>0，且a≠1， 所以a=b=-3. (2)若f(x)的图象如图②所示，求a，b的取值范围； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 由题图②知f(x)单调递减，所以0<a<1， 又f(0)<0，即a0+b<0，所以b<-1. 故a的取值范围为(0，1)， b的取值范围为(-∞，-1).  (3)在(1)中，若|f(x)|=m有且仅有一个实数根，求m的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 由(1)知f(x)=()x-3，则画出|f(x)|=|()x-3|的图象如图所示，要使|f(x)|=m有且仅有一个实数根，则m=0或m≥3. 故m的取值范围为{0}∪[3，+∞). 第四章　§4.2　指数函数 <<< $