4.2.1指数函数的概念（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦指数函数概念，通过折纸实验、《劝学》中进步退步问题等实际情境导入，延续幂函数“情境抽象—定义—性质”的研究套路，帮助学生从具体实例中抽象出指数函数定义，搭建前后知识的学习支架。 其亮点在于以数学抽象提炼概念，从折纸层数、进步倍数等实例中抽象出指数函数模型，结合数学建模解决旅游收入、放射性衰变等实际问题，通过对比辨析指数函数与幂函数强化数学思维。采用互动探究、典例分析等方法，助力学生理解底数限制及特征，教师可借助系统流程提升教学效率。

【新教材】人教A版·高一必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 4.2.1指数函数的概念 4.2 指数函数 学 习 目 标 1 2 借助教材实际情境，抽象得出指数函数定义，掌握标准形式 y= (a>0,a≠1)，明确自变量是指数、定义域为R。理解底数限定 a>0 且 a≠1 的完整原因，能准确辨析指数函数、幂函数、变形指数型函数（如 y=2⋅ 、y= 、y） 会利用指数函数定义，用待定系数法求解析式，能建立简单实际问题的指数函数模型。 数学抽象：从增长、衰减实例中提炼指数函数数学模型； 数学建模：能用指数函数刻画人口、衰变、倍增等现实问题 新课引入 折纸 上节课我们把(a>0) 里的指数 x，从整数拓展到了全体实数。 上一章我们研究幂函数时，已经掌握了“从实际情境抽象函数—定义解析式—分析图象与性质”的研究套路，今天我们就用这套方法，来认识另一类非常重要的基本初等函数——指数函数。 情境1：在“纸张对折与数据变化”实验中，实验员将一张 A4 纸的面积定义为单位 1，记录每次对折后的层数和单张面积。 (1) 写出对折后的层数 与对折次数 x 的关系式？ (2) 设这页纸的面积为单位1，则对折后每页纸的面积 与对折次数 x 的关系又是怎样的？ 3 新课引入 劝学 情境2：荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点。 若我们每天的“进步”率都是1%，每天的“退步”率都是1%， 这样，我们经过 x 天后的增长倍数 和退步倍数 分别是多少呢？ 4 目标一：指数函数的概念 互动探究 指数函数概念 问题 思考梳理 1. 四个式子是之前学的一次、二次、幂函数吗？ 不是。一次、二次函数自变量在底数；幂函数底数为变量、指数常数；这一组式子形式和它们不同，属于新函数类型。 2. 观察结构：底数、自变量分别在什么位置？ 底数是常数，自变量出现在指数位置。 3. 生活中纸张对折、细胞分裂、病毒传播符合这类形式，这类函数统一名称？ 指数函数 6 知识讲解 指数函数概念 一般地，函数y=（a>0，且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R。注意：a是一个常量。 为什么规定底数a>0且a≠1 底数取值 存在的问题 具体说明 时无意义 当 时，；当 时，，分母为 ，无意义 部分 值使函数无意义 如 ，当 时，负数开偶次方，函数值不存在 函数为常量，无研究价值 对任意 ，，是一个常数函数，没有研究的必要性 7 目标二：指数函数的特征 知识讲解 指数函数的特征 判断函数是指数函数的条件 底数a：必须满足a>0，且a≠1； 指数：仅为自变量x，无额外系数或常数； 函数表达式：右边只有，无额外系数或常数项； 自变量位置：仅在指数上，底数不含自变量 9 1.判断下列函数是否为指数函数（填“是”或“否”）： __________； __________； __________； __________； __________． (1) 是；(2) 否；(3) 否；(4) 否；(5) 是 10 2.判断函数是指数函数的是( ) B. C. D. 答案：D 解析：指数函数是指形如 的函数.则四个选项中，只有 D 满足条件.故选：D. 11 3、若函数 为指数函数，则 __________. 答案：2 解析：因为函数 为指数函数，所以 且 且 ，解得 .故答案为：2. 12 目标三：指数函数的解析式 典例分析 指数函数解析式 例2 指数函数图象过点(-2,)，求解析式。 解：设y=，代入(-2,) ⟹=⟹=16 a=4（舍去负值-4） 解析式： 已知指数函数y=，满足f(-1)=，求解析式。 解：f(-1)=，即=，a=5 解析式： 最通用的形式是： y = aˣ （其中 a > 0 且 a ≠ 1） •x：自变量（通常在指数位置上）。 •a：底数（常数，决定函数是增长还是衰减）。在求解析式时用待定系数法 14 典例分析 指数函数解析式 第一步 例3 第二步 第三步 指数函数f(x)=经过点(3,8)，求f(x)解析式。 解：代入(3,8)，=8，解得a=2 解析式：f(x)= 指数函数图象过点(-2,)，求解析式。 解：设，代入 （舍去负值） 解析式： 15 目标四：指数函数的应用 典例分析 利用指数函数求值 例4 已知函数 ，则 。 已知 。 先算 。 然后 。 所以答案是：16。 已知指数函数 的图象经过点 ，则 。   已知是指数函数，设 （，且 ）。 图象经过点 ，代入得： 即 所以 。现在求 ：所以答案是：。 17 典例分析 利用指数函数求值 例5 设函数 ，且 ，。 （1）求函数 的增长率 ； （2）求 的值。 解析：（1）由已知得 解得 所以增长率 约为 0.15。 （2）由（1）知，   18 典例分析 指数函数实际应用 例6 随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式。由于旅游人数不断增加，A、B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票。 比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了什么规律？ 19 为了有利于观察规律，根据上表，分别画出 A，B 两地景区采取不同措施后的 15 年游客人次的图象 描点法：为了便于观察，可以先根据表格中的数据描点，然后用光滑的曲线将离散的点连起来 1. 初步观察 对比项目 A地景区 B地景区 增长类型 近似线性增长（直线上升） 非线性增长（曲线上升） 年增加量特点 每年增加量大致相等（约10万次） 年增加量持续变大，增速不断加快 图像形态 散点分布接近一条直线 散点构成向上弯曲的递增曲线 增长直观特征 增长平稳，增速恒定 增长越来越快，增长势头持续增强 2.进一步探究 从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次： 结果表明，B地景区的游客人次的年增长率约为： 这是一个常数。 指数增长模型：增长率为常数的变化方式，称为指数增长。因此，B地景区的游客人次近似于指数增长。 从2001年开始，B地景区游客人次的变化规律可以近似描述为： 1年后，游客人次是2001年的 倍； 2年后，游客人次是2001年的 倍； 3年后，游客人次是2001年的 倍； …… 年后，游客人次是2001年的 倍。 设经过 年后的游客人次为2001年的 倍，则： 其中指数 是自变量。 3.应用模型 问题：在上题中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元（不含门票）的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A、B两地旅游收入变化情况。 从解析角度看 解：设经过 年，游客给A、B两地带来的收入分别为 和 ，则： 利用计算工具可得： 当 时，（万元） 当 时， 从图象角度看 当 x<10.22 时，f(x)>g(x) 当 x>10.22 时，f(x)<g(x) 当 x=14 时，g(14)-f(14)≈347303（万元） 4. 结论 在2001年，游客给A地带来的收入比B地多412000万元； 随后10年，虽然 f(x)>g(x)，但 g(x) 的增长速度大于 f(x)； 在2011年3月某个时刻，f(x)=g(x)，两地收入基本持平； 此后，f(x)<g(x)，B地收入超过A地； 到2015年，B地收入已比A地多347303万元。 5. 提炼 指数增长模型的一般形式 在实际问题中，经常会遇到指数增长模型： 设原有量为 ，每次的增长率为 ，经过 次增长，该量增长到 ，则： 形如： 的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型。 目标五：针对训练 举一反三 1.一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留物质的质量约是原来的，则经过 年，剩留的物质是原来的。 解析：经过一年，剩留物质约是原来的；经过两年，剩留物质约是原来的，经过三年剩留物质约是原来的，故。 2.已知函数，且，若，则（） A.　B.　C.　D. 解析：依题意，由，得， 所以，故选 A。 举一反三 3.若函数（是自变量）为指数函数，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 解析：由为指数函数，得且， 解得，故选 A。 举一反三 4.下列是指数函数的是（） A. B. C. D. 解析：根据指数函数的特征：系数为，底数满足且，自变量在指数位置。 A 选项中有负号；B 是二次函数；C 指数不是单独；D 满足定义，故选 D。 举一反三 5.某种产品的有效期（单位：天）与储藏的温度（单位：）满足关系式（，为常数），若该产品在下的有效期为天，在下的有效期是天，则该产品在的有效期为（） A.天　B.天　C.天　D.天 解： 两式相除：，即 当： 答案： 目标六：小结 学海拾贝 1. 知识梳理（基础必背） 定义：一般地，函数 y=（a>0 且 a≠1）叫作指数函数； 自变量：x（在指数位置）； 定义域：全体实数R； 标准结构：只有一项、底数为正常数、指数是x、系数必须为 1。 底数限制三层原因 ① a≤0：如a=-2，x=时无实数意义； ② a=0：x≤0时无意义； ③ a=1：y==1 是常函数，无研究价值。 学海拾贝 2. 方法总结 研究新函数通用步骤：实际情境建模→观察解析式共性→抽象定义→辨析限制条件→简单应用，后续指数函数图像、对数函数都沿用这套思路。 【新教材】人教A版·高一必修第一册 感谢聆听! $