第2章 周末练6 章末检测试卷(二)（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了一元二次函数、方程和不等式的核心内容，通过“概念辨析-方法归纳-综合应用”的逻辑链条，将函数图像性质、方程求解、不等式证明等知识点串联，构建完整的知识网络。 其亮点在于采用“基础巩固-能力提升-实际应用”的分层设计，如第16题通过变量代换转化均值不等式问题培养数学思维，第18题钻石价值模型体现数学语言表达现实世界，助力学生巩固知识，教师可精准把握学情提升复习效率。

周末练6 章末检测试卷(二) 第二章　一元二次函数、方程和不等式 <<< 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C D A B C B BCD AB 题号 11 12 13 14 答案 AD {x|1<x≤6} {m|45≤m≤65} 1　 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)作差得，x3-(x2-x+1)=(x3-x2)+(x-1)=x2(x-1)+(x-1)=(x2+1)(x-1)， 当x=1时，x3-(x2-x+1)=0，故x3=x2-x+1； 当x>1时，x3-(x2-x+1)>0，故x3>x2-x+1； 当x<1时，x3-(x2-x+1)<0，故x3<x2-x+1. (2)∵a>b>c，且a+b+c=0， ∴c<0. ∵a>b>c，∴a-c>b-c>0， 18 19 17 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 取倒数得. 由于c<0，∴得证. 18 19 17 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)因为a>0，b>0，且ab-b+2=0，所以ab=b-2>0，所以b>2， 则ab+=b-2+=b+1+-3. 因为b>2，所以b+1>3，所以b+1+≥8， 当且仅当b+1=即b=3，a=时，等号成立， 则b+1+-3≥5，即ab+≥5， 故ab+的最小值是5. 18 19 17 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)因为a>0，b>0，且ab-b+2=0，所以a+=1， 所以+2b==2ab++5. 因为a>0，b>0，所以2ab>0>0，则2ab+≥4， 当且仅当2ab=即a=b=3时，等号成立， 所以2ab++5≥9，即+2b≥9， 故+2b的最小值是9. 18 19 17 17. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)①当a=0时，由-2x+3≤0， 解得x≥满足题意； ②当a<0时，令y=ax2-2x+3，则此二次函数的图象开口向下，满足题意； ③当a>0时，Δ=4-12a≥0，解得a≤ 综上所述，实数a的取值范围为. (2)当a=0时，-2≤-2x+3≤2， 即≤x≤不满足条件，舍去； 18 19 17 17. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当a≠0时，令y=ax2-2x+3， 若a>0，则函数y=ax2-2x+3的图象开口向上， ∴函数的最小值为2，∴=2，∴a=1； 若a<0，则函数y=ax2-2x+3的图象开口向下， ∴函数的最大值为-2， ∴=-2，∴a=(舍去)， 综上所述，实数a的值为1. 18 19 17 18. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由题意可设价值与重量的关系式为y=kx2(x≥0)， ∵3克拉的钻石的价值是54 000美元， ∴54 000=k·32，解得k=6 000， ∴y=6 000x2， ∴此钻石的价值与重量的关系式为y=6 000x2(x≥0). (2)若两颗钻石的重量分别为m，n克拉， 则原有价值是6 000(m+n)2， 现有价值是6 000m2+6 000n2， 18 19 17 18. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 价值损失的百分率为 ×100% =×100%≤ 当且仅当m=n时，等号成立. ∴当m=n时，价值损失的百分率最大. 18 19 17 19. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)a2-b2=(a2-b2)×1=(a2-b2)=x2+y2- 又≥2=2|xy|，当且仅当时等号成立， 所以a2-b2=x2+y2-≤x2+y2-2|xy|≤x2+y2-2xy=(x-y)2， 即a2-b2≤(x-y)2，当且仅当且x，y同号时等号成立. 此时x，y满足=1. 18 19 17 19. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)令x=y=构造=1求出a2=1，b2= 由M=可得m≥1，且4m-3=m-1+(3m-2)>m-1，故M>0， 由(1)的结论可得M=x-y≥. 当且仅当时等号成立，此时m=. 即当m=时，M取得最小值. 18 19 17 一、单项选择题 1.已知集合A={x|2<x<4}，B={x|(x-1)(x-3)<0}，则A∩B等于 A.{x|1<x<3} B.{x|1<x<4} C.{x|2<x<3} D.{x|2<x<4} √ ∵A={x|2<x<4}， B={x|(x-1)(x-3)<0}={x|1<x<3}， ∴A∩B={x|2<x<3}. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 2.若正数m，n满足2m+n=1，则的最小值为 A.1+ B. C.2+ D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 ∵正数m，n满足2m+n=1， ∴=(2m+n)+2 当且仅当n=m=-1时取等号. ∴的最小值为. 解析 3.已知0<a<且M=N=则M，N的大小关系是 A.M=N B.M<N C.M>N D.不能确定 √ 由0<a<得a>0，b>0，0<ab<1， 所以M-N= =>0，即M>N. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 4.已知2<a<3，-2<b<-1，则m=2a-b的取值范围是 A.6≤m≤7 B.2<m<5 C.4≤m≤7 D.5<m<8 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 由题意可知4<2a<6，1<-b<2， 所以5<m=2a-b<8. 解析 5.不等式|x|(1-2x)>0的解集为 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 因为|x|≥0， 故|x|(1-2x)>0等价于 即x<0或0<x<. 解析 6.已知关于x的不等式ax2-x+c>0的解集为{x|-2<x<1}，则函数y=ax2+x+c的图象为 √ 由题意可知，a<0且 ∴ ∴函数y=ax2+x+c=-x2+x+2的图象为B项. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 7.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对∀x∈R恒成立，则实数a的取值范围是 A.{a|a≤2} B.{a|-2<a<2} C.{a|-2<a≤2} D.{a|a<-2} 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当a-2=0，即a=2时， 不等式为-4<0，对∀x∈R恒成立. 当a≠2时，则 即解得-2<a<2. 综上，实数a的取值范围是{a|-2<a≤2}. 解析 18 19 17 8.记不等式x2+x-2>0，x2-ax+1≤0(a>0)的解集分别为A，B，已知A∩B中有且只有两个正整数，则a的取值范围为 A. B. C. D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 由x2+x-2>0可得，x<-2或x>1，所以A= 因为A∩B中有且只有两个正整数，所以A∩B≠∅， 对于方程x2-ax+1=0(a>0)，判别式Δ=a2-4>0，则a>2， 所以方程的两根分别为x1=x2=则x2>x1>0， 所以B= 因为A∩B中有且只有两个正整数， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 当 即时，可得≤a< 当x1=>1时，解得0<a<2，不符合题意， 综上所述，a的取值范围为. 解析 二、多项选择题 9.下列命题中不正确的是 A.若ab>0，a>b，则 B.若a>b，则a|c|>b|c| C.若a>b，c>d，则a-c>b-d D.若a>b，c<d，则a+c=b+d 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 √ √ √ ∵ab>0，a>b，∴a·>b·∴故A正确； 取c=0，可排除B；取a=3，b=1，c=0，d=-4，此时a-c<b-d，故C错误；取a=3，b=1，c=-4，d=0，此时a+c<b+d，故D错误. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 10.对于给定实数a，关于x的一元二次不等式(ax-1)(x+1)<0的解集可能是 A. B. C. D.R 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 √ √ 由题意知a≠0，当a>0时，解得-1<x<； 当-1<a<0时，解得x<或x>-1； 当a=-1时，解得x≠-1； 当a<-1时，解得x<-1或x>. 解析 11.已知正实数x，y满足x+=4，下列说法正确的是 A.的最大值是2 B.x-y的最大值是1 C.xy的最小值是2 D.+y的最小值是2 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 ∵x>0，y>0，x+=4， ∴4->0，解得y>∴0<x<4. x+≥2即4≥2 解得0<≤2(当且仅当x=2，y=1时取最大值2)，故A正确； x-y=4--y=4-≤4-2(当且仅当y=x=4-时取最大值4-2)， 故B错误； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 当x=y=时，满足x+=4，此时xy=1，故C错误； +y==≥2(当且仅当x=2，y=1时取 最小值2)，故D正确. 解析 三、填空题 12.不等式≤1的解集是　　　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 {x|1<x≤6} 由≤1得≤0， 故解得1<x≤6. 解析 13.某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是　　　　　　　　.(假设每件衬衫的售价是m)  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 {m|45≤m≤65} 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 设每件衬衫提价x元，则每件衬衫的售价为(40+x)元， 则每天出售衬衫的净收入为 (40+x-30)(40-x)=(-x2+30x+400)元， 由题可知，-x2+30x+400≥525， 整理得(x-25)(x-5)≤0， 解得5≤x≤25， 则45≤m≤65. 解析 14.已知a>0，b>0，c>0，a2-ab+9b2-5c=0，则的最小值是　　. 当取最小值时，m2-3m≥a+b-c恒成立，则实数m的取值范围是 　　　 　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 因为a2-ab+9b2-5c=0， 所以=1， 当且仅当即a=3b时等号成立. 当a=3b时，c=3b2，a+b-c=-b2+4b，所以当b=2时，a+b-c取得最大值4， 所以由m2-3m≥a+b-c恒成立可得，m2-3m≥4，解得m≤-1或m≥4. 解析 四、解答题 15.(1)比较x3与x2-x+1的大小； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 作差得，x3-(x2-x+1)=(x3-x2)+(x-1)=x2(x-1)+(x-1)=(x2+1)(x-1)， 当x=1时，x3-(x2-x+1)=0，故x3=x2-x+1； 当x>1时，x3-(x2-x+1)>0，故x3>x2-x+1； 当x<1时，x3-(x2-x+1)<0，故x3<x2-x+1. 解 (2)已知a>b>c，且a+b+c=0， 求证：. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 ∵a>b>c，且a+b+c=0， ∴c<0. ∵a>b>c，∴a-c>b-c>0， 取倒数得. 由于c<0，∴得证. 证明 16.已知a>0，b>0，且ab-b+2=0. (1)求ab+的最小值； 因为a>0，b>0，且ab-b+2=0，所以ab=b-2>0，所以b>2， 则ab+=b-2+=b+1+-3. 因为b>2，所以b+1>3，所以b+1+≥8， 当且仅当b+1=即b=3，a=时，等号成立， 则b+1+-3≥5，即ab+≥5， 故ab+的最小值是5. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 (2)求+2b的最小值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 因为a>0，b>0，且ab-b+2=0，所以a+=1， 所以+2b==2ab++5. 因为a>0，b>0，所以2ab>0>0，则2ab+≥4， 当且仅当2ab=即a=b=3时，等号成立， 所以2ab++5≥9，即+2b≥9， 故+2b的最小值是9. 解 17.(1)若关于x的不等式ax2-2x+3≤0在x∈R上有解，求实数a的取值范围； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 ①当a=0时，由-2x+3≤0， 解得x≥满足题意； ②当a<0时，令y=ax2-2x+3，则此二次函数的图象开口向下，满足题意； ③当a>0时，Δ=4-12a≥0，解得a≤ 综上所述，实数a的取值范围为. 解 (2)若关于x的不等式-2≤ax2-2x+3≤2恰有一个实数解，求实数a的值(或取值范围). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 当a=0时，-2≤-2x+3≤2， 即≤x≤不满足条件，舍去； 当a≠0时，令y=ax2-2x+3， 若a>0，则函数y=ax2-2x+3的图象开口向上， ∴函数的最小值为2，∴=2，∴a=1； 若a<0，则函数y=ax2-2x+3的图象开口向下， ∴函数的最大值为-2， ∴=-2，∴a=(舍去)， 综上所述，实数a的值为1. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 18.国际上钻石的重量计量单位为克拉.已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54 000美元. (1)写出钻石的价值y关于钻石重量x的关系式； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 解 由题意可设价值与重量的关系式为y=kx2(x≥0)， ∵3克拉的钻石的价值是54 000美元， ∴54 000=k·32，解得k=6 000， ∴y=6 000x2， ∴此钻石的价值与重量的关系式为y=6 000x2(x≥0). (2)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试证明：当m=n时，价值损失的百分率最大. (注：价值损失的百分率=×100%；在切割过程中的 重量损耗忽略不计) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 证明 若两颗钻石的重量分别为m，n克拉， 则原有价值是6 000(m+n)2， 现有价值是6 000m2+6 000n2， 价值损失的百分率为 ×100%=×100%≤ 当且仅当m=n时，等号成立. ∴当m=n时，价值损失的百分率最大. 19.(1)问题：正数a，b满足a+b=1，求的最小值.其中一种解法是： (a+b)=1++2≥3+2 当且仅当且a+b=1，即a=-1且b=2-时取等号. 学习上述解法并解决下列问题： 若实数a，b，x，y满足=1，试比较a2-b2和(x-y)2的大小，并指明等 号成立的条件； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 a2-b2=(a2-b2)×1=(a2-b2)=x2+y2- 又≥2=2|xy|，当且仅当时等号成立， 所以a2-b2=x2+y2-≤x2+y2-2|xy|≤x2+y2-2xy=(x-y)2， 即a2-b2≤(x-y)2，当且仅当且x，y同号时等号成立. 此时x，y满足=1. 解 (2)利用(1)的结论，求M=的最小值，并求出使M取得最小值时m的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 令x=y=构造=1求出a2=1，b2= 由M=可得m≥1，且4m-3=m-1+(3m-2)>m-1，故M>0， 由(1)的结论可得M=x-y≥. 当且仅当时等号成立，此时m=. 即当m=时，M取得最小值. 解 第二章　一元二次函数、方程和不等式 <<< $