第1章 1.4.1 充分条件与必要条件（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦“充分条件与必要条件”，系统讲解概念、判断及应用。通过“若p则q”形式命题的真假判断导入，结合平行四边形、三角形全等实例引出推出关系，衔接已有命题知识，搭建学习支架。 其亮点在于用表格对比真假命题的推出关系与条件关系，结合判定定理（如平行四边形判定）和性质定理（如菱形性质），体现数学思维（推理意识）和数学语言（符号表达）。例题用集合包含关系（如P与Q的子集关系）判断条件，培养抽象能力。小结明确知识清单和方法，学生提升逻辑推理能力，教师获得结构化资源，提高教学效率。

1.4.1 充分条件与必要条件 第一章　§1.4　充分条件与必要条件 <<< 1.理解充分条件、必要条件的概念.(重点) 2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系. 3.能通过充分性、必要性解决简单的问题.(难点) 学习目标 一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题.中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”“如果p，那么q”等形式.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论.下面我们将进一步探究“若p，则q”形式的命题中p和q的关系. 导 语 一、充分条件与必要条件 二、充分条件与必要条件的应用 课时对点练 随堂演练 内容索引 充分条件与必要条件 一 提示　在命题(1)(4)中，由条件p通过推理可以得出结论q，所以它们是真命题.在命题(2)(3)中，由条件p不能得出结论q，所以它们是假命题. 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若x2-4x+3=0，则x=1； (4)若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a∥b. 问题 充分条件与必要条件   “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p q p⇏q 条件关系 p是q的 条件 q是p的 条件 p不是q的 条件 q不是p的 条件 定理关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个_________ 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个_________ ⇒ 充分 必要 充分 必要 充分条件 必要条件 知识梳理 (1)p⇒q，有方向，条件在前，结论在后. (2)若p⇒q，则p是q的充分条件且q是p的必要条件；若p⇏q，则p不是q的充分条件且q不是p的必要条件. (3)充分、必要条件可以不唯一. 注 意 点 <<< 8 　(1)(课本例1)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ ①若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； 例 1 这是一条平行四边形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件. 解 ②若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； 这是一条相似三角形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件. 解 9 ③若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； 这是一条菱形的性质定理，p⇒q，所以p是q的充分条件. 解 ④若x2=1，则x=1； 由于(-1)2=1，但-1≠1，p⇏q，所以p不是q的充分条件. 解 10 ⑤若a=b，则ac=bc； 由等式的性质知，p⇒q，所以p是q的充分条件. 解 ⑥若x，y为无理数，则xy为无理数. =2为有理数，p⇏q，所以p不是q的充分条件. 解 11 (2)(课本例2)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ ①若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； 这是平行四边形的一条性质定理，p⇒q，所以，q是p的必要条件. 解 ②若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； 这是三角形相似的一条性质定理，p⇒q，所以，q是p的必要条件. 解 12 ③若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； 如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形，p⇏q，所以，q不是p的必要条件. 解 13 ④若x=1，则x2=1； 显然，p⇒q，所以，q是p的必要条件. 解 ⑤若ac=bc，则a=b； 由于(-1)×0=1×0，但-1≠1，p⇏q，所以，q不是p的必要条件. 解 14 ⑥若xy为无理数，则x，y为无理数. 由于1×不全是无理数，p⇏q，所以，q不是p的必要条件. 解 15 　(1)下列各题中，p是不是q的充分条件？ ①在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB； 例 1 在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C⇒AC>AB，所以p是q的充分条件. 解 ②已知x∈R，p：x=1，q：(x-1)(x-2)=0； 由x=1⇒(x-1)(x-2)=0，故p是q的充分条件. 解 16 ③已知x∈R，p：x>1，q：x>2. 方法一　由x>1⇏x>2，所以p不是q的充分条件. 方法二　设集合A={x|x>1}，B={x|x>2}， 所以B⊆A，所以p不是q的充分条件. 解 17 (2)下列各题中，q是不是p的必要条件？ ①p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； 因为矩形的对角线相等，所以p⇒q，所以q是p的必要条件. 解 ②p：a>b，q：ac>bc. 因为p⇏q， 所以q不是p的必要条件. 解 18 判断p是q的充分、必要条件的方法 (1)经常用到的是判断p能否推出q，以及q能否推出p. (2)也可利用集合的关系判断，如果条件p：“x∈A”，条件q：“x∈B”.若A⊆B，则p是q的充分条件；若B⊆A，则p是q的必要条件. 反 思 感 悟 19 下列“若p，则q”形式的命题中，判断p是否为q的充分条件. (1)若a∈N，则a∈R； 跟踪训练 由于N为R的真子集，所以p⇒q，所以p是q的充分条件. 解析 (2)若A⊆B，则A∩B=A； 由A⊆B可以推出A∩B=A，所以p⇒q，所以p是q的充分条件. 解析 20 (3)若(a-2)(a-3)=0，则a=3. 由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3，因此p⇏q，所以p不是q的充分条件. 解析 21 二 充分条件与必要条件的应用 　已知集合P={x|-2<x<4}，非空集合Q={x|3m-2≤x≤5m+2}.若“x∈Q”是“x∈P”的充分条件，求实数m的取值范围. 例 2 由已知，“x∈Q”是“x∈P”的充分条件，则Q是P的子集， 由题意得解得0<m< 所以实数m的取值范围是. 解 23 已知集合P={x|-2<x<1}，非空集合Q={x|3m-2≤x≤5m+2}.若“x∈Q”是“x∈P”的必要条件，求实数m的取值范围. 延伸探究 由题意得，P是Q的子集， 则解得-≤m≤0. 所以实数m的取值范围是. 解 24 充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题. (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解. 反 思 感 悟 25 1.知识清单： (1)充分条件、必要条件的概念. (2)充分条件、必要条件的判断. (3)充分条件与必要条件的应用. 2.方法归纳：等价转化. 3.常见误区：忽略充分条件、必要条件不唯一；忽略求参数范围时能否取到端点值. 课堂小结 随堂演练 三 1 2 3 4 1.下列是“四边形是矩形”的充分条件的是 A.四边形的对角线相等 B.四边形的两组对边分别相等 C.四边形有两个内角都为直角 D.四边形的两组对边分别平行且有一组对角互补 √ 1 2 3 4 四边形的对角线相等且平分才是矩形，故A错误； 四边形的两组对边分别相等为平行四边形，故B错误； 四边形有三个内角都为直角才是矩形，故C错误； 四边形两组对边分别平行则为平行四边形，则相邻两角互补，又有一组对角互补，故相邻两角相等，又相邻两角之和为180°，故相邻两角均为直角，故该平行四边形是矩形，故D正确. 解析 1 2 3 4 2.以下说法错误的是 A.“x2=y2”是“x=y”的必要条件 B.“m是自然数”是“m是整数”的充分条件 C.“两个三角形对应角相等”是“这两个三角形全等”的必要条件 D.“(a+b)(a-b)=0”是“a=b”的充分条件 √ 1 2 3 4 由x=y，可得x2=y2，故“x2=y2”是“x=y”的必要条件，A正确； 由m是自然数，可得m是整数，故“m是自然数”是“m是整数”的充分条件，B正确； 由三角形全等可推出这两个三角形对应角相等，所以“两个三角形对应角相等”是“这两个三角形全等”的必要条件，C正确； 由(a+b)(a-b)=0，得|a|=|b|，推不出a=b，D错误. 解析 1 2 3 4 3.(多选)下列不等式中，可以作为“-1<x<1”的充分条件的有 A.x<1 B.0<x<1 C.-1<x<0 D.-1<x<1 √ 要求不等式-1<x<1成立的一个充分条件，则该条件所构成的集合为 {x|-1<x<1}的子集，故BCD满足题意. 解析 √ √ 1 2 3 4 4.已知P={x|a-4<x<a+4}，Q={x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是　 　　　. 因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件， 所以Q⊆P， 所以所以-1≤a≤5. 故实数a的取值范围是. 解析 课时对点练 四 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A A CD ABD AC B 必要 题号 9 11 12 13 15 答案 {a|a≤-9} ACD BCD {m|m≥-3} ABD 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)∵a2+b2=0⇒a=b=0⇒a+b=0， a+b=0⇏a2+b2=0，∴p是q的充分条件. (2)∵(x-1)2+(y-2)2=0⇒x=1且y=2⇒(x-1)(y-2)=0， 而(x-1)(y-2)=0⇏(x-1)2+(y-2)2=0， ∴p是q的充分条件. 16 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)因为集合B是空集，所以2-a>1+2a， 解得a<所以a的取值范围为. (2)A={x||x|≤3}={x|-3≤x≤3}. “x∈A”是“x∈B”的充分条件等价于集合A是集合B的子集， 则集合B不是空集，2-a≤1+2a，解得a≥. 又解得a≥5， 故a的取值范围为{a|a≥5}. 16 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为a2-b2=1，所以a4-b4-2b2=(a2-b2)(a2+b2)-2b2=(a2+b2)-2b2=a2-b2=1. 即a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的充分条件. a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的必要条件，证明如下： 若a4-b4-2b2=1，则a4-(b4+2b2+1)=0，即a4-(b2+1)2=0， 即(a2-b2-1)(a2+b2+1)=0. 又a2+b2+1≠0，所以a2-b2-1=0，即a2-b2=1. 因此a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的必要条件. 16 基础巩固 1.下列选项中，p是q的充分条件的是 A.p：ab≠0，q：a≠0 B.p：a2+b2≥0，q：a≥0且b≥0 C.p：x2>1，q：x>1 D.p：a>b，q： √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据充分条件的概念逐一判断， 只有ab≠0⇒a≠0. 解析 2.使x>1成立的一个必要条件是 A.x>0 B.x>3 C.x>2 D.x<2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 只有x>1⇒x>0，其他选项均不可由x>1推出. 解析 3.已知a∈N*，则“a=3”是“a与8的最小公倍数是24”的 A.充分条件 B.必要条件 C.既是充分条件也是必要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 √ 若a=3，则a与8的最小公倍数是24；若正整数a与8的最小公倍数是24，则a的可能取值为3，6，12，24，故“a=3”是“a与8的最小公倍数是24”的充分条件，但不是必要条件. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选)若“-1<x≤3”是“-3<x<a”的充分条件，则实数a的值可以是 A.2 B.3 C.4 D.5 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为“-1<x≤3”是“-3<x<a”的充分条件，所以a>3. 结合选项实数a的值可以是4，5. 解析 √ 5.(多选)下列命题中为假命题的是 A.“a>b”是“a2>b2”的充分条件 B.“a>b”是“a2>b2”的必要条件 C.“a+3是无理数”是“a是无理数”的充分条件 D.“x=1”是“x2+2x-3=0”的必要条件 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，不妨设a=0>b=-1，但此时有a2=0<b2=1，所以“a>b”不是“a2>b2”的充分条件，故A为假命题； 对于B，不妨设a=-1，b=0，此时有a2=1>b2=0，但a<b，所以“a>b”不是“a2>b2”的必要条件，故B为假命题； 对于C，由无理数的定义可知“a+3是无理数”是“a是无理数”的充分条件，故C为真命题； 对于D，由x2+2x-3=0可以推出x=-3或x=1，所以“x=1”不是“x2+2x-3=0”的必要条件，故D为假命题. 解析 6.(多选)若关于x的方程x2+2x+m=0至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是 A.m>0 B.-2<m<1 C.m>-4 D.1≤m<2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 方程x2+2x+m=0至多有一个实数根，则其判别式Δ≤0，即4-4m≤0，解得m≥1，结合选项可知，选项A和选项C正确. 解析 7.设x，y是两个实数，则p：“x，y中至少有一个数大于1”的一个充分条件是 A.x+y=2 B.x+y>2 C.x2+y2>2 D.xy>1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 对于选项A，当x=1，y=1时，满足x+y=2，但p不成立； 对于选项C，D，当x=-2，y=-3时，满足x2+y2>2，xy>1，但p不成立，也不符合题意. 解析 8.设A，B是两个非空集合，则“A∩B=A”是“A=B”的　 　条件(填“充分”“必要”). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 必要 由A∩B=A，得A⊆B，但推不出A=B，因此“A∩B=A”不是“A=B”的充分条件； 反过来，由A=B，得A⊆B，能推出A∩B=A，因此“A∩B=A”是“A=B”的必要条件. 解析 9.已知p：x<-2或x>10，q：x<1+a或x>1-a(a<0).若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为　　　　 . ∵p是q的必要条件，∴q⇒p， ∴解得a≤-9. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 {a|a≤-9} 10.下列各题中，p是q的什么条件？ (1)p：a2+b2=0，q：a+b=0； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵a2+b2=0⇒a=b=0⇒a+b=0， a+b=0⇏a2+b2=0，∴p是q的充分条件. 解 (2)p：(x-1)2+(y-2)2=0，q：(x-1)(y-2)=0. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵(x-1)2+(y-2)2=0⇒x=1且y=2⇒(x-1)(y-2)=0， 而(x-1)(y-2)=0⇏(x-1)2+(y-2)2=0，∴p是q的充分条件. 解 11.(多选)使ab>0成立的充分条件可以是 A.a>0，b>0 B.a+b>0 C.a<0，b<0 D.a>1，b>1 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a>0，b>0⇒ab>0；a<0，b<0⇒ab>0；a>1，b>1⇒ab>0，所以选项A，C，D都是使ab>0成立的充分条件. 解析 √ √ 12.(多选)下列各题中，p是q的必要条件的是 A.p：两个三角形全等，q：两个三角形相似 B.p：x>5，q：x>10 C.p：ac=bc，q：a=b D.p：0<x<5，q：|x-1|<1 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A选项，两个三角形相似未必全等，故p不是q的必要条件； B选项，当x>10时，x>5恒成立，即满足p是q的必要条件； C选项，若a=b，则ac=bc成立，即p是q的必要条件； D选项，若|x-1|<1，则0<x<2，满足p是q的必要条件. 解析 13.已知集合A={y|y=x2-2x+4，x∈R}，B={x|x+m≥0}，p：x∈A，q：x∈B，并且q是p的必要条件，则实数m的取值范围为　　　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 {m|m≥-3} 由已知可得A={y|y=(x-1)2+3，x∈R}={y|y≥3}，B={x|x≥-m}.因为q是p的必要条件，所以p⇒q，所以A⊆B，所以-m≤3，即m≥-3，所以实数m的取值范围是{m|m≥-3}. 解析 14.设集合A={x||x|≤3}，集合B={x|2-a≤x≤1+2a}，a∈R. (1)若集合B是空集，求a的取值范围； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为集合B是空集，所以2-a>1+2a， 解得a<所以a的取值范围为. 解 (2)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A={x||x|≤3}={x|-3≤x≤3}. “x∈A”是“x∈B”的充分条件等价于集合A是集合B的子集， 则集合B不是空集，2-a≤1+2a，解得a≥. 又解得a≥5， 故a的取值范围为{a|a≥5}. 解 15.(多选)有限集合S中元素的个数记作card(S)，设P，Q都为有限集合，则下列命题中是真命题的是 A.P∩Q=∅是card(P∪Q)=card(P)+card(Q)的充分条件 B.card(P)≤card(Q)是P⊆Q的必要条件 C.card(P)≤card(Q)是P不是Q的子集的充分条件 D.card(P)=card(Q)是P=Q的必要条件 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，若P∩Q=∅，则集合P与集合Q没有公共元素，所以card(P∪Q)= card(P)+card(Q)，故A正确； 对于B，若P⊆Q，则集合P中的元素都是集合Q中的元素，则card(P)≤ card(Q)，故B正确； 对于C，由card(P)≤card(Q)无法得到P不是Q的子集，故C错误； 对于D，当P=Q时，集合P中的元素与集合Q中的元素完全相同，则card(P)=card(Q)，故D正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16.已知a，b是实数，求证：a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的充分条件.该条件是否为必要条件？试证明你的结论. 16 因为a2-b2=1，所以a4-b4-2b2=(a2-b2)(a2+b2)-2b2=(a2+b2)-2b2=a2-b2=1. 即a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的充分条件. a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的必要条件，证明如下： 若a4-b4-2b2=1， 则a4-(b4+2b2+1)=0，即a4-(b2+1)2=0， 即(a2-b2-1)(a2+b2+1)=0. 又a2+b2+1≠0，所以a2-b2-1=0，即a2-b2=1. 因此a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的必要条件. 证明 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第一章　§1.4　充分条件与必要条件 <<< $