第1章 §1.2 集合间的基本关系（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦集合间的基本关系，涵盖子集、真子集、空集性质、集合相等及参数范围求解。通过类比实数关系的导语提问，衔接集合概念，搭建从具体实例到抽象定义的学习支架，引导学生逐步理解核心知识。 其亮点是运用Venn图、数轴等直观手段，结合实例归纳子集个数规律，培养数学眼光的几何直观和数学思维的推理能力。通过符号精确表达和分类讨论参数问题，提升数学语言的严谨性，助力学生构建逻辑体系，也为教师提供分层练习与清晰教学思路。

§1.2 集合间的基本关系 第一章　集合与常用逻辑用语 <<< 1.理解两个集合间的包含关系. 2.能用符号和Venn图表示两个集合间的关系.(重点) 3.理解空集与子集、真子集之间的关系.(难点) 学习目标 我们知道，两个实数之间有相等关系、大小关系，如5=5，5<7，5>3，等等，两个集合之间是否也有类似的关系呢？ 导 语 一、子集 二、真子集 课时对点练 三、由集合间的关系求参数范围 随堂演练 内容索引 子集 一 提示　(1)集合A的任何一个元素都是集合B的元素，(2)(3)中的集合C与D，E与F也有这种关系. 观察下面的几个例子，请同学们说出每组两个集合之间的关系. (1)A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}； (2)C为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合； (3)E={x|x=2k，k∈Z}，F={偶数}. 问题 1.Venn图：在数学中，我们经常用平面上 的内部代表集合，这种图称为Venn图. 2.子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中 一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的_____ 记法与读法 记作 (或B⊇A)，读作“ ”(或“B包含A”) 图示   封闭曲线 任意 子集 A⊆B A包含于B 知识梳理 3.一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作 .也就是说，若 ，且 ，则A=B. 结论 (1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即 ； (2)传递性：对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则______ A⊆A A⊆C A=B A⊆B B⊆A 8 (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B. (2)集合A与集合B相等，就是集合A与集合B中的元素完全一致，即A⊆B，且B⊆A⇔A=B. 注 意 点 <<< 9 　(课本例2)判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由： (1)A={1，2，3}，B={x|x是8的约数}； 例 1 因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集. 解 (2)A={x|x是长方形}，B={x|x是两条对角线相等的平行四边形}. 因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合A是集合B的子集. 解 10 　指出下列各对集合之间的关系： (1)A={x|-1<x<4}，B={x|x-5<0}； 例 1 集合B={x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A⊆B. 解 11 (2)A={x|x是正方形}，B={x|x是矩形}； 正方形是特殊的矩形，故A⊆B. 解 (3)A={-1，1}，B={(-1，-1)，(-1，1)，(1，-1)，(1，1)}； 集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系. 解 12 (4)M={x|x=2n-1，n∈N*}，N={x|x=2n+1，n∈N*}. M={正奇数}，N={不含1的正奇数}，故N⊆M. 解 13 判断集合间关系的常用方法 反 思 感 悟 14 (1)已知A={x|x是正数}，B={x|x是正整数}，C={x|x是实数}，那么A，B，C之间的关系是 A.A⊆B⊆C B.B⊆A⊆C C.C⊆A⊆B D.A=B⊆C 跟踪训练 √ 集合A，B，C的关系如图. 解析 15 (2)已知集合M={x|x=3m-1，m∈Z}，集合N={x|x=3n+2，n∈Z}，则M，N之间的关系为　　　. 设x∈M，则存在m∈Z，有x=3m-1=3(m-1)+2， ∵m∈Z，∴m-1∈Z， ∴x=3(m-1)+2∈N，故M⊆N； 设x∈N，则存在n∈Z，有x=3n+2=3(n+1)-1， ∵n∈Z，∴n+1∈Z， ∴x=3(n+1)-1∈M，故N⊆M， 综上所述，M=N. 解析 M=N 16 二 真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且 ，就称集合A是集合B的真子集 记法与 读法 记作 (或B　 A)，读作“ ”(或“B真包含A”) 图示   1.真子集 x∉A A　 B A真包含于B 2.空集 定义 一般地，我们把 的集合叫做空集 记法 ____ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 性质 (1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅； (2)空集是任何非空集合的真子集，即若A≠∅，则∅　A； (3)传递性：对于集合A，B，C，如果A　B，且B　C，那么A　C 不含任何元素 ∅ (1)在真子集的定义中，A　B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. (2)∅与{0}的区别： ∅是不含任何元素的集合；{0}是含有一个元素的集合，∅　{0}. 注 意 点 <<< 20 　(课本例1)写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集. 例 2 集合{a，b}的所有子集为∅，{a}，{b}，{a，b}.真子集为∅，{a}，{b}. 解 21 　填写下表，并回答问题： 例 2 集合 集合的子集 子集的个数 ∅     {a}     {a，b}     {a，b，c}     由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？ 22 由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是2n，真子集的个数是2n-1，非空真子集的个数是2n-2. 解 集合 集合的子集 子集的个数 ∅ ∅ 1 {a} ∅，{a} 2 {a，b} ∅，{a}，{b}，{a，b} 4 {a，b，c} ∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8 23 利用例题的结论，试求满足{1，2}　M⊆{1，2，3，4，5}的集合M的个数. 延伸探究1 由题意可得{1，2}　M⊆{1，2，3，4，5}，可以确定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个， 又集合{3，4，5}的非空子集的个数为23-1=7， 故集合M的个数为7. 解 24 求集合的子集的两个关注点 (1)要注意两个特殊的子集：∅和自身. (2)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏. 反 思 感 悟 25 由集合间的关系求参数范围 三 (1)(2023·新高考全国Ⅱ)设集合A={0，-a}，B={1，a-2，2a-2}，若A⊆B，则a等于 A.2 B.1 C. D.-1 例 3 若a-2=0，解得a=2，此时A={0，-2}，B={1，0，2}，不符合题意； 若2a-2=0，解得a=1，此时A={0，-1}，B={1，-1，0}，符合题意. 综上所述，a=1. 解析 √ 27 (2)已知集合A={x|-2≤x≤5}，集合B={x|m+1≤x≤2m-1}.是否存在实数m使得A⊆B，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由. 因为A⊆B，如图所示，此时B≠∅，  所以即 所以m不存在. 即不存在实数m使A⊆B. 解 28 若例3(2)中的条件不变，且B⊆A，求实数m的取值范围. 延伸探究2 (1)当B=∅时，满足B⊆A， 此时m+1>2m-1，解得m<2. (2)当B≠∅，且B⊆A时，如图所示. 则 解得2≤m≤3. 所以实数m的取值范围是{m|m≤3}. 解 29 若例3(2)中的条件“A={x|-2≤x≤5}”改为“A={x|-2<x<5}且B⊆A”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 延伸探究3 (1)当B=∅时，满足B⊆A，此时m+1>2m-1，解得m<2. (2)当B≠∅，且B⊆A时，如图所示. 则 解得即2≤m<3， 所以实数m的取值范围是{m|m<3}. 解 30 若例3(2)中的条件不变，且B　A，求实数m的取值范围. 延伸探究4 (1)当B=∅时，满足B　A，此时m+1>2m-1，解得m<2. (2)当B≠∅，且B　A时，如图所示.  所以 解得2≤m≤3. 所以实数m的取值范围是{m|m≤3}. 解 31 利用集合间的关系求参数的关注点 (1)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值. (2)要注意“空集”的情况，空集是任何集合的子集. 反 思 感 悟 32 1.知识清单： (1)子集、真子集的概念与性质. (2)子集的个数. (3)由集合间的关系求参数范围. 2.方法归纳：分析法、观察法、元素特征法、数形结合、分类讨论. 3.常见误区：在解决问题时，容易遗忘空集；求含参的问题时，容易遗漏端点的取值，应注意讨论. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.(多选)以下四个选项中，错误的为 A.{1}∈{0，1，2} B.{1，-3}={-3，1} C.{0，1，2}⊆{1，0，2} D.∅∈{0} √ √ A应是{1}⊆{0，1，2}； 对于B，集合中的元素有无序性，故B正确； 对于C，任何集合都是本身的子集，故{0，1，2}⊆{1，0，2}，故C正确； D应是∅⊆{0}. 解析 1 2 3 4 2.已知集合A={x|x<-2或x>0}，B={x|0<x<1}，则 A.A>B B.A　B C.B　A D.A<B √ 由数轴知B　A. 解析 1 2 3 4 3.集合A={0，2，4，6}的子集个数是 A.8 B.12 C.15 D.16 √ 1 2 3 4 4.集合A={x|1≤x≤6}，B={x|x<a}，若A⊆B，则a的取值范围为　　　　. {a|a>6} ∵A={x|1≤x≤6}，B={x|x<a}，由A⊆B，结合数轴可知a>6. 解析 课时对点练 五 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C ACD C A A AB D 题号 9 11 12 13 15 答案 {p|p≥4} B C C ABD 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为A={(x，y)|x+y=2，x，y∈N}， 所以A={(0，2)，(1，1)，(2，0)}. 所以集合A的子集有∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}. 16 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)A={x|x2-8x+15=0}={5，3}， 当a=时，B={5}，元素5是集合A={5，3}中的元素， 集合A={5，3}中除元素5外，还有元素3，3不在集合B中，所以B　A. (2)当a=0时，由题意得B=∅，又A={3，5}，故B⊆A； 当a≠0时，B=又A={3，5}，B⊆A，此时=3或=5，则有a=或a=. 所以C=. 16 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)由于A中有两个元素， ∴关于x的方程ax2-3x-4=0有两个不相等的实数根， ∴Δ=9+16a>0，且a≠0，即a>-且a≠0. 故实数a的取值范围是. (2)集合A最多有两个子集即A中至多有一个元素， 即方程ax2-3x-4=0无解或只有一解， 16 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当a=0时，方程为-3x-4=0，解得x=-集合A=； 当a≠0时，若关于x的方程ax2-3x-4=0有两个相等的实数根， 则A中只有一个元素，此时a=-； 若关于x的方程ax2-3x-4=0没有实数根，则A中没有元素，此时a<-. 综上可知，实数a的取值范围是. 16 基础巩固 1.下列各选项中，表示M⊆N的是 √ 由M⊆N知，表示集合M的图形应全都在表示集合N的图形中. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.(多选)已知集合A={0，1}，则下列式子正确的是 A.0∈A B.{1}∈A C.∅⊆A D.{0，1}⊆A √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵{1}⊆A，∴B项错误，其余均正确. 解析 √ √ 3.已知集合A=则集合A的真子集的个数为 A.3 B.4 C.7 D.8 √ 集合A={x|-1<x<3，x∈N}={0，1，2}， 其真子集有∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，共7个. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知集合P={1，2，3，4，5}，Q={y|y=x+1，x∈P}，那么集合M={2，3，4}与Q的关系是 A.M　Q B.M，Q互不包含 C.Q　M D.Q=M √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵集合P={1，2，3，4，5}，Q={y|y=x+1，x∈P}={2，3，4，5，6}，又集合M={2，3，4}， ∴M　Q. 解析 5.已知集合A={x|-1≤x≤1}，B={x|a-1≤x≤2a-1}，若B⊆A，则实数a的取值范围是 A.{a|a≤1} B.{a|a<1} C.{a|0≤a≤1} D.{a|0<a<1} √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当B=∅，即2a-1<a-1，即a<0时，满足B⊆A； 当B≠∅，即a-1≤2a-1，即a≥0时，要使B⊆A， 则满足解得0≤a≤1. 综上，a≤1. 解析 6.(多选)已知集合A={2，-1}，集合B={m2-m，-1}，若A⊆B且B⊆A，则实数m等于 A.2 B.-1 C.-2 D.4 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∵A⊆B且B⊆A，∴A=B， ∴m2-m=2，解得m=2或m=-1. 解析 7.已知集合A={x∈R|x2-3x+2=0}，B={x∈N|0<x<5}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由题意知，A={1，2}，B={1，2，3，4}.又A⊆C⊆B，则集合C可能为 {1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，共4个. 解析 8.已知a是实数，若集合{x|x2+x+a=0}是任何集合的子集，则a的取值范围 是　 　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，集合{x|x2+x+a=0}是空集，即方程x2+x+a=0无解， 则Δ=1-4a<0，解得a>. 解析 9.已知集合A={x|x<-1或x>2}，B={x|4x+p<0}，若B⊆A，则实数p的取值范围是　　　　 . 集合A={x|x<-1或x>2}， B={x|4x+p<0}= 若B⊆A，则-≤-1，即p≥4， 则实数p的取值范围是{p|p≥4}. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 {p|p≥4} 10.已知集合A={(x，y)|x+y=2，x，y∈N}，试写出集合A的所有子集. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为A={(x，y)|x+y=2，x，y∈N}， 所以A={(0，2)，(1，1)，(2，0)}. 所以集合A的子集有∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}， {(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}. 解 11.已知M=则集合M的子集个数是 A.8 B.16 C.32 D.64 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为∈N， 又x∈N，所以x=7，6，4，0， 所以集合M={7，6，4，0}， 所以集合M的子集个数为24=16. 解析 12.已知集合A={a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和等于9，则a1+a2+a3等于 A.1 B.2 C.3 D.6 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 集合A={a1，a2，a3}的所有非空真子集有：{a1}，{a1，a2}，{a1，a3}，{a2}，{a2，a3}，{a3}， 故3(a1+a2+a3)=9，即a1+a2+a3=3. 解析 13.集合M={x|x=5k-2，k∈Z}，P={x|x=5n+3，n∈Z}，S={x|x=10m+3，m∈Z}之间的关系是 A.S　P　M B.S=P　M C.S　P=M D.P=M　S 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由题意知M={…，-7，-2，3，8，13，18，…}，P={…，-7，-2，3，8，13，18，…}，S={…，-7，3，13，23，…}，故S　P=M. 解析 14.设集合A={x|x2-8x+15=0}，B={x|ax-1=0}. (1)若a=试判定集合A与B的关系； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A={x|x2-8x+15=0}={5，3}， 当a=时，B={5}，元素5是集合A={5，3}中的元素， 集合A={5，3}中除元素5外，还有元素3，3不在集合B中，所以B　A. 解 (2)若B⊆A，求实数a组成的集合C. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当a=0时，由题意得B=∅，又A={3，5}，故B⊆A； 当a≠0时，B=又A={3，5}，B⊆A，此时=3或=5，则有a=或a=. 所以C=. 解 16 15.(多选)已知集合A={1，2，4，8}，B={z|z=xy，x∈A，y∈A}，则下列四个结论正确的是 A.A　B B.{1，4，16，64}⊆B C.集合B中元素的个数为8 D.集合B的真子集的个数为127 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵集合A={1，2，4，8}，∴集合B={z|z=xy，x∈A，y∈A}={1，2，4，8，16，32，64}，∴A　B，A正确； {1，4，16，64}⊆B，B正确； 集合B中元素的个数为7，C错误； 集合B的真子集的个数为27-1=127，D正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16.已知集合A={x∈R|ax2-3x-4=0}. (1)若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围； 16 由于A中有两个元素， ∴关于x的方程ax2-3x-4=0有两个不相等的实数根， ∴Δ=9+16a>0，且a≠0，即a>-且a≠0. 故实数a的取值范围是. 解 集合A最多有两个子集即A中至多有一个元素， 即方程ax2-3x-4=0无解或只有一解， 当a=0时，方程为-3x-4=0，解得x=-集合A=； 当a≠0时，若关于x的方程ax2-3x-4=0有两个相等的实数根， 则A中只有一个元素，此时a=-； 若关于x的方程ax2-3x-4=0没有实数根，则A中没有元素，此时a<-. 综上可知，实数a的取值范围是. 解 (2)若集合A最多有两个子集，求实数a的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第一章　集合与常用逻辑用语 <<< $