第8章 1 走近数学建模-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（北师大版）

第八章　数学建模活动 (一) §1 走近数学建模 (教师独具内容) 课程标准：1.了解哥尼斯堡七桥问题的由来，理解欧拉解决哥尼斯堡七桥问题的方法，掌握一笔画问题的步骤.2.了解熟悉数学模型的实际背景及其数学描述，了解数学模型中的参数、结论的实际意义.3.能够在熟悉的情境中发现问题并转化为数学问题． 教学重点：1.数学模型的现实背景.2.对实际问题建立合适的数学模型． 教学难点：1.数学建模需要对实际问题进行抽象、简化，确定变量和参数，建立起变量、参数间的确定的数学问题.2.本章内容要求教师对一些实际问题的数学结构有一定的了解，并通过合理选材，组织学生开展以调查、实验、文献研究为主要内容的探究式学习． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点　一笔画定理 一个由点和线段组成的图形能一笔画完，必须符合以下两个条件： (1)图形是连在一起的，即是___________； (2)图形中的奇点个数为________． 连通图形 0或2 核心概念掌握 5 (1)可以一笔画成的图形，与偶点个数无关，与奇点个数有关．也就是说，凡是图形中没有奇点的(奇点个数为0)，可选任一个点为起点，且一笔画后可以回到出发点． (2)若奇点个数为2，可选其中一个奇点为起点，而终点一定是另一个奇点，即一笔画后不可以回到出发点． (3)凡是图形中有2个以上奇点的，不能完成一笔画． (4)含有2n(n＞0)个奇点的图形，需要n笔画成． 核心概念掌握 6 1．完成下表： 奇点个数 偶点个数 能否一笔画出 ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ 0 否 4 0 能 5 2 能 2 核心概念掌握 7 2．下图是否能一笔画出？即从一个顶点出发，经过所有路线和顶点，要求每条路线只经过一次．如果能，给出一个解答；如果不能，试说明理由． 答案：由一笔画定理，原图可以一笔画出．一条路线在下图中用数字标出． 核心概念掌握 8 核心素养形成 塞纳河流经巴黎的这一段河中有两个岛，河岸与岛间架设了15座桥，如下图所示．问： (1)能否从某地出发，经过这15座桥各一次后再回到出发点？ (2)若不要求回到出发点，能否在一次散步中穿过所有的桥各一次？若可以，请写出路径的起点和终点． 题型一　一笔画定理及应用 解　将该问题进行抽象，如图所示． 由图可以看出A，B为偶点，C，D为奇点．根据一笔画定理，因为有2个奇点，不满足问题(1)的条件，不能实现，但满足问题(2)的条件，C为起点，D即为终点；D为起点，C即为终点． 核心素养形成 10 【感悟提升】　 (1)熟悉一笔画定理． (2)一笔画定理中，若没有奇点，任意一点都可以同时作为起点和终点．若有2个奇点，一个为起点，另一个一定是终点． 核心素养形成 11 【跟踪训练】 1．甲、乙两个快递员去送信，两人同时出发以同样的速度走遍所有的街道，甲从A点出发，乙从B点出发，最后都回到邮局(C点)．如果要选择最短的线路，谁先回到邮局？ 解：由图看出，只有A，C两个奇点，根据一笔画定理，甲从A出发，可以不重复地一次走完所有街道，而乙从B出发走完所有街道回到C点必须重复一段街道，故甲先回到邮局． 核心素养形成 12 与哥尼斯堡七桥问题同样著名的是十二面体游戏(或“周游世界”)．图1表示一个正多面体，它的表面由12个正五边形所构成，称为正十二面体．若把它的顶点看作是一个图的顶点，则我们可以用图2中的图来表示它．设想图的20个顶点代表20个城市，用十二面体的棱代表城市间的道路，那么你能不能游遍每个城市一次而且仅一次，并最终回到出发城市？ (1)找出“周游世界”的一条线路； 题型二　与图有关的模型 核心素养形成 13 (2)给定图G，若存在一条路线经过图G的每个顶点一次且仅一次，这条路称作哈密尔顿路．若存在一条闭合路径过图G的每个顶点一次且仅一次，这条路被称作哈密尔顿回路．试判断图3和图4中是否存在哈密尔顿路与哈密尔顿回路．如果存在，请分别找出它们中的一条；如果不存在，请说明理由． 核心素养形成 14 解　(1)如图所示，用数字表示所游城市的顺序，一条完整的路线如下． 核心素养形成 15 (2)图3和图4中均存在哈密尔顿路，它们的路线如下图所示． 但是它们都不存在哈密尔顿回路． 理由如下：假设存在一条完整的回路经过图中的顶点一次且仅一次，若删去其中的k个顶点及和它相关联的边，产生的分支应不多于k个．若删去图3中的点p将产生两个分支，因而一条闭合的依次经过全部顶点的路线应是不存在的．同理，图4也不存在． 核心素养形成 16 【感悟提升】　哥尼斯堡七桥问题和十二面体游戏都是利用图模型的例子．把“位置”抽象成“顶点”，把“路线”抽象成“顶点的连线”，进而利用图的性质加以解决．这两个经典问题在图论这一数学分支中有详细的阐述，本节主要通过它们来介绍这种思想方法． 核心素养形成 17 【跟踪训练】 2．国际象棋中马的行走方式为“日”字形的对角线，如图1中虚线所示．问能否以一马的跳步完全覆盖图2的“棋盘”，使接触每个方格恰一次？(允许从任一方格出发) 核心素养形成 18 解：问题是要确定题图2是否有一条哈密尔顿路．把图重画，使顶点的布置更清楚．删去次数为2的顶点a(棋盘的角)以及4个顶点b以获得两个回路(见图3)；以c与d分别标记此两回路的顶点．再把此两回路画成不相交的，见图4.每个顶点b邻接于一顶点c与一顶点d.删去4个顶点b产生一个具有6个分支的图：两个不同的回路(分别以c与d为顶点)以及4个标号为a的顶点．于是可知原图中一条依次经过全部顶点的路线应是不存在的，即没有哈密尔顿路．所以，图2的棋盘不能像问题规定的那样为一马所跳遍． 核心素养形成 19 生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持体温．研究表明，消耗的能量E与通过心脏的血流量Q成正比；并且根据生物学常识知道，动物的体重与体积成正比．血流量Q是单位时间流过的血量，脉搏率f是单位时间心跳的次数；还有一些生物学假设，例如，心脏每次收缩挤压出来的血量q与心脏大小成正比，动物心脏的大小与这个动物体积的大小成正比．下表给出一些动物体重与脉搏率对应的数据． 题型三　利用比例关系建模 核心素养形成 20 回答下面的问题： (1)请根据生物学常识，给出血流量与体重之间关系的数学模型； (2)从表可以看出，体重越轻的动物脉搏率越高．请根据上面所提供的数据寻求数量之间的比例关系，建立脉搏率与体重关系的数学模型． 动物名 体重/g 脉搏率/(心跳次数·min－1) 鼠 25 670 大鼠 200 420 豚鼠 300 300 兔 2000 205 小狗 5000 120 大狗 30000 85 羊 50000 70 马 450000 38 核心素养形成 21 核心素养形成 22 核心素养形成 23 核心素养形成 24 【跟踪训练】 3．举重比赛按照运动员的体重分组，你能在一些合理、简化的假设下建立比赛成绩与体重之间的关系吗？下面是一届奥运会的竞赛成绩，可供检验你的模型． 组别 最大体重/kg 抓举/kg 挺举/kg 总成绩/kg 1 54 132.5 155 287.5 2 59 137.5 170 307.5 3 64 147.5 187.5 335 4 70 162.5 195 357.5 5 76 167.5 200 367.5 6 83 180 212.5 392.5 7 91 187.5 213 400.5 8 99 185 235 420 9 108 195 235 430 10 ＞108 197.5 260 457.5 核心素养形成 25 核心素养形成 26 随堂水平达标 1．判断下列各图能否一笔画出． 解： (a)图：可以一笔画出，因为只有两个奇点A，B. (b)图：不能一笔画出，因为此图不是连通图． (c)图：不能一笔画出，因为图中有四个奇点A，B，C，D. (d)图：可以一笔画出，因为只有两个奇点A，B. (e)图：可以一笔画出，因为没有奇点． (f)图：不能一笔画出，因为图中有八个奇点． 随堂水平达标 1 2 3 28 2．园林工人张大伯为花园浇水，怎样走才能不重复地走遍每条小路？ 解：标出各端点处线的条数． 由图可以看出其中有2个奇点A，B，根据一笔画定理，可以以A，B中的一个为起点，另一个为终点，就能不重复地走遍每条小路． 随堂水平达标 1 2 3 29 3．一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法．假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据：(胸围指鱼身的最大周长) 先用机理分析建立模型，再用数据确定参数． 身长(cm) 36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1 重量(g) 765 482 1162 737 482 1389 652 454 胸围(cm) 24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6 随堂水平达标 1 2 3 30 解：对于同一种鱼不妨认为其整体形状是相似的，密度也大体上相同，所以重量w与身长l的立方成正比，即w＝k1l3，k1为比例系数． 常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上述模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待．如果只假定鱼的横截面积是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是w＝k2d2l，k2为比例系数． 利用数据估计模型中的系数可得k1＝0.014， k2＝0.0322. 随堂水平达标 1 2 3 31 课后课时精练 1．如图表示某城镇的一部分．我们要参观商店的橱窗，它们沿着街道被粗线标出．我们用x表示始点兼终点．找出使所需时间最短的一条路线．假定不计横过街道的时间． 解：我们必须沿题图的边走，如有可能，每边只经过一次；边对应着人行道．如图，由一笔画定理可知它可以一笔画成．一条闭合回路即为一个解． 例如，下面给出的边列：21，17，11，9，6，3，5，4，1，2，7，8，12，13，10，14，15，16，20，22，19，18. 课后课时精练 1 2 3 4 33 2．如图所示，广场上有一盏路灯挂在高10 m的电线杆顶 上，记电线杆的底部为A.把路灯看作一个点光源，身高1.5 m的 女孩站在离点A 5 m的点B处．回答下面的问题： (1)若女孩以5 m为半径绕着电线杆走一个圆圈，人影扫过 的是什么图形？求这个图形的面积； (2)若女孩向点A前行4 m到达点D，然后从点D出发，沿着 以BD为对角线的正方形走一圈，画出女孩走一圈时头顶影子的轨迹，说明轨迹的形状． 课后课时精练 1 2 3 4 34 课后课时精练 1 2 3 4 35 3．给定图G，若存在一条路线经过图G的每个顶点一次且仅一次，这条路称作哈密尔顿路．若存在一条闭合路径过图G的每个顶点一次且仅一次，这条路被称作哈密尔顿回路．已知国际象棋中马的行走方式为“日”字形的对角线，如图1中虚线所示．问在如图2的5×5的棋盘中能否以一马的跳步形成一条哈密尔顿路或哈密尔顿回路？ 课后课时精练 1 2 3 4 36 解：把棋盘上马的全部行走路线形成的图记为图G，以a与b分别记次数为2的顶点(角)及它们的邻点．图1只表示出关联于顶点a的那些边，这8条边构成一个G的回路，它不能全属于图的一条哈密尔顿回路或哈密尔顿路，所以G不能有哈密尔顿回路，因为哈密尔顿回路必须包含关联于顶点a的仅有的两条边．又若G有一条哈密尔顿路，其端点中必有一顶点a，因为路不能含有关联于a的8条边，而删去这些边中的任一条，就产生一个端点a.从图中删去全部的顶点a与b得到图2.若顶点c也被删去，就只剩下一个长为16的回路K.沿着回路K，每隔一个顶点记以d；它们都与c邻接．图1表示同一个图G，只是使得K的顶点落在一个圆上．这些哈密尔顿路之一在图3中用粗线标出．在“棋盘”上，对应于马跳法如图4所示． 课后课时精练 1 2 3 4 37 4．证明：任何6个人的聚会，其中总会有3人互相认识或3人互相不认识． 证明：以6个顶点分别代表6个人，如果两人相识， 则在相应的两顶点间连一红边，否则在相应的两顶点间 连一蓝边，则上述问题等价于下面的命题： 对6个顶点的图(任意两顶点间有边连接)任意进行红、蓝两边着色，都存在一个红色三角形或一个蓝色三角形． 设v1，v2，v3，v4，v5，v6是6个顶点，v1与v2，v3，v4，v5，v6所连的5条边着红色或蓝色．其中至少有3条边同色，不妨设v1与v2，v3，v4所连的3条边均为红色，如图所示．若v2，v3，v4间有一条红边，不妨设为v2v3，则△v1v2v3是一红色三角形．否则，v2，v3，v4间均为蓝边，即△v2v3v4是一蓝色三角形． 课后课时精练 1 2 3 4 38 　　　　　　　　　　　　　 R 解　建模过程如下： (1)因为动物体温通过身体表面散发热量，表面积越大，散发的热量越多，保持体温需要的能量也就越大，所以动物体内消耗的能量E与身体的表面积S成正比，可以表示为E＝p1S.又因为动物体内消耗的能量E与通过心脏的血流量Q成正比，可以表示为E＝p2Q.因此得到Q＝pS，其中p1，p2和p均为正的比例系数． 另一方面，因为体积V与体重W成正比，可以表示为V＝r1W；又因为表面积S大约与体积V的eq \f(2,3)次方成正比，可以表示为S＝r2Veq \s\up7(\f(2,3))，因此得到S＝rWeq \s\up7(\f(2,3))，其中r1，r2，r为正的比例系数．所以可以构建血流量与体重关系的数学模型Q＝k1Weq \s\up7(\f(2,3))，其中k1为正的比例系数． (2)根据脉搏率的定义f＝eq \f(Q,q)，再根据生物学假设q＝cW(c为正的比例系数)，最后得到f＝eq \f(Q,q)＝2,3))eq \f(k1W,cW) ，也就是f＝kW－eq \s\up7(\f(1,3))，其中k为正的比例系数． 脉搏率与体重关系的数学模型说明，恒温动物体重越大，脉搏率越低；脉搏率与体重的eq \f(1,3)次方成反比．表中的数据基本上反映了这个反比例的关系．下图是以ln W和ln f为坐标的散点图．可以看出，数据取对数之后基本满足线性关系，因此得到体重和脉搏率的对数线性模型，可以把这个模型表达为ln f＝ln k－eq \f(ln W,3). 【感悟提升】　本例利用变量之间的比例关系进行推导．建立了血流量与体重关系、脉搏率与体重关系的数学模型．有些是题目给出的，如消耗能量E与通过心脏的血流量Q成正比，还有的是我们的假设，如表面积S大约与体积V的eq \f(2,3)次方成正比．实际问题中变量之间的关系是复杂的．需要我们根据常识作出合理假设． 解：假设举重比赛成绩y与运动员肌肉的截面积s成正比，而截面积s＝k1weq \s\up7(\f(2,3))，于是y＝kweq \s\up7(\f(2,3))，其中k1，k为正的比例系数． 用举重总成绩检验这个模型，结果如图1；如果用举重总成绩拟合y＝kwα可得α＝0.57，结果如图2. 解：(1)如图1所示，S为路灯位置，C为女孩头顶部，女孩的影子为线段BP.女孩绕着电线杆走一个圆圈，人影扫过的是一个环形． 已知SA＝10 m，AB＝5 m，BC＝1.5 m. 设BP＝x m，则由BC∥SA， 得eq \f(BP,AP)＝eq \f(BC,SA)， 即eq \f(x,x＋5)＝0.15， 解得x＝eq \f(15,17). 因此环形面积为π(AP2－AB2)＝π[(x＋5)2－52]＝eq \f(2775π,289)≈30.166(m2)． (2)如图2，女孩头顶运动的轨迹是以CE为对角线的正方形(CE与BD平行且相等)，且该正方形平行于地面，则在点光源S的照射下，投影应与原图形相似，因此女孩头顶影子的轨迹也是一个正方形． $