第7章 §3 频率与概率（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件核心内容为频率与概率的理解、估计及应用。课堂导入通过导语联系初中用频率估计概率的旧知，提出“频率是否决定概率”的问题，搭建从具体试验到抽象概念的学习支架。 其特色是采用问题驱动与数据分析法，结合计算机模拟抛掷硬币试验、商场服务满意度调查等实例，培养学生用数学眼光观察频率稳定性、用数学思维推理概率意义、用数学语言表达实际问题的核心素养。课堂小结梳理知识清单与方法，助力学生构建体系，教师可通过分层练习提升教学效率。

第七章　概率 <<< §3 频率与概率 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，会用频率估计概率. 2.理解概率的意义，会用概率的意义解释生活中的实例. 学习目标 我们知道，事件的概率越大，意味着事件发生的可能性越大，在重复试验中，相应的频率一般也越大；事件的概率越小，则事件发生的可能性越小，在重复试验中，相应的频率一般也越小.在初中，我们利用频率与概率的这种关系，通过大量重复试验，用频率去估计概率.那么，在重复试验中，频率的大小是否就决定了概率的大小呢？频率与概率之间到底是一种怎样的关系呢？让我们共同探讨频率与概率之间的关系吧！ 导 语 一、频率与概率的理解 二、用频率估计概率 课时对点练 三、概率在实际问题中的应用 内容索引 频率与概率的理解 一 利用计算机模拟抛掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件A＝“一个正面朝上，一个反面朝上”发生的频数和频率，结果如表所示： 问题 序号 n＝20 n＝100 n＝500 频数 频率 频数 频率 频数 频率 1 12 0.6 56 0.56 261 0.522 2 9 0.45 50 0.50 241 0.482 3 13 0.65 48 0.48 250 0.5 4 7 0.35 55 0.55 258 0.516 5 12 0.6 52 0.52 253 0.506 随着试验次数的增加，频率有什么变化规律？频率与概率有什么关系？ 提示　随着试验次数的增加，频率的值越来越接近一个常数；当试验次数非常大时，可以用频率近似地估计概率，这个常数即为概率. 频率与概率   频率 概率 性质 具有稳定性 是一个常数 范围 [0，1] 关系 在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率通常会在__________附近摆动，即随机事件A发生的频率具有________.这时，把这个常数叫作随机事件A的概率，记作P(A) 通常用频率估计概率 某个常数 稳定性 知识梳理 频率与概率的区别与联系 (1)频率本身是随机的，是一个变量；而概率是一个确定的值，与每次试验无关. (2)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率. (3)若A是随机事件，则0≤P(A)≤1. 注 意 点 <<< 9 (多选)下列说法正确的是 A.一个人打靶，打了10发子弹，有6发子弹中靶，因此这个人中靶的概率 为0.6 B.某地发行福利彩票，其回报率为47%，有个人花了100元钱买彩票，一 定会有47元回报 C.5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，则乙与甲中奖的可能性相同 D.大量试验后，可以用频率近似估计概率 例 1 √ √ 10 A中，某人打靶，射击10次，击中6次，那么此人中靶的频率为0.6，故A错误； B中，买这种彩票是一个随机事件，中奖或者不中奖都有可能，但事先无法预料，故B错误； C中，根据古典概型的概率公式可知C正确； D中，大量试验后，可以用频率近似估计概率，故D正确. 解析 11 正确理解频率与概率 (1)概率是随机事件发生的可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值. (2)随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映. 反 思 感 悟 12 我们知道，数学试题中共8道单项选择题，每道题有4个选项， 其中只有1个选项是正确的.某同学说：“每个选项正确的概率是，若每 道题都选择第一个选项，则一定有3道题的选择结果正确”.这句话 A.正确 B.错误 C.有一定道理 D.无法解释 跟踪训练 1 √ 13 从四个选项中正确选择选项是一个随机事件，是指这个事件发生的概 率，实际上，做8道选择题相当于做8次试验，每次试验的结果是随机的，因此每道题都选择第一个选项可能没有一个正确，也可能有1个，2个，3个，…，8个正确.因此该同学的说法是错误的. 解析 14 二 用频率估计概率 某商场为提高服务质量，用简单随机抽样的方法从该商场调查了60名男顾客和80名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，结果如表所示. 例 2   满意 不满意 男顾客人数 50 10 女顾客人数 50 30 (1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； 估计男顾客对该商场服务满意的概率为； 女顾客对该商场服务满意的概率为. 解 16 (2)估计顾客对该商场满意的概率；   满意 不满意 男顾客人数 50 10 女顾客人数 50 30 估计顾客对该商场满意的概率为. 解 (3)若该商场一天有2 100名顾客，大约有多少人对该商场的服务满意？ 因为2 100×＝1 500(人)，所以大约有1 500人对该商场的服务满意. 解 17 用频率估计概率时的关注点 (1)在实际问题中，常用事件发生的频率作为概率的估计值. (2)通过频率＝计算出频率，再由频率估算概率. (3)在用频率估计概率时，要注意试验次数n不能太小，只有当n很大时，频率才会呈现出规律性，即在某个常数附近波动，则这个常数就是概率. 反 思 感 悟 18 表一和表二分别表示从甲、乙两个厂家随机抽取的某批篮球产品的质量检查情况： 表一 跟踪训练 2 表二 抽取球数n 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数m 45 92 194 470 954 1 902 优等品的频率             抽取球数n 70 130 310 700 1 500 2 000 优等品数m 60 116 282 637 1 339 1 806 优等品的频率             19 (1)分别计算表一和表二中优等品的频率(结果保留到小数点后两位)； 依据频率公式计算表一中优等品的各个频率分别为0.90，0.92，0.97，0.94，0.95，0.95；表二中优等品的各个频率分别为0.86，0.89，0.91，0.91，0.89，0.90. 解 20 (2)若从两个厂家生产的这批篮球产品中各任取一个，质量检查为优等品的概率分别是多少？ 由(1)可知，抽取的篮球数不同，优等品的频率也不同.表一中的频率都在常数0.95的附近摆动，则在甲厂随机抽取一个篮球为优等品的概率大约为0.95；表二中的频率都在常数0.90的附近摆动，则在乙厂随机抽取一个篮球为优等品的概率大约为0.90. 解 21 三 概率在实际问题中的应用 某校高一年级(1)、(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目.(1)班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3和4，5，6，7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜.该方案对双方是否公平？为什么？ 例 3 23 该方案是公平的，理由如下： 各种情况如表所示： 由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种， 解 所以(1)班代表获胜的概率P1＝，(2)班代表获胜的概率P2＝，即P1＝P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的. 和 4 5 6 7 1 5 6 7 8 2 6 7 8 9 3 7 8 9 10 24 概率的实际应用 由于概率体现了随机事件发生的可能性，所以在现实生活中我们可以根据随机事件概率的大小去预测事件能否发生.从而对某些事情作出决策.当某随机事件的概率未知时，可用样本出现的频率去近似估计总体中该事件发生的概率. 反 思 感 悟 25 为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量. 跟踪训练 3 26 设保护区中天鹅的数量约为n，假定每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，设事件A＝{带有记号的天鹅}， 则P(A)＝， ① 第二次从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号， 由概率的统计定义可知P(A)＝， ② 由①②两式，得， 解得n＝1 500， 所以该自然保护区中天鹅的数量约为1 500只. 解 27 1.知识清单： (1)频率与概率的意义. (2)用频率估计概率. (3)概率的应用. 2.方法归纳：数据分析法. 3.常见误区：概率的意义理解错误. 课堂小结 课时对点练 四 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B B B D B C 题号 7 8 11 12 13 14 答案 0.25 50 ACD BC 6720 4760 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)频率依次是0.048，0.121，0.208，0.223，0.193，0.165，0.042. (2)样本中寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600， 所以样本中寿命不足1 500小时的频率是＝0.6. 即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000， 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50. 故所求概率为＝0.025. (2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是 140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372. 故所求概率估计为1－＝0.814. (3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率. 基础巩固 1.某医院治疗一种疾病的治愈率为，若前4个病人都没有治愈，则第5个病人治愈的概率是 A.1 B. C. D.0 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 每一个病人治愈与否都是随机事件，故第5个人治愈的概率仍为. 解析 2.某位同学进行投球练习，连投了10次，恰好投进了8次.若用A表示“投进球”这一事件，则事件A发生的 A.概率为 B.频率为 C.频率为8 D.概率接近0.8 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵投球一次即进行一次试验，投球10次，投进8次， 即事件A发生的频数为8， ∴事件A发生的频率为. 解析 3.某射箭运动员进行射箭训练，射箭60次，统计结果如表： 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 环数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 击中的次数 0 0 1 2 4 4 6 10 12 13 8 则估计他击中的环数不小于8的概率为 A.0.46 B.0.55 C.0.57 D.0.63 √ 击中的环数不小于8的频率为＝0.55，因此估计相应概率为0.55. 解析 4.以下说法正确的是 A.昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为99%”是 错误的 B.“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖 C.做10次抛掷硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为 D.某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A中，降水概率为99%，仍有不降水的可能，故错误； B中，“彩票中奖的概率是1%”表示在买彩票时，有1%的机会中奖，但不一定买100张彩票一定有1张会中奖，故错误； C中，正面朝上的频率为，概率仍为，故错误； D中，次品率为2%，但50件产品中可能没有次品，也可能有1件或2件或3件或更多次品，故D的说法正确. 解析 5.蜜蜂包括小蜜蜂和黑小蜜蜂等很多种类，在我国的云南及周边各省都有分布，春暖花开的时候是放蜂的好时节，养蜂人甲在某地区放养了100箱小蜜蜂和1箱黑小蜜蜂，养蜂人乙在同一地区放养了1箱小蜜蜂和100箱黑小蜜蜂.某中学生物小组在上述地区捕获了1只黑小蜜蜂，假设每箱中蜜蜂的数量相同，那么，该生物小组的同学认为这只黑小蜜蜂是养蜂人________放养的比较合理  A.甲 B.乙 C.甲和乙 D.不能确定 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意可知，“从养蜂人甲放养的蜜蜂中捕获一只蜜蜂是黑小蜜蜂” 的概率为， 而“从养蜂人乙放养的蜜蜂中捕获一只蜜蜂是黑小蜜蜂”的概率为， 所以认为这只黑小蜜蜂是养蜂人乙放养的比较合理. 解析 6.随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如表所示： 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 满意状况 不满意 比较满意 满意 非常满意 人数 200 n 2 100 1 000 根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意得，n＝4 500－200－2 100－1 000＝1 200，所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为1 200＋2 100＝3 300， 所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率 为. 由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满 意”的概率为. 解析 7.从某自动包装机包装的白糖中随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)： 492　496　494　495　498　497　501　502　504　496 497　503　506　508　507　492　496　500　501　499 根据频率估计概率，该自动包装机包装的袋装白糖质量在497.5 g~501.5 g之间的概率约为　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0.25 易知袋装白糖质量在497.5 g~501.5 g之间的袋数为5，故其频率为＝0.25，即其概率约为0.25. 解析 8.某家具厂为足球比赛场馆生产观众座椅.质检人员对该厂所生产的2 500套座椅进行抽检，共抽检了100套，发现有2套次品，则该厂所生产的2 500套座椅中大约有　　　　套次品.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 50 设有n套次品，由概率的统计定义，知，解得n＝50，所以该 厂所生产的2 500套座椅中大约有50套次品. 解析 9.某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示： (1)求各组的频率； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 分组 频数 频率 [500，900) 48   [900，1 100) 121   [1 100，1 300) 208   [1 300，1 500) 223   [1 500，1 700) 193   [1 700，1 900) 165   [1 900，＋∞) 42   频率依次是0.048，0.121，0.208，0.223，0.193，0.165，0.042. 解 (2)根据右述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 分组 频数 频率 [500，900) 48   [900，1 100) 121   [1 100，1 300) 208   [1 300，1 500) 223   [1 500，1 700) 193   [1 700，1 900) 165   [1 900，＋∞) 42   样本中寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600， 所以样本中寿命不足1 500小时的频率是＝0.6. 即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6. 解 10.电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到表格： 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指某一类电影中获得好评的部数与该类电影部数的比值. (1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510 ＝2 000， 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50. 故所求概率为＝0.025. 解 (2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 由题意知，样本中获得好评的电影部数是 140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372. 故所求概率估计为1－＝0.814. 解 (3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大(只需写出结论)？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率. 解 11.(多选)某评分网站是将用户评价的一到五星转化为0~10的分值(一星2分，二星4分，三星6分，依此类推).某影片的评分情况如图，假如参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星， 则下列说法正确的是 A.m的值是32.0% B.随机抽取100名观众，则一定有24人评价五星 C.随机抽取一名观众，其评价是三星或五星的概率约为0.56 D.若从已作评价的观众中随机抽取3人，则事件“至多1人评价五星”与 事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于A选项，参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则24.0%＋32.9%＋m＋8.7%＝97.6%，所以m＝32.0%，故A正确； 对于B选项，随机抽取100名观众，可能有100×24.0%＝24(人)评价五星，但不是一定的，故B错误； 对于C选项，由A选项知，评价是三星或五星的概率约为32.0%＋24.0%＝56.0%，故C正确； 对于D选项，根据互斥事件和对立事件的定义可知，事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件，故D正确. 解析 12.(多选)某中学从参加高一年级上学期期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]，并画出如图所示的频率分布直方图.观察图形的信息，则 A.成绩在区间[90，100]上的人数为5 B.抽查学生的平均成绩是71分 C.这次考试的及格率(60分及以上为及格)约为75% D.若从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选一人，则选到第一名的概 率(第一名只有一人)为 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 依题意得，成绩在区间[90，100]上的人数为60×0.005×10＝3，故A错误； 平均成绩为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71(分)，故B正确； 60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75， 所以这次考试的及格率约为75%，故C正确； 成绩在[70，100]的人数是36， 所以从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选一人，选到第一名的概率 为P＝，故D错误. 解析 13.某地新闻栏目对该地区群众对“开采当地矿山”的认可程度进行调查，在随机抽取的50人中，有15人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9 600人，则可估计该地区对“开采当地矿山”持反对态度的有　　　　人.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为1－，则可估计该地区对“开采当地矿山”持反对态度的有9 600×＝6 720(人). 解析 6 720 14.某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获收益12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是去年200例类似项目开发的实施结果.则该公司一年后估计可获收益的平均数是　　　　　元.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 投资成功 投资失败 192次 8次 4 760 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 设可获收益为x万元， 如果成功，x的取值为5×12%； 如果失败，x的取值为－5×50%， 一年后公司成功的概率估计为， 失败的概率估计为， 所以该公司一年后估计可获收益的平均数为 ×10 000＝4 760(元). 解析 第七章　概率 <<< $