第6章 §3 用样本估计总体的分布（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦“用样本估计总体的分布”，核心涵盖频数与频率关系、频率分布直方图绘制及应用。课堂以数码相机直方图功能导入，结合工厂不合格品描述等问题链，搭建从概念理解到技能应用的学习支架，帮助学生逐步掌握用样本估计总体的方法。 其亮点在于融合数学核心素养，通过工厂生产、学生成绩等现实案例引导学生用数学眼光观察数据分布。绘制直方图时强调求极差、定组距等逻辑推理，培养数学思维，利用图表工具助力数学语言表达数据规律。分层训练巩固知识，对学生提升数据分析能力，对教师提供丰富实例与练习资源，便于高效教学。

§3 第六章　统计 <<< 用样本估计总体的分布 1.了解频数与频率的关系. 2.掌握频率分布直方图的画法. 3.会用频率分布直方图或频率折线图估计总体分布. 学习目标 与传统相机比较，在数码相机中，有一种十分实用的功能，这就是直方图显示功能.直方图就是通过在LCD上显示出来的曝光量柱形图来确定照片曝光量大小的工具，通过直方图的横轴和纵轴我们可以直观地看出拍摄的照片的曝光情况，在拍摄时能给摄影者带来很大的方便.今天的学习便与直方图有关. 导 语 一、频数与频率 二、绘制频率分布直方图 课时对点练 三、频率分布直方图的应用 内容索引 一 频数与频率 提示　“生产了100个产品有10个不合格品”与“生产了10 000个产品有10个不合格品”这两种情况，虽然都是10个不合格品，但工厂生产产品的数量却大不相同，因此只知道某个指标的频数是不够的，需要用频率来刻画，所以第二种说法能更好地反映工厂的生产情况. 某工厂生产的一批产品中有10个不合格品，与某工厂生产一批产品中产品不合格率为1%，哪一种说法能更好地反映工厂的生产状况？ 问题1 频数与频率 名称 概念 联系 区别 频数 将样本按照一定的方法分成若干组，每组内含有的个体数目 都可以客观地反映总体分布 如果总体容量_______，频数也可以较客观地反映总体分布 频率 ______与总数的比值 频率反映了相对总数而言的相对强度，其所携带的总体信息远超过______，当总体容量较大时，频率就更能客观地反映总体分布 比较小 频数 频数 知识梳理 在统计中，经常用样本数据的频率去估计总体中相应的频率，即对总体分布进行估计，注意频率的取值范围. 注 意 点 <<< 8 某中学记载了近五年(2020~2024)学生高考本科上线人数及相应比例，如表所示，请根据表中数据说明频数与频率的不同之处. 例 1   2020 2021 2022 2023 2024 本科上线人数 1 013 1 092 1 154 1 187 1 223 比例 69.5% 71.3% 75.1% 77.2% 79.5% 9 从2020年到2024年本科上线人数逐年递增，从频数来看，2021年较上一年增加了79人，2022年较上一年增加了62人，2023年较上一年增加了33人，2024年较上一年增加了36人，容易得到2020年到2021年增加的人数最多，2022年到2023年以及2023年到2024年增加的人数较少，但从这五年的频率来看，2020年到2021年的频率增长了1.8%，是增长最少的，2021年到2022年的频率增长了3.8%，是增长最多的，这说明只从频数一个角度分析实际问题是远远不够的，实际过程中，应从频数和频率两方面进行分析. 解 10 频率反映了相对总数而言的相对强度，其携带的总体信息要超过频数，频数受总体数量影响较大，所以频率能客观地反映总体分布，在生活中，经常用样本的频率分布去估计总体的频率分布. 反 思 感 悟 11 (多选)为了了解运动健身减肥的效果，某健身房跟踪调查了20名肥胖者，把健身前后他们的体重(单位：kg)制成如下表格. 跟踪训练 1 调查日期 2023年9月1日 体重区间 [80，90) [90，100) [100，110) [110，120] 频率 0 30% 50% 20% 调查日期 2024年1月1日 体重区间 [100，110) [110，120] 频率 10% 40% 50% 0 12 对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是 A.健身后，体重在区间[90，100)内的频数增加值为2 B.健身后，原来体重在区间[110，120]内的肥胖者体重都有减少 C.原来体重在区间和[90，100)内的人减肥失败 D.原来体重在区间[100，110)内的人减肥没有效果 √ √ 13 原来体重在区间[90，100)内的频数为20×30%＝6，健身后体重在此区间内的频数为20×40%＝8，频数增加值为2，A正确； 原来体重在区间[110，120]内的频数为20×20%＝4，而健身后在此区间内的频数为0，说明原来体重在区间[110，120]内的肥胖者体重都有减少，B正确； 健身后体重在区间[100，110)内的频数没有变化，但是并不能说原来体重在区间[100，110)内的人减肥没有效果，因为健身前后这个区间的人不一定是相同的，同理，也不能说原来体重在和[90，100)内的人减肥失败，C，D均不正确. 解析 14 二 绘制频率分布直方图 假如通过抽样调查，获得100位居民的月均用水量如下(单位：t)： 9.0　 13.6　 14.9　 5.9　 4.0　 7.1　 6.4　 5.4 19.4 2.0 2.2 8.6 13.8 5.4 10.2 4.9 6.8 14.0 2.0 10.5 2.1 5.7 5.1 16.8 6.0 11.1 1.3 11.2 7.7 4.9 2.3 10.0 16.7 12.0 12.4 7.8 5.2 13.6 2.6 22.4 3.6 7.1 8.8 25.6 3.2 18.3 5.1 2.0 3.0 12.0 22.2 10.0 5.5 2.0 24.3 9.9 3.6 5.6 4.4 7.9 5.1 24.5 6.4 7.5 4.7 20.5 5.5 15.7 2.6 5.7 5.5 6.0 16.0 2.4 9.5 3.7 17.0 3.8 4.1 2.3 5.3 7.8 8.1 4.3 13.3 6.8 1.3 7.0 4.9 1.8 7.1 28.0 10.2 13.8 17.9 10.1 5.5 4.6 3.2 21.6 上述100个数据中的最大值和最小值分别是多少？由此说明样本数据的变化范围是什么？ 问题2 提示　最大值是28.0，最小值是1.3，样本观测数据的变化范围为26.7 t. 提示　26.7÷3＝8.9.因此可以将数据分为9组. 样本数据中的最大值和最小值的差称为极差，如果将上述100个数据按组距为3进行分组，那么这些数据共分为多少组？ 问题3 提示　[1.2，4.2)，[4.2，7.2)，…，[25.2，28.2]. 根据问题3的答案，思考下面的问题：各组数据的取值范围可以如何设定？ 问题4 试列出频率分布表. 问题5 提示　 分组 频数 频率 [1.2，4.2) 23 0.23 0.077 [4.2，7.2) 32 0.32 0.107 [7.2，10.2) 14 0.14 0.047 [10.2，13.2) 8 0.08 0.027 [13.2，16.2) 9 0.09 0.030 [16.2，19.2) 5 0.05 0.017 [19.2，22.2) 3 0.03 0.010 [22.2，25.2) 4 0.04 0.013 [25.2，28.2] 2 0.02 0.007 合计 100 1.00   请画出频率分布直方图. 问题6 提示　 1.频率分布直方图 频率分布直方图以______的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小，其画图步骤为 面积 知识梳理 频率 面积 1 2.频率折线图 在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间，从所加的左边区间的_____开始，用线段依次连接各个矩形的__________，直至右边所加区间的______，就可以得到一条折线，我们称之为频率折线图. 随着样本容量的增大，所划分的区间数也可以随之______，而每个区间的长度则会相应随之______，相应的频率折线图就会越来越接近于一条光滑曲线. 中点 顶端中点 中点 增多 减小 (1)频率分布表能比较准确地反映样本的频率分布，而频率分布直方图则能清楚直观地显示各组频率分布情况及各组频率之间的差别. (2)当考虑数据落在若干个组内的频率之和时，可以用相应矩形面积之和来表示. (3)对于同一组数据，不同的组距决定不同的组数，得到的频率分布直方图也会不同. 注 意 点 <<< 26 某高校对该校自主招生的数据做了新的研究，从考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示： 例 2 组号 分组 频数 频率 第1组 [160，165) 5 0.05 第2组 [165，170) ① 0.35 第3组 [170，175) 30 ② 第4组 [175，180) 20 0.20 第5组 [180，185] 10 0.10 合计   100 1.00 27 请求出频率分布表中①②处应填写的数据，并画出频率分布直方图与频率折线图. 28 由题意可知，第2组的频数为0.35×100＝35， 第3组的频率为＝0.30， 故①处填35，②处填0.30. 频率分布直方图如图所示. 频率折线图如图所示. 解 29 绘制频率分布直方图的注意点 (1)各组频率的和等于1，因此，各小矩形的面积的和也等于1. (2)同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴单位不同，得到的频率分布直方图的形状也会不同. (3)同一个总体，由于抽样的随机性，如果随机抽取另外一个相同容量的样本，所形成的样本频率分布直方图一般会与前一个样本频率分布直方图有所不同，但它们都可以近似地看作总体的分布. 反 思 感 悟 30 某中学从高一年级随机抽取50名学生进行消防知识测试，其成绩如下(单位：分)： 48　64　52　86　71　48　64　41　86　79 71　68　82　84　68　64　62　68　81　57 90　52　74　73　56　78　47　66　55　64 56　88　69　40　73　97　68　56　67　59 70　52　79　44　55　69　62　58　32　58 根据上面的数据，回答下列问题： 跟踪训练 2 (1)这次测试成绩的最高分和最低分分别是多少？ 这次测试成绩的最低分是32分，最高分是97分. 解 31 (2)将区间[30，100]平均分成7个小区间，试列出这50名学生消防知识测试成绩的频率分布表，进而画出频率分布直方图与频率折线图. 32 根据题意，列出样本的频率分布表如表： 频率分布直方图如图所示. 解 频率折线图如图所示. 分组 频数 频率 [30，40) 1 0.02 [40，50) 6 0.12 [50，60) 12 0.24 [60，70) 14 0.28 [70，80) 9 0.18 [80，90) 6 0.12 [90，100] 2 0.04 合计 50 1.00 33 三 频率分布直方图的应用 如图所示是总体的一个样本频率分布直方图，且在[15，18)内的频数为8. (1)求样本在[15，18)内的频率； 例 3 由样本频率分布直方图可知组距为3. 样本在[15，18)内的频率为×3＝. 解 35 (2)求样本容量； 设样本容量为N，则，N＝50， 故样本容量为50. 解 36 (3)若在[12，15)内的小矩形面积为0.06，求在[18，33]内的频数. 在[12，15)内的小矩形面积为0.06，故样本在[12，15)内的频率为0.06，故样本在[15，33]内的频数为50×(1－0.06)＝47.又因为在[15，18)内的频数为8，故在[18，33]内的频数为47－8＝39. 解 37 频率分布直方图中的性质 (1)因为小矩形的面积＝组距×＝频率，所以各小矩形 的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小. (2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1. (3)＝样本容量. (4)在频率分布直方图中，各矩形的面积之比等于频率之比，各矩形的高度之比也等于频率之比. 反 思 感 悟 38 某校100名学生期中考试语文成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]. (1)求图中a的值； 跟踪训练 3 依题意得，10(2a＋0.02＋0.03＋0.04)＝1，解得a＝0.005. 解 39 (2)若这100名学生的语文成绩在某些分数段的人数x与数学成绩在相应分数段的人数y之比如表所示，求数学成绩在[50，90)之外的人数. 分数段 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) x∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5 40 数学成绩在[50，60)之间的人数为100×0.05＝5， 数学成绩在[60，70)之间的人数为100×0.4×＝20， 数学成绩在[70，80)之间的人数为100×0.3×＝40， 数学成绩在[80，90)之间的人数为100×0.2×＝25， 所以数学成绩在[50，90)之外的人数为100－5－20－40－25＝10. 解 41 1.知识清单： (1)频数与频率的关系. (2)列频率分布表、画频率分布直方图与频率折线图. (3)频率分布直方图的应用. 2.方法归纳：数据分析. 3.常见误区：误把频率分布直方图中的纵坐标当成频率，导致计算错误. 课堂小结 课时对点练 四 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B D A A A A 题号 7 8 11 12 13 14 答案 60 15 B D ABD BCD 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)该数据中最大值为34，最小值为1，两者之差为33，故取组距为5，分为7组. 时间分组 频数 频率 [0，5) 6 0.075 0.015 [5，10) 9 0.112 5 0.022 5 [10，15) 22 0.275 0.055 [15，20) 22 0.275 0.055 [20，25) 10 0.125 0.025 [25，30) 8 0.100 0.020 [30，35] 3 0.037 5 0.007 5 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 频率分布直方图如图所示： 频率折线图如图所示： (2)候车时间不低于15分钟的频率为0.275＋0.125＋0.100＋0.037 5＝0.537 5. 建议：公交公司可以适当增加公交车的数量. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)因为50×0.16＝8，＝0.2，50－(4＋8＋10＋16)＝12， ＝0.24，且所有频率和为1， 据此可得频率分布表如表所示. 分组 频数 频率 50.5~60.5 4 0.08 60.5~70.5 8 0.16 70.5~80.5 10 0.2 80.5~90.5 16 0.32 90.5~100.5 12 0.24 合计 50 1 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)根据(1)中数据可得频率分布直方图，如图所示. (3)成绩在75.5~80.5分的学生占成绩在70.5~80.5 分的学生的，因为成绩在70.5~80.5分的学生的 频率为0.2，所以成绩在75.5~80.5分的学生的频 率为0.1.同理，成绩在80.5~85.5分的学生的频率为0.16，所以成绩在75.5~85.5分的学生的频率为0.1＋0.16＝0.26，所以900名学生中，获得二等奖的学生人数为900×0.26＝234. 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)数据的最大值为103，最小值为45，极差为58，取组距为10，则分≈6(组).频率分布表如表： 分组 频数 频率 频率/组距 [41，51) 2 [51，61) 1 [61，71) 4 [71，81) 6 [81，91) 10 [91，101) 5 [101，111] 2 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)频率分布直方图如图所示. 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)答对下述两条中的一条即可： ①该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的；有26天处于良的水平，占当月天数的；处于优或良的天数为28，占当月天数的. 说明该市空气质量基本良好. ②轻微污染有2天，占当月天数的；污染指数在80以上的接近轻微污染的天数为15，加上处于轻微污染的天数为2，占当月天数的，超过50%. 说明该市空气质量有待进一步改善. 基础巩固 1.已知样本7，10，14，8，7，12，11，10，8，10，13，10，8，11，8，9，12，9，13，20，那么这组数据落在区间[8.5，11.5)内的频率为 A.0.5 B.0.4 C.0.3 D.0.2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 样本数据中落在[8.5，11.5)内的数据有10，11，10，10，10，11，9，9， 共8个，故频率为＝0.4. 解析 2.某商业网站举行了线上商品促销活动，对某日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示.已知9时至10时 的销售额为3万元，则9时至14时的销售总额为 A.10万元 B.12万元 C.15万元 D.30万元 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9时至10时的销售额的频率为0.1， 因此9时至14时的销售总额为＝30(万元). 解析 3.某工厂对一批元件进行抽样检测.经检测，抽出的元件的长度(单位：mm)全部介于93至105之间.将抽出的元件的长度以2为组距分成6组：[93，95)，[95，97)，[97，99)，[99，101)，[101，103)，[103，105]，得到如图所示的频率分布直方图.若长度在[97，103)内的元件为合格品，根据频率分布直方图，估计这批元件的合格率是 A.80% B.90% C.20% D.85.5% √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由频率分布直方图可知元件长度在[97，103)内的频率为 1－(0.027 5＋0.027 5＋0.045 0)×2＝0.8， 故这批元件的合格率为80%. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.下列说法中正确的是 A.用样本的频率分布估计总体的频率分布时，样本容量越大，所分的组 数越多，估计越精确 B.一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别是40， 0.125，则n的值为240 C.频率分布直方图中，小矩形的高等于该组的频率 D.将频率分布直方图中小矩形上面一边的一个端点顺次连接起来，就可 以得到频率折线图 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A中，大样本往往更接近于总体，故A正确； B中，n＝40÷0.125＝320，故B错误； C中，频率分布直方图中，小矩形的高等于该组的频率/组距，故C错误； D中，应在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左、右两边各加一个区间，从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形顶端的中点，直至右边所加区间的中点，就可以得到频率折线图，故D错误. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据如下所示.以组距为5将数据分组成[0，5)，[5，10)，…，[30，35)，[35，40]时，所作的频率分布直方图是 3　7　17　16　14　14　13　10　27　25　25 24　23　22　20　38　35　34　33　30 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由统计的数据知落在区间[0，5)与[5，10)上的频数相等， 故频率、也分别相等.比较四个选项知A正确. 解析 6.某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106].已知样本中产品净重小于100 g的个数是36，则样本中净重大于或等于98 g并且小于104 g的产品的个数是 A.90 B.75 C.60 D.45 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由频率分布直方图可知，产品净重小于100 g的频率是0.05×2＋0.1×2 ＝0.3，所以样本中产品的个数为＝120.产品净重大于或等于104 g的 频率为0.075×2＝0.15. 所以产品净重大于或等于98 g而小于104 g的频率为1－0.15－0.1＝0.75.则净重在此范围内的产品个数为120×0.75＝90. 解析 7.将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组的频率之比为1∶4∶4∶6∶3∶2，且前三组数据的频数之和等于27，则n＝　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 60 设第一组至第六组数据的频率分别为x，4x，4x，6x，3x，2x， 则x＋4x＋4x＋6x＋3x＋2x＝1，解得x＝， 所以前三组数据的频率分别是，，， 故前三组数据的频数之和为＝27， 解得n＝60. 解析 8.某地政府调查了工薪阶层1 000人的月工资收入，并把调查结果画成如图所示的频率分布直方图，为了了解工薪阶层对月工资收入的满意程度，要用分层随机抽样的方法从调查的1 000人中抽出100人做电话询访，则[40，45)(百元)月工资收入段应抽出　　　　人.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 月工资收入在[40，45)(百元)段的频率为 1－(0.01＋0.02＋0.04＋0.05×2)×5＝0.15， 则[40，45)(百元)月工资收入段的总人数为0.15×1 000＝150，现用分层随机抽样的方法从调查的1 000人中抽出100人做电话询访， 则[40，45)(百元)月工资收入段应抽出150×＝15(人). 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客的需求.为此，公交公司在某站台随机调查了80名乘客，他们的候车时间如下所示(单位：分)： 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 14 20 12 10 24 18 17 1 22 13 19 28 5 34 7 25 18 28 1 15 31 12 11 10 16 12 9 10 13 19 10 12 12 16 22 17 23 16 15 16 11 9 3 13 2 18 22 19 9 23 28 15 21 28 12 11 14 15 3 11 6 2 18 25 5 12 15 20 16 12 28 20 12 28 15 8 32 18 9         (1)将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率折线图； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 该数据中最大值为34，最小值为1，两者之差为33，故取组距为5，分为7组. 解 时间分组 频数 频率 [0，5) 6 0.075 0.015 [5，10) 9 0.112 5 0.022 5 [10，15) 22 0.275 0.055 [15，20) 22 0.275 0.055 [20，25) 10 0.125 0.025 [25，30) 8 0.100 0.020 [30，35] 3 0.037 5 0.007 5 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 频率分布直方图如图所示： 解 频率折线图如图所示： (2)候车时间15分钟及以上的频率是多少？你能为公交公司提出什么建议？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 候车时间不低于15分钟的频率为 0.275＋0.125＋0.100＋0.037 5＝0.537 5. 建议：公交公司可以适当增加公交车的数量. 解 10.有900名学生参加“环保知识竞赛”，为考查竞赛成绩情况，从中抽取部分学生的成绩(得分均整数，满分为100分)进行统计，请你根据尚未完成的频率分布表和频率分布直方图(如图)回答下列问题. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 分组 频数 频率 50.5~60.5 4 0.08 60.5~70.5   0.16 70.5~80.5 10   80.5~90.5 16 0.32 90.5~100.5     合计 50   (1)将频率分布表补充完整； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 分组 频数 频率 50.5~60.5 4 0.08 60.5~70.5   0.16 70.5~80.5 10   80.5~90.5 16 0.32 90.5~100.5     合计 50   答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为50×0.16＝8，＝0.2， 50－(4＋8＋10＋16)＝12， ＝0.24，且所有频率和为1， 据此可得频率分布表如表所示. 解 分组 频数 频率 50.5~60.5 4 0.08 60.5~70.5 8 0.16 70.5~80.5 10 0.2 80.5~90.5 16 0.32 90.5~100.5 12 0.24 合计 50 1 (2)补全频率分布直方图； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 根据(1)中数据可得频率分布直方图，如图所示. 解 (3)若成绩在75.5~85.5分的学生可以获得二等奖，估计900名学生中获得二等奖的学生人数. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 成绩在75.5~80.5分的学生占成绩在70.5~80.5分的学生的，因为成绩在 70.5~80.5分的学生的频率为0.2，所以成绩在75.5~80.5分的学生的频率为0.1.同理，成绩在80.5~85.5分的学生的频率为0.16，所以成绩在75.5~85.5分的学生的频率为0.1＋0.16＝0.26，所以900名学生中，获得二等奖的学生人数为900×0.26＝234. 解 11.某养猪场定购了一批仔猪，从中随机抽查了100头仔猪的体重(单位：kg)，经数据处理得到如图①所示的频率分布直方图，其中体重最轻的14头仔猪的体重的频数分布表如图②，为了将这批仔猪分栏喂养，需计算频率分布直方图中的一些数据，其中a＋b的值为 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 图② A.0.144 B.0.152 C.0.76 D.0.076 体重 11 12 13 13.5 14 14.25 15.2 频数 1 1 2 3 3 2 2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意得15 kg以下的仔猪12头，则c＋d＝×＝0.024，且[2(c＋d)＋a＋b]×5＝1 ，所以2×0.024＋a＋b＝0.2，所以a＋b＝0.152. 解析 12.某校从全校随机抽取n名学生参加奥运知识竞赛，并根据这n名学生的竞赛成绩(总分为100分)绘制频率分布直方图(如图所示)，其中分数在[50，60)内的学生有3名，则下列说法错误的是 A.a＝0.006 B.n＝50 C.样本中分数在[40，50)内的学生有2名 D.用分层随机抽样的方法从分数在[50，60)，[90，100]内的学生中抽取 4名，则分数在[50，60)内的学生抽取3名 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于A，由(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，解得a＝0.006，故A正确； 对于B，n＝＝50，故B正确； 对于C，样本中分数在[40，50)内的学生有10×0.004×50＝2(名)，故C正确； 对于D，分数在[50，60)内的学生抽取×4＝1(名)，故D错误. 解析 13.(多选)如图是某高校土木工程系大三年级55名学生期末考试专业成绩的频率折线图，其中组距为10，且本次考试中最低分为50分，最高分为100分.根据图中所提供的信息，判断下列说法错误的是 A.成绩是75分的有20人 B.成绩是100分的人数比成绩是50分的人 数多 C.成绩落在70~90分的有35人 D.成绩落在75~85分的有35人 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A错误，成绩落在70~80分的人数为10××55＝20，但不能说成绩是 75分的有20人； B错误，由频率折线图看不出成绩是100分的人数比成绩是50分的人数多； C正确，成绩落在70~90分的有×55＝35(人)； D错误，无法判断成绩落在75~85分的人数. 解析 14.(多选)某大型超市因为开车前往购物的人员较多，因此超市在制定停车收费方案时，需要考虑顾客停车时间的长短.现随机采集了200个停车时间的数据(单位：min)，其频率分布直方图如图所示.超市决定对停车时间在40 min以内的顾客免收停车费，则下列说法正确的是 A.免收停车费的顾客约占总数的20% B.免收停车费的顾客约占总数的25% C.停车时间不少于60 min的顾客约占总数的50% D.若从免收停车费与不免收停车费的顾客中用分层随机 抽样的方法抽取8人调查超市购物满意度，则应从免收停车费的顾客中抽取2人 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 由题意得，(0.002 5＋0.01)×20＝0.25，故免收停车费的顾客约占总数的25%，故选项A错误，选项B正确； (0.015＋0.01)×20＝0.5，故停车时间不少于60 min的顾客约占总数的50%，故选项C正确； 免收停车费与不免收停车费的顾客人数比为1∶3，则应从免收停车费 的顾客中抽取8×＝2(人)，故选项D正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.某市于4月1日~4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为烟尘、总悬浮颗粒物等)： 61，76，70，56，81，91，92，91，75，81，88，67，101，103，95，91，77，86，81，83，82，82，64，79，86，85，75，71，49，45. (1)列出频率分布表； 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数据的最大值为103，最小值为45，极差为58，取组距为10， 则分≈6(组).频率分布表如右： 解 分组 频数 频率 频率/组距 [41，51) 2 [51，61) 1 [61，71) 4 [71，81) 6 [81，91) 10 [91，101) 5 [101，111] 2 (2)作出频率分布直方图； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 频率分布直方图如图所示. 解 (3)根据国家标准，污染指数在0~50之间时，空气质量为优；在51~100之间时，为良(污染指数在80以上时为接近轻微污染)；在101~150之间时，为轻微污染；在151~200之间时，为轻度污染.请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答对下述两条中的一条即可： ①该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的；有26天处于良的水平，占当月天数的；处于优或良的天数为28，占当月天数的. 说明该市空气质量基本良好. ②轻微污染有2天，占当月天数的；污染指数在80以上的接近轻微污染的天数为15，加上处于轻微污染的天数为2，占当月天数的，超过50%. 说明该市空气质量有待进一步改善. 解 第六章　统计 <<< $