6.4 用样本估计总体数字特征（教学课件）数学北师大版必修第一册

6.4 用样本估计总体数字特征 第六章 统计 北师大版2019必修第一册·高一 2 抽样的基本方法 前情回顾 统计是一门用科学的方法收集、整理、分析数据，提取有用的信息，作出推断和决策的学科。 1.3 总体与样本 2.1 简单随机抽样 1 获取数据的途径 整理数据 分析数据 作出推断 收集数据 1.1 直接获取与间接获取 1.2 普查与抽查 2.2 分层随机抽样 3 用样本估计总体分布 3.1 从频数到频率 3.2 频率分布直方图 4 用样本估计总体的数字特征 4.1 样本的数字特征 4.2 分层随机抽样的均值与方差 4.3 百分位数 统计的基本过程： 学 习 目 标 1 2 3 能够求出样本的平均数、中位数、众数、百分位数，并对样本进行简单分析.(重点、难点) 能求出样本的极差、标准差与方差.(难点) 通过应用相关知识解决实际统计问题,培养数据分析的核心素养． 读教材 阅读课本P168-P177，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“用样本估计总体的数字特征”吧！ 1.样本的数字特征有哪些？怎样通过这些数字特征分析样本数据呢？ 2.分层抽样的均值与方差应该如何计算？ 3.什么是百分位数？离散数据的百分位数如何计算？ 新课引入 小范去某公司应聘. 公司经理说 ，我们这里报酬不错 ，月平均工资是5000元. 技术员C说 ，我的工资是 3500元 ，在公司算中等收入。 技术员D说 ，我们好几个 人的工资都是3200元 ，小范感觉待遇不错 ，第二天就去 上班了. 一周后 ，小范发现了问题 ，去找经理 ，“经理 ， 你说的不对 ，我已问过其他技术员 ，没有一个技术员的工 资超过5000元. ”经理说 ：“没错 ，平均工资确实是每 月5000元 ，不信可看看公司的工资报表。 ”小范糊涂了 这是怎么回事呢？ 新课引入 员工 总工程 师 工程 师 技术 员A 技术 员B 技术 员C 技术 员D 技术 员E 技术 员F 见习 技术 员G 工资 11000 9000 4800 4700 3500 3200 3200 3200 2400 (1)请观察表中的数据, 计算该公司员工的月平均工资是多少? 经理是否骗了小范? (2)技术员C与技术员D是否忽悠了小范？他们又是用的数据中的那些量呢？ 下表是该公司月工资报表: 学习过程 01 03 02 目录 1 样本的数字特征 3 百分位数 2 分层抽样的均值与方差 04 4 题型训练 新知探究 反映数据集中趋势参数——众数、平均数、中位数 概念：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数 特征：众数的大小只与这组数据中的数据有关. 众数作为一组数据的代表时，可靠性较差，众数很多时候不能反映一组数据的中心值. 新知探究 概念：平均数是指一组数据的平均值. 一般地，个数据的平均数记为，其计算公式为 . 反映数据集中趋势参数——众数、平均数、中位数 特征：平均数代表性较好，是反映数据集中趋势最常用的统计量. 平均数反映一组数据的平均水平，任何一个样本数据的改变一般都会引起平均数的改变.但在某些情况下，平均数也易受到一些极端值的影响而偏离一般情况. 新知探究 反映数据集中趋势参数——众数、平均数、中位数 概念：将一组数据按从小到大的顺序排列后，“中间”的那个数据称为这组数据的中位数. 如果数据的个数是偶数，即排序后为,那么中位数就取中间两个数据的平均数,即为中位数. 如果数据的个数是奇数,即排序后为,位于最中间位置的数就是中位数 特征：在一组数据中，有一半的数据不大于中位数，而另一半的数据则不小于中位数，中位数反映了一组数据的中心的情况.中位数不受极端值的影响. 新知探究 反映数据离散程度参数——极差、方差、标准差 概念：一组数据中最大值和最小值的差称为极差，即极差最大值最小值 特征：极差反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感. 将极差作为数据的离散程度的估计量，可靠性较差. 新知探究 反映数据离散程度参数——极差、方差、标准差 概念：在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，称为这组数据的方差，通常用来表示，即 特征：方差刻画的是数据偏离平均数的离散程度，方差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；反之，方差越大，表示各个样本数据在样本平均数的两边越分散. 新知探究 反映数据离散程度参数——极差、方差、标准差 概念：方差的算术平方根称为这组数据的标准差，通常用s表示，即 特征：标准差也反映了数据的离散程度，描述了以样本数据的单位表示的波动幅度. 与标准差相比，方差有两个弊端： 一是与原始数据的单位不同， 二是平方后可能夸大了偏差的程度.这也是引入标准差的必要性. 实例分析 例1.某赛季篮球运动员甲每场比赛的得分(单位:分)情况如下表所示. 平均数32.23分； 求在该赛季中,这名运动员得分情况的平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差. 中位数：35分； 众数：31分，36分； 极差：50 -12=38分； 小 大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 方差： 标准差：s≈10.53分 实例分析 例2.在 1996 年美国亚特兰大奥运会上，中国香港帆板运动员李丽珊，以惊人的耐力和斗志，勇夺金牌，实现了中国香港体育史上奥运金牌零的突破.这枚金牌能在比赛过程中预测出来吗？ 在帆板比赛中，成绩以低分为优胜，共赛 11 场，并以最佳的 9 场成绩计算最终的名次.此次比赛前 7 场比赛结束后，排名前 5 位的选手积分如下表所示： 根据前 7 场的比赛结果，能否预测谁将获得最后的胜利？ 分析：由上表，可以分别计算出5 位运动员前7场比赛积分的平均数和标准差，作为判断各运动员比赛的成绩及稳定情况的依据. 实例分析 最小 从上表可以看出:李丽珊的平均得分及得分标准差都比其他运动员的小,也就是说,在前7场的比赛过程中,她的成绩最为优异,而且表现也最为稳定 .可以把前7场的成绩作为总体的一组样本,并由此估计每位运动员最后比赛 的成绩,因此预测李丽珊获得最后的冠军. 实例分析 例3.有甲、乙两名射击运动员，10次射击成绩(单位：环)如下表. 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 7 7 8 9 8 9 10 9 9 9 乙 8 9 7 8 10 7 10 10 7 10 现要从两名运动员中选拔一人参加比赛，根据两名运动员的运动成绩，如何进行选拔？ 分析：要从两名运动员中选拔一人参加比赛，首先应该根据不同的要求和状况确定选拔的标准，然后再根据标准和运动员的成绩进行决策. 当标准不同时，人们的决策也会随之发生改变. 实例分析 在情境1中，教练员可能会制订这样的标准， 标准1：以两名运动员的最后一次射击成绩作为评价标准，选择成绩较高者参赛. 据此，显然应选择乙参加比赛. 情境1 如果10 次射击成绩中，前9次都是个人独自进行训练的成绩，最后一次是教练在场的射击成绩，那么作为教练员，你最有可能根据什么成绩作为选拔的标准? 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 7 7 8 9 8 9 10 9 9 9 乙 8 9 7 8 10 7 10 10 7 10 实例分析 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 7 7 8 9 8 9 10 9 9 9 乙 8 9 7 8 10 7 10 10 7 10 情境2 如果10 次射击成绩是大型比赛选拔赛中的射击成绩，作为教练员，你可能怎样制订选拔标准? 在情境2中教练员可能会制订这样的标准， 即标准2：以两名运动员 10次射击成绩的众数作为评价标准，选择众数较高者参赛. 甲射击成绩的众数是9 环，乙射击成绩的众数是10环. 据此，选择乙参加比赛. 标准 3：以两名运动员 10 次射击成绩的中位数作为评价标准，选择中位数较高者参赛. 甲射击成绩的中位数是9 环，射击成绩的中位数是 8.5环. 据此，选择甲参加比赛. 标准4：以两名运动员 10 次射击成绩的平均数作为评价标准，选择平均数较高者参赛. 甲射击成绩的平均数是 8.5环，射击成绩的平均数是8. 据此，选择乙参加比赛. 实例分析 标准5：可以用两名运动员10次射击成绩的标准差作为评价标准，标准差越小成绩越稳定. 甲射击成绩的标准差0.92环，乙射击成绩的标准差1.28环. 据此，选择甲参加比赛. 情境3 教练员发现，按照上面的标准看，甲乙两名运动员相差不大，并且该运动队的成绩已经超过其他同水平运动队，只要维持目前状态就能取得冠军. 因此，教练员需要选择一名运动水平相对稳定的队员参赛. 此时，通常会再提出其他的要求(即使运动员的成绩相差很大，也可以提出新的要求). 例如，分别按照数据的极差、标准差的大小给出标准. 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 7 7 8 9 8 9 10 9 9 9 乙 8 9 7 8 10 7 10 10 7 10 实例分析 例如，甲、乙两名运动员，后者发挥极不稳定，有时成绩很好，有冲击金牌的可能，但有时又会很差，可能拿不到名次；前者没有冲击金牌的能力，但他成绩极其稳定，如果让他参加比赛，保证能拿到一块铜牌. 在这种情况下，如果运动队要先保奖牌，那么甲去参赛应该是更好的选择；反之，如果运动队已经得到了不少银牌和铜牌，最想要的是拿到一块金牌，这时可能就应该让乙参加比赛. 从上述问题可以看出，根据问题的实际背景，利用数据的数字特征，可以帮助人们进行决策，从而真正发挥数据分析的作用. 值得注意的是，在这里，不同的标准没有对和错的问题，也不存在所谓唯一解的问题，而是根据需要来选择“好”的决策. 至于决策的好坏，是根据提出的标准而定的. 抽象概况 用样本的数字特征估计总体的数字特征时 如果抽样的方法比较合理,那么样本可以很好地反映总体的信息.虽然从样本数据得到的数字特征并不是总体真正的数字特征,只是总体数字特征是一个估计,但这种估计是合理的. 样本容量越大,样本中包含的总体信息就越多,估计的合理性越充分. 学习过程 01 03 02 目录 1 样本的数字特征 3 百分位数 2 分层抽样的均值与方差 04 4 题型训练 新知探究 在分层随机抽样问题中，如果知道样本中的每一个数据，就可以计算出样本的平均数和方差. 但是，如果不知道样本中的每一个数据，只知道分层随机抽样中各层的平均数和方差，以及各层所占的比例（权重） 思考：如何计算出分层抽样样本的平均数和方差呢？ 例如，某学校高一年级由甲板和乙班组成.如果知道甲班和乙班的数学平均成绩和方差，以及甲班和乙班的人数，而缺少每名同学的成绩，如何计算整个高一年级的平均成绩和方差？ 实例分析 例4.某公司的高收人员工月平均工资是 11 000元，中等收人员工月平均工资是 6500元，低收入员工月平均工资是 2 900元. 能否认为该公司员工的月平均工资收入是6 800(元)? 这样计算平均数的方法合理吗? 解：不合理. 在这个问题中，如果该公司有 1 000 名员工，其中50名属于高收人者，150名属于中等收入者，800 名属于低收入者，那么由于每一类员工所占比例不同，特别是高收入者很少，他们的月平均工资对该公司员工的月平均工资影响较小. 因此，上述计算方法显然不合理. 牛刀小试 例5.甲、乙两位同学相约晚上在某餐馆吃饭. 他们分别在A，B两个网站查看同一家餐馆的好评率. 甲在网站A查到好评率98%，而乙在网站B查到好评率是85%，综合考虑这两个网站的信息，应该如何得到这家餐馆的总好评率？ 解：好评率是由好评人数除以总评价人数得到的.98%的好评率意味着如果有 100 人评价，那么其中98 人给了好评. 设在网站 A 评价该馆的人数为，其中给出好的人数为 ；在网站 B评价该餐馆的人数为，其中给出好评的人数为. 由题目条件，98%85%. 新知探究 综合A，B两个网站的信息，这家餐馆的总好评率应为化简得 其中和分别是各自的权重，总好评率相应的好评率与其权重乘积的和. 所以除非再知道 A，B 两个网站评价人数的比例关系,否则并不能求出总好评率. 由以上分析可知，当且仅当时，总好评率等于91.5%. 例5.甲、乙两位同学相约晚上在某餐馆吃饭. 他们分别在A，B两个网站查看同一家餐馆的好评率. 甲在网站A查到好评率98%，而乙在网站B查到好评率是85%，综合考虑这两个网站的信息，应该如何得到这家餐馆的总好评率？ 抽象概况 一般地，将样本，···， 和样本，···， 合并成一个新样本，则这个新样本的平均数为： 于是，当已知上述两层构成的新样本中每层的平均数分别为和时，可得这个新样本的平均数为+. 记，，则这个新样本的平均数为，其中，称为权重 分层随机抽样的平均数推导 更一般地，设样本中不同层的平均数和相应权重分别为和，则这个样本的平均数为.为了简化表示，引进求和符号，记作 抽象概况 分层随机抽样的平均数 一般地，设样本中不同层的平均数和相应权重分别为,和， 则这个样本的平均数为， 为了简化表示，引进求和符号， 记作． w1,w2 ∈[0,1] 实例分析 例6.甲乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人. 甲班的平均成绩为80.5分，方差为 500；乙班的平均成绩为 85分，方差为360. 那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩和方差分别是多少? 解：设甲班 50名学生的成绩分别是，…， ，那么甲班的平均成绩、权重和方差分别为 设乙班 40名学生的成绩分别是，…， ，那么乙班的平均成绩、权重和方差分别为 实例分析 例6.甲乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人. 甲班的平均成绩为80.5分，方差为 500；乙班的平均成绩为 85分，方差为360. 那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩和方差分别是多少? 如果不知道，…， 和，…， ，只知道甲、乙两班的平均成绩、方差及权重，那么根据前面的分析，全部90名学生的平均成绩应为 而全部90名学生的方差可以用式子 进行计算. 实例分析 例6.甲乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人. 甲班的平均成绩为80.5分，方差为 500；乙班的平均成绩为 85分，方差为360. 那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩和方差分别是多少? 因此， 因此，甲、乙两班平均成绩为82.5分，方差为442.78 思考交流 思考：根据方差的意义，全部90名学生的方差应为 它与运用式子得出的结果是否一致呢？ 实际上， 因为=+ 所以 同理 思考交流 于是 = = 思考：根据方差的意义，全部90名学生的方差应为 它与运用式子得出的结果是否一致呢？ 抽象概况 分层抽样的方差 设样本中不同层的平均数分别为 ，方差分别为，相应的权重分别为， 则这个样本的方差为 （其中为这个样本的平均数） 每一层的权重 每一层的方差 每一层的平均数 学习过程 01 03 02 目录 1 样本的数字特征 3 百分位数 2 分层抽样的均值与方差 04 4 题型训练 新知探究 中位数： 总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是50％. 类比 a 小于等于a的 可能性为80% 80％分位数： 总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是80％. m 小于等于m的 可能性为50% （50％分位数） 请同学们回顾一下什么是中位数？ 一组数据从小到大排列后，“中间”的那个数据为这组数据的中位数，它使得数据被分成的两部分的数据量一样．所以任取一个数据，它小于或等于中位数的概率是50%． 抽象概况 百分位数 定义：如果将一组数据从小到大排序，并计算相应的累计百分位，则某一百分位所对应的数据的值就称为这一百分位的百分位数. 总体的分位数有这样的特点：总体数据中的任意一个数小于或等于它的 可能性是. 25%，50%，75%分位数是三个常用的百分位数.把总体数据按照从小到大排列后，这三个百分位数把总体数据分成了4个部分，在这4个部分取值的可能性都是.因此这三个百分位数也称为总体的四分位数. 其他常用的百分位数有1%，5%，10%，90%，95%，99%. 概念辨析 不是．是指能够考取本科院校的同学占同学总数的百分比． 有70%的同学数学测试成绩在小于或等于85分． 问题1.班级人数为50的班主任老师说“90%的同学能够考取本科院校”，这里的“90%”是百分位数吗？ 问题2.“这次数学测试成绩的第70百分位数是85分”这句话是什么意思？ 问题3.第p百分位数有什么特点？ 总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p. 抽象概括 计算一组n个数据的第p百分位数的步骤： 第1步，排序：按从小到大排列原始数据. 第2步，计算：计算. 第3步，取值：若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据； 若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i＋1）项数据的平均数. 实例分析 例7.下表记录了某地区一年之内的月降水量.求这些数据的25%分位数、50%分位数、75%分位数分别是多少？ 月 份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月降水量/mm 58 48 53 46 56 56 51 71 56 53 64 66 解：把这组数据由小到大排列，得： 46 48 51 53 53 56 56 56 58 64 66 71 25%分位数 50%分位数 75%分位数 12×25%=3， 12×50%=6， 12×75%=9， 实例分析 例8.1895 年，在英国伦敦有 106 块男性头盖骨被挖掘出. 经考证，这些头盖骨的主人死于 1665 年一1666 年的大瘟疫，人类学家分别测量了这些头盖骨的宽度，数据如下(单位 ： mm).分别求出5%，25%，50%，75%和95%分位数. 实例分析 解:因为该样本共有106个数据，所以106×5%＝5.3，106×25%＝26.5，106×50%＝53，106×75%＝79.5，106×95%=100.7. 将所有数据由小到大排列后，第6个数据是133，从而得到5%分位数为133mm. 同理，25%，50%，75%和95%分位数分别为139mm，141mm，145mm和149mm. 121、129、131、132、132、133、134、134、135、136、136、136、136、137、137、137、138、138、138、138、138、138、138、139、139、139、139、139、139、139、140、140、140、140、140、140、140、140、140、140、140、140、141、141、141、141、141、141、141、141、141、141、141、141、142、142、142、142、142、142、142、143、143、143、143、143、143、143、143、143、143、144、144、144、144、144、145、145、145、145、145、145、145、146、146、146、146、146、146、147、148、148、148、148、148、148、148、148、149、149、149、150、152、153、153、158 学习过程 01 03 02 目录 1 数据的直接获取与间接获取 3 总体和样本 2 普查和抽查 4 题型训练 04 题型训练 题型一 众数、平均数、中位数 练习1：某学习小组在一次数学测验中，100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，则该小组成绩的平均分、众数、中位数分别是(　　) A．85、85、85　　　　　　　　B．87、85、86 C．87、85、85 D．87、85、90 C 题型训练 题型一 众数、平均数、中位数 练习2：高一(3)班有男同学27名，女同学21名，在一次语文测验中，男同学的平均分是82分，中位数是75分；女同学的平均分是80分，中位数是80分. (1)求这次测验全班的平均分(精确到0.01分)； (2)估计全班成绩不超过80分的同学至少有多少人； (3)分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因. 解：(1)利用平均数计算公式，得×(82×27+80×21)≈81.13， 即这次测验全班的平均分为81.13分. (2)∵男同学成绩的中位数是75分，∴至少有14人得分不超过75分. 又∵女同学成绩的中位数是80分，∴至少有11人得分不超过80分， ∴估计全班至少有25人得分不超过80分. (3)男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学的成绩中两极分化现象严重，分数高的和分数低的相差较大. 题型训练 题型二 方差与标准差 练习3：某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s2＝________. 3.2 题型训练 题型三 数据的集中趋势 练习4：在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表： 已经算得两个组的平均分都是80分.请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由. 解：(1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些. (2)[2×(50-80)2+5×(60-80)2+10×(70-80)2+13×(80-80)2+14×(90-80)2 +6×(100-80)2]=172， [4×(50-80)2+4×(60-80)2+16×(70-80)2+2×(80-80)2+12×(90-80)2 +12×(100-80)2]=256. ∵，∴从方差角度看甲组成绩比乙组成绩稳定，故甲组好些. 分数 50 60 70 80 90 100 人数 甲组 2 5 10 13 14 6 乙组 4 4 16 2 12 12 题型训练 题型三 数据的集中趋势 练习4：在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表： 已经算得两个组的平均分都是80分.请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由. 分数 50 60 70 80 90 100 人数 甲组 2 5 10 13 14 6 乙组 4 4 16 2 12 12 (3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分.其中甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人.从这一角度看，甲组的成绩较好. (4)从成绩统计表看，甲组成绩大于或等于90分的有20人，乙组成绩大于或等于90分的有24人， ∴乙组成绩集中在高分段的人数多.同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人.从这一角度看，乙组的成绩较好. 题型训练 题型四 分层抽样的均值与方差 练习5：某班为了了解学生每周购买零食的支出情况，利用分层随机抽样抽取了一个15人的样本统计如下： 学生数 平均支出 方差 男生 9 40 6 女生 6 35 4 求这15名学生每周购买零食的平均费用和方差. 解： 题型训练 题型四 分层抽样的均值与方差 练习6：甲、乙两支田径队体检结果如下：甲队的平均体重为60 kg，方差为200；乙队的平均体重为70 kg，方差为300.已知甲、乙两队的队员人数之比为1:4，求甲、乙两队所有队员的平均体重和方差. 解：由题意可知=60，甲队队员在所有队员中所占权重为，=70，乙队队员在所有队员中所占权重为， 则甲、乙两队所有队员的平均体重为×60+×70=68(kg)， 甲、乙两队所有队员体重的方差s2=×[200+(60-68)2]+×[300+(70-68)2]=296. 题型训练 题型五 百分位数 解：数据从小到大排列为27，28，29，30，31，33，34，35，36，36，38，38，共12个，且12×25%=3， 故最大速度的25%分位数是=29.5. 练习7：对某自行车赛手在相同条件下进行了12次测试，测得其最大速度(单位：m/s)的数据如下：27，38，30，36，35，31，33，29，38，34，28，36，则他的最大速度的25%分位数是(　　). A.29 B.29.5 C.30 D.36 C 课堂小结 用样本估计总体的数字特征 中位数： 标准差： 众数： 方差： 平均数： 数据从小到大排序后，中间的那个数据 方差的算术平方根 出现次数最多的那个数据 样本的数字特征 方差 均值 分层抽样的均值与方差 百分位数 感谢聆听! 解：由题意知，该学习小组共有10人， 因此众数和中位数都是85， 平均数为eq \f(100＋95＋2×90＋4×85＋80＋75,10)＝87. 解：5个数据的平均数eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(10＋6＋8＋5＋6,5)＝7， ∴s2＝eq \f(1,5)×[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝3.2. $