第5章 习题课 函数的零点与方程的解的应用（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦函数零点与方程解的应用，核心涵盖零点求参数及一元二次方程根的分布。通过复习函数零点存在定理导入，以三次函数零点实例为支架，衔接方程实根区间判断等内容，构建从基础到应用的知识脉络。 其亮点在于运用数形结合与分类讨论，如根的分布问题中构造函数分析图象，培养学生数学思维与抽象能力。通过表格总结根的分布条件，体现数学语言的简洁表达，助力学生提升推理能力，也为教师提供系统教学资源，提高课堂效率。

第五章　函数应用 <<< 习题课 函数的零点与方程的解的应用 1.进一步应用函数零点存在定理，已知零点(方程的解)的情况求参数范围. 2.掌握一元二次方程的根的分布情况. 学习目标 一、根据零点情况求参数 二、一元二次方程的根的分布问题 课时对点练 内容索引 根据零点情况求参数 一 若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有三个零点0，1，x0，且x0∈(1，2)，则a的取值范围是 A.(－2，0) B.(1，2) C.(2，3) D.(－3，－2) 例 1 √ 5 因为函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有三个零点0，1，x0， 所以 解得 所以f(x)＝x3＋ax2＋(－1－a)x＝x(x－1)(x＋a＋1)，所以x0＝－1－a，又x0∈(1，2)， 所以1<－1－a<2，解得－3<a<－2. 解析 6 已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)的常用方法 (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围. (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决. (3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，利用数形结合的方法求解. 反 思 感 悟 7 若方程xlg(x＋2)＝1的实数根在区间(k，k＋1)(k∈Z)上，则k等于 A.－2 B.1 C.－2或1 D.0 跟踪训练 1 √ 8 由题意知x≠0，则原方程即为lg(x＋2)＝，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝lg(x＋2)与y＝的图象，如图所示， 由图象可知，原方程有两个根， 一个在区间(－2，－1)上， 一个在区间(1，2)上， 所以k＝－2或k＝1. 解析 9 二 一元二次方程的根的分布问题 已知关于x的方程x2＋2(m－1)x＋2m＋6＝0. (1)若方程有两个实根，且一个比2大，一个比2小，求实数m的取值范围； 例 2 设f(x)＝x2＋2(m－1)x＋2m＋6， f(x)的大致图象如图所示， ∴f(2)<0，即4＋4(m－1)＋2m＋6<0， 得m<－1， ∴实数m的取值范围为(－∞，－1). 解 11 (2)若方程有两个实根α，β，且满足0<α<1<β<4，求实数m的取值范围； f(x)的大致图象如图所示，  ∴ 解得－<m<－， ∴实数m的取值范围为. 解 12 (3)若方程至少有一个正根，求实数m的取值范围. 13 方法一　方程至少有一个正根，则有三种可能的情况， ①有两个正根，此时如图1，可得 即∴－3<m≤－1. ②有一个正根，一个负根，此时如图2， 可得f(0)<0，得m<－3. 解 14 ③有一个正根，另一根为0，此时如图3， 可得 ∴m＝－3. 综上所述，当方程至少有一个正根时， 实数m的取值范围为(－∞，－1]. 方法二　不妨设方程的两根分别为x1，x2，且x1>0， 由题知Δ≥0，解得m≤－1或m≥5， 解 15 由根与系数的关系， 当x2≥0时， 得－3≤m<1， ∴－3≤m≤－1， 当x2<0时，x1x2<0，此时m<－3. 综上所述，m≤－1. 解 16 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根的分布问题(只考虑方程有两个不相等的实数根) 反 思 感 悟 根的分布(m，n，p为常数) 图象 满足条件 x1<x2<m   m<x1<x2   17 反 思 感 悟 根的分布(m，n，p为常数) 图象 满足条件 x1<m<x2   f(m)<0 m<x1<x2<n   18 反 思 感 悟 根的分布(m，n，p为常数) 图象 满足条件 m<x1<n<x2<p   x1，x2有且只有一个在(m，n)之间且f(m)·f(n)≠0   f(m)·f(n)<0 19 已知方程x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)＝0的两根分别在区间(0，1)，(1，3)内，则实数a的取值范围为　　　　.  跟踪训练 2 设函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)， 由题意得 即解得0<a<1. 解析 (0，1) 20 1.知识清单： (1)根据零点情况求参数. (2)一元二次方程根的分布. 2.方法归纳：判别式法、数形结合法. 3.常见误区：不能把函数、方程问题相互灵活转化. 课堂小结 课时对点练 三 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C A C D B BC 题号 7 8 9 10 答案 AC AD (－1，1) (e，e2) 11. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由f(x)＝0得a－1＝2|x|－x2， 因为函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点， 所以函数y＝a－1与y＝2|x|－x2的图象有四个交点， 画出函数y＝2|x|－x2的图象，如图所示， 观察图象可知0<a－1<1，即1<a<2， 所以实数a的取值范围是(1，2). 12. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)由题意得则－<a<0或0<a<. (2)由f(x)的两个零点一个在(0，1)内，另一个在(2，3)内，故a≠0， 当f(x)的图象开口向上时， 即解得<a<2； 12. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当f(x)的图象开口向下时， 所以解得a∈∅. 综上，a的取值范围为. 一、单项选择题 1.方程x＋log3x＝3的解为x0，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则n等于 A.0 B.1 C.2 D.3 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设f(x)＝x＋log3x－3， 则f(1)＝1＋log31－3＝－2<0， f(2)＝2＋log32－3＝log32－1<0， f(3)＝3＋log33－3＝1>0， 又易知f(x)为增函数， 所以方程x＋log3x＝3的解在(2，3)内，因此n＝2. 解析 2.若方程－x2＋ax＋4＝0的两实根中一个小于－1，另一个大于2，则a的取值范围是 A.(0，3) B.[0，3] C.(－3，0) D.(－∞，1)∪(3，＋∞) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为方程－x2＋ax＋4＝0有两根，一个大于2，另一个小于－1， 所以函数 f(x)＝－x2＋ax＋4有两个零点，一个大于2，另一个小于－1，由二次函数的图象可知， 即 解得0<a<3. 解析 3.若函数f(x)＝(其中a>0，a≠1)存在零点，则实数a的 取值范围是 A.∪(1，3) B.(1，3] C.(2，3) D.(2，3] √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由函数的解析式可知a>2， 因为指数函数y＝ax单调递增，在区间(2，a]上无零点， 所以函数y＝loga(x－2)在区间(a，＋∞)上存在零点， 由于y＝loga(x－2)单调递增， 故当x＝a时，有loga(a－2)<0＝loga1， 从而a－2<1⇒a<3， 所以实数a的取值范围是(2，3). 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d，若f(x)＝2 023－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是 A.a>c>b>d B.a>b>c>d C.c>d>a>b D.c>a>b>d 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 由题意设g(x)＝(x－a)(x－b)，则f(x)＝2 023－g(x)，且g(x)＝0的两个根是a，b.由题意知f(x)＝0的两个根是c，d，也就是g(x)＝2 023的两个根，画出y＝g(x)(开口向上)以及y＝2 023的大致图象(图略)，则y＝2 023与y＝g(x)的图象交点的横坐标就是c，d，y＝g(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是a，b，则c，d在a，b外，又a>b，c>d，则c>a>b>d. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.对实数a，b，定义运算“*”：a*b＝设函数f(x)＝(x2＋1) *(x＋2)，若函数y＝f(x)－c有两个零点，则实数c的取值范围是 A.(2，4)∪(5，＋∞) B.(1，2]∪(4，5] C.(－∞，1)∪(4，5] D.[1，2] √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题意知， 当(x2＋1)－(x＋2)≤1，即－1≤x≤2时，f(x)＝x2＋1； 当(x2＋1)－(x＋2)>1，即x>2或x<－1时，f(x)＝x＋2. ∴f(x)＝ ∵函数y＝f(x)－c有两个零点， ∴函数y＝f(x)的图象与函数y＝c的图象有两个交点.画出函数y＝f(x)的图象，如图所示. 由图可知，当c∈(1，2]∪(4，5]时，函数y＝f(x)－c有两个零点. 解析 二、多项选择题 6.已知函数f(x)＝a|x－1|的图象与直线y＝2x＋a有两个不同的交点，则正实数a的取值可以是 A.2 B.3 C.4 D.1 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)＝a|x－1|与y＝2x＋a的大致图象，如图所示， 两图象都经过(0，a)，易知只有当a>2时才能在x>1的区域上有第二个交点，故a的取值范围为a>2. 解析 7.已知二次函数y＝ax2－4ax－3a＋2(a<0)有两个零点x1，x2，且x1<x2，则 A.x1＋x2－4＝0 B.x1x2＋3>0 C.x2－x1>2 D.－<x1<x2< 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ √ y＝ax2－4ax－3a＋2有两个零点x1，x2，且x1<x2，令y＝0，因此Δ＝16a2－4a(－3a＋2)＝28a2－8a，由于a<0，所以Δ>0恒成立， 故 x1＋x2－4＝0，故A正确； x1x2＋3＝－3＋＋3＝<0，故B错误； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x2－x1＝>＝2，故C正确； 由于二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线x＝2，f ＝f ＝2－a>0，因此两个零点x1<－，x2>，故D错误. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c在(0，2)上有两个零点.下列说法正确的有 A.f(0)>0且f(2)>0 B.f(1)<0 C.f(0)f(2)>1 D.f(0)和f(2)中至少有一个小于1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 不妨设二次函数f(x)＝x2＋bx＋c在(0，2)上的两个零点为x1，x2， 且x1<x2， 所以故A正确； 当x1，x2∈(0，1)时，f(1)>0，故B错误； 若x1＝1，x2＝，则f(x)＝(x－1)＝x2－x＋， 此时f(0)＝，f(2)＝，则f(0)f(2)＝<1，故C错误； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 方法一　当f(1)＝1＋b＋c<0时，4＋2b＋2c<2，即f(0)＋f(2)<2， 所以f(0)和f(2)中至少有一个小于1； 当f(1)＝1＋b＋c≥0时，－∈(0，1)或(1，2)， 若－∈(0，1)，则f(0)＝c<<1， 若－∈(1，2)，则f(2)＝4＋2b＋c<4＋2b＋ <1，故D正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 方法二　若f(0)≥1，f(2)≥1，即c≥1，4＋2b＋c≥1， 由Δ＝b2－4c>0，得b2>4c≥4， 则b<－2或b>2，结合0<－<2， 得－4<b<－2， 则f(2)＝4＋2b＋c<4＋2b＋<1， 这与f(2)≥1矛盾，故f(0)和f(2)至少有一个小于1，故D正确. 解析 三、填空题 9.已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－k有三个零点，则k 的取值范围是　 　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (－1，1) 令g(x)＝f(x)－k＝0，可得f(x)＝k， 作出y＝f(x)的图象，如图， 由图可知，当y＝k与y＝f(x)的图象有三个不同的交点时，－1<k<1，所以k的取值范围是(－1，1). 解析 10.已知函数f(x)＝若正实数a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a·b·c的取值范围为　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (e，e2) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 画出f(x)的图象如图所示， ∵正实数a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)， 不妨设a<b<c， 则由图象可得0<a<1<b<e<c<e2， 且－ln a＝ln b，则可得a·b＝1， ∴a·b·c＝c∈(e，e2). 解析 四、解答题 11.函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，求实数a的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由f(x)＝0得a－1＝2|x|－x2， 因为函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，所以函数y＝a－1与y＝2|x|－x2的图象有四个交点， 画出函数y＝2|x|－x2的图象，如图所示， 观察图象可知0<a－1<1，即1<a<2， 所以实数a的取值范围是(1，2). 解 12.已知函数f(x)＝ax2－5x＋a. (1)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题意得 则－<a<0或0<a<. 解 (2)若函数f(x)的一个零点在(0，1)内，另一个零点在(2，3)内，求实数a的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由f(x)的两个零点一个在(0，1)内，另一个在(2，3)内，故a≠0， 当f(x)的图象开口向上时， 即解得<a<2； 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当f(x)的图象开口向下时， 所以解得a∈∅. 综上，a的取值范围为. 解 第五章　函数应用 <<< $