第5章 1.1 利用函数性质判定方程解的存在性（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦函数零点、方程解与函数图象交点的联系，通过零点存在定理及零点个数判断展开。课堂导入结合中国古代数学家对方程求解的贡献，如《九章算术》的一次到三次方程解法，秦九韶的任意次方程正解方法，构建历史与新知的学习支架。 其亮点是以问题驱动和数形结合为主线，通过三组方程与函数的表格对比培养数学眼光，利用零点存在定理的条件分析发展数学思维，例题与跟踪训练结合，小结明确知识清单和方法归纳。帮助学生提升抽象能力和推理意识，为教师提供系统的教学资源和分层练习设计。

1.1 第五章　函数应用 <<< 利用函数性质判定方程解的存在性 1.了解函数的零点、方程的解与函数图象与x轴交点的横坐标三者之间的联系. 2.会借助零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间. 3.能借助函数单调性及图象判断零点个数. 学习目标 同学们，我国古代数学家对部分方程的求解问题给出了比较系统的求解方法，比如：大约在公元50~100年间编成的《九章算术》，就给出了一次方程、二次方程和三次方程的具体求解方法.11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法.13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次方程正解的方法.今天，让我们站在这些数学巨人的肩上，来探究方程的解与函数零点的关系吧. 导 语 一、函数的零点与方程的解 二、零点存在定理 课时对点练 三、函数零点个数的问题 内容索引 函数的零点与方程的解 一 观察下列三组方程与函数： 问题1 方程 函数 x2－2x－3＝0 y＝x2－2x－3 x2－2x＋1＝0 y＝x2－2x＋1 x2－2x＋3＝0 y＝x2－2x＋3 利用函数图象探究方程的根和函数图象与x轴的交点之间的关系. 提示　方程x2－2x－3＝0的根为－1，3，函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于点(－1，0)，(3，0)； x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根，为1，函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴有唯一交点(1，0)； x2－2x＋3＝0没有实数根，函数y＝x2－2x＋3的图象与x轴无交点. 问题1中的方程的根是函数图象与x轴交点的坐标吗？ 问题2 提示　不是，根不是点，根是函数图象与x轴交点的横坐标. 函数的零点 (1)定义：使得f(x0)＝0的_____称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的_____. (2)函数的零点、函数的图象、方程的解的关系 数x0 零点 f(x)＝0 x轴 知识梳理 (1)零点不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标，是方程f(x)＝0的解. (2)求零点可转化为求对应方程的解. (3)不能用公式求解的方程，可以与函数联系起来，利用函数的图象和性质找零点，然后得到方程的解. 注 意 点 <<< 10 (1)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出. ①f(x)＝； 例 1 令＝0，解得x＝1， 所以函数f(x)存在零点，且零点为1. 解 11 ②f(x)＝ 当x≤0时，令2x2－x－1＝0， 解得x＝－(x＝1舍去)； 当x>0时，令3x－4＝0，解得x＝log34， 所以函数f(x)＝存在零点，且零点为－和log34. 解 12 ③f(x)＝log3(x＋1). 令log3(x＋1)＝0，解得x＝0， 所以函数f(x)存在零点，且零点为0. 解 13 (2)若3是函数f(x)＝x2－mx的一个零点，则m＝　　　　.  由题意，得f(3)＝32－3m＝0，解得m＝3. 解析 3 14 探究函数零点的两种求法 (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点. (2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点. 反 思 感 悟 15 (1)函数f(x)＝的所有零点构成的集合为 A.{1} B.{－1} C.{－1，1} D.{－1，0，1} 跟踪训练 1 √ 当x≤0时，由f(x)＝x＋1＝0，得x＝－1； 当x>0时，由f(x)＝log2x＝0，得x＝1. 所以函数f(x)的所有零点构成的集合为{－1，1}. 解析 16 (2)下列函数中，没有零点的是 A.f(x)＝log2x－7 B.f(x)＝－1 C.f(x)＝ D.f(x)＝x2＋x √ 17 A选项，由f(x)＝log2x－7＝0可得x＝27， 即函数f(x)＝log2x－7有零点； B选项，由f(x)＝－1＝0得x＝1， 即函数f(x)＝－1有零点； C选项，使f(x)＝＝0的x不存在， 即函数f(x)＝没有零点； D选项，由f(x)＝x2＋x＝0解得x＝－1或x＝0，即函数f(x)＝x2＋x有零点. 解析 18 二 零点存在定理 提示　一定有，至少有一个.如图①②. 给出下列四个函数图象，根据图象分析判断后回答以下3个问题： 问题3 (1)如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)f(b)<0，那么f(x)在区间(a，b)内是否一定有零点？有多少个零点？ 提示　不一定.如图③. (2)如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象不连续，但f(a)f(b)<0，那么f(x)在区间(a，b)内是否一定有零点？ 问题3 提示　不一定.如图④. (3)如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，但f(a)f(b)>0，那么f(x)在区间(a，b)内是否一定没有零点？ 问题3 条件 函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条_____的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即__________ 结论 在开区间(a，b)内，函数y＝f(x)___________零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)＝0至少有一个解 零点存在定理 连续 f(a)·f(b)<0 至少有一个 知识梳理 (1)定理要求函数图象在闭区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)<0. (2)图象在闭区间[a，b]上连续的函数y＝f(x)，f(a)·f(b)<0是函数有零点的充分不必要条件. (3)该定理是用来判断函数的变号零点，比如y＝x2，有零点为0，但是该零点的两侧函数值的符号相同，称为不变号零点. 注 意 点 <<< 24 (1)(多选)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法错误的是 A.f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点 B.f(x)在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点 C.f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点 D.f(x)在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点 例 2 √ √ √ 25 由题知f(0)f(1)<0，函数f(x)的图象在R上连续不断， 所以根据零点存在定理可得，f(x)在区间(0，1)上一定有零点， 又f(1)f(2)>0， 因此无法判断f(x)在区间(1，2)上是否有零点. 解析 26 (2)函数f(x)＝e2x＋5x－2的零点所在的区间为 A.(－1，0) B. C. D. √ ∵f(0)＝－1<0，f >0， f(x)＝e2x＋5x－2的图象在R上连续且为增函数， ∴f(x)＝e2x＋5x－2的零点所在的区间为. 解析 27 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上. (2)利用零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0.若f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点. (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 反 思 感 悟 28 (1)函数f(x)＝ln x＋x3－9的零点所在的区间为 A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) 跟踪训练 2 √ ∵f(1)＝1－9＝－8<0， f(2)＝ln 2＋8－9＝ln 2－1<0， f(3)＝ln 3＋27－9＝ln 3＋18>0， ∴f(2)f(3)<0， ∴函数f(x)的零点所在的区间为(2，3). 解析 29 (2)若方程2x＋x＝5的解所在的区间是(k，k＋1)且k∈Z，则k＝　　.  令f(x)＝2x＋x－5，则f(1)＝2＋1－5＝－2<0，f(2)＝4＋2－5＝1>0，f(1)f(2)<0， 又因为f(x)的图象在R上连续且f(x)在R上为增函数， 由零点存在定理得零点所在区间为(1，2)，∴k＝1. 解析 1 30 三 函数零点个数的问题 提示　(1)通过画对应函数f(x)＝log2x－x＋2的图象，进而确定方程解的个数，但在作图过程中发现遇到困难，此时需要借助于信息技术工具. (2)利用零点存在定理及单调性. (3)转化为两个函数图象的交点问题. 判断方程log2x－x＋2＝0是否有解？如果有解，请问有几个解？想一下有哪些解决方案. 问题4 判断下列函数的零点的个数. (1)f(x)＝x2－x＋； 例 3 由f(x)＝0，即x2－x＋＝0， 得Δ＝－4×＝－<0， 所以方程x2－x＋＝0没有实数根， 即f(x)零点的个数为0. 解 33 (2)f(x)＝ln x＋x2－3； 34 方法一　函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0， 所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点的个数. 在同一平面直角坐标系下，作出两函数的图象(如图). 由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点. 从而方程ln x＋x2－3＝0只有一个解， 即函数f(x)＝ln x＋x2－3只有一个零点. 方法二　由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0， 所以f(1)f(2)<0， 又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在[1，2]上是连续的， 所以f(x)在(1，2)上必有零点， 又f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的，所以f(x)只有一个零点. 解 35 (3)f(x)＝x2－. 方法一　令f(x)＝x2－＝0，得x2＝， 即x3＝2，解得x＝，故函数只有1个零点. 方法二　令f(x)＝x2－＝0，得x2＝， 设g(x)＝x2(x≠0)， h(x)＝(x≠0)， 在同一平面直角坐标系中画出函数y＝g(x)与y＝h(x)的图象，如图， 由图象可知两个函数图象只有1个交点，故函数只有一个零点. 解 36 判断函数零点个数的四种常用方法 (1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点. (2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数. (3)结合单调性，利用零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)内零点的个数. (4)转化成两个函数图象的交点个数问题. 反 思 感 悟 37 (1)函数f(x)＝的零点个数为　　.  跟踪训练 3 方程x＋2＝0(x<0)的解为x＝－2，方程x2－1＝0(x>0)的解为x＝1，所以函数f(x)有两个零点－2与1. 解析 2 38 (2)函数f(x)＝ex|ln x|－1的零点个数为　　　.  2 由题意，令f(x)＝ex|ln x|－1＝0， 即|ln x|＝e－x， 则函数f(x)＝ex|ln x|－1的零点个数， 等价于两个函数y＝e－x与y＝|ln x|的图象的交点个数， 作出y＝e－x与y＝|ln x|的图象如图所示， 由图知，两个函数图象有2个交点，故函数f(x)＝ex|ln x|－1的零点个数是2. 解析 39 1.知识清单： (1)函数的零点定义. (2)函数的零点与方程的解的关系. (3)零点存在定理. (4)函数零点个数的判断. 2.方法归纳：定理法、方程法、数形结合法. 3.常见误区： (1)将零点错误地理解成点. (2)零点个数问题不能转化成函数图象交点个数的问题. (3)将零点存在定理误以为可以判断函数的不变号零点. 课堂小结 课时对点练 四 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A CD D D C D 题号 7 8 11 12 13 14 答案 1 1，1＋ C ABD 3　0 (1，5) 题号 15 答案 a<b<c 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)令＝0，解得x＝－3， 所以函数f(x)＝的零点是－3. (2)令x2＋2x＋4＝0， 由于Δ＝22－4×4＝－12<0，所以方程x2＋2x＋4＝0无解， 所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点. (3)令2x－3＝0，解得x＝log23， 所以函数f(x)＝2x－3的零点是log23. (4)令1－log3x＝0，解得x＝3， 所以函数f(x)＝1－log3x的零点是3. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵－1和2是函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点， ∴－1和2是x2＋ax＋b＝0的两个实数解， ∴－1＋2＝－a，－1×2＝b，即a＝－1，b＝－2. ∴g(x)＝－x3－2x＋4. ∵g(1)＝1，g(2)＝－8，g(1)g(2)<0， ∴y＝g(x)在区间(1，2)内有零点. 又∵y＝g(x)在R上是单调函数， ∴y＝g(x)只有一个零点. 综上可知，函数g(x)的零点所在的大致区间为(1，2). 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 上述解答不正确，原解答没有考虑函数为一次函数还是二次函数的问题，即没有分类讨论a＝0和a≠0两种情况；而a≠0时，在区间(－1，1)内的零点可能不是“变号零点”. 正确解答如下： (1)当a＝0时，f(x)＝4x－1， 令f(x)＝0得，4x－1＝0， 解得x＝∈(－1，1)， 所以当a＝0时，f(x)在(－1，1)内恰有一个零点. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)当a≠0时，Δ＝42－4×24a×(－1)＝16＋96a. ①若Δ＝0，即a＝－，则函数f(x)的图象与x轴交于点， 所以是(－1，1)内的唯一零点. ②若Δ>0，即a>－， 则(ⅰ) 解得－<a<且a≠0. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (ⅱ)当f(－1)＝0，即a＝时，f(x)＝5x2＋4x－1， 令f(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝， 所以是(－1，1)内的唯一零点. (ⅲ)当f(1)＝0，即a＝－时，f(x)＝－3x2＋4x－1， 令f(x)＝0，解得x1＝1，x2＝， 所以是(－1，1)内的唯一零点. 综上可得，a的取值范围是∪. 基础巩固 1.二次函数y＝2x2＋x－1的零点是 A.，－1 B.－，1 C.，(1，0) D.，(－1，0) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 二次函数y＝2x2＋x－1的零点是方程2x2＋x－1＝0的解， 解得x＝，或x＝－1. 解析 2.(多选)方程(x2－4)＝0的解可以是 A.x＝－2 B.x＝－ C.x＝ D.x＝2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，得方程(x2－4)＝0， 则x2－4＝0或2x－1＝0，解得x＝±2或x＝， 又由2x－1≥0，解得x≥， 所以方程(x2－4)＝0的解为x＝2或x＝. 解析 √ 3.函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是 A.(1，2) B. C.(3，4) D.(2，3) √ 由于f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3－>0， 所以f(2)·f(3)<0， 又易知函数f(x)＝ln x－是(0，＋∞)上的连续的增函数， 故根据零点存在定理可知， 函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是(2，3). 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知函数f(x)的图象是连续不断的，且x，f(x)的部分对应值如表： ∵f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0， f(4)·f(5)<0，f(6)·f(7)<0， ∴函数f(x)至少有4个零点. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) 36.1 15.5 －3.9 10.8 －52.4 －32.0 11.2 由表可知函数f(x)的零点至少有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 √ 5.已知函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范 围是 A.(1，3) B.(1，2) C.(0，3) D.(0，2) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 易知函数f(x)＝2x－－a在区间(0，＋∞)上单调递增， 所以由条件可知，f(1)·f(2)<0， 即(2－2－a)(4－1－a)＝a(a－3)<0， 解得0<a<3. 解析 6.对于函数f(x)，若f(－1)f(3)<0，则 A.方程f(x)＝0一定有一实数解 B.方程f(x)＝0一定无实数解 C.方程f(x)＝0一定有两实数解 D.方程f(x)＝0可能无实数解 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵函数f(x)的图象在[－1，3]上未必连续，故尽管有f(－1)f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1，3)上可能无实数解. 解析 7.设x0是方程log2x＋2x＝4的解，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝　　　.  令f(x)＝log2x＋2x－4，f(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∵f(1)＝－2<0，f(2)＝1>0， ∴f(x)在(1，2)内有唯一零点， 故x0∈(1，2)， ∴k＝1. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 8.若函数f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－x的零点为　　 　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1，1＋ 由f(x)＝x， 得或 解得 x＝1＋或x＝1. 解析 9.求下列函数的零点： (1)f(x)＝； 令＝0，解得x＝－3， 所以函数f(x)＝的零点是－3. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)f(x)＝x2＋2x＋4； 令x2＋2x＋4＝0， 由于Δ＝22－4×4＝－12<0， 所以方程x2＋2x＋4＝0无解， 所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)f(x)＝2x－3； 令2x－3＝0，解得x＝log23， 所以函数f(x)＝2x－3的零点是log23. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (4)f(x)＝1－log3x. 令1－log3x＝0，解得x＝3， 所以函数f(x)＝1－log3x的零点是3. 解 10.函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是－1和2，判断函数g(x)＝ax3＋bx＋4的零点所在的大致区间. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵－1和2是函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点， ∴－1和2是x2＋ax＋b＝0的两个实数解， ∴－1＋2＝－a，－1×2＝b，即a＝－1，b＝－2. ∴g(x)＝－x3－2x＋4. ∵g(1)＝1，g(2)＝－8，g(1)g(2)<0， ∴y＝g(x)在区间(1，2)内有零点. 又∵y＝g(x)在R上是单调函数， ∴y＝g(x)只有一个零点. 综上可知，函数g(x)的零点所在的大致区间为(1，2). 解 11.方程|lg x|－＝0的根的个数为 A.0 B.1 C.2 D.4 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原方程可化为|lg x|＝， 作出函数y＝|lg x|与y＝的图象如图所示. 由图知，函数y＝|lg x|与y＝的图象有2个交点， 即方程|lg x|－＝0的根的个数为2. 解析 12.(多选)已知函数f(x)＝－log2x，0<a<b<c，f(a)·f(b)·f(c)<0，实数d是函数f(x)的一个零点，给出下列四个判断，其中可能成立的是 A.0<d<a B.c>d>b C.d>c D.a<d<c √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于y＝在(0，＋∞)上单调递减，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，可得f(x)＝－log2x在定义域(0，＋∞)上单调递减， 故当0<a<b<c时，f(a)>f(b)>f(c)， 又因为f(a)·f(b)·f(c)<0，f(d)＝0， 所以①当f(a)，f(b)，f(c)都为负值时，则a，b，c都大于d， ②当f(a)>0，f(b)>0，f(c)<0时，则a，b都小于d，c大于d. 综合①②可得d>c不可能成立.故选ABD. 解析 13.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上单调递增，则该函数有　　个零点，这几个零点的和等于　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，所以f(0)＝0. 又因为f(－2)＝0， 所以f(2)＝－f(－2)＝0， 故该函数有3个零点，这3个零点的和等于0. 解析 3 0 14.若函数y＝x2－4|x|＋5－m有四个不同的零点，则实数m的取值范围为　　 .  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1，5) 因为函数y＝x2－4|x|＋5－m有四个不同的零点， 所以关于x的方程x2－4|x|＋5＝m有四个不同的实数解， 所以令f(x)＝|x|2－4|x|＋5＝(|x|－2)2＋1， h(x)＝m，画出函数f(x)的图象，如图所示， 若要使f(x)的图象与h(x)的图象有四个交点， 则直线h(x)＝m应该在直线l和直线n之间， 所以1<m<5. 解析 15.已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是　　　　.  拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示， 观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a<b<c. 解析 a<b<c 16.有一道题“若函数f(x)＝24ax2＋4x－1在区间(－1，1)内恰有一个零点，求实数a的取值范围”.某同学给出了如下解答：由f(－1)·f(1)＝(24a－5)· (24a＋3)<0，解得－<a<.所以，实数a的取值范围是.上述解 答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 上述解答不正确，原解答没有考虑函数为一次函数还是二次函数的问题，即没有分类讨论a＝0和a≠0两种情况；而a≠0时，在区间(－1，1)内的零点可能不是“变号零点”. 正确解答如下： (1)当a＝0时，f(x)＝4x－1， 令f(x)＝0得，4x－1＝0， 解得x＝∈(－1，1)， 所以当a＝0时，f(x)在(－1，1)内恰有一个零点. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)当a≠0时，Δ＝42－4×24a×(－1)＝16＋96a. ①若Δ＝0，即a＝－，则函数f(x)的图象与x轴交于点， 所以是(－1，1)内的唯一零点. ②若Δ>0，即a>－， 则(ⅰ) 解得－<a<且a≠0. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (ⅱ)当f(－1)＝0，即a＝时，f(x)＝5x2＋4x－1， 令f(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝， 所以是(－1，1)内的唯一零点. (ⅲ)当f(1)＝0，即a＝－时，f(x)＝－3x2＋4x－1， 令f(x)＝0，解得x1＝1，x2＝， 所以是(－1，1)内的唯一零点. 综上可得，a的取值范围是∪. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第五章　函数应用 <<< $