第5章 1.2 利用二分法求方程的近似解（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦“利用二分法求方程的近似解”核心知识点，以函数零点存在定理为基础，系统阐述二分法的原理、适用条件（连续曲线且端点函数值异号）及实施步骤（定区间、找中点、判符号、缩小区间），构建从概念理解到方程求解的完整学习支架。 该资料以“找重球”生活实例导入，用数学眼光观察现实问题，通过表格化步骤分解和分层例题训练，培养数学思维中的推理能力与逻辑严谨性，知识梳理与反思感悟助力学生形成结构化认知。课中辅助教师清晰授课，课后通过课时对点练帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

1.2　利用二分法求方程的近似解 学习目标　1.了解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法的实施步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想. 导语 有12个小球，质量均匀，只有一个小球比别的球重，你用天平称几次就可以找到这个小球？要求次数越少越好.同学们积极讨论得到的解决方案是：第一次，两端各放六个小球，低的那端一定有重球；第二次，两端各放三个球，低的那端一定有重球；第三次，两端各放一个球，如果平衡，余下的就是重球，否则低的那端就是重球，这样既节省了时间，又提高了效率，这个方法就是今天我们要学习的二分法. 一、二分法概念的理解 二分法 对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若函数y＝f(x)的图象是一条连续的曲线，f(a)·f(b)<0，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法. 注意点： (1)二分法的求解原理是零点存在定理. (2)并非所有的函数的零点都可以用二分法求解.只有满足函数图象在零点附近连续，且在该零点左右函数值异号时，才能应用“二分法”求函数零点. 例1　(1)下列每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是(　　) 答案　C 解析　使用二分法必先找到零点所在区间[a，b]，且f(a)·f(b)<0，但C中找不到这样的区间. (2)(多选)在用二分法求函数f(x)零点的近似值时，第一次所取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是(　　) A.[1，4] B.[－2，1] C. D. 答案　CD 解析　∵第一次所取的区间是[－2，4]， ∴第二次所取的区间可能是[－2，1]，[1，4]， ∴第三次所取的区间可能是 ，，，. 反思感悟　运用二分法求函数的零点应具备的两个条件 (1)连续性：函数图象在零点附近连续. (2)变号性：在该零点左右两侧函数值异号. 跟踪训练1　(1)已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的零点的个数分别为(　　) A.4，4 B.3，4 C.5，4 D.4，3 答案　D 解析　图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右两侧函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的零点的个数为3，故选D. (2)已知f(x)＝x2＋6x＋c有零点，但不能用二分法求出零点的近似值，则c的值是(　　) A.9 B.8 C.7 D.6 答案　A 解析　依题意可知，x2＋6x＋c＝0有两个相等的实数根， 则Δ＝36－4c＝0，∴c＝9. 二、用二分法求函数的零点 问题　依据二分法的思想，你能想办法求函数f(x)＝x3－3的零点吗？并思考一下最终的结果如何确定？ 提示　由于f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，因此可以确定区间[1，2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下： 次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度 第1次 1 －2 2 5 1 第2次 1 －2 1.5 0.375 0.5 第3次 1.25 －1.046 9 1.5 0.375 0.25 第4次 1.375 －0.400 4 1.5 0.375 0.125 第5次 1.437 5 －0.029 5 1.5 0.037 5 0.062 5 …… 知识梳理 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的步骤 注意点： (1)初始区间两端点函数值异号. (2)用二分法求函数零点的近似值，定初始区间时要尽可能地找到含有零点的较小的区间，这样可以减少用二分法的次数，减少计算量. (3)精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分. (4)上述步骤可简记为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间，周而复始怎么办？精确度上来判断. 例2　(多选)用二分法求函数f(x)＝5x＋7x－2的一个零点，其参考数据如下表： x 0.062 5 0.093 75 0.125 0.156 25 0.187 5 f(x) －0.456 7 －0.180 9 0.097 8 0.379 7 0.664 7 根据上述数据，可得f(x)＝5x＋7x－2的一个零点近似值(精确度0.05)为(　　) A.0.625 B.0.093 75 C.0.125 D.0.096 答案　BCD 解析　已知f(0.093 75)<0，f(0.125)>0，则函数f(x)的零点的初始区间为(0.093 75，0.125)，所以零点在区间(0.093 75，0.125)上，|0.125－0.093 75|＝0.031 25<0.05，所以区间[0.093 75，0.125]内的值都符合题意. 反思感悟　二分法求函数零点的关注点 (1)验证零点所在的区间是否符合精确度要求. (2)区间内的任一值都可以作为零点的近似值. 跟踪训练2　某方程有一无理根在区间D＝(1，3)内，若用二分法，求此根的近似值，则将D至少等分　　　　次后，所得近似值的精确度为0.1.  答案　5 解析　由<0.1(n∈N＋)，得2n>20，n≥5，故至少等分5次. 三、用二分法求方程的近似解 方程的解和函数的零点可以互相转化，如果方程的解在满足精确度的区间内，那么此区间内的任意一个数都是满足精确度的近似解. 例3　求方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解.(精确度为0.01) 解　考察函数f(x)＝2x3＋3x－3，基于零点存在定理，从一个两端点函数值异号的区间开始，应用二分法逐步缩小方程解所在区间. 经试算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，所以方程f(x)＝0在区间(0，1)内有解. 取区间(0，1)的中点0.5，f(0.5)＝－1.25<0，所以方程f(x)＝0在区间(0.5，1)内有解. 如此下去，得到方程f(x)＝0的解所在的区间(如表). 次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度 第1次 0 －3 1 2 1 第2次 0.5 －1.25 1 2 0.5 第3次 0.5 －1.25 0.75 0.093 75 0.25 第4次 0.625 －0.636 718 75 0.75 0.093 75 0.125 第5次 0.687 5 －0.287 597 656 0.75 0.093 75 0.062 5 第6次 0.718 75 －0.101 135 254 0.75 0.093 75 0.031 25 第7次 0.734 375 －0.004 768 372 0.75 0.093 75 0.015 625 第8次 0.734 375 －0.004 768 372 0.742 187 5 0.044 219 017 0.007 812 5 至此，可以看出，区间[0.734 375，0.742 187 5]的区间长度为0.007 812 5，它小于0.01.而方程的解就在这个区间内，因此区间内的任意一个数都是满足精确度的近似解，例如，0.74就是方程2x3＋3x－3＝0精确度为0.01的一个近似解. 反思感悟　应用二分法需注意的问题 (1)精确度：要看清题目要求的精确度，它决定着二分法步骤的结束. (2)初始区间：初始区间的选定一般在两个整数间，在精确度给定的情况下，不同的初始区间结果是相同的. (3)方程根的选取：当区间长度符合“精确度ε”的要求后正确选取方程的根. 当区间[an，bn]的长度|an－bn|<ε时，这个近似值可以是区间[an，bn]内任意一个数. 跟踪训练3　已知方程2x＋2x＝5. (1)判断该方程解的个数以及所在区间(区间长度为1)； (2)用二分法求出方程的近似解(精确度为0.1). 参考数值： x 1.125 1.187 5 1.25 1.312 5 1.375 1.5 2x 2.181 2.278 2.378 2.484 2.594 2.828 解　(1)令f(x)＝2x＋2x－5. 易知函数f(x)＝2x＋2x－5在R上是增函数， 所以函数f(x)＝2x＋2x－5至多有一个零点. 因为f(1)＝－1<0，f(2)＝3>0， 所以f(1)·f(2)<0， 故方程解的个数为1，且所在区间为(1，2). (2)用二分法逐次计算，列表如下： 次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度 第1次 1 －1 2 3 1 第2次 1 －1 1.5 0.828 0.5 第3次 1.25 －0.122 1.5 0.828 0.25 第4次 1.25 －0.122 1.375 0.344 0.125 第5次 1.25 －0.122 1.312 5 0.109 0.062 5 因为|1.375－1.25|＝0.125>0.1， 且|1.312 5－1.25|＝0.062 5<0.1， 所以区间[1.25，1.312 5]内任意一个数都可以作为f(x)零点的近似值，故方程2x＋2x＝5精确度为0.1的近似解可以为1.3(答案不唯一). 1.知识清单： (1)二分法的定义. (2)利用二分法求函数零点、方程近似解的步骤. 2.方法归纳：转化与化归、二分法. 3.常见误区：二分法并不适用于求所有零点，只能用于求函数的变号零点. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　) A.x1 B.x2 C.x3 D.x4 答案　C 解析　能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0.而x3左右两边的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件，故选C. 2.设f(x)＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在(2，3)内近似解的过程中得f(2.25)<0，f(2.5)<0，f(2.75)>0，f(3)>0，则方程的根落在区间(　　) A.(2，2.25) B.(2.25，2.5) C.(2.5，2.75) D.(2.75，3) 答案　C 解析　因为f(2.5)<0，f(2.75)>0，由零点存在定理知，方程的根落在区间(2.5，2.75)，故选C. 3.用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是(　　) A.|a－b|<0.1 B.|a－b|<0.001 C.|a－b|>0.001 D.|a－b|＝0.001 答案　B 解析　根据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算. 4.若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正实数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625 f(1.25)＝－0.984 f(1.375)＝－0.260 f(1.437 5)＝0.162 f(1.406 25)＝－0.054 那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度为0.05)为(　　) A.1.5 B.1.375 C.1.437 D.1.25 答案　C 解析　∵f(1.406 25)<0，f(1.437 5)>0， ∴f(1.406 25)·f(1.437 5)<0， ∴该方程的根在区间[1.406 25，1.437 5]内， 又∵|1.406 25－1.437 5|＝0.031 25<0.05， ∴方程的近似解可以是1.437. 5.已知函数f(x)在区间(0，a)上有唯一的零点，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，，，则下列说法错误的是(　　) A.函数f(x)在区间内可能有零点 B.函数f(x)在区间内可能有零点 C.函数f(x)在区间内无零点 D.函数f(x)的零点可能是 答案　C 解析　根据二分法原理，依次“二分”区间后，零点应存在于更小的区间，因此，零点应在或内，或f＝0. 6.(多选)若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是(　　) A.f(x)＝4x－1 B.f(x)＝(x－1)2 C.f(x)＝ex－1 D.f(x)＝ln 答案　AD 解析　g(x)＝4x＋2x－2为增函数，且g－2＝<0，g＝2＋1－2＝1>0， ∴g(x)的零点在内，函数f(x)＝4x－1的零点为满足条件，函数f(x)＝ln的零点为满足条件，函数f(x)＝(x－1)2的零点为1不满足条件，函数f(x)＝ex－1的零点为0不满足条件，故选AD. 7.(5分)若函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是　　　，函数的零点是　　　　(用a表示).  答案　a2＝4b　－ 解析　因为函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出， 所以函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴相切， 所以Δ＝a2－4b＝0，所以a2＝4b； 则令f(x)＝x2＋ax＋＝0，解得x＝－. 8.(5分)某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算其函数值，并得出判断：方程的近似解是1.8.那么他再取的x的4个值依次是　　　　　　　　.  答案　1.5，1.75，1.875，1.812 5 解析　第一次用二分法计算得区间(1.5，2)，第二次得区间(1.75，2)，第三次得区间(1.75，1.875)，第四次得区间(1.75，1.812 5). 9.(10分)以下是用二分法求方程x3＋3x－5＝0的一个近似解(精确度为0.1)的不完整的过程，请补充完整. 解　设函数f(x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续的，且f(x)在(－∞，＋∞)上单调递　　　　(增或减).  先求f(0)＝　　　　　，f(1)＝　　　　，f(2)＝　　　　.  所以f(x)在区间　　　　内存在零点x0，再填下表：  次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度 第1次 1 －1 2 9 1 下结论：　　　　　　　　　　. 解　设函数f(x)＝x3＋3x－5， 其图象在(－∞，＋∞)上是连续的， 且f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增， 先求f(0)＝－5，f(1)＝－1，f(2)＝9. 所以f(x)在区间(1，2)内存在零点x0，再填下表： 次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度 第1次 1 －1 2 9 1 第2次 1 －1 1.5 2.875 0.5 第3次 1 －1 1.25 0.703 1 0.25 第4次 1.125 －0.201 2 1.25 0.703 1 0.125 第5次 1.125 －0.201 2 1.187 5 0.237 1 0.062 5 下结论：由表得区间[1.125，1.187 5]内的任意实数都是方程x3＋3x－5＝0的一个近似解，不妨取1.18. 10.(11分)某电视台有一档娱乐节目，主持人给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖给选手.某次猜一种品牌的手机，手机价格在500~1 000元之间，选手开始报价：1 000元，主持人说：高了.选手紧接着报价900元，高了；700元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，猜中了.表面上看猜价格具有很大碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？ 解　取价格区间[500，1 000]的中点750，如果主持人说低了，就先取区间[750，1 000]的中点875；否则取另一个区间[500，750]的中点625；若遇到小数，则取整数，照这种方案，游戏过程猜价如下：750，875，812，843，859，851，经过6次可以猜中价格. 11.已知f(x)＝－ln x在区间(1，2)内有一个零点x0，若用二分法求x0的近似值(精确度为0.2)，则最少需要将区间等分的次数为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案　A 解析　设需要将区间等分n次， 因为每次等分区间，都会将区间的长度变为原来的一半，原区间长度为1，所以1×≤0.2， 解得n≥log25，因为n∈N＋，所以n的最小值为3. 12.用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a－b|<ε(ε为精确度)时，函数零点的近似值x0＝与真实零点的误差的取值范围为(　　) A. B. C.[0，ε) D.[0，2ε) 答案　B 解析　真实零点离近似值x0最远即靠近a或b， 而b－－a＝<， 所以误差的取值范围为. 13.若函数f(x)的图象是连续的，且函数f(x)的唯一零点同在(0，4)，(0，2)，，内，则与f(0)符号相同的是(　　) A.f(4) B.f(2) C.f(1) D.f 答案　C 解析　由二分法的步骤可知 ①零点在(0，4)内，则有f(0)·f(4)<0，不妨设f(0)>0，f(4)<0，取中点2； ②零点在(0，2)内，则有f(0)·f(2)<0， 则f(0)>0，f(2)<0，取中点1； ③零点在(1，2)内，则有f(1)·f(2)<0， 则f(1)>0，f(2)<0，取中点； ④零点在内，则有f(1)·f<0， 则f(1)>0，f<0，则取中点； ⑤零点在内，则有f ·f<0， 则f>0，f<0， 结合选项可知与f(0)符号相同的是f(1). 14.(5分)已知函数f(x)满足：对任意x1，x2∈[a，b]，都有>0，且f(a)f(b)<0.在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为[a，b]，，，又f＝0，则函数f(x)的零点为　　　　.  答案　 解析　因为对任意x1，x2∈[a，b]，都有>0，且f(a)f(b)<0， 所以f(x)在[a，b]上单调递增，且f(a)<0，f(b)>0； 因为a＋1>a恒成立， 所以解得 所以f(x)的零点为. 15.(多选)已知函数y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示，现考虑方程x(x－1)(x＋1)＋0.01＝0的根的情况，下列说法正确的是(　　) A.有三个实数根 B.在(－∞，－1)内，恰好有一个实数根 C.在(－1，0)内，恰好有一个实数根 D.在(0，1)内，恰好有一个实数根 答案　AB 解析　函数f(x)＝x(x－1)·(x＋1)＋0.01的图象可由y＝x(x－1)(x＋1)的图象向上平移0.01个单位长度得到，如图所示.由图象易知方程f(x)＝0有三个实数根，在(－∞，－1)内，恰好有一个实数根； 在(－1，0)内，没有实数根； 在(0，1)内，恰好有两个实数根， 所以只有AB正确. 16.(12分)已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0，1]内有两个实数根. 证明　∵f(1)>0，∴f(1)＝3a＋2b＋c>0， 即3(a＋b＋c)－b－2c>0. ∵a＋b＋c＝0，∴a＝－b－c，－b－2c>0， ∴－b－c>c，即a>c. ∵f(0)>0，∴f(0)＝c>0，∴a>0. 取区间[0，1]的中点， 则fa＋b＋c＝a＋(－a)＝－a<0. ∵f(0)>0，f(1)>0， ∴函数f(x)在区间和上各有一个零点. 又f(x)为二次函数，最多有两个零点， ∴方程f(x)＝0在区间[0，1]内有两个实数根. 学科网（北京）股份有限公司 $