第2章 2.2 函数的表示法（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦函数的表示法、图象应用及解析式求法，通过“才高八斗”等成语类比情境导入，以三个对应关系实例为支架衔接函数概念，引导学生从具体到抽象理解解析法、列表法、图象法。 其亮点在于以数学眼光观察现实情境（如利率表、售冰箱问题），通过数学思维（换元法、待定系数法推理运算）和数学语言（分段函数、图象表达）构建知识体系。实例丰富，如绝对值函数图象绘制、解析式求法的跟踪训练，小结系统梳理方法与误区。助力学生发展抽象能力和几何直观，为教师提供结构化教学资源，提升课堂效率。

2.2 函数的表示法 第二章　 函数 <<< 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点. 2.会根据不同的实际情境选择合适的方法表示函数. 3.理解函数图象的作用. 4.会求函数的解析式. 学习目标 如果一个人极有才华，我们会用“才高八斗”来形容；如果一个人兼有文武才能，我们会用“出将入相”来形容；如果一个人是稀有而可贵的人才，我们会用“凤毛麟角”来形容；如果一个人品行卓越，天下绝无仅有，我们会用“斗南一人”来形容，那么对于呈现出来的不同函数，是否也会有不同的表示方法呢？让我们一起来探究吧！ 导 语 一、函数的表示法 二、函数的图象与应用 课时对点练 三、函数解析式的求法 内容索引 函数的表示法 一 提示　分别用解析法、列表法、图象法表示对应关系，它们都是函数关系. 给出下列三个对应关系： ①x，y∈R，y＝4x－1； ② 问题 存期x个月 3 6 12 24 36 利率y 0.010 5 0.012 5 0.015 5 0.018 5 0.019 5 ③ 它们分别是用什么形式表达两个变量x，y之间的对应关系的？它们是否都是函数关系？ 函数的表示法 知识梳理 函数的三种表示法的优缺点 注 意 点 <<< 8 　某商场新进了6台冰箱，每台售价5 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来. 例 1 9 x/台 1 2 3 4 5 6 y/元 5 000 10 000 15 000 20 000 25 000 30 000 (1)列表法： 解 (2)图象法：如图所示. (3)解析法：y＝5 000x， x∈{1，2，3，4，5，6}. 10 应用函数的三种表示方法应注意以下三点 (1)解析法必须注明函数的定义域. (2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系. (3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”. 反 思 感 悟 11 　已知完成某项任务的时间t与参加完成此项任务的人数x之间适合关系式t＝ax＋，当x＝2时，t＝4；当x＝4时，t＝5，且参加此项任务的人数不能超过5人. (1)写出函数t的解析式； 跟踪训练 1 12 由题设条件知，当x＝2时，t＝4，当x＝4时，t＝5，列出方程组 解得所以t＝x＋， 又因为x≤5，x为正整数， 所以函数的定义域为{x∈N＋|0<x≤5}. 故函数解析式为t＝x＋，x∈{x∈N＋|0<x≤5}. 解 13 (2)用列表法表示函数； x＝1，2，3，4，5，共取5个值，列表如下： 解 x 1 2 3 4 5 t 5 4 5 14 (3)画出函数t的图象. 函数t的图象是由5个点组成的一个点列，如图所示. 解 15 二 函数的图象与应用 　(1)(课本例3)画出函数y＝|x|的图象. 例 2 由绝对值的意义，可知 y＝|x|＝ 其图象为第一、第二象限的角平分线， 如图. 解 17 (2)(课本例4)画出取整函数y＝[x]的图象. 依题意知函数y＝[x]的定义域为R，值域是Z. 它的图象如图. 解 18 　画出下列函数的图象. (1)f(x)＝x，x∈N＋； 例 2 f(x)＝x，x∈N＋表示分段函数f(x)＝ 其图象是一列点，如图所示. 解 19 (2)f(x)＝； f(x)＝|x＋2|＝ 画出y＝x＋2的图象，取x≥－2的部分；画出y＝－x－2的图象，取x<－2的部分，如图所示. 解 20 (3)y＝，x∈[2，＋∞). 当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，如图所示. 解 21 　作出函数y＝|x2－2x－3|的图象，并说明该图象与函数y＝x2－2x－3的图象之间有怎样的关系. 延伸探究 22 y＝|x2－2x－3|＝ 作出函数y＝|x2－2x－3|的图象，如图中的实线所示. 观察函数图象可知，函数y＝|x2－2x－3|的图象可由函数y＝x2－2x－3的图象经过下列变换得到：保持 解 函数y＝x2－2x－3的图象在x轴及其上方的部分不变，将x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，即可得到函数y＝|x2－2x－3|的图象. 作函数y＝f(x)的图象的方法 (1)若y＝f(x)是已学过的函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍. (2)若y＝f(x)不是所学过的函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y＝f(x)的图象. (3)y＝f(x)的图象也可通过已学过的函数图象经过平移或对称变换得到. 反 思 感 悟 24 　作出下列函数的图象： (1)y＝2x＋1，x∈{0，2}； 跟踪训练 2 当x＝0时，y＝1， 当x＝2时，y＝5， 其图象如图①所示. 解 25 (2)y＝2x＋1，x∈[0，2]； 当x∈[0，2]时，图象是一次函数y＝2x＋1图象的一部分，如图②所示. 解 26 (3)f(x)＝x2－4|x|. f(x)＝ 其图象如图③所示. 解 27 函数解析式的求法 三 　求下列函数的解析式： (1)已知函数f(＋1)＝x＋2，求f(x)； 例 3 29 方法一　(换元法) 设t＝＋1，则x＝(t－1)2(t≥1). ∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1(t≥1)， ∴f(x)＝x2－1(x≥1). 方法二　(配凑法) ∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1， ∴f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)， ∴f(x)＝x2－1(x≥1). 解 30 (2)已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)； 31 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f(x＋1)＋f(x－1) ＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c ＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x， 所以 所以f(x)＝x2－2x－1. 解 32 (3)已知函数y＝f(x)满足f(x)＋2f ＝x，求f(x). 在已知等式中，将x换成，得f ＋2f(x)＝ 消去f ，得f(x)＝－. 解 33 求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法. (2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (3)解方程组法：已知f(x)与f或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 反 思 感 悟 34 　(1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)； 跟踪训练 3 方法一　(配凑法)∵f(x＋1)＝x2－3x＋2 ＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6， ∴f(x)＝x2－5x＋6. 方法二　(换元法)令t＝x＋1，则x＝t－1， ∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6， 即f(x)＝x2－5x＋6. 解 35 (2)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，求f(x)； 设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b. 又f(f(x))＝4x＋8，∴a2x＋ab＋b＝4x＋8， 即 ∴f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8. 解 36 (3)已知f(x)＋2f(－x)＝9x＋2，求f(x)的解析式. ∵f(x)＋2f(－x)＝9x＋2， ① ∴f(－x)＋2f(x)＝9(－x)＋2， ② ②×2－①得3f(x)＝－27x＋2， 即f(x)＝－9x＋. 解 37 1.知识清单： (1)函数的表示法. (2)函数的图象与应用. (3)求函数解析式. 2.方法归纳：待定系数法、换元法、配凑法、数形结合法. 3.常见误区：求函数解析式时易忽视定义域. 课堂小结 课时对点练 四 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C D B B AB B f(x)＝ 题号 8 11 12 13 14 15 答案 2或4 C ABD 4x－6或－4x＋10 f(x)＝x2＋x＋1 9 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)用图象法表示函数y＝f(x)，如图所示. (2)用列表法表示函数y＝f(x)，如表所示. x 1 2 3 4 y －2 －3 －4 －5 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)y＝－2x＋1，x∈的图象如图，  其值域为. (2)y＝，x∈的图象如图.  其值域为. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)y＝x2＋4x，x∈的图象如图，  其值域为[－4，5]. (4)由题意知y＝x－[x]＝x－(k－1)， 其中k－1≤x<k(k∈Z)， 其图象如图.  其值域为[0，1). 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)根据图象可知f(4)＝0， 则f(f(4))＝f(0)＝1， 设直线段对应的方程为y＝kx＋d(－1≤x≤0). 将点(0，1)和点(－1，0)代入可得d＝1，k＝1， 即y＝x＋1， 当x>0时，设y＝a(x－2)2－1(a>0). 又图象经过点(4，0)， ∴4a－1＝0，a＝，∴y＝(x－2)2－1， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即y＝x2－x. 所以f(x)＝ (2)当x＋1＝时，x＝－，符合题意； 当x2－x＝时， 解得x＝2＋或x＝2－(舍去). 故x的值为－或2＋. 基础巩固 1.函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是 A.R B.(－∞，1)∪(1，＋∞) C.(－∞，0)∪(0，＋∞) D.(－1，0) √ 由题图知x≠0，即x∈(－∞，0)∪(0，＋∞). 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.某问答游戏的规则是：共5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分，不加分，用解析法表示一个参与者的得分y(y≥0)与答错题目道数x之间的函数为 A.y＝50－10x B.y＝50－10x(x∈R) C.y＝50－10x(x∈{0，1，2，3，4}) D.y＝50－10x(x∈{0，1，2，3，4，5}) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 注意自变量的取值范围应该是{0，1，2，3，4，5}. 解析 3.若一次函数的图象经过点A(1，6)和点B(2，8)，则下列点中，不在该函数图象上的是 A. B. C.(－1，2) D.(－2，0) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)， 由该函数的图象经过点A(1，6)和点B(2，8)， 得 所以此函数的解析式为y＝2x＋4， 经检验，A，C，D选项的坐标都符合. 解析 4.网购女鞋时，常常会看到一张女鞋尺码对照表如下，第一行是我们习惯称呼的“鞋号”(单位：号)，第二行是脚长(单位：mm)，请根据表中数据，思考：他们家正好有一款“32号”的女鞋在搞打折，那么适合购买这款鞋的脚长的取值范围是 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 鞋号 35 36 37 38 39 脚长 225 230 235 240 245 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设“脚长”为y，“鞋号”为x，根据题意发现x与y满足y＝5x＋50的函数关系， 当x＝32时，y＝5×32＋50＝210. 解析 5.(多选)已知f(2x＋1)＝x2，则下列结论正确的是 A.f(－3)＝4 B.f(x)＝ C.f(x)＝x2 D.f(3)＝9 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令t＝2x＋1，则x＝， 所以f(t)＝， 则f(x)＝，故B正确，C错误； f(－3)＝＝4，故A正确； f(3)＝＝1，故D错误. 解析 6.若定义运算a⊕b＝则函数f(x)＝x2⊕|x|的图象是 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据运算a⊕b＝ 得f(x)＝x2⊕|x|＝ 由此可得图象如图所示. 解析 7.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式 是　 　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f(x)＝ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题图可知，f(x)的图象是由两段组成， 当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b， 将(－1，0)，(0，1)代入解析式， 得 ∴f(x)＝x＋1. 当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，将(1，－1)代入， 得k＝－1，∴f(x)＝－x. 综上，f(x)的解析式为f(x)＝ 解析 8.已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出，则满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值为　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x 1 2 3 4 f(x) 1 3 1 3 g(x) 3 2 3 2 2或4 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x＝1时，f(g(1))＝f(3)＝1，g(f(1))＝g(1)＝3. 当x＝2时，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝3. 当x＝3时，f(g(3))＝f(3)＝1，g(f(3))＝g(1)＝3. 当x＝4时，f(g(4))＝f(2)＝3，g(f(4))＝g(3)＝3. 故满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值只有2或4. 解析 9.已知函数f(x)＝－x－1，x∈{1，2，3，4}，试分别用图象法和列表法表示函数y＝f(x). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)用图象法表示函数y＝f(x)，如图所示. (2)用列表法表示函数y＝f(x)，如表所示. 解 x 1 2 3 4 y －2 －3 －4 －5 10.画出下列函数的图象，并求出函数的值域. (1)y＝－2x＋1，x∈； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y＝－2x＋1，x∈的图象 如图， 其值域为. 解 (2)y＝，x∈； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y＝，x∈的图象如图. 其值域为. 解 (3)y＝x2＋4x，x∈； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y＝x2＋4x，x∈的图象如图， 其值域为[－4，5]. 解 (4)y＝x－[x](其中y＝[x]为取整函数). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知y＝x－[x]＝x－(k－1)， 其中k－1≤x<k(k∈Z)， 其图象如图. 其值域为[0，1). 解 11.设函数f ＝x，则f(x)等于 A.(x≠－1) B.(x≠－1) C.(x≠－1) D.(x≠－1) √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令t＝，t≠－1，则x＝， ∴f(t)＝， 即f(x)＝，x≠－1. 解析 12.(多选)下列函数中满足f(2x)＝2f(x)的是 A.f(x)＝|x| B.f(x)＝x－|x| C.f(x)＝x＋1 D.f(x)＝－x √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，f(2x)＝|2x|，2f(x)＝2|x|＝|2x|，故A满足题意； 对于B，f(2x)＝2x－|2x|，2f(x)＝2x－|2x|，故B满足题意； 对于C，f(x)＝x＋1，则f(2x)＝2x＋1， 而2f(x)＝2(x＋1)＝2x＋2，则f(2x)≠2f(x)； 对于D，f(2x)＝－2x，2f(x)＝－2x，故D满足题意. 解析 13.已知函数f(x)是一次函数，满足f(f(x))＝16x－30，则f(x)＝___________ _______. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4x－6或－4x ＋10 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵f(x)是一次函数， ∴设f(x)＝kx＋b(k≠0)， f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－30， ∴ ∴f(x)＝4x－6或f(x)＝－4x＋10. 解析 14.已知函数f(x)满足f(0)＝1，对任意实数x，y有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，则函数f(x)的解析式为　　　 　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令x＝y得f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)， 则f(x)＝x2＋x＋1. 解析 f(x)＝x2＋x＋1 15.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为f(x)＝x2＋1，值域为{5，10}的“孪生函数”共有　　　个.  拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令x2＋1＝5，解得x＝±2； 令x2＋1＝10，解得x＝±3， 要满足值域为，则不同的定义域应该为 {2，3}，{2，－3}，{－2，3}，{－2，－3}，{－2，2，3}，{－2，2，－3}，{2，－3，3}，{－2，－3，3}，{－2，2，－3，3}，共有9种不同的定义域，则“孪生函数”有9个. 解析 16.如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成. (1)求f(f(4))的值及f(x)的解析式； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据图象可知f(4)＝0， 则f(f(4))＝f(0)＝1， 设直线段对应的方程为y＝kx＋d(－1≤x≤0). 将点(0，1)和点(－1，0)代入可得d＝1，k＝1， 即y＝x＋1， 当x>0时，设y＝a(x－2)2－1(a>0). 又图象经过点(4，0)， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴4a－1＝0，a＝，∴y＝(x－2)2－1， 即y＝x2－x. 所以f(x)＝ 解 (2)若f(x)＝，求实数x的值. 当x＋1＝时，x＝－，符合题意； 当x2－x＝时， 解得x＝2＋或x＝2－(舍去). 故x的值为－或2＋. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第二章　 函数 <<< $