第1章 习题课 不等式恒成立、能成立问题（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦不等式恒成立与能成立问题，通过“R上恒成立—给定范围恒成立—简单能成立”的递进结构，以例题解析、反思感悟为支架，帮助学生衔接一元二次不等式与参数问题，构建完整知识脉络。 其亮点在于融合判别式法、分离参数法等，通过二次函数图像分析培养数学眼光，分类讨论参数体现数学思维，跟踪训练与课时对点练强化应用。学生能提升问题转化能力，教师可直接用于习题课，提高教学效率。

习题课 不等式恒成立、能成立问题 第一章　预备知识 <<< 会用判别式法、分离参数法、数形结合等方法解决不等式中的恒成立、能成立问题. 学习目标 一、在R上的恒成立问题 二、在给定范围上的恒成立问题 课时对点练 三、解决简单的能成立问题 内容索引 在R上的恒成立问题 一 　已知∀x∈R，不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围. 例 1 5 当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意； 当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)， ∵y<0恒成立，∴其图象都在x轴的下方， 即开口向下，且与x轴无交点. ∴解得－1<k<0. 综上，实数k的取值范围是{k|－1<k≤0}. 解 6 转化为一元二次不等式解集为R的情况 ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔ 提醒：若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要讨论二次项系数是否为0. 反 思 感 悟 7 　已知∀x∈R，不等式x2＋ax＋3≥a恒成立，则实数a的取值范围为　　　　.  跟踪训练 1 [－6，2] 原不等式可化为x2＋ax＋3－a≥0， ∵函数y＝x2＋ax＋3－a的图象开口向上， ∴Δ＝a2－4(3－a)＝a2＋4a－12≤0， 即(a－2)(a＋6)≤0， ∴－6≤a≤2， ∴实数a的取值范围为[－6，2]. 解析 8 二 在给定范围上的恒成立问题 　当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围. 例 2 令y＝x2＋mx＋4， ∵y<0在1≤x≤2上恒成立， ∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2. 如图，可得 解得m<－5， ∴实数m的取值范围是{m|m<－5}. 解 10 在给定范围上的恒成立问题 (1)当a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0. (2)当a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0. 反 思 感 悟 11 　命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是 A.a≥4 B.a≥5 C.a≤4 D.a≤5 跟踪训练 2 因为命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”是真命题， 所以当1≤x≤2时，a≥x2恒成立， 所以a≥4， 结合选项，该命题为真命题的一个充分不必要条件是a≥5. 解析 √ 12 解决简单的能成立问题 三 　当1<x<2时，关于x的不等式x2＋mx＋4>0有解，则实数m的取值范围为　　　　　　.  例 3 记y＝x2＋mx＋4，则由二次函数的图象(图略)知，不等式x2＋mx＋4>0(1<x<2)有解，即m＋5>0或2m＋8>0，解得m>－5. 解析 {m|m>－5} 14 解决能成立问题的方法 (1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决. (2)对一些简单的问题，可转化为m>ymin或m<ymax的形式，通过求y的最小值与最大值，求得参数的取值范围. 反 思 感 悟 15 　若存在x∈R，使得≥2成立，求实数m的取值范围. 跟踪训练 3 ∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0， ∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立， ∴m≥2x2－8x＋6能成立， 又2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2， ∴m≥－2， ∴实数m的取值范围为{m|m≥－2}. 解 16 1.知识清单： (1)在R上的恒成立问题. (2)给定范围上的恒成立问题. (3)解决简单的能成立问题. 2.方法归纳：等价转换法、数形结合法. 3.常见误区：要注意端点值的取舍. 课堂小结 课时对点练 四 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D A B D AB BC AB 题号 9 10 答案 {a|a<1} 11. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由不等式mx2－mx－1<0，得m(x2－x)<1， 因为x∈{x|2≤x≤3}，所以x2－x>0， 所以m(x2－x)<1可化为m<， 因为x2－x＝≤6， 所以≥，所以m<. 即m的取值范围是. 12. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)由题意知，2x2＋bx＋c－20<0的解集为{x|－4<x<1}， ∴－4和1是方程2x2＋bx＋c－20＝0的两个根， 由根与系数的关系可得 解得 12. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)∵当2<x<4时，关于x的不等式2x2＋6x＋12<mx有解， ∴m>2x＋＋6有解， 当2<x<4时，2x＋＋6≥2＋6＝4＋6，当且仅当x＝时，等号成立， ∴m>4＋6. 一、单项选择题 1.已知关于x的不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则实数a的取值范围是 A.[－4，4] B.(－4，4) C.(－∞，－4]∪[4，＋∞) D.(－∞，－4)∪(4，＋∞) √ 由题意得，Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数的条件是 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数等价于二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象全部在x轴下方，需要开口向下，且与x轴无交点，故需 要 解析 3.若关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，则实数m的取值范围是 A.{m|m≤－2或m≥2} B.{m|－2≤m≤2} C.{m|m<－2或m>2} D.{m|－2<m<2} √ 因为关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解， 所以Δ＝m2－4≥0，解得m≥2或m≤－2. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.若当1≤x≤4时，不等式x2－(m＋1)x＋9≤0有解，则实数m的最小值为 A.9 B.5 C.6 D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为当1≤x≤4时，不等式x2－(m＋1)x＋9≤0有解， 所以m＋1≥x＋有解， 又因为x＋≥2＝6， 当且仅当x＝，即x＝3时取等号， 所以当1≤x≤4时，x＋的最小值为6， 所以m＋1≥6，即m≥5，故m的最小值为5. 解析 5.若两个正实数x，y满足＝1，且不等式x＋<m2－3m有解，则实数m的取值范围是 A.{m|－1<m<4} B.{m|m<0或m>3} C.{m|－4<m<1} D.{m|m<－1或m>4} √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为正实数x，y满足＝1， 所以x＋＝2＋≥2＋2＝4，当且仅当x ＝2，y＝8时，等号成立，x＋取得最小值4. 由x＋<m2－3m有解，可得m2－3m>4， 解得m>4或m<－1. 解析 由题知“∀x∈R，(k2－1)x2＋2(k－1)x－1≤0”是真命题， 若k2－1＝0，则k＝1或k＝－1， 当k＝1时，－1<0恒成立，当k＝－1时，－4x－1≤0不恒成立； 若k2－1<0，Δ＝4(k－1)2＋4(k2－1)≤0，解得0≤k<1， 综上，0≤k≤1. 解析 二、多项选择题 6.若命题“∃x∈R，(k2－1)x2＋2(k－1)x－1>0”是假命题，则k的值可能为 A.0 B.1 C.2 D.3 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.若对于∀x∈{x|a≤x≤a＋2}，不等式x2－2x－3≤0恒成立，则实数a的值可能为 A.－2 B.－1 C. D.2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 不等式x2－2x－3≤0的解集是{x|－1≤x≤3}， 因为对于∀x∈{x|a≤x≤a＋2}，不等式x2－2x－3≤0恒成立， 记A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|－1≤x≤3}， 则A⊆B， 所以 解得－1≤a≤1， 所以结合选项，实数a的值可能为－1，. 解析 8.已知当0<x≤2时，关于x的不等式ax2－2x＋3a<0有解，则实数a的取值可能是 A.－3 B.－2 C.1 D.2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由当0<x≤2时，ax2－2x＋3a<0有解， 可得a<有解， 当0<x≤2时，≤， 当且仅当x＝时取等号，所以a<，故A，B正确，C，D错误. 解析 三、填空题 9.若关于x的不等式ax2－2x＋1<0有解，则实数a的取值范围为　　　　. 因为ax2－2x＋1<0有解，显然a≤0时恒成立； 又由解得0<a<1， 综上，a<1. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 {a|a<1} 10.关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1≤0的解集为R，则实数a的取值范围是　　　　　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当a2－1＝0时，a＝1或a＝－1， 若a＝1，不等式为－1≤0，恒成立； 若a＝－1，不等式为2x－1≤0， 解得x≤，不符合题意. 当a2－1≠0时，若要不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1≤0的解集为R， 则a2－1<0，且Δ＝(a－1)2＋4(a2－1)≤0， 解得－≤a<1. 综上可得，实数a的取值范围是. 解析 四、解答题 11.对于∀x∈{x|2≤x≤3}，不等式mx2－mx－1<0恒成立，求m的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由不等式mx2－mx－1<0，得m(x2－x)<1， 因为x∈{x|2≤x≤3}，所以x2－x>0， 所以m(x2－x)<1可化为m<， 因为x2－x＝≤6， 所以≥，所以m<. 即m的取值范围是. 解 12.已知关于x的不等式2x2＋bx＋c<20的解集为{x|－4<x<1}. (1)求b，c的值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题意知，2x2＋bx＋c－20<0的解集为{x|－4<x<1}， ∴－4和1是方程2x2＋bx＋c－20＝0的两个根， 由根与系数的关系可得 解得 解 (2)若当2<x<4时，关于x的不等式2x2＋bx＋c<mx有解，求实数m的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∵当2<x<4时，关于x的不等式2x2＋6x＋12<mx有解， ∴m>2x＋＋6有解， 当2<x<4时，2x＋＋6≥2＋6＝4＋6，当且仅当x＝时，等号成立， ∴m>4＋6. 解 第一章　预备知识 <<< $