第7章 章末复习课 概率（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学单元复习讲义通过知识网络框架图系统构建概率知识体系，梳理互斥与对立事件的概念辨析、古典概型的有限性与等可能性特征、频率与概率的关系及相互独立事件的判定，并用对比表格呈现概念区别和数据关系，清晰展现知识内在逻辑。 讲义亮点在于例题与跟踪训练结合实际情境，如保险购买概率、师生调查统计等，培养数据分析素养。反思感悟总结复杂事件概率转化方法，如互斥事件求和或对立事件求补，提升逻辑推理能力。分层训练满足不同学生需求，助力自主复习，为教师精准教学提供有效支持。

一、互斥事件与对立事件 1.互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生.因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况. 2.掌握互斥事件和对立事件的概率公式及应用，提升逻辑推理和数学运算素养. 例1　根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3. (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率； (2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率. 解　记A表示事件“该车主购买甲种保险”；B表示事件“该车主购买乙种保险但不购买甲种保险”；C表示事件“该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种”；D表示事件“该车主甲、乙两种保险都不购买”. (1)由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，又C＝A∪B， 所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8. (2)因为D与C是对立事件， 所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2. 反思感悟　求复杂事件的概率常用的两种方法 (1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和. (2)先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P()求解. 跟踪训练1　一个袋子中装有一定数量的红、绿玻璃球，从中不放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则至少取得一个红球的概率为　　　　.  答案　 解析　由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率P(A)＝1－P(B)＝1－. 二、古典概型 1.古典概型是一种最基本的概率模型，是学习其他概率模型的基础，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性.在应用公式P(A)＝时，关键在于正确理解试验的发生过程，求出试验的样本空间的样本点总数n和事件A的样本点个数m. 2.掌握古典概型的概率公式及其应用，提升数学抽象、数据分析的数学素养. 例2　某地教育研究中心为了调查该地师生对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法，对该市区部分师生进行调查，先将调查结果统计如表： 赞成 反对 合计 教师 120 学生 40 合计 280 120 (1)请将表格补充完整，若该地区共有教师30 000人，以频率为概率，试估计该地区教师反对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法的人数； (2)采用分层随机抽样的方法从“反对”的人中先抽取6人，再从中随机选出3人进行深入调研，求深入调研中恰有1名学生的概率. 解 　(1)表格补充如下： 赞成 反对 合计 教师 120 80 200 学生 160 40 200 合计 280 120 400 故可以估计该地区教师反对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法的人数为30 000×＝12 000. (2)由分层随机抽样可知，所抽取的6人中有2名学生，记为a，b，4名教师记为1，2，3，4，随机选出3人进行深入调研，不同选法有(a，b，1)，(a，b，2)，(a，b，3)，(a，b，4)，(a，1，2)，(a，1，3)，(a，1，4)，(a，2，3)，(a，2，4)，(a，3，4)，(b，1，2)，(b，1，3)，(b，1，4)，(b，2，3)，(b，2，4)，(b，3，4)，(1，2，3)，(1，2，4)，(1，3，4)，(2，3，4)，共20种， 恰有1名学生的选法有(a，1，2)，(a，1，3)，(a，1，4)，(a，2，3)，(a，2，4)，(a，3，4)，(b，1，2)，(b，1，3)，(b，1，4)，(b，2，3)，(b，2，4)，(b，3，4)，共12种，故深入调研中恰有1名学生的概率P＝. 反思感悟　古典概型概率计算问题的关注点 (1)判断：该试验类型是否为古典概型问题. (2)关键：写出样本空间所包含的样本点及所求事件所包含的样本点. (3)注意：①弄清“放回”抽取还是“不放回”抽取； ②灵活运用互斥事件、对立事件的概率公式. 跟踪训练2　某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如表所示：(单位：人) 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 8 5 未参加演讲社团 2 30 (1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率； (2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率. 解　(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人， 故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)， 所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P＝. (2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，A4B1，A4B2，A4B3，A5B1，A5B2，A5B3}，共含15个样本点. 根据题意这些样本点出现的可能性相等.事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的样本点有A1B2，A1B3，共2个. 所以其概率为P＝. 三、频率与概率 1.概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值. 2.掌握频率与概率的关系，在具体的问题中会用频率估计概率，进一步提升数据分析与数学运算的核心素养. 例3　某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频数 60 50 30 30 20 10 (1)记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值； (2)记B为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值； (3)求续保人本年度平均保费的估计值. 解　(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2. 由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为 ＝0.55，故P(A)的估计值为0.55. (2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3. (3)由所给数据得 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 调查的200名续保人的平均保费为 0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a. 因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a. 反思感悟　频率与概率问题的关注点 (1)依据概率的定义，可以用事件发生的频率去估计概率. (2)频率的计算公式为频率＝，其中m是事件出现的频数，n为重复试验次数. 跟踪训练3　(多选)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买. 商品 顾客人数 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × 根据表中数据，下列结论正确的是(　　) A.顾客购买乙商品的概率最大 B.顾客同时购买乙和丙的概率约为0.2 C.顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率约为0.3 D.顾客仅购买1种商品的概率不大于0.2 答案　BCD 解析　对于A，由于购买甲商品的顾客有685位，购买乙商品的顾客有515位，故A错误； 对于B，∵从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，∴顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为＝0.2，故B正确； 对于C，∵从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，∴顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为＝0.3，故C正确； 对于D，∵从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有183位顾客仅购买1种商品，∴顾客仅购买1种商品的概率可以估计为0.183<0.2，故D正确. 四、相互独立事件 1.相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解. 2.掌握相互独立事件的概率公式的应用，提升数学抽象和逻辑推理的数学素养. 例4　某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6，0.4，0.5，0.2.已知各轮问题能否正确回答互不影响. (1)求该选手被淘汰的概率； (2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题后最终被淘汰的概率. 解　设“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件Ai(i＝1，2，3，4)，则P(A1)＝0.6，P(A2)＝0.4，P(A3)＝0.5，P(A4)＝0.2. (1)方法一　该选手被淘汰的概率为 P＝P(∪A1∪A1A2∪A1A2A3)＝P()＋P(A1)P()＋P(A1)P(A2)P()＋P(A1)P(A2)P(A3)P()＝0.4＋0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.976. 方法二　P＝1－P(A1A2A3A4)＝1－P(A1)·P(A2)P(A3)P(A4)＝1－0.6×0.4×0.5×0.2＝1－0.024＝0.976. (2)方法一　所求概率P＝P(A1∪A1A2∪A1A2A3)＝P(A1)P()＋P(A1)P(A2)P()＋P(A1)P(A2)P(A3)P()＝0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.576. 方法二　所求概率P＝1－P()－P(A1A2A3A4)＝1－(1－0.6)－0.6×0.4×0.5×0.2＝0.576. 反思感悟　利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路 (1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥的简单事件的和. (2)将彼此互斥的简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件. (3)代入概率的积、和公式求解. 跟踪训练4　挑选空军飞行员可以说是“万里挑一”，要想被录取需要通过五关：目测、初检、复检、文考(文化考试)、政审.若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析，甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是0.5，0.6，0.75，通过文考关的概率分别是0.6，0.5，0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响. (1)求甲被录取成为空军飞行员的概率； (2)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一个人通过复检的概率. 解　设甲、乙、丙三位同学分别通过复检为事件A，B，C，甲、乙、丙三位同学分别通过文考为事件D，E，F，可得 P(A)＝0.5，P(B)＝0.6，P(C)＝0.75，P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.4. (1)由题意，可得甲被录取成为空军飞行员的概率P＝1×1×P(A)×P(D)×1＝1×1×0.5×0.6×1＝0.3. (2)由题意，甲、乙、丙三位同学中恰好有一个人通过复检，即为事件A∪B∪C， 利用相互独立事件的概率计算公式，可得甲、乙、丙三位同学中恰好有一个人通过复检的概率为 P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝0.5×(1－0.6)×(1－0.75)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.75)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.75＝0.275. 学科网（北京）股份有限公司 $