第5章 习题课 函数的零点与方程的解的应用（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

本高中数学讲义聚焦函数零点与方程的解的应用，系统梳理已知零点求参数范围及一元二次方程根的分布两大核心知识点。通过实例从函数零点存在定理应用切入，逐步过渡到根的分布问题，构建由浅入深的学习支架。 该资料以例题解析与跟踪训练结合，通过反思感悟提炼直接法、分离参数法、数形结合法等解题策略，表格归纳根的分布条件。培养学生数学思维（推理能力）与数学眼光（几何直观），课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

习题课　函数的零点与方程的解的应用 学习目标　1.进一步应用函数零点存在定理，已知零点(方程的解)的情况求参数范围.2.掌握一元二次方程的根的分布情况. 一、根据零点情况求参数 例1　若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有三个零点0，1，x0，且x0∈(1，2)，则a的取值范围是(　　) A.(－2，0) B.(1，2) C.(2，3) D.(－3，－2) 答案　D 解析　因为函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有三个零点0，1，x0，所以 解得 所以f(x)＝x3＋ax2＋(－1－a)x＝x(x－1)(x＋a＋1)，所以x0＝－1－a，又x0∈(1，2)， 所以1<－1－a<2，解得－3<a<－2. 反思感悟　已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)的常用方法 (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围. (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决. (3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，利用数形结合的方法求解. 跟踪训练1　若方程xlg(x＋2)＝1的实数根在区间(k，k＋1)(k∈Z)上，则k等于(　　) A.－2 B.1 C.－2或1 D.0 答案　C 解析　由题意知x≠0，则原方程即为lg(x＋2)＝，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝lg(x＋2)与y＝的图象，如图所示， 由图象可知，原方程有两个根，一个在区间(－2，－1)上，一个在区间(1，2)上， 所以k＝－2或k＝1. 二、一元二次方程的根的分布问题 例2　已知关于x的方程x2＋2(m－1)x＋2m＋6＝0. (1)若方程有两个实根，且一个比2大，一个比2小，求实数m的取值范围； (2)若方程有两个实根α，β，且满足0<α<1<β<4，求实数m的取值范围； (3)若方程至少有一个正根，求实数m的取值范围. 解　设f(x)＝x2＋2(m－1)x＋2m＋6， (1)f(x)的大致图象如图所示， ∴f(2)<0，即4＋4(m－1)＋2m＋6<0， 得m<－1， ∴实数m的取值范围为(－∞，－1). (2)f(x)的大致图象如图所示， ∴ 解得－<m<－， ∴实数m的取值范围为. (3)方法一　方程至少有一个正根，则有三种可能的情况， ①有两个正根，此时如图1，可得 即∴－3<m≤－1. ②有一个正根，一个负根，此时如图2，可得f(0)<0，得m<－3. ③有一个正根，另一根为0，此时如图3， 可得 ∴m＝－3. 综上所述，当方程至少有一个正根时，实数m的取值范围为(－∞，－1]. 方法二　不妨设方程的两根分别为x1，x2， 且x1>0， 由题知Δ≥0，解得m≤－1或m≥5， 由根与系数的关系， 当x2≥0时， 得－3≤m<1， ∴－3≤m≤－1， 当x2<0时，x1x2<0，此时m<－3. 综上所述，m≤－1. 反思感悟　一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根的分布问题(只考虑方程有两个不相等的实数根) 根的分布(m，n，p为常数) 图象 满足条件 x1<x2<m m<x1<x2 x1<m<x2 f(m)<0 m<x1<x2<n m<x1<n<x2<p x1，x2有且只有一个在(m，n)之间且f(m)·f(n)≠0 f(m)·f(n)<0 跟踪训练2　已知方程x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)＝0的两根分别在区间(0，1)，(1，3)内，则实数a的取值范围为　　　　.  答案　(0，1) 解析　设函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)， 由题意得 即 解得0<a<1. 1.知识清单： (1)根据零点情况求参数. (2)一元二次方程根的分布. 2.方法归纳：判别式法、数形结合法. 3.常见误区：不能把函数、方程问题相互灵活转化. 课时对点练 [分值：80分] 一、单项选择题(每小题5分，共25分) 1.方程x＋log3x＝3的解为x0，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则n等于(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　C 解析　设f(x)＝x＋log3x－3， 则f(1)＝1＋log31－3＝－2<0， f(2)＝2＋log32－3＝log32－1<0， f(3)＝3＋log33－3＝1>0， 又易知f(x)为增函数， 所以方程x＋log3x＝3的解在(2，3)内，因此n＝2. 2.若方程－x2＋ax＋4＝0的两实根中一个小于－1，另一个大于2，则a的取值范围是(　　) A.(0，3) B.[0，3] C.(－3，0) D.(－∞，1)∪(3，＋∞) 答案　A 解析　因为方程－x2＋ax＋4＝0有两根，一个大于2，另一个小于－1， 所以函数 f(x)＝－x2＋ax＋4有两个零点，一个大于2，另一个小于－1，由二次函数的图象可知， 即 解得0<a<3. 3.若函数f(x)＝(其中a>0，a≠1)存在零点，则实数a的取值范围是(　　) A.∪(1，3) B.(1，3] C.(2，3) D.(2，3] 答案　C 解析　由函数的解析式可知a>2， 因为指数函数y＝ax单调递增，在区间(2，a]上无零点， 所以函数y＝loga(x－2)在区间(a，＋∞)上存在零点， 由于y＝loga(x－2)单调递增， 故当x＝a时，有loga(a－2)<0＝loga1， 从而a－2<1⇒a<3， 所以实数a的取值范围是(2，3). 4.已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d，若f(x)＝2 023－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是(　　) A.a>c>b>d B.a>b>c>d C.c>d>a>b D.c>a>b>d 答案　D 解析　由题意设g(x)＝(x－a)(x－b)，则f(x)＝2 023－g(x)，且g(x)＝0的两个根是a，b.由题意知f(x)＝0的两个根是c，d，也就是g(x)＝2 023的两个根，画出y＝g(x)(开口向上)以及y＝2 023的大致图象(图略)，则y＝2 023与y＝g(x)的图象交点的横坐标就是c，d，y＝g(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是a，b，则c，d在a，b外，又a>b，c>d，则c>a>b>d. 5.对实数a，b，定义运算“*”：a*b＝设函数f(x)＝(x2＋1)*(x＋2)，若函数y＝f(x)－c有两个零点，则实数c的取值范围是(　　) A.(2，4)∪(5，＋∞) B.(1，2]∪(4，5] C.(－∞，1)∪(4，5] D.[1，2] 答案　B 解析　由题意知， 当(x2＋1)－(x＋2)≤1，即－1≤x≤2时，f(x)＝x2＋1； 当(x2＋1)－(x＋2)>1，即x>2或x<－1时，f(x)＝x＋2. ∴f(x)＝ ∵函数y＝f(x)－c有两个零点， ∴函数y＝f(x)的图象与函数y＝c的图象有两个交点.画出函数y＝f(x)的图象，如图所示. 由图可知，当c∈(1，2]∪(4，5]时，函数y＝f(x)－c有两个零点. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 6.已知函数f(x)＝a|x－1|的图象与直线y＝2x＋a有两个不同的交点，则正实数a的取值可以是(　　) A.2 B.3 C.4 D.1 答案　BC 解析　在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)＝a|x－1|与y＝2x＋a的大致图象，如图所示， 两图象都经过(0，a)，易知只有当a>2时才能在x>1的区域上有第二个交点，故a的取值范围为a>2. 7.已知二次函数y＝ax2－4ax－3a＋2(a<0)有两个零点x1，x2，且x1<x2，则(　　) A.x1＋x2－4＝0 B.x1x2＋3>0 C.x2－x1>2 D.－<x1<x2< 答案　AC 解析　y＝ax2－4ax－3a＋2有两个零点x1，x2，且x1<x2，令y＝0，因此Δ＝16a2－4a(－3a＋2)＝28a2－8a，由于a<0，所以Δ>0恒成立，故 x1＋x2－4＝0，故A正确；x1x2＋3＝－3＋＋3＝<0，故B错误；x2－x1＝>＝2，故C正确；由于二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线x＝2，f＝f＝2－a>0，因此两个零点x1<－，x2>，故D错误. 8.已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c在(0，2)上有两个零点.下列说法正确的有(　　) A.f(0)>0且f(2)>0 B.f(1)<0 C.f(0)f(2)>1 D.f(0)和f(2)中至少有一个小于1 答案　AD 解析　不妨设二次函数f(x)＝x2＋bx＋c在(0，2)上的两个零点为x1，x2，且x1<x2， 所以故A正确； 当x1，x2∈(0，1)时，f(1)>0，故B错误； 若x1＝1，x2＝， 则f(x)＝(x－1)＝x2－x＋， 此时f(0)＝，f(2)＝， 则f(0)f(2)＝<1，故C错误； 方法一　当f(1)＝1＋b＋c<0时，4＋2b＋2c<2，即f(0)＋f(2)<2， 所以f(0)和f(2)中至少有一个小于1； 当f(1)＝1＋b＋c≥0时，－∈(0，1)或(1，2)， 若－∈(0，1)，则f(0)＝c<<1， 若－∈(1，2)，则f(2)＝4＋2b＋c<4＋2b＋<1，故D正确. 方法二　若f(0)≥1，f(2)≥1，即c≥1，4＋2b＋c≥1， 由Δ＝b2－4c>0，得b2>4c≥4， 则b<－2或b>2，结合0<－<2， 得－4<b<－2， 则f(2)＝4＋2b＋c<4＋2b＋<1， 这与f(2)≥1矛盾，故f(0)和f(2)至少有一个小于1，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－k有三个零点，则k的取值范围是　　　　.  答案　(－1，1) 解析　令g(x)＝f(x)－k＝0，可得f(x)＝k， 作出y＝f(x)的图象，如图， 由图可知，当y＝k与y＝f(x)的图象有三个不同的交点时，－1<k<1，所以k的取值范围是(－1，1). 10.已知函数f(x)＝若正实数a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a·b·c的取值范围为　　　　.  答案　(e，e2) 解析　画出f(x)的图象如图所示， ∵正实数a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)， 不妨设a<b<c， 则由图象可得0<a<1<b<e<c<e2， 且－ln a＝ln b，则可得a·b＝1， ∴a·b·c＝c∈(e，e2). 四、解答题(共27分) 11.(13分)函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，求实数a的取值范围. 解　由f(x)＝0得a－1＝2|x|－x2， 因为函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，所以函数y＝a－1与y＝2|x|－x2的图象有四个交点， 画出函数y＝2|x|－x2的图象，如图所示， 观察图象可知0<a－1<1，即1<a<2， 所以实数a的取值范围是(1，2). 12.(14分)已知函数f(x)＝ax2－5x＋a. (1)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围；(6分) (2)若函数f(x)的一个零点在(0，1)内，另一个零点在(2，3)内，求实数a的取值范围.(8分) 解　(1)由题意得 则－<a<0或0<a<. (2)由f(x)的两个零点一个在(0，1)内，另一个在(2，3)内，故a≠0， 当f(x)的图象开口向上时， 即解得<a<2； 当f(x)的图象开口向下时， 所以解得a∈∅. 综上，a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $