第4章 §1 对数的概念（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦对数概念这一核心知识点，从指数方程求解困境引入，系统梳理对数定义、常用与自然对数两种特殊形式，构建对数式与指数式互化关系及对数性质、恒等式的完整学习支架。 资料以纳皮尔发明对数的历史情境培养数学眼光，通过问题驱动（如2ˣ=3的求解）发展数学思维，结合例题延伸探究与分层训练强化数学语言表达。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

学习目标　1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值. 导语 苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.对数的出现是基于当时天文、航海、工程、贸易以及军事快速发展的需要而出现的.经过不断发展，人们发现，对数与指数存在互逆的关系，然而更有意思的是“对数源出于指数”，而对数的发明却先于指数，对数可以用来解决指数所不能解决的问题，让我们一起来发现对数与指数的关系吧！ 一、对数的概念 问题1　我们知道若2x＝4，则x＝2；若3x＝81，则x＝4；若＝128，则x＝－7等等这些方程，我们可以轻松求出x的值，但对于2x＝3，1.11x＝2，10x＝5等这样的指数方程，你能求出方程的解吗？ 提示　用指数方程不能解决上述方程，为了解决这个问题，早在18世纪的欧拉为我们提供了解决问题的方案，那就是利用指数与对数的互逆关系，用对数来表示指数方程的解. 知识梳理 1.对数的概念 一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b称为以a为底N的对数，记作logaN＝b.其中a叫作对数的底数，N叫作真数. 2.两种特殊对数 名称 定义 记法 常用对数 以10为底数的对数 lg N 自然对数 以无理数e＝2.718 281…为底数的对数 ln N 注意点： (1)对数是由指数转化而来，则底数a、指数或对数x、幂或真数N的范围不变，只是位置和名称发生了变换.特别注意N>0. (2)logaN不是loga与N的乘积，而是对数符号. 例1　若对数式log(t－2)3有意义，则实数t的取值范围是(　　) A.[2，＋∞) B.(2，3)∪(3，＋∞) C.(－∞，2) D.(2，＋∞) 答案　B 解析　由题意得解得t>2，且t≠3. 所以实数t的取值范围是(2，3)∪(3，＋∞). 延伸探究　将例1的对数式改为“log(t－2)(t－3)”，求实数t的取值范围. 解　由题意可得 解得t>3.所以实数t的取值范围是(3，＋∞). 反思感悟　求关于对数式的范围 利用式子logaN⇒从而求出未知数的范围. 二、对数式与指数式的互化 问题2　根据对数的定义，你能解2x＝3，1.11x＝2，10x＝5吗？ 提示　x＝log23；x＝log1.112；x＝lg 5. 知识梳理　对数与指数的关系 若a>0，且a≠1，则ab＝N⇔logaN＝b. 注意点： (1)特别注意ab>0，故N>0. (2)不是每一个指数式都可以化为对数式.如(－3)2＝9，不能写成log(－3)9＝2. 例2　(课本例1)将下列指数式改写为对数式： (1)53=125； (2)=4； (3)=8； (4)6-2=. 解　由对数的定义，得 (1)log5125=3. (2)log84=. (3)lo8=-3. (4)log6=-2. 例3　(课本例2)将下列对数式改写为指数式： (1)log264=6； (2)log3=-4； (3)lg 0.001=-3； (4)lo4=-2. 解　由对数的定义，得 (1)26=64. (2)3-4=. (3)10-3=0.001. (4)=4. 例4　(课本例3)求下列各式中x的值： (1)log3x=4； (2)log5=x； (3)3x=5； (4)ln x=-1； (5)logx64=2； (6)=x. 解　由对数的定义，得 (1)x=34=81. (2)5x==5-2，所以x=-2. (3)x=log35. (4)x=e-1=. (5)x2=64，又x>0，所以x=8. (6)=3，所以x=3. 例2　将下列指数式与对数式互化： (1)2－2＝； (2)＝8； (3)ea＝16； (4)log39＝2； (5)lg 0.01＝－2. 解　(1)log2＝－2. (2)log48＝. (3)loge16＝a，即ln 16＝a. (4)32＝9. (5)10－2＝0.01. 例3　求下列各式中x的值： (1)log64x＝－； (2)logx8＝6； (3)lg 1 000＝x； (4)log5＝x. 解　(1)x＝6＝(43＝4－2＝. (2)因为x6＝8，且x>0， 所以x＝(x6＝(23. (3)因为10x＝1 000＝103，所以x＝3. (4)因为5x＝＝5－2，所以x＝－2. 反思感悟　指数式与对数式互化的思路 跟踪训练1　(1)(多选)下列指数式与对数式互化正确的有(　　) A.e0＝1与ln 1＝0 B.与log8＝－ C.log416＝2与1＝4 D.log77＝1与71＝7 答案　ABD 解析　C选项中，由log416＝2，得42＝16，故C错误，ABD均正确. (2)求下列各式的值. ①log981＝　　　　.  ②log0.41＝　　　　.  ③ln e2＝　　　　.  答案　①2　②0　③2 解析　①设log981＝x，所以9x＝81＝92， 故x＝2，即log981＝2. ②设log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40， 故x＝0，即log0.41＝0. ③设ln e2＝x，所以ex＝e2， 故x＝2，即ln e2＝2. 三、利用对数的性质及对数恒等式求值 1.对数恒等式：＝N. 2.对数的性质 (1)loga1＝0； (2)logaa＝1； (3)零和负数没有对数. 例4　求下列各式中x的值： (1)ln (log5x)＝0； (2)log3(lg x)＝1； (3)x＝. 解　(1)∵ln (log5x)＝0， ∴log5x＝1，∴x＝51＝5. (2)∵log3(lg x)＝1， ∴lg x＝3，∴x＝103＝1 000. (3)x＝＝7÷＝7÷5＝. 反思感悟　利用对数的性质及对数恒等式求值 (1)对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质：loga1＝0和logaa＝1(a>0且a≠1)，进行变形求解. (2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式：＝N的应用. 跟踪训练2　(1)若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为(　　) A.9 B.8 C.7 D.6 答案　A 解析　∵log2(log3x)＝0，∴log3x＝1， ∴x＝3，同理可得y＝4，z＝2，∴x＋y＋z＝9. (2)＝　　　　.  答案　4 解析　＝(32＝4. 1.知识清单： (1)对数的概念. (2)两种特殊对数：自然对数、常用对数. (3)对数式与指数式的互化. (4)对数恒等式及对数的性质. 2.方法归纳：转化化归. 3.常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.若7x＝8，则x等于(　　) A. B.log87 C.log78 D.log7x 答案　C 2.已知ln x＝2，则x等于(　　) A.±2 B.e2 C.2e D.2e 答案　B 解析　由ln x＝2得，e2＝x，所以x＝e2. 3.使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为(　　) A.a>，且a≠1 B.0<a< C.a>0，且a≠1 D.a< 答案　B 解析　由题意知解得0<a<. 4.设＝25，则x的值是(　　) A.10 B.13 C.100 D.±100 答案　B 解析　由＝25得2x－1＝25， 所以x＝13. 5.(多选)下列指数式与对数式互化正确的是(　　) A.100＝1与lg 1＝0 B.2与log27＝－3 C.log55＝1与51＝5 D.ln N＝与N＝ 答案　AC 解析　依题意，由ax＝N⇒x＝logaN可得， 对于A，100＝1⇒lg 1＝0，故A正确； 对于B，2⇒log27＝－，故B错误； 对于C，log55＝1⇒51＝5，故C正确； 对于D，ln N＝⇒＝N，故D错误. 6.(多选)下列等式正确的有(　　) A.lg(lg 10)＝0 B.lg(ln e)＝0 C.若lg x＝10，则x＝10 D.若ln x＝e，则x＝e2 答案　AB 解析　A项，lg(lg 10)＝lg 1＝0，故A正确； B项，lg(ln e)＝lg 1＝0，故B正确； C项，若lg x＝10，则x＝1010，故C错误； D项，若ln x＝e，则x＝ee，故D错误. 7.(5分)若log3＝x，则x＝　　　　.  答案　－4 解析　由log3＝x得3x＝＝3－4， 所以x＝－4. 8.(5分)十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算发明了对数，直到十八世纪才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，即ab＝N⇔b＝logaN.现在已知a＝log48，b＝log24，则4a＝　　　，a＋b＝　　　　(用最简结果作答).  答案　8　 解析　∵a＝log48， 则4a＝8，即22a＝23， ∴2a＝3，∴a＝. ∵b＝log24， ∴2b＝4，即2b＝22， ∴b＝2，∴a＋b＝＋2＝. 9.(10分)求值： (1)lo1；(2分)(2)ln ；(2分)(3)lo27；(2分)(4)log432；(2分)(5)(2分) 解　(1)lo1＝0. (2)令ln ＝x， ∴ex＝，∴x＝. (3)令lo27＝x，∴＝27＝， ∴x＝－3. (4)令log432＝x， ∴4x＝32，∴22x＝25，∴2x＝5，∴x＝. (5)÷32＝. 10.(11分)若lox＝m，loy＝m＋2，求的值. 解　∵lox＝m， ∴＝x，x2＝. ∵loy＝m＋2，∴＝y，y＝. ∴＝16. 11.已知a>0且a≠1，则下列说法正确的是(　　) A.若M＝N，则logaM＝logaN B.若logaM＝logaN，则M＝N C.若logaM2＝logaN2，则M＝N D.若M＝N，则logaM2＝logaN2 答案　B 解析　A中，当M，N小于或等于0时，logaM＝logaN不成立；B正确； C中，M与N也可能互为相反数； D中，当M＝N＝0时无意义. 12.已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则logxyx的值是(　　) A.1 B.0 C.x D.y 答案　B 解析　由x2＋y2－4x－2y＋5＝0， 得(x－2)2＋(y－1)2＝0， 所以x＝2，y＝1， 所以logxyx＝log212＝0. 13.方程lg(x2－1)＝lg(2x＋2)的根为(　　) A.－3 B.3 C.－1或3 D.1或－3 答案　B 解析　由解得x>1. 又lg(x2－1)＝lg(2x＋2)， 得x2－1＝2x＋2，即x2－2x－3＝0， 解得x＝－1或x＝3. ∴x＝3. 14.(5分)已知lo(3x2－3x＋1)＝1，则x＝　　　.  答案　2 解析　由题意可知 解得 所以x＝2. 15.(5分)已知二次函数f(x)＝(lg a)x2＋2x＋4lg a的最大值是3，则a的值为　　　　.  答案　1 解析　因为二次函数f(x)有最大值， 所以lg a<0. 又f(x)max＝＝3， 所以4(lg a)2－3lg a－1＝0. 解得lg a＝1或lg a＝－. 因为lg a<0，所以lg a＝－，所以a＝1. 16.(12分)若log2＝log3＝log5＝0，试比较x，y，z的大小关系. 解　由log2＝0，得lo(log2x)＝1， 所以log2x＝， 所以x＝＝(215， 由log3＝0，得lo(log3y)＝1， 所以log3y＝，所以y＝＝(310. 由log5＝0，得lo(log5z)＝1， 所以log5z＝，所以z＝＝(56. 因为310>215>56，所以y>x>z. 学科网（北京）股份有限公司 $