专题04 简单幂函数的图像和性质（专项训练）数学北师大版2019必修第一册

专题04简单幂函数的图像和性质 目录 A题型建模・专项突破 题型一、幂函数的判断 1 题型二、求幂函数的解析式 2 题型三、幂函数求值 3 题型四、幂函数求参数 3 题型五、幂函数过定点 4 题型六、幂函数的定义域 5 题型七、复合型幂函数的定义域 6 题型八、幂函数的值域与最值 7 题型九、幂函数的单调性 8 题型十、幂函数解不等式 9 题型十一、幂函数比较大小（含有不等式） 11 题型十二、已知幂函数的值域与最值求参数 11 题型十三、幂函数恒成立问题 13 题型十四、幂函数有解问题 15 B综合攻坚・能力跃升 题型一、幂函数的判断 1．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由幂函数的定义即可判断. 【详解】由幂函数的定义：形如,其中为常数，所以可得是幂函数． 故选：C. 2．(24-25高一上·湖北武汉江岸区、江汉区·期末)下列函数是幂函数且是奇函数的是（    ） A．y=2x B． C． D． 【答案】C 【分析】由幂函数解析式结构特点及奇偶性概念逐个判断即可； 【详解】对于A，易知不是幂函数，错误； 对于B，易知其为偶函数，错误； 对于C，由解析式可知为幂函数；，定义域为， 又，奇函数，正确； 对于D，易知其为偶函数，错误； 故选：C 3（多选）．(24-25高一上·浙江丽水·期末)下列函数中，为幂函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用幂函数的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】由幂函数的定义知，和是幂函数， 和不是幂函数，分别是二次函数和指数函数， 故选：AC. 题型二、求幂函数的解析式 4．已知幂函数的图象经过点，则 ． 【答案】 【分析】将点代入幂函数解析式求解即可. 【详解】因为是幂函数，图象经过点，设， 则，解得，故, 故答案为： 5．(24-25高一下·云南楚雄第一中学·期中)已知幂函数的图象关于轴对称，则 . 【答案】 【分析】根据幂函数的定义即可求，再根据的图像关于轴对称即可求解. 【详解】由题意有，即，解得或， 又的图象关于轴对称，所以，即. 故答案为：. 6．(24-25高一上·浙江杭州上城区杭九中·期末)已知幂函数的图象经过点，则 ． 【答案】/ 【分析】由待定系数法即可代入求解. 【详解】设，则，故，则， 故答案为： 题型三、幂函数求值 7．若函数是幂函数，且，则 ． 【答案】64 【分析】由题意求得，代入即可得解. 【详解】设，由，得，解得，所以，所以． 故答案为：64. 8．(24-25高一下·辽宁朝阳凌源多校·)已知幂函数，则 . 【答案】 【分析】由幂函数定义可得，然后可得答案. 【详解】由幂函数定义可得，则， 则. 故答案为： 9．若幂函数的图象经过，，这三个点中的两个点，则 . 【答案】16 【分析】根据幂函数的概念及性质，先确定幂函数的解析式，再求的值. 【详解】因为点为第四象限的点，所以幂函数的图象不过点. 设幂函数，其图象经过点和， 所以，解得，所以. 所以. 故答案为：16. 题型四、幂函数求参数 10．已知幂函数是奇函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．或2 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义求出的可能值，再结合奇偶性即可得出结果． 【详解】由为幂函数得，即，解得或． 当时，，，原幂函数为偶函数，所以； 当时，，，原幂函数为奇函数，故． 故选：A． 11．已知幂函数，若且都有成立，则m的值为（    ） A．2 B．2或 C． D． 【答案】D 【分析】先根据幂函数的概念求出或，再根据幂函数在上的单调性进行选择. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或． 因为且都有成立， 所以在上单调递减，所以． 故选：D 12．已知幂函数在上是减函数，则实数 ． 【答案】 【分析】根据幂函数定义及性质可得 【详解】因为是幂函数， 所以, 解得或. 当时，为增函数，不符合题意； 当时，在上是减函数，符合题意； 故答案为:. 题型五、幂函数过定点 13．已知为幂函数，则函数的图象经过的定点坐标为 ． 【答案】(1,2) 【分析】根据幂函数的性质确定所过定点，即可确定所过定点． 【详解】因为幂函数的图象过定点(1,1)，即有， 所以，即的图象经过定点(1,2)， 故答案为：． 14．(23-24高一上·四川凉山州·期末)函数的图象恒过点 . 【答案】 【分析】根据幂函数的图象过定点求解. 【详解】令 ， 此时，无论取何值，都有. 所以函数图象恒过点. 故答案为： 15．（多选）(24-25高一上·贵州黔东南苗族侗族·期末)已知幂函数，则下列说法正确的有（    ） A．或3 B．一定为奇函数 C．一定为减函数 D．必过点 【答案】ABD 【分析】根据幂函数的概念可求的值，再结合幂函数的性质对各选项进行判断. 【详解】对于A，根据幂函数的定义可得或，故A正确； 对于B，当或时，或都为奇函数，故B正确； 对于C，当时，不是减函数，当时，是增函数，故C错误； 对于D，因为对任意都有，所以幂函数均经过点，故D正确. 故选：ABD 题型六、幂函数的定义域 16．(24-25高一上·上海宝山区海滨中学·期中)幂函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义直接求出定义域. 【详解】函数的定义域为. 故选：B 17．在函数①；②；③；④；⑤；⑥中，定义域是的有 个． 【答案】3 【分析】根据次方根，分数指数幂的意义来求解函数的定义域，利用非负数存在偶次方根，任意的实数存在奇次方根来求解函数的定义域． 【详解】解：①的定义域为； ②的定义域为； ③的定义域为； ④的定义域为； ⑤的定义域为； ⑥的定义域为． 故定义域为的有①③⑥，共3个， 故答案为：3． 18．函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，解得， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 题型七、复合型幂函数的定义域 19．(23-24高一上·广东广州第二中学·期中)幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到，解得答案. 【详解】设幂函数为，则，故，， 则的定义域为， 故满足，解得. 故选：A 20．若函数则函数y＝f(4 x－3)的定义域是(　　) A．(－∞，＋∞) B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，根据幂函数的定义域求解即可. 【详解】幂函数， , 所以，所以， 所以函数的定义域是，故选D. 【点睛】本题主要考函数的定义域、不等式的解法，属于简单题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出. 21．(23-24高一上·山西吕梁孝义部分学校·月考)已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故，则， 故，解得 故选：B 题型八、幂函数的值域与最值 22．(23-24高一下·辽宁名校联盟·)函数的值域为 . 【答案】 【分析】结合函数解析式并利用幂函数单调性可求得其值域为. 【详解】由幂函数性质可知在上单调递增， 又易知为偶函数， 所以当时，可知在上单调递减， 可得. 故答案为： 23．已知幂函数f（x）＝xa的图象经过点P（2，），则函数y＝f（x2）﹣2f（x）的最小值等于（　  　） A． B． C．1 D．﹣1 【答案】D 【分析】先由已知条件求得，再利用配方法求二次函数的最值即可得解. 【详解】解：已知幂函数f（x）＝xa的图象经过点P（2，）， 则，即，所以， 所以， 所以y＝f（x2）﹣2f（x） ， 当且仅当，即时取等号， 即函数y＝f（x2）﹣2f（x）的最小值等于， 故选：D. 【点睛】本题考查了幂函数解析式的求法，重点考查了二次函数求最值问题，属基础题. 24．(22-23高一上·陕西洛南中学·期中)已知幂函数满足： ①在上为增函数， ②对，都有， 求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域. 【答案】， 【分析】利用幂函数的性质及题设条件可确定表达式，进而确定其在指定区间上的值域. 【详解】因为在上为增函数，所以，解得， 又，所以，或． 又因为，所以是偶函数，所以为偶数． 当时，满足题意；当时，不满足题意， 所以， 又因为在上递增，所以，， 故时，的值域是． 题型九、幂函数的单调性 25．下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别判断函数的单调性即可． 【详解】为反比例函数，在上单调递减； 为一次函数，在上单调递减； 为开口向下的二次函数，在上单调递减； 当时，在上单调递增． 故选：D 26．(24-25高一上·云南昭通镇雄县三校·月考)函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可得的定义域，利用复合函数的单调性可求得的单调递减区间. 【详解】由，可得，解得或， 所以函数的定义域为， 又，所以在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 所以由复合函数的单调性可得在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为. 故选：A. 27．（多选）已知定义在上的偶函数在上单调递增，则可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质逐项判断即可. 【详解】选项A：，是偶函数，定义域为， 因为幂函数，由于幂指数，所以在上单调递减，A不满足题意； 选项B：，是偶函数，定义域为， 由二次函数的图象与性质得在上单调递增，B正确； 选项C：，是偶函数，定义域为， 当时，，则在上单调递增，C正确； 选项D：，则定义域为，不是偶函数，D不满足题意； 故选：BC 题型十、幂函数解不等式 28．(24-25高一上·江苏南通海门实验学校·期中)若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据幂函数的性质可知在定义域上单调递减，结合题干列出不等式组，解不等式组即可. 【详解】因为幂函数在定义域上单调递减， 所以， 故答案为：. 29．已知幂函数（）的图像关于轴对称，且. （1）求的值及函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由，得到函数在区间为单调递增函数，即求解. （2）根据函数图象关于轴对称，且在区间为单调递增函数，将不等式，转化为求解. 【详解】（1）由题意，函数（）的图像关于轴对称，且， 所以在区间为单调递增函数， 所以，解得， 由，。 又函数的图像关于轴对称， 所以为偶数， 所以， 所以. （2）因为函数图象关于轴对称，且在区间为单调递增函数， 所以不等式，等价于， 解得或， 所以实数的取值范围是. 【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质以及函数奇偶性和单调性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 30．已知幂函数在区间上单调递减． (1)判断函数的奇偶性； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)为奇函数． (2) 【分析】（1）由幂函数的定义可得，结合单调性解出的值，然后根据奇偶性定义判断奇偶性. （2）由（1）得,由定义域和单调性可得答案. 【详解】（1）由幂函数的定义得， 解得或，又由幂函数在区间上单调递减得指数，即， 故，则， 又为奇函数． （2）由（1）得，因为函数在区间和上单调递减， 当时，无解，舍去； 当时，解得； 当时，解得． 综上，的取值范围是． 题型十一、幂函数比较大小（含有不等式） 31．已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的单调性即可比较大小. 【详解】因在上单调递增， 由，可得， 故. 故选：C. 32．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用幂函数的单调性比较大小. 【详解】依题意，，而幂函数在上单调递减，又， 因此，所以的大小关系为. 故选：C 33．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数性质化简，构造函数，根据单调性比较大小. 【详解】，，对于幂函数， 因为指数，故在上单调递增，又，所以． 故选：C. 题型十二、已知幂函数的值域与最值求参数 34．(24-25高一上·上海交通大学附属中学·)已知，设幂函数的图象关于原点中心对称，且与x轴及y轴均无交点，则k的值为 ． 【答案】1或3或5 【分析】由题意，令求出k的范围，再根据，以及幂函数的图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，由此求出k的值． 【详解】由题意，令，解得，因为，所以； 当时，，幂函数为，图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，满足题意； 当时，，幂函数为，图象关于y轴成轴对称，不关于原点对称，不满足题意； 当时，，幂函数为，图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，满足题意； 当k＝4时，，幂函数为，图象关于y轴成轴对称，不关于原点对称，不满足题意； 当时，，幂函数为，图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，满足题意； 综上，k的值为1或3或5． 故答案为：1或3或5． 35．已知，则使函数的值域为R，且为奇函数的所有α的值为 . 【答案】1，3 【分析】根据幂函数的性质分析可得. 【详解】当时，，为奇函数，但值域为，不满足条件； 当时，为奇函数，值域为R，满足条件； 当时，为偶函数，值域为，不满足条件； 当时，为奇函数，值域为R，满足条件. 故答案为：1，3 36．(23-24高一·北京人大附中·期中)若，，使得，则实数 ． 【答案】 【分析】由，转化为，再根据的取值范围可确定的取值范围，然后结合，分别讨论的范围，列出不等式组即可求解. 【详解】由，得，则该函数在和上均为单调递减函数， 又因为， 则当时，有，又，则有：，解得：； 当时，有，由，显然，所以不符合题意； 当时，有，又，则此时为的子集，显然不成立，故此时没有实数解； 当时，有，由，显然，所以不符合题意； 当时，有，又，得：，此时没有实数解； 综上所述，实数. 故答案为：. 37．已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的． （1）求实数k的值； （2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值． 【答案】（1）2；（2）a＝0，b＝1． 【分析】（1）根据幂函数的定义先求出的可能值，再根据幂函数的单调性判断正确的值； （2）根据函数的单调性即可判断的取值情况，列出式子即可求解. 【详解】（1）为幂函数， ∴，解得或， 又在区间内的函数图象是上升的， ， ∴k＝2； （2）∵存在实数a，b使得函数在区间上的值域为，且， ∴，即， ，∴a＝0，b＝1． 【点睛】本题考查幂函数的定义和单调性的运用，考查函数最值的求法，是一道基础题. 题型十三、幂函数恒成立问题 38．(24-25高一上·山东日照·期末)已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入解析式求出，得解； （2）问题转化为恒成立，令，求出的最小值得解. 【详解】（1）由题意可得，，. （2）由（1）可得，恒成立，， 令，，， 实数的取值范围为. 39．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·)已知幂函数在上单调递增，二次函数 (1)求实数的值. (2)当时，的图象恒在图象的下方，求的取值范围. (3)若时，恒成立，求的最小值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性求解即可； （2）由题意，都有，分离参数，再结合二次函数的性质即可得解； （3）依题可得，由此求出的关系，进而可得出答案. 【详解】（1）因为幂函数在上单调递增， 所以，解得； （2）由（1）得， 当时，， 因为的图象恒在图象的下方， 所以，都有，即， 分离参数可得对都成立， 所以. 因为，所以， 所以， 即，所以， 所以的取值范围为； （3）恒成立， 则，所以，即， 所以 ， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 40．(24-25高一上·湖南衡阳衡南县·期末)已知定义在的函数，对任意的，都有，且当时，． (1)证明：当时，； (2)判断函数的单调性并加以证明； (3)如果对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)在上是减函数，证明见解析； (3)． 【分析】（1）利用赋值法，令求得，再令后可证明； （2）由单调性的定义证明； （3）由单调性变形不等式，然后由基本不等式求解． 【详解】（1）在中， 令，得，所以， 又令得，所以， 当时，，，所以； （2）在上是减函数．证明如下： 任取且，因此有，， 所以， 即，所以在上是减函数； （3）由题意， 由得， 由（2）在上是减函数，所以，， 又，当且仅当时等号成立， 所以．所以的范围是， 题型十四、幂函数有解问题 41．(23-24高一上·甘肃庆阳第二中学·期末)已知定义在上的奇函数在时满足，且在有解，则实数的值可以为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】ABC 【分析】由题设得到，结合函数单调性得到在有解求参数范围，即可得答案. 【详解】当时，函数单调递增，值域为， 由在R上为奇函数，则上函数也递增，值域为，且， 综上，在R上单调递增， 因为，所以， 所以，所以，即在有解， 当时，所以. 故选：ABC 42．(23-24高一上·福建莆田二中、仙游一中、莆田六中·期中)已知幂函数的定义域为全体实数． (1)求的解析式； (2)若在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义，得到，求得的值，结合题意和幂函数的性质，即可求解； （2）根据题意，转化为函数在上的最大值大于，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：因为函数为幂函数， 可得，即，解得或 当时，，此时函数的定义域为，不符合题意； 当时，，此时函数的定义域为，符合题意， 所以函数的解析式为. （2）由不等式在上有解，即不等式在上有解， 令，只需函数在上的最大值大于， 因为图象开口向上，且对称轴为， 可得在上单调递减，所以， 由，解得，所以实数的取值范围是． 43．(23-24高一上·山东枣庄薛城区·期中)已知点在幂函数的图象上， . (1)求的解析式； (2)若，且方程有解，求实数的取值范围； (3)当时，解关于的不等式. 【答案】(1) (2)或 (3)答案见解析 【分析】（1）利用待定系数法，即可求得的解析式； （2）根据一元二次方程有解，，解出即可； （3）结合条件把不等式化为，分类讨论的取值范围，即可得到不等式的解集. 【详解】（1）设幂函数， 由点在幂函数的图象上， 所以，解得， 所以； （2）时，， 由方程有解， 可得， 解得或； （3）由得 ，即 ， 所以 ， 当即时，的解集为， 当即时，的解集为， 当即时，的解集为. 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁鞍山第一中学·期中)函数的增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复合函数法可求得函数的增区间. 【详解】对于函数，有，解得，即函数的定义域为， 因为内层函数在上递增，在上递减， 外层函数在上为减函数， 因此，函数的增区间为. 故选：B. 2．(24-25高一下·河北保定第三中学·期末)已知定义域为的函数满足，，且时，，则下列说法正确的（    ） A． B．为减函数 C．为奇函数 D．不等式的解集为 【答案】D 【分析】首先令得到，令，求出可判断A；当时，由可得进而确定单调性可判断B；令，结合得可判断C；根据的单调性和解不等式可判断D. 【详解】令，则，得， 对于A，令，则，故A错误； 对于B，若，则，此时， 所以， 即时，，所以为上的增函数，故B错误； 对于C，令，则，所以， 不满足，所以不是奇函数，故C错误； 对于D，因为为上的增函数，且， 所以当时，；当时，， 不等式的解集为，故D正确. 故选：D 二、多选题 3．(22-23高一上·四川广安友实学校·期中)已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数的单调增区间为 B．函数的值域为 C．函数，则为偶函数 D． 【答案】AB 【分析】A：求出函数定义域，根据复合函数单调性即可判断；B：根据二次函数值域即可求解；C：根据奇偶性定义即可判断；D：解二次不等式即可判断答案． 【详解】对于A：由， 设函数，则函数为和函数的复合函数， 函数的单调增区间为定义域与内层函数的单调减区间的交集，即，故A错误； 对于B：因为，所以，所以， 函数的值域为，值域为集合，故B表述错误； 对于C：因为，所以， 由，∴定义域关于原点对称， 又， ∴为偶函数，故C正确； 对于D：. 当时，， 所以，所以，所以， 所以，故D正确． 故选：AB． 4．(24-25高一·四川眉山彭山区第一中学·期末)已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．的最小值为0 B．为偶函数 C．若，则 D．是在上的减函数 【答案】ACD 【分析】设.根据幂函数的定义即可求得.由即可判断选项A；根据偶函数的定义即可判断选项B；作差法比较与大小即可判断选项C；对变形得，由函数单调性的性质即可判断选项D. 【详解】∵函数是幂函数，∴设. ∵幂函数的图象经过点，∴，∴，∴. ∵，当且仅当时等号成立，∴的最小值为0，故选项A正确； ∵的定义域为，关于原点不对称，∴函数是非奇非偶函数，故选项B错误； ∵，∴ . ∵，∴， ∴，∴，故选项C正确； ∵， ∴由函数单调性的性质可知：函数是在上的减函数，故选项D正确. 故选：ACD. 5．(24-25高一下·四川成都青白江区鸿鹄高级中学·期末)已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．为偶函数 D．是其定义域上的减函数 【答案】BC 【分析】根据幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性对选项逐一判断即可. 【详解】设，其图象经过点， 则，解得，故， 那么的定义域为，故A错误； 的值域为，故B正确； 因为，则为偶函数，故C正确； 因为在上单调递增，在上单调递减，不能说是在其定义域上的减函数，故D错误. 故选：BC. 三、解答题 6．(24-25高一上·北京大学附属中学元培学院·期中)已知幂函数在定义域上不单调． (1)求函数的解析式； (2)函数是否具有奇偶性？请说明理由； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)奇函数，理由见解析； (3). 【分析】（1）由幂函数的定义可得或，结合函数的单调性验证得解. （2）结合奇函数和偶函数的定义，判断函数的奇偶性； （3）利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解. 【详解】（1）由幂函数，得，解得或， 若，则在定义域内单调递增，不合题意； 若，则在定义域内单调递减， 但在定义域内不单调，符合题意； 所以函数的解析式为. （2）函数为奇函数，理由如下： 函数的定义域关于原点对称， 且，所以函数为奇函数. （3）由及为奇函数， 得， 即， 而在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以或或，解得或， 所以实数的取值范围. 7．(23-24高一上·云南昭通一中教研联盟·期中)已知幂函数在上单调递减. (1)求的值并写出的解析式； (2)已知，，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)或. 【分析】（1）由条件得到求解即可； （2）由条件得到的值域为值域的子集.再分类讨论求解； 【详解】（1）因为幂函数在上单调递减， 所以 解得：， 所以. （2）， 当时，， 易得的值域为. ，总存在，使， 的值域为值域的子集. ， ①当时，， 则； ②当时，， 则； ③当时，，不符合题意. 综上，或. 8．(24-25高一下·云南曲靖陆良县·期末)已知幂函数在上单调递增. (1)求的值； (2)若函数，判断在上的单调性并用定义法证明你的结论. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）由幂函数的性质即可列方程求解； （2）由题意得，由对勾函数性质可判断在上单调递增，再结合定义法证明即可. 【详解】（1）因为是幂函数，所以， 解得或， 因为在上单调递增，所以，所以，则. （2）由（1）可知，则，故在上单调递增. 证明如下： 任取，，且， 则. 因为，所以. 因为，，所以，所以， 所以，即， 所以，即在上单调递增. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题04简单幂函数的图像和性质 目录 A题型建模·专项突破 题型一、幂函数的判断 题型二、求幂函数的解析式 题型三、幂函数求值…3 题型四、幂函数求参数…3 题型五、幂函数过定点.。 ……4 题型六、幂函数的定义域....5 题型七、复合型幂函数的定义域..6 题型八、幂函数的值域与最值… .7 题型九、幂函数的单调性.8 题型十、幂函数解不等式 …9 题型十一、幂函数比较大小（含有不等式） ……….11 题型十二、已知幂函数的值域与最值求参数 11 题型十三、幂函数恒成立问题 .。。,。,13 题型十四、幂函数有解问题.… ........15 B综合攻坚·能力跃升 题型建模·专项突破 题型一、幂函数的判断 1.下列函数是幂函数的是() A.y=(x+1)2B.y=x+克 C.y=x4 D.y=2x5 2.(24-25高一上·湖北武汉江岸区、江汉区.期末)下列函数是幂函数且是奇函数的是() A.y=2x B.y=x2 C.y=x D.y=x0 3(多选).(24-25高一上浙江丽水期末)下列函数中，为幂函数的是() A.f(x)=x3 B.f(x)=2x2 C.f(x)=x1 D.f(x)=2* 题型二、求幂函数的解析式 4.己知幂函数y=f(x)的图象经过点(2,4)，则f(x)= 5.(24-25高一下云南楚雄第一中学.期中)已知幂函数fx)=(m2-m-1)xm的图象关于y轴对称，则 f(x)= 6.(24-25高一上浙江杭州上城区杭九中.期末)已知幂函数y=f(x)的图象经过点2，V②，则 fx)=】 题型三、幂函数求值 7.若函数f(x)是幂函数，且f(3)=9f(1),则F(8)= 1/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 8.(24-25高一下辽宁朝阳凌源多校)已知幂函数f(x)=(2m-3)x1,则f(-2)=一 9.若幂函数f(x)的图象经过(1,1)，(2，-4)，（-V2,2)这三个点中的两个点，则f(4)= 题型四、幂函数求参数 10.已知幂函数f(x)=(t2-t-1)xt是奇函数，则t=() A.-1 B.1 C.2 D.-1或2 11.已知幂函数f(x)=(m2-m-1)xm,若x1x2∈(0，+)且x1≠x2都有型2<0成立，则m的 X-X2 值为() A.2 B.2或-1 C.-2 D.-1 12.已知幂函数f(x)=(m2+m-5)m1在(0，十∞)上是减函数，则实数m=一 题型五、幂函数过定点 13.已知f(x)为幂函数，则函数g(x)=f(x)+1的图象经过的定点坐标为 14.(23-24高一上四川凉山州期末)函数f(x)=(3x-2+2的图象恒过点 15.（多选)(24-25高一上，贵州黔东南苗族侗族期末)已知幂函数fx)=(a2-4a+4)x2,则下列说法正 确的有() A.a=1或3 B.fx)一定为奇函数 C.f(x)一定为减函数 D.fx)必过点(1,1) 题型六、幂函数的定义域 16.(24-25高一上·上海宝山区海滨中学.期中)幂函数fx)=x2的定义域是（) A.X≥0 B.[0,+∞ C.x>0 D.(0,+∞ 17.在函数①y=x3;②y=x;③y=x;④y=x:⑤y=X;⑥y=x中，定义域是R的有 个 18.函数y=x的定义域为 题型七、复合型幂函数的定义域 19.2324高一上广东广州第二中学期中幂函数fx)图象过点(2，)，则y=f(x)+f(2-x)的定 义域为() A.(0,2 B.(0,2] c.[0,2 D.（-2,2 20.若函数f(x)=x则函数y=4x-3)的定义域是() A.(-∞，+∞) B.（∞) c.[原，+m) D.(,+∞ 21.2324高-上山西昌梁孝义部分学校月考)已知幂函数F(x)的图象过点(8)，则F(x-2x2)的定 2/6 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 义域为() A.(0,2) B.(0,) c.(0,2] D.[0,] 题型八、幂函数的值域与最值 22.(23-24高一下辽宁名校联盟)函数y=x3,-1≤x≤0的值域为】 23.已知幂函数f(x)=xa的图象经过点P(2,V2),则函数y=∫(x2)-2f(x)的最小值等于() A.吉 B.- C.1 D.-1 24.(22-23高一上陕西洛南中学.期中)已知幂函数f(x)=Xm22+3(-2<m<2,m∈Z)满足： ①f(x)在(0，+∞)上为增函数， ②对Vx∈R,都有f(x)-f(x)=0, 求同时满足①②的幂函数f(x)的解析式，并求出x∈[1,4]时，f(x)的值域. 题型九、幂函数的单调性 25.下列函数中，在区间(0，+∞)上单调递增的是() A.y=是 B.y=-3x C.y=5-x2 D.y=x 26.(24-25高一上云南昭通镇雄县三校月考)函数f(x)=(x2-2x-3)的单调递减区间为() A.（(-∞，-1]B.(0,1] C.[1,+o) D.[3,+∞) 27.(多选)已知定义在R上的偶函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，则f(x)可能为() A.f(x)=总 B.f(x)=x2+1 C.f(x)=x+2 D.f(x)=x 题型十、幂函数解不等式 28.(24-25高一上江苏南通海门实验学校：期中)若(3-2m)户<(m+1),则实数m的取值范围是 29.已知幂函数f(x)=xmm(m∈Z)的图像关于y轴对称，且f(2)<f(3). (1)求m的值及函数∫(x)的解析式； (2)若fa+2<f(1-2a,求实数a的取值范围. 30.已知幂函数f(x)=(3m2-7m+3·x3m2在区间(0，+∞)上单调递减. (1)判断函数f(x)的奇偶性； 3/6 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2若2a+1)严>(1-)”，求a的取值范围 题型十一、幂函数比较大小（含有不等式） 31.已知幂函数f(x)=x2,且0<a<b<1,则下列选项中正确的是( A.fa习<fb<f)sf(》 B.f)f(<f(<f(a2) c.f(a习<f6<f信)<f) D.f)<f(a<fb 32.已知a=(1,b=()“,c=()1,则a,b,c的大小关系为() A.a>c>b B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a 33.已知a=402b=304c=1.58,则() A.b<c<a B.c<a<b C.a<c<b D.a<b<c 题型十二、己知幂函数的值域与最值求参数 34.(24-25高一上·上海交通大学附属中学)已知k∈Z,设幂函数y=xk6k的图象关于原点中心对称，且与 x轴及y轴均无交点，则k的值为 35.已知a∈{-1,1,2,3}，则使函数y=xa的值域为R,且为奇函数的所有a的值为 36.(23-24高一北京人大附中期中)若vx∈[a,a+1],yE[,支]，使得xy=1,则实数 a= 37.已知幂函数f8)=(k2-k-1xk∈R,且在区间(0，+∞)内函数图象是上升的. (1)求实数k的值； (2)若存在实数a,b使得函数f(x)在区间[a,b]上的值域为[a,],求实数a,b的值 题型十三、幂函数恒成立问题 38.(24-25高一上山东日照期末)已知幂函数f(x)=x的图象过点(2,4)， (1)求函数f(x)的解析式： (2)若不等式t≤fx)+2x对任意的x∈R恒成立，求实数t的取值范围. 39.(24-25高一上.重庆西南大学附属中学校)已知幂函数f(x)=(m2-4m+4)x53m在(0，+∞)上单 调递增，二次函数g(x)=ax2+2x+C (1)求实数m的值 (2)当c=1时，寸x∈[1,2]，f(x)的图象恒在g(x)图象的下方，求a的取值范围. 3)若a≤时，口xERg(x)之0恒成立，求兰的最小值。 40.(24-25高一上湖南衡阳衡南县期末)已知定义在(0，+∞)的函数f(x),对任意的x,y∈(0，十∞)， 都有f(xy)=f(x)+f(y),且当0<x<1时，f(x)>0. 4/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)证明：当x>1时，f(x)<0: (2)判断函数f(x)的单调性并加以证明； (3)如果对任意的x,y∈(0，十∞)，f(x2+y2)≤f(a)+f(y)恒成立，求实数a的取值范围. 题型十四、幂函数有解问题 41.(23-24高一上·甘肃庆阳第二中学·期末)已知定义在R上的奇函数f(x)在x>0时满足f(x)=(x+1)月 ,且f(x+m)≤8f(x)在xE[1,3]有解，则实数m的值可以为() A.2 B.3 C.4 D.5 42.(23-24高一上福建莆田二中、仙游一中、莆田六中.期中)已知幂函数fx)=(2m2-5m+3)xm的定义 域为全体实数R: (1)求fx)的解析式： (2)若fx)>3x+k-1在-1,1上有解，求实数k的取值范围， 43.(23-24高一上山东枣庄薛城区期中已知点(V2,2在幂函数fx)的图象上， gx=f(x+ax+b（a,beR). (1)求fx)的解析式： (2)若b=1,且方程g(x)=0有解，求实数a的取值范围： 3)当g-1)=0时，解关于x的不等式g(x)≤0. B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(2425高一上辽宁鞍山第一中学期中)函数y=4的增区间为() A.[0,+∞)B.(0,2) C.(-∞，0] D.(-2,0) 2.(24-25高一下河北保定第三中学.期末)已知定义域为R的函数f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+3,f(1)=0,且x>0时，f(x)>-3,则下列说法正确的() A.f(2)=2 B.f(x)为减函数 C.f(x)为奇函数 D.不等式f(x)>0的解集为(1，+∞) 二、多选题 3.(22-23高一上四川广安友实学校期中)已知函数f(x)=2-√x2-2x-3,则下列说法错误的是() A.函数f(x)的单调增区间为(-∞，1] B.函数f(x)的值域为f(x)≤2 5/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.函数g(x)=f(x)-2,则h(x)=g(x+1)为偶函数 D.Vx∈(1-2W2,-1)U(3,1+2V2),f(x0)>0 4.(24-25高一四川眉山彭山区第一中学期末)已知幂函数f(x)的图象经过点(8,2√2)，则() A.f(x)的最小值为0 B.f(x)为偶函数 C.若x2>x1>0,则f()>型 2 D.g(x)=f(x+1)-fx)是在[0，+o∞)上的减函数 5.(24-25高一下.四川成都青白江区鸿鹄高级中学期末)已知幂函数f(x)的图象经过点(3，号)，则下列说 法正确的是() A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为(0，+o) C.f(x)为偶函数 D.f(x)是其定义域上的减函数 三、解答题 6.(24-25高一上.北京大学附属中学元培学院期中)已知幂函数f(x)=(3m2-2m)x(m∈R)在定义域上不 单调。 (1)求函数f(x)的解析式； (2)函数f(8)是否具有奇偶性？请说明理由： (3)若f(a+1)+f(2a-3<0,求实数a的取值范围. 7.(23-24高一上云南昭通一中教研联盟期中)已知幂函数f(x)=（m2-2m-2)xm24+2在(0，+o∞)上 单调递减。 (1)求m的值并写出f(x)的解析式： (2)已知g(x)=nx+7-3n,h(x)=f(x)(x3-7x2+6x),若对任意的x1∈[1,4]，总存在 x2∈[1,4]，使h(x1)=g(x2)成立，求实数n的取值范围. 8.(24-25高一下.云南曲靖陆良县·期末)已知幂函数f(x)=(m2-2m+1)m1在(0，十∞)上单调递增. (1)求m的值； (2)若函数g(x)=f(x)+高，判断g(x)在[2，+∞)上的单调性并用定义法证明你的结论. 6/6