第1章 周末练1 范围：第1章§1～§2（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

**基本信息** 高中数学周测专项训练，聚焦集合与常用逻辑用语，以题强化概念理解与逻辑推理，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合基本概念与运算|5题（如3,4,7,10,11）|考查元素互异性、Venn图、子集个数、容斥原理|从集合概念到运算（交/并/补），构建集合关系认知链| |常用逻辑用语|6题（如1,2,5,6,8,12）|涉及充分必要条件、命题否定、量词命题真假|从命题结构到条件关系，形成逻辑判断方法体系| |综合应用|3题（如9,13,14）|集合新定义、充要条件与集合包含关系综合|融合集合与逻辑，体现知识交叉应用的推理过程|

周末练1　范围：第一章§1~§2 [分值：90分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知p：x为有理数，q：x为实数，则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　若x为有理数，则它必为实数，即p⇒q，但x为实数不一定能推出x为有理数，如x＝π，即q⇏p，故p是q的充分不必要条件. 2.命题“∀x≥1，x2≥1”的否定是(　　) A.∃x≥1，x2<1 B.∃x<1，x2≥1 C.∃x≥1，x2≥1 D.∃x<1，x2<1 答案　A 解析　因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“∀x≥1，x2≥1”的否定是“∃x≥1，x2<1”. 3.如图所示的Venn图中，集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，2}，则阴影部分表示的集合是(　　) A.{0，2} B.{－1，1} C.{－1，0，1，2} D.{－1，0，1} 答案　B 解析　阴影部分元素属于集合A或B，但不属于A∩B， 所以阴影部分表示的集合是{－1，1}. 4.已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝，则A∩B的子集的个数为(　　) A.16 B.8 C.4 D.2 答案　B 解析　A∩B＝{0，2，4}，则A∩B的子集的个数为23＝8. 5.已知p：x<－3或x>1，q：x>a，则a取下面哪些范围，可以使q是p的充分不必要条件(　　) A.a≥3 B.a≤1 C.a≤－3 D.a<1 答案　A 解析　设集合A＝{x|x<－3或x>1}，集合B＝{x|x>a}， 因为q是p的充分不必要条件， 所以BA，则a≥1， 所以A符合要求，B，C，D不符合要求. 6.已知全集U的两个非空真子集A，B满足(∁UA)∪B＝B，则下列关系一定正确的是(　　) A.A∩B＝∅ B.A∩B＝B C.(∁UA)∪(∁UB)＝U D.(∁UB)∪A＝A 答案　D 解析　令U＝{1，2，3，4}，A＝{2，3，4}，B＝{1，2}，满足(∁UA)∪B＝B， 但A∩B＝{2}≠∅，A∩B＝{2}≠B，故A，B均不正确； (∁UA)∪(∁UB)＝{1，3，4}≠U，故C不正确； 由(∁UA)∪B＝B知∁UA⊆B，则∁UB⊆A， 所以(∁UB)∪A＝A，故D正确. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值可以为(　　) A.－1 B.1 C.2 D.3 答案　BD 解析　当m＋2＝5时，解得m＝3，则M＝{1，5，13}，符合题意； 当m2＋4＝5时，解得m＝1或m＝－1. 若m＝1，则M＝{1，3，5}，符合题意； 若m＝－1，则m＋2＝1，不满足元素的互异性. 综上，m＝3或m＝1. 8.下列命题中，是真命题的是(　　) A.∀x∈R，2x2－3x＋4>0 B.∃x∈Z，5x＋1＝0 C.至少有一个实数x，使2x2＋5x＋2能被2整除 D.∀x∈R，x2≥0 答案　ACD 解析　对于A，因为Δ＝9－32＝－23<0，所以该命题是真命题； 对于B，由5x＋1＝0，解得x＝－∉Z，所以该命题是假命题； 对于C，当x＝2时，2x2＋5x＋2＝20，能被2整除，所以该命题是真命题； 对于D，该命题是真命题. 9.★★设集合Ak＝{x|x＝2nk＋1，n∈Z}(k＝1，2，3)，则下列结论正确的是(　　) A.2 025∈A1∩A2 B.若a∈A2，且ab∈A3，则b∉A1 C.若a∈A2，b∈A3，则ab∈A1 D.若a∈A2，b∈A3，则3a＋2b∈A2 答案　ACD 解析　A选项，A1＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，A2＝{x|x＝4n＋1，n∈Z}， 由题意可得A1∩A2＝{x|x＝4n＋1，n∈Z}. 因为2 025＝4×506＋1，所以2 025∈A1∩A2，则A正确； B选项，A3＝{x|x＝6n＋1，n∈Z}， 当a＝5∈A2，b＝11∈A1时，ab＝55＝6×9＋1∈A3，则B错误； C，D选项，由a∈A2，b∈A3， 可设a＝4n1＋1，b＝6n2＋1(n1，n2∈Z)， 则ab＝24n1n2＋4n1＋6n2＋1＝2(12n1n2＋2n1＋3n2)＋1， 3a＋2b＝12n1＋3＋12n2＋2＝4(3n1＋3n2＋1)＋1. 因为n1，n2∈Z， 所以12n1n2＋2n1＋3n2∈Z，3n1＋3n2＋1∈Z， 所以ab∈A1，3a＋2b∈A2，则C，D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.已知集合A＝{a，b，1}，B＝{－1，2，a2}，若A＝B，则ab＝　　　　.  答案　1 解析　因为A＝B，所以对于集合B，有a2＝1，解得a＝1或a＝－1. 若a＝－1，则b＝2，此时A＝B＝{－1，2，1}，符合题意，ab＝(－1)2＝1； 若a＝1，则集合A不满足元素的互异性，不符合题意.综上，ab的值为1. 11.某小学在课后给同学们增设了各种兴趣班.为了了解同学们的兴趣情况，某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为　　　　.  答案　27 解析　作出Venn图，如图所示， 可知5人只喜欢唱歌，2人只喜欢跳舞，1人只喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有10人，同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有4人，同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有3人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为5＋2＋1＋10＋4＋3＋2＝27. 12.若命题“∃x∈R，x2－6x＋2m＝0”为假命题，则实数m的取值范围是　　　　　　.  答案　m> 解析　由题意可得“∀x∈R，x2－6x＋2m≠0”为真命题， 即方程x2－6x＋2m＝0无实数根， 所以Δ＝36－8m<0，解得m>， 即实数m的取值范围是m>. 四、解答题(共27分) 13.(13分)已知P＝{x|1≤x≤4}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}. (1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由；(5分) (2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.(8分) 解　(1)由题意可得P＝S， 即此方程组无解. 所以不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件. (2)由题意可得S⊆P， 当S＝∅时，1－m>1＋m，解得m<0，符合题意； 当S≠∅时，1－m≤1＋m，解得m≥0， 若S⊆P，则解得m≤0， 所以m＝0. 综上可得，当m≤0时，x∈P是x∈S的必要条件. 14.(14分)已知集合A＝{x|0≤x≤1}，B＝{x|1－a<x<2a}. (1)若(∁RA)∪B＝R，求实数a的取值范围；(7分) (2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围.(7分) 解　(1)因为A＝{x|0≤x≤1}， 所以∁RA＝{x|x<0或x>1}， 又因为B＝{x|1－a<x<2a}且(∁RA)∪B＝R， 所以解得a>1， 故a的取值范围为{a|a>1}. (2)因为A∪B＝A，则B⊆A， 若B＝∅，则2a≤1－a，解得a≤； 若B≠∅，则解得<a≤， 综上所述，a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $