第1章 4.3 一元二次不等式的应用（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦一元二次不等式的应用，系统梳理分式不等式的等价转化解法，深入剖析一元二次方程、函数与不等式的内在联系，构建从理论到实际问题解决的学习支架，助力学生形成完整知识体系。 以刹车距离等实际问题为导入，培养学生用数学眼光观察现实世界的意识，通过分式不等式转化、三个“二次”关系分析，发展数学思维能力，结合利润计算等应用案例，提升用数学语言表达现实问题的能力。课中例题与跟踪训练结合便于教师授课，课后练习助力学生查漏补缺。

4.3　一元二次不等式的应用 学习目标　1.熟练掌握分式不等式的解法.2.理解一元二次方程、一元二次函数、一元二次不等式之间的关系.3.构建一元二次函数模型，解决实际问题. 导语 汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素.在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.你能根据所学知识判断甲、乙两车是否超速吗？ 一、简单的分式不等式的解法 问题　>0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？≥0与(x－3)(x＋2)≥0等价吗？ 提示　>0与(x－3)(x＋2)>0等价；≥0与(x－3)(x＋2)≥0不等价，前者的解集中没有－2，后者的解集中有－2. 知识梳理　简单的分式不等式的解法 注意点： 形如>a(a≠0)的分式不等式，可变形为>0，故可转化为解y2(y1－ay2)>0. 例1　解下列不等式： (1)<0；(2)≥0；(3)>1. 解　(1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)<0， ∴－1<x<， 故原不等式的解集为. (2)原不等式可化为≤0， ∴∴ 即－<x≤1. 故原不等式的解集为. (3)原不等式可化为－1>0， ∴>0，>0， 则x<－2. 故原不等式的解集为{x|x<－2}. 反思感悟　分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零. (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解. 跟踪训练1　解下列不等式： (1)≥0；(2)<3. 解　(1)不等式≥0可转化成不等式组解得x≤－1或x>3. 所以原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}. (2)不等式<3可改写为－3<0， 即<0. 可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0， 解得－1<x<1. 所以原不等式的解集为{x|－1<x<1}. 二、三个“二次”间的关系 例2　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集. 解　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知＝－5，＝6. 故b＝－5a，c＝6a， 不等式cx2＋bx＋a<0可化为6ax2－5ax＋a<0，又a<0，∴6x2－5x＋1>0，解得x<或x>， ∴关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集为 . 延伸探究　若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}”变为“关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是”.求不等式cx2＋bx＋a<0的解集. 解　方法一　由ax2＋bx＋c≥0的解集为知a<0， 且－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根， ∴×2＝，－＋2＝－. ∴b＝－a，c＝－a， ∴不等式cx2＋bx＋a<0可化为x2＋x＋a<0， 即2ax2＋5ax－3a>0. 又∵a<0，∴2x2＋5x－3<0，解得－3<x<， 故所求不等式的解集为. 方法二　由已知得a<0且－＋2＝＝－，×2＝－<0，则c>0， 设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2， 则x1＋x2＝－，x1x2＝， 其中＝－， －＝－， ∴x1＝－3，x2＝. ∴不等式cx2＋bx＋a<0的解集为 . 反思感悟　已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循 (1)根据解集的形式来判断二次项系数a的符号； (2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式； (3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解. 三、一元二次不等式的实际应用 用一元二次不等式解决实际问题的步骤 (1)选取合适的字母表示题中的未知数. (2)由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组). (3)求解所列出的不等式(组). (4)结合题目的实际意义确定答案. 例3　(课本例6)为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)之间的关系近似满足一次函数：y＝－10x＋500. (1)设袁阳每月获得的利润为w(单位：元)，写出每月获得的利润w与销售单价x的函数关系. (2)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果袁阳想要每月获得的利润不小于3 000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？ 解　(1)依题意可知每件的销售利润为(x－10)元，每月的销售量为(－10x＋500)件，所以每月获得的利润w与销售单价x的函数关系为 w＝(x－10)(－10x＋500)(10≤x≤50). (2)由每月获得的利润不小于3 000元，得 (x－10)(－10x＋500)≥3 000. 化简，得x2－60x＋800≤0. 解得20≤x≤40. 又因为这种节能灯的销售单价不得高于25元，所以20≤x≤25. 设政府每个月为他承担的总差价为p元，则 p＝(12－10)(－10x＋500)＝－20x＋1 000. 由20≤x≤25，得500≤－20x＋1 000≤600. 故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为[500，600]元. 例3　某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点. (1)写出降税后税收y(万元)与x的关系式； (2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围. 解　(1)降税后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元.依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝a(50＋x)(10－x)(0<x<10). (2)原计划税收为200a×10%＝20a(万元). 依题意得a(50＋x)(10－x)≥20a×83.2%， 化简得x2＋40x－84≤0，解得－42≤x≤2. 又因为0<x<10，所以0<x≤2. 即x的取值范围为{x|0<x≤2}. 反思感悟　解不等式应用题的步骤 跟踪训练2　设某企业每月生产电机x台，根据企业月度报表知，每月总产值m(万元)与总支出n(万元)近似地满足下列关系：m＝x－，n＝－x2＋5x＋，当m－n≥0时，称不亏损企业；当m－n<0时，称亏损企业，且n－m为亏损额. (1)企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机？ (2)当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？ 解　(1)依题意，m－n≥0，即x－x2－5x－≥0，整理得x2－2x－8≥0， 解得x≥4或x≤－2(舍去)， ∴企业要成为不亏损企业，每月至少要生产4台电机. (2)由(1)可知当0<x<4时企业亏损，亏损额n－m＝＝－(x－1)2＋，∴当x＝1时，n－m取得最大值， 此时m＝×1－， 即当月总产值为万元时，企业亏损最严重，最大亏损额为万元. 1.知识清单： (1)简单的分式不等式的解法. (2)一元二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用. (3)一元二次不等式的实际应用. 2.方法归纳：转化、恒等变形. 3.常见误区： (1)解分式不等式要等价变形. (2)利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义. 课时对点练 [分值：90分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.与不等式≥0同解的不等式是(　　) A.(x－3)(2－x)≥0 B.0<x－2≤1 C.≥0 D.(x－3)(2－x)>0 答案　B 解析　由≥0，得解得2<x≤3， A项，由(x－3)(2－x)≥0，得2≤x≤3，与≥0不同解； B项，由0<x－2≤1，得2<x≤3，与≥0同解； C项，由≥0，得(x－2)(x－3)≤0且x－3≠0，解得2≤x<3，与≥0不同解； D项，由(x－3)(2－x)>0，得2<x<3，与≥0不同解. 2.若p：≥0，q：x2－7x＋10<0，则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　由≥0，得 解得2<x≤5，即p：2<x≤5； 由q：x2－7x＋10<0，得q：2<x<5，故p是q的必要不充分条件. 3.不等式>1－x的解集为(　　) A.{x|x<1} B.{x|x>1} C.{x|x∈R且x≠1} D.{x|1<x<2} 答案　B 解析　由>1－x通分得>0， 而x2－2x＋2>0，则x>1， ∴>1－x的解集为{x|x>1}. 4.某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x(件)与单价P(元)之间的关系为P＝160－2x，生产x件所需成本为C(元)，其中C＝(500＋30x)元，若要求每天获利不少于1 300元，则日销售量x的取值范围是(　　) A.{x|20≤x≤30，x∈N＋} B.{x|20≤x≤45，x∈N＋} C.{x|15≤x≤30，x∈N＋} D.{x|15≤x≤45，x∈N＋} 答案　B 解析　设该厂每天获得的利润为y元， 则y＝(160－2x)·x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500，0<x<80，x∈N＋， 根据题意，可得－2x2＋130x－500≥1 300， 解得20≤x≤45， 故当20≤x≤45，且x∈N＋时，每天获得的利润不少于1 300元. 5.若关于x的不等式ax－b>0的解集为{x|x>1}，则关于x的不等式>0的解集为(　　) A.{x|x>1或x<－2} B.{x|1<x<2} C.{x|x>2或x<－1} D.{x|－1<x<2} 答案　C 解析　∵x＝1为ax－b＝0的根， ∴a－b＝0，即a＝b， ∵ax－b>0的解集为{x|x>1}，∴a>0， 故>0，等价为(x＋1)(x－2)>0. ∴x>2或x<－1. 6.(多选)若不等式ax2－bx＋c>0的解集是{x|－1<x<2}，则下列选项正确的是(　　) A.b<0且c>0 B.a－b＋c>0 C.a＋b＋c>0 D.不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|－2<x<1} 答案　ABD 解析　对于A，a<0，－1，2是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，所以－1＋2＝1＝，－1×2＝，所以b＝a，c＝－2a，所以b<0，c>0，所以A正确； 对于B，由题意可知当x＝1时不等式成立，即a－b＋c>0，所以B正确； 对于C，由题意知当x＝－1时ax2－bx＋c＝0，即a＋b＋c＝0，所以C错误； 对于D，由题得a<0，所以ax2＋ax－2a>0，即x2＋x－2<0，所以－2<x<1， 所以不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|－2<x<1}，所以D正确. 7.(5分)若关于x的不等式>0的解集为{x|x<－1或x>4}，则实数a＝　　　　.  答案　4 解析　由题意知，不等式的解集为{x|x<－1或x>4}， 故(x－a)(x＋1)>0⇔(x＋1)(x－4)>0，故a＝4. 8.(5分)某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为L，其中k为常数.若汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L，欲使每小时的油耗不超过9 L，则速度x的取值范围为　　　　　　.  答案　[60，100] 解析　由汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L， 得＝11.5，解得k＝100， 故每小时的油耗为－20 L. 由题意得－20≤9，解得45≤x≤100， 又60≤x≤120，故60≤x≤100， 所以速度x的取值范围为[60，100]. 9.(10分)已知关于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集为. (1)求a，c的值；(5分) (2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0.(5分) 解　(1)由题意知，不等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为和， 由根与系数的关系，得 解得a＝－6，c＝－1. (2)由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0， 即3x2－4x＋1≤0，解得≤x≤1， 所以不等式的解集为. 10.(14分)数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t(单位：万元)由两部分构成：①固定成本：1 000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？(6分) (2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本.(8分) 解　(1)设平均每个人形机器人的成本为y万元， 根据题意有y＝＋10≥2＋10＝30， 当且仅当，即x＝100时取等号. 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元. (2)设月利润为W万元，则W＝x－1 000－10x－＋13x－1 000， 由题知＋13x－1 000≥400， 整理得x2＋130x－14 000≥0，解得x≥70. 所以该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元. 11.若a>0，b>0，则不等式－b<<a的解集为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　原不等式可化为即 可得 故不等式的解集为. 12.已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3<x<4}，则不等式<0的解集为(　　) A.(－∞，－3)∪(－3，5) B.(－3，5) C.(－∞，5) D.(－5，3) 答案　A 解析　因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3<x<4}， 所以a<0，且－3，4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根， 由根与系数的关系，得 解得 所以<0等价于(bx2＋2ax－c－3b)(x＋3)<0， 即或 解得－3<x<5或x<－3. 故不等式<0的解集为(－∞，－3)∪(－3，5). 13.为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀，第二次倒出8升后用水补满.若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V的取值范围为(　　) A.[5，40] B.[10，40] C.(5，40) D.(10，40) 答案　B 解析　第一次稀释后，药液浓度为， 第二次稀释后，药液浓度为， 依题意有≤60%， 即V2－45V＋200≤0，解得5≤V≤40， 又V－10≥0，即V≥10，所以10≤V≤40. 14.(5分)已知关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}，且x2－x1＝15，则a＝　　　　.  答案　 解析　由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝. 15.(5分)要在长为800，宽为600的一块长方形地面上进行绿化，四周种花卉(花卉的宽度相等)，中间种草皮，要求草皮的面积不少于总面积的一半，则花卉宽度的取值范围是　　　　.  答案　(0，100] 解析　设花卉的宽度为x，则2x<800且2x<600， ∴0<x<300， 草皮面积为S＝(800－2x)(600－2x)≥×800×600， 解得x≥600或x≤100， 又0<x<300，∴0<x≤100， 即花卉宽度的取值范围是(0，100]. 学科网（北京）股份有限公司 $