第1章 1.3 第1课时 交集与并集（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦集合的交集与并集运算，承接上节课集合基本关系，通过因数、区间等具体问题引入，系统梳理交集与并集的文字、符号、图形语言定义及运算性质，构建从具体到抽象的学习支架。 资料以情境化问题驱动，结合Venn图与数轴直观呈现集合关系（数学眼光），例题涵盖列举法、描述法及参数讨论培养推理能力（数学思维），课时对点练分层设计，课中辅助教师教学，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

1.3　集合的基本运算 第1课时　交集与并集 学习目标　1.理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 导语 上节课我们通过类比实数之间的大小关系，得到了集合之间的基本关系，而且我们知道，实数有加、减、乘、除运算，那么集合是否也有类似的运算呢？ 一、交集 问题1　观察下列各个集合，集合C与A，B之间有什么关系？ (1)集合A＝{x|x是6的因数}，B＝{x|x是8的因数}，C＝{x|x是6和8的公因数}； (2)集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x≥0}，C＝{x|0≤x≤2}. 提示　集合C是由集合A与集合B的所有公共元素组成的. 知识梳理　交集 文字语言 一般地，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B” 符号语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 图形语言 注意点： (1)A∩B仍是一个集合. (2)“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A∩B. (3)如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝∅. 例1　(课本例5)求下列每一组中两个集合的交集： (1)A＝{x|x是不大于10的正奇数}，B＝{x|x是12的正因数}； (2)C＝{x|x是等腰三角形}，D＝{x|x是直角三角形}. 解　(1)因为A＝{x|x是不大于10的正奇数}＝{1，3，5，7，9}， B＝{x|x是12的正因数}＝{1，2，3，4，6，12}， 所以A∩B＝{1，3，5，7，9}∩{1，2，3，4，6，12}＝{1，3}. (2)依题意知C∩D＝{x|x是等腰三角形}∩{x|x是直角三角形}＝{x|x是等腰直角三角形}. 例1　(1)若集合A＝{x∈Z|－3<x<3}，B＝{x∈N|0≤x≤3}，则A∩B等于(　　) A.{0，1，2} B.{1，2，3} C.{1，2} D.{0，1，2，3} 答案　A 解析　将集合A，B用列举法表示出来，得A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{0，1，2，3}，借助Venn图(如图)，可得A∩B＝{0，1，2}. (2)已知M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么M∩N为(　　) A.x＝3，y＝－1 B.(3，－1) C.{3，－1} D.{(3，－1)} 答案　D 解析　由解得 ∴M∩N＝{(3，－1)}. 反思感悟　求两个集合的交集时，若元素个数有限，则逐个挑出两个集合的公共元素；若元素个数无限，一般要借助数轴求解，要注意端点值的取舍. 跟踪训练1　已知集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，则A∩B等于(　　) A.{x|x>－1} B.{x|x<2} C.{x|－1<x<2} D.∅ 答案　C 解析　在数轴上标出集合A，B，如图所示. 故A∩B＝{x|－1<x<2}. 二、并集 问题2　观察下列各个集合，集合C与集合A，B之间有什么关系？ (1)集合A＝{x|x－2＝0}，B＝{x|x＋2＝0}，C＝{x|(x－2)(x＋2)＝0}； (2)集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x>0}，C＝{x|x≥－1}. 提示　集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的. 知识梳理　并集 文字语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫作集合A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B” 符号语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 图形语言 注意点： (1)A∪B仍是一个集合. (2)“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B. (3)对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性. 例2　(课本例6)已知集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|0≤x≤3}，求A∩B，A∪B. 解　在数轴上表示出集合A，B(如图)，则 A∩B＝{x|－1≤x<2}∩{x|0≤x≤3} ＝{x|0≤x<2}； A∪B＝{x|－1≤x<2}∪{x|0≤x≤3} ＝{x|－1≤x≤3}. 例2　(1)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2<x<2}，则A∪B等于(　　) A.{x|x>－2} B.{x|x>－1} C.{x|－2<x<－1} D.{x|－1<x<2} 答案　A 解析　画出数轴如图所示，故A∪B＝{x|x>－2}. (2)集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为(　　) A.0 B.1 C.2 D.4 答案　D 解析　∵A∪B＝{0，1，2，a，a2}，又A∪B＝{0，1，2，4，16}，∴{a，a2}＝{4，16}，∴a＝4. 反思感悟　求两个集合的并集的方法 (1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助Venn图写并集. (2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出并集. (3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集. 提醒：若两个集合中有相同元素，在求其并集时，只能算作一个. 跟踪训练2　设集合A＝{x|x≤1或x≥3}，B＝{x|2x－3≤0}，则A∪B等于(　　) A.{x|x≤1或x≥3} B.{x|1≤x≤3} C. D. 答案　D 解析　∵集合A＝{x|x≤1或x≥3}， B＝{x|2x－3≤0}＝， ∴A∪B＝. 三、交集、并集的运算性质及综合应用 交集、并集的性质 (1)A∩B＝B∩A，A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝A⇔A⊆B. (2)A∪B＝B∪A，A⊆A∪B，B⊆A∪B，A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝A⇔B⊆A. (3)A∩B⊆A∪B，A∩B＝A∪B⇔A＝B. 注意点： (1)集合运算中注意对∅的讨论. (2)集合运算中注意数形结合方法(借助数轴和Venn图)的应用. 例3　已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围. 解　(1)当B＝∅时，即k＋1>2k－1，k<2时，满足A∪B＝A. (2)当B≠∅时，要使A∪B＝A， 只需解得2≤k≤. 综合(1)(2)可知，k的取值范围是. 延伸探究1　把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围. 解　由A∩B＝A可知A⊆B. 所以即所以k∈∅. 所以k的取值范围为∅. 延伸探究2　把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3<x≤5}”，求k的值. 解　由题意可知解得k＝3. 所以k的值为3. 反思感悟　在进行集合运算时，若条件中出现A∩B＝A或A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝∅的情况. 1.知识清单： (1)交集、并集的概念及运算. (2)交集、并集的性质. (3)由交集、并集的关系求参数值或范围. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. 3.常见误区：由交集、并集的关系求解参数时漏掉对集合为空集的讨论；求解参数后，易忽视代入原集合进行检验这一步骤. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{－3，－2，－1，0，1}，则M∩N等于(　　) A.{－2，－1，0，1} B.{－3，－2，－1，0} C.{－2，－1，0} D.{－3，－2，－1} 答案　C 2.集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{0，2}，C＝{－1，0，1}，则(A∩C)∪B等于(　　) A.{－1，0，1，2} B.{0，2} C.{0，1，2} D.{－1，0，2} 答案　A 解析　A∩C＝{－1，0，1}，(A∩C)∪B＝{－1，0，1，2}. 3.已知集合A＝{－1，0，1}，则满足A∪B＝{－1，0，1，2，3}的集合B可能是(　　) A.{－1，2} B.{－1，0，1，3} C.{－1，0，1} D.{0，2，3} 答案　D 解析　{－1，0，1}∪{0，2，3}＝{－1，0，1，2，3}，故D符合题意. 4.已知集合A＝{x|x>2或x<－1}，B＝{x|a≤x≤b}，若A∪B＝R，A∩B＝{x|2<x≤4}，则等于(　　) A.－4 B.－3 C.4 D.3 答案　A 解析　因为A∪B＝R，A∩B＝{x|2<x≤4}， 所以a＝－1，b＝4，则＝－4. 5.(多选)集合M＝{x|－1≤x≤3}和N＝{x|x＝2k－1，k∈N＋}关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素可以为(　　) A.－1 B.0 C.1 D.3 答案　CD 解析　∵M＝{x|－1≤x≤3}， N＝{x|x＝2k－1，k∈N＋}， ∴M∩N＝{1，3}. 6.(多选)已知集合A＝{x|x2＋x－2＝0}，B＝{x|ax＝1}，若A∩B＝B，则a的值可以是(　　) A.－ B.1 C.－1 D.0 答案　ABD 解析　A＝{x|x2＋x－2＝0}＝{1，－2}. ∵A∩B＝B，∴B⊆A. 当a＝0时，B＝∅，符合题意； 当B＝{－2}时，－2a＝1，∴a＝－； 当B＝{1}时，a＝1. 综上，a＝0或－或1. 7.(5分)已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是　　　　.  答案　[2，＋∞) 解析　 ∵A∪B＝A，∴B⊆A. 又A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，∴m≥2. 8.(5分)已知集合A＝{a，b，c，d}，B＝{b，c，d，e}，C＝{a，d，f}，则(A∪B)∩C与(A∩C)∪(B∩C)的关系是　　　　　　　　. 答案　(A∪B)∩C＝(A∩C)∪(B∩C) 解析　(A∪B)∩C＝{a，b，c，d，e}∩{a，d，f}＝{a，d}； (A∩C)∪(B∩C)＝{a，d}∪{d}＝{a，d}. 所以(A∪B)∩C＝(A∩C)∪(B∩C). 9.(10分)已知集合A＝{x|x2－px＋15＝0}和B＝{x|x2－ax－b＝0}，若A∪B＝{2，3，5}，A∩B＝{3}，分别求实数p，a，b的值. 解　因为A∩B＝{3}，所以3∈A. 从而可得p＝8，所以A＝{3，5}. 又由于3∈B，且A∪B＝{2，3，5}，A∩B＝{3}， 所以B＝{2，3}. 所以方程x2－ax－b＝0的两个根为2和3. 由根与系数的关系可得a＝5，b＝－6. 综上可得，p＝8，a＝5，b＝－6. 10.(11分)集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|x<a}. (1)若A∩B＝∅，求a的取值范围；(5分) (2)若A∪B＝{x|x<1}，求a的取值范围.(6分) 解　(1)如图所示， A＝{x|－1<x<1}， B＝{x|x<a}，且A∩B＝∅， ∴数轴上的点x＝a在x＝－1的左侧(含点x＝－1)，∴a≤－1，即a的取值范围为(－∞，－1]. (2)如图所示，A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|x<a}，且A∪B＝{x|x<1}， ∴数轴上的点x＝a在x＝－1和x＝1之间(含点x＝1，但不含点x＝－1)， ∴－1<a≤1，即a的取值范围为(－1，1]. 11.若集合M⊆N，则下列结论错误的是(　　) A.M∩N＝M B.M∪N＝N C.M⊆(M∩N) D.(M∪N)⊆M 答案　D 解析　∵集合M⊆N，∴M∩N＝M，M∪N＝N，故A，B正确；∵M⊆M＝M∩N，∴M⊆(M∩N)，故C正确；∵M∪N＝N⊆N，∴(M∪N)⊆N，故D不正确. 12.已知集合A＝{x|x2－3|x|＋2＝0}，集合B满足A∪B＝{－2，－1，1，2}，则满足条件的集合B的个数为(　　) A.4 B.8 C.16 D.32 答案　C 解析　由x2－3|x|＋2＝0，解得|x|＝1或|x|＝2， ∴A＝{－2，－1，1，2}， ∵A∪B＝{－2，－1，1，2}＝A，∴B⊆A. ∵集合A的子集的个数为24＝16， ∴满足条件的集合B的个数为16. 13.已知集合A＝{x∈Z|－1≤x<}，B＝，若A∩B有两个元素，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为A＝{－1，0，1}， B＝， 由于A∩B有两个元素，则或解得－<a<－1或－<a<0， 所以实数a的取值范围是 . 14.(5分)某班同学参加数学、物理竞赛，有15名同学参加了数学竞赛，11名同学参加了物理竞赛，其中两个竞赛都参加的有5名.这两个竞赛中，这个班共有　　　　名学生参赛.  答案　21 解析　因为15名同学参加了数学竞赛，11名同学参加了物理竞赛，两个竞赛都参加的有5名， 所以只参加了数学竞赛的有10名同学，只参加了物理竞赛的有6名同学， 则参加比赛的同学共有10＋6＋5＝21(名). 15.设S是实数集R的一个非空子集，如果对于任意的a，b∈S(a与b可以相等，也可以不相等)，都有a＋b∈S且a－b∈S，则称S是“和谐集”，则下列命题中为假命题的是(　　) A.存在一个集合S，它既是“和谐集”，又是有限集 B.集合{x|x＝3k，k∈Z}是“和谐集” C.若S1，S2都是“和谐集”，则S1∩S2≠∅ D.对任意两个不同的“和谐集”S1，S2，总有S1∪S2＝R 答案　D 解析　A项中，根据题意S＝{0}是“和谐集”，又是有限集，故A项为真命题；B项中，设S＝{x|x＝3k，k∈Z}，x1＝3k1，x2＝3k2，k1，k2∈Z，则x1＋x2＝3(k1＋k2)∈S，x1－x2＝3(k1－k2)∈S，所以集合{x|x＝3k，k∈Z}是“和谐集”，故B项为真命题；C项中，根据已知条件，a，b可以相等，故任意“和谐集”中一定含有0，所以S1∩S2≠∅，故C项为真命题；D项中，取S1＝{x|x＝2k'，k'∈Z}，S2＝{x|x＝3k'，k'∈Z}，由B项分析易知S1，S2都是“和谐集”，但5不属于S1，也不属于S2，所以S1∪S2不是实数集，故D项为假命题. 16.(12分)已知集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，是否存在实数a使A，B同时满足下列三个条件： (1)A≠B； (2)A∪B＝B； (3)∅ (A∩B). 若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 解　假设存在a使得A，B同时满足条件， 由题意得B＝{2，3}. ∵A∪B＝B，∴A⊆B，即A＝B或AB. 由条件(1)A≠B，可知AB. 又∵∅ (A∩B)，∴A≠∅，即A＝{2}或{3}. 当A＝{2}时，代入得a2－2a－15＝0， 即a＝－3或a＝5. 经检验，当a＝－3时，A＝{2，－5}，与A＝{2}矛盾，舍去； 当a＝5时，A＝{2，3}，与A＝{2}矛盾，舍去. 当A＝{3}时，代入得a2－3a－10＝0. 即a＝5或a＝－2. 经检验，当a＝－2时，A＝{3，－5}，与A＝{3}矛盾，舍去； 当a＝5时，A＝{2，3}，与A＝{3}矛盾，舍去. 综上所述，不存在实数a使得A，B同时满足条件. 学科网（北京）股份有限公司 $