江苏省江浦高级中学2027届高三数学第二次返校检测试题

**基本信息** 聚焦高考核心模块，通过函数、导数、立体几何等知识考查，结合低碳经济（如二氧化碳处理成本）、农业科技借阅数据等现实情境，培养数学建模与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数、双曲线、立体几何、函数性质|第3题结合双曲线与菱形内切圆，考查几何直观与运算能力| |多选题|3/18|向量、统计、函数零点|第10题以农业图书馆借阅数据为背景，考查回归分析与数据观念| |填空题|3/15|集合、二项式定理、函数恒成立|第14题通过二次函数恒成立，考查转化思想| |解答题|5/77|三角函数、立体几何、导数综合、概率统计|第17题以低碳经济为情境，考查函数最值与实际应用；第19题导数综合题，考查分类讨论与逻辑推理|

江苏省江浦高级中学2027届高三数学第二次返校检测试题 （不专门考查“解三角形复数”“直线圆圆锥曲线”“数列”;其他同高考要求）2026..8.7 一、单选题（每小题5分，共8小题40分） 1．设,则复平面内对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若数列是首项为，公差为的等差数列，且数列满足，则的前项和为(　　) A． B． C． D． 3．已知双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为. 若以为直径的圆内切于菱形，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 4．已知，且函数的最小值为，若函数，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 5．设表示不同的直线表示不同的平面，给出下列四个命题： ①若且则； ②若且则； ③若则 ④若且则 其中正确命题的个数是（ ） A． B． C． D． 6．函数（）对任意都有，则等于（ ） A．或 B．或 C． D．或 7．定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 8．已知的定义域为,为的导函数,且满足,则不等式的解集是( ) A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共3小题18分） 9．设,为单位向量,对任意的实数有恒成立,则( ) A．与的夹角为 B． C．的最小值为 D．的最小值为 10．某地为响应“扶贫必扶智,扶智就扶知识、扶技术、扶方法”的号召,建立农业科技图书馆,供农民免费借阅,收集了近年的借阅数据如下表: 根据上表,可得关于的经验回归方程为,则( ) A． B．借阅量,,,,的上四分位数为 C．与的线性相关系数 D．年的借阅量一定不少于万册 11．已知函数,若方程有六个相异实根,则实数可能的取值为( ) A． B． C． D． 三、填空题（每小题5分，共3小题15分） 12．设集合,,则__________. 13．若的展开式中第项与第项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为__________. 14．已知函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是__________. 四、解答题（本大题共5小题，总计77分） 15．（本题13份）已知函数，若且． （1）求实数的值及函数的最小正周期； （2）求在上的递增区间． 16．（本题15份）如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，. （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）设是上的动点，求与平面所成最大角的正切值. 17．（本题15份）为了保护环境，发展低碳经济，某单位再国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元． （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 18．（本题17份）某技校对学员的初次考核分理论考核与实际操作考核两部分进行，每部分考核只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”者，则进入下一阶段学习.甲、乙、丙三人在理论考核中“合格”的概率依次为：、、，在实际操作考核中“合格”的概率依次为：、、，所有考核是否合格相互之间没有影响. （1）求这3人进行理论与实际操作两项考核后，恰有2人进入下一阶段学习的概率； （2）用表示甲、乙、丙3人在理论考核中合格的人数，求的分布列和数学期望. 19． （本题17份）设函数,． (1)讨论函数的单调性； (2）如果存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数； (3)如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围.. 江苏省江浦高级中学2027届高三数学第二次返校检测试题参考答案 （不专门考查“解三角形复数”“直线圆圆锥曲线”“数列”;其他同高考要求）2026..8.7 一、单选题（每小题5分，共8小题40分） 1．设,则复平面内对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 选 D，解：因为,所以,所以,即 所以在复平面对应的点位于第四象限,故选:D 2．若数列是首项为，公差为的等差数列，且数列满足，则的前项和为(　　) A． B． C． D． 选A，解：由题意得：.又，则，得数列是以为首项，公比为的等比数列.，故选. 3．已知双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为. 若以为直径的圆内切于菱形，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 选C，解：∵双曲线的虚轴两端点为，两焦点为． ∴，，可得直线的方程为，即． ∵双曲线的两顶点为，以为直径的圆内切于菱形， ∴点到直线的距离等于半径，即，化简得，∵， ∴上式化简为，整理得． 两边都除以，得，解之得， ∵双曲线的离心率，∴，可得，故答案为C. 4．已知，且函数的最小值为，若函数，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 选B，解：由已知得，因为， 故， 由基本不等式得，故． 当时，满足；当时，由，解得， 所以，综上所述，不等式的解集为． 5．设表示不同的直线表示不同的平面，给出下列四个命题： ①若且则； ②若且则； ③若则 ④若且则 其中正确命题的个数是（ ） A． B． C． D． 选B，解：①正确；②中也可能直线，故错误；③中三条直线也可能相交于一点，故错误；④正确，所以正确的命题有个，选B 6．函数（）对任意都有，则等于（ ） A．或 B．或 C． D．或 选B，解：对任意都有，说明是函数的一条对称轴，因此是函数的最大值（或最小值），而的最大值为，最小值为．故选B 7．定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 选C，解：由于函数是定义在上的奇函数，则，且，因此函数是以4为周期的周期函数，且在上单调递减，函数在上单调递减，所以，∵，∴，即． 8．已知的定义域为,为的导函数,且满足,则不等式的解集是( ) A． B． C． D． 选C，解：构造函数,则,所以在上单调递减, 又因为,所以, 所以,解得或(舍), 所以不等式的解集是. 二、多选题（每小题6分，共3小题18分） 9．设,为单位向量,对任意的实数有恒成立,则( ) A．与的夹角为 B． C．的最小值为 D．的最小值为 选B,D，解：对A:设,的夹角为,, 两边平方可得:,即对任意的恒成立, 故可得:,即,则,又,故,故A错误; 对B:,故B正确;对C: ,当且仅当时取得等号,故C错误;对D: ,对,当且仅当时取得最小值,故的最小值为,故D正确.故选:BD. 10．某地为响应“扶贫必扶智,扶智就扶知识、扶技术、扶方法”的号召,建立农业科技图书馆,供农民免费借阅,收集了近年的借阅数据如下表: 根据上表,可得关于的经验回归方程为,则( ) A． B．借阅量,,,,的上四分位数为 C．与的线性相关系数 D．年的借阅量一定不少于万册 选 A,B,C解： 对于A,因为,, 所以,得,所以A正确, 对于B,因为,所以借阅量,,,,的上四分位数为,所以B正确,对于C,因为,所以与的线性相关系数,所以C正确, 对于D,由选项A可知线性回归方程为,当时,,所以年的借阅量约为万册,所以D错误,故选:ABC. 11．已知函数,若方程有六个相异实根,则实数可能的取值为( ) A． B． C． D． 选B,D，解：的图像如图所示: 则要使方程有六个相异实根即使在上有两个相异实根;则解得:.故选:BD. 三、填空题（每小题5分，共3小题15分） 12．设集合,,则__________. 填：，解：易得,,∴. 13．若的展开式中第项与第项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为__________. 填：，解：因为展开式中第项与第项的二项式系数相等,即,所以,所以展开式的通项为,令,解得,所以,所以的系数为. 14．已知函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是__________. 填：，解：因为是二次函数开口向上二次函数，故函数的最大值只能在区间端点处取到， 所以对于，，只需即可，解得，即. 四、解答题 15．（本小题13分）已知函数，若且． （1）求实数的值及函数的最小正周期； （2）求在上的递增区间． 解：(1)， 又∵，∴，即 故， ∴函数的最小正周期 （2） 的递增区间是， ∴，所以在上的递增区间是 16．（本小题15分）如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，. （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）设是上的动点，求与平面所成最大角的正切值. 解：(Ⅰ)证明：取中点，连结、， 由，，知为等腰直角三角形，∴，， 由，，知为等边三角形，∴， 由得, ∴， 又，∴平面， 又平面，∴平面平面 （Ⅱ）解法1：如图，连结，由（Ⅰ）知， ∴平面，为与平面所成的角， 在中，∵，要最大，只需取最小值，而的最小值即点O到PB的距离，这时，， 故当最大时，.即与平面所成最大角的正切值为. 解法2：由（Ⅰ）知平面，， 如图所示，以为原点，、、所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，则， 设点的坐标为，， 则，∴，即， 则，为平面的法向量， 设与平面所成的角为， 则, 当时，取最大值，，又，此时最大，， 即与平面所成最大角的正切值为. 17．（本小题15分）为了保护环境，发展低碳经济，某单位再国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元． （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 解：（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为， 当且仅当，即时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元． （2）设该单位每月获利为，则 ， 因为，所以当时，有最大值． 故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损． 18．（本小题17分）某技校对学员的初次考核分理论考核与实际操作考核两部分进行，每部分考核只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”者，则进入下一阶段学习.甲、乙、丙三人在理论考核中“合格”的概率依次为：、、，在实际操作考核中“合格”的概率依次为：、、，所有考核是否合格相互之间没有影响. （1）求这3人进行理论与实际操作两项考核后，恰有2人进入下一阶段学习的概率； （2）用表示甲、乙、丙3人在理论考核中合格的人数，求的分布列和数学期望. 解：（1）记“甲进入下一阶段学习”为事件，“乙进入下一阶段学习”为事件，“进入下一阶段学习”为事件，则，， 3人考试后恰有2人进入下一阶段学习为事件， 则=； （2）由题意得， ，， ， . 的分布列为： 19．（本小题17分）设函数,． (1)讨论函数的单调性； (2）如果存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数； (3)如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围. 解：（1），，， ①当时，∵，函数在上单调递增； ②当时，由得，函数的单调递增区间为； 由得，函数的单调递减区间为. （2）存在，使得成立，等价于：， 考察，， 由上表可知：， ， 所以满足条件的最大整数； （3）当时，， 对任意的，都有成立，， 即在上恒成立，等价于在上恒成立， 记，,所以, ,∵， 时，时，, 在区间上递增，在上递减. ，所以. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $