1.3 集合的基本运算 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦集合的基本运算核心知识点，系统梳理并集、交集的定义、符号语言、图形语言及运算性质，进而延伸至全集与补集概念，最后引入容斥原理，构建从基础运算到综合应用的学习支架。 资料以多语言表征（自然、符号、图形）呈现知识，结合运算性质逻辑推导，练习题涵盖选择、填空及解答题且选自多地期末真题。通过Venn图培养几何直观（数学眼光），容斥原理应用（如学生人数计算）发展推理意识（数学思维），课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

1.3 集合的基本运算 一．并集 1.自然语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集. 2.符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}. 3.图形语言：如图所示. 4.运算性质：A∪B＝B∪A，A⊆A∪B，B⊆A∪B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A. 如果A⊆B，则A∪B＝B，反之也成立. 二．交集 1.自然语言：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的交集. 2.符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}. 3.图形语言：如图所示. 4. 运算性质：A∩B＝B∩A，A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩A＝A，A∩∅＝∅∩A＝∅. 如果A⊆B，则A∩B＝A，反之也成立. 三．全集与补集 1.全集 ①定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集. ②记法：全集通常记作U. 2.补集 （1）文字语言：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA （2）符号语言：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} （3）图形语言 四．容斥原理 对于任意集合A, card(A)表示集合A中元素的个数。 ①card（A∪B)= card(A)+card(B)-card（A∩B） 特别地，当A∩B=∅时，card（A∪B)= card(A)+card(B) ②card（A∪B∪C）=card(A)+card(B)+card(C)-card（A∩B）-card（B∩C）-card（A∩C）+card(A∩B∩C) 练习 一、交集 1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下贵州遵义期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下河北张家口期末）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下内蒙古赤峰期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下广西梧州期末）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下北京阶段检测）已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 二．并集 7．（26-27高三上江西南昌阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下天津期末）集合，，则等于（     ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下广东深圳期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 10．（2026湖北武汉三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 11．（2026安徽淮北一模）已知集合，则的元素个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 12．（25-26高二下广东汕尾期末）已知集合，，若，则实数a的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．2 三．全集与补集 13．（25-26高二下天津静海阶段检测）设集合，则（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二下陕西榆林期末）已知全集，集合，则集合中元素的个数为_________. 15．（25-26高二下吉林期末）如图，全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（     ）    A． B． C． D．或 16．（25-26高二下湖南长沙期末）已知全集，集合，若，则（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 17．（25-26高二下湖南期末）已知集合，，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 18．（25-26高二下辽宁沈阳期末）已知全集，且，则（    ） A． B． C． D． 四．解答题 19．（25-26高二下吉林长春期末）设集合，非空集合． (1)若，求和； (2)若，求实数的取值范围． 20．（25-26高二下安徽六安期末）已知集合，{或}. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 21．（25-26高二下江苏无锡阶段检测）已知全集，集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 22．（25-26高一上浙江杭州期中）已知集合或，集合． (1)若，求和； (2)若，求实数a的取值范围． 23．（2026高一上广东清远专题练习）设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 24．（25-26高三上广西钦州开学考试）一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 练习答案 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，则. 2．（25-26高二下贵州遵义期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】集合，， 则. 3．（25-26高二下河北张家口期末）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知集合代表所有正整数，故. 4．（25-26高一下内蒙古赤峰期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，得或， 因为，所以. 5．（25-26高二下广西梧州期末）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，解得，所以， 又，所以. 6．（25-26高二下北京阶段检测）已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 【答案】 【详解】∵ ，∴ ，且. 集合，分情况讨论： ① 若，解得， 此时，则，与矛盾，舍去； ② 若， 此时，则，与矛盾，舍去； ③ 若，解得， 此时，，符合题意. 综上，实数值的集合为. 7．（26-27高三上江西南昌阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因，， 则. 8．（25-26高二下天津期末）集合，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合，， 所以. 9．（25-26高二下广东深圳期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， 故. 10．（2026湖北武汉三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式求出集合、，再求即可. 【详解】集合， ， 则. 11．（2026安徽淮北一模）已知集合，则的元素个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】利用并集的运算求解. 【详解】，， ，的元素个数为. 故选：C. 12．（25-26高二下广东汕尾期末）已知集合，，若，则实数a的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．2 【答案】B 【详解】若，则， 所以或. 当时，. 此时不符合集合中元素的互异性，所以； 当时，， 即. 因为，所以，所以， 即. 当时，. 综上所述，. 13．（25-26高二下天津静海阶段检测）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知全集，集合，则， 又，因此. 14．（25-26高二下陕西榆林期末）已知全集，集合，则集合中元素的个数为_________. 【答案】3 【详解】因为， 所以， 又，所以， 则集合中有3个元素. 15．（25-26高二下吉林期末）如图，全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（     ）    A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】解不等式，并根据得到答案 【详解】，或， 图中阴影部分所表示的集合为， 其中， 故. 16．（25-26高二下湖南长沙期末）已知全集，集合，若，则（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据补集的定义，先确定集合 ，再比较集合中的元素求出 . 【详解】因为 ，且 ，所以从全集 中去掉元素 后，得到 又 ，因此解得 17．（25-26高二下湖南期末）已知集合，，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求出集合和集合，然后利用交并补的概念依次判断即可. 【详解】已知集合，解不等式，可得， 所以， 又因为集合，解不等式，可得， 所以，所以， 对于A，由于，所以，故A正确； 对于B，由于，所以，故B正确； 对于C，由于，，所以，故C正确； 对于D，由于，， 所以，故D错误. 18．（25-26高二下辽宁沈阳期末）已知全集，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 集合由中满足的元素构成， ：，故， ：，故， ：，故， ：，故， ：，故， 所以，则. 19．（25-26高二下吉林长春期末）设集合，非空集合． (1)若，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将代入，再根据交集和并集的定义计算即可； （2）若，，则根据集合的包含关系求出参数的范围即可. 【详解】（1）． 因为，所以， 所以，． （2）由于且， 故，解得， 所以实数的取值范围为. 20．（25-26高二下安徽六安期末）已知集合，{或}. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，{或}，， 所以，解得，即的取值范围为． （2）当时，满足，此时，解得．   当时，或， 解得或，   综上，或，即的取值范围为． 21．（25-26高二下江苏无锡阶段检测）已知全集，集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先解分式不等式可得集合，再由集合交集的定义可得； （2）先求出，根据并集定义求解即可得. 【详解】（1）由，得，即，解得，故. 若，则，所以. （2）由题意，， 若，则. 所以实数的取值范围为. 22．（25-26高一上浙江杭州期中）已知集合或，集合． (1)若，求和； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据集合的交，并，补运算求解； （2）根据集合间的关系求参数. 【详解】（1）当时，，， 又，所以； （2）因为，所以， 若，则，所以， 若，则，或， 解得或， 综上所述：实数a的取值范围为 23．（2026高一上广东清远专题练习）设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或； (2)或 【分析】（1）根据题意可得集合，结合集合间的运算求解即可； （2）分和两种情况讨论，结合交集运算列式求解即可. 【详解】（1）若，则集合， 且集合或，所以集合或； 又因为全集为，则集合， 所以图中阴影部分表示的集合. （2）因为集合或，，且， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数m的取值范围为或. 24．（25-26高三上广西钦州开学考试）一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 【答案】(1)340人 (2)251人 (3)84人 【分析】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为，由容斥原理求解即可； （2）由容斥原理只修一门课的学生有 ； （3）由容斥原理正好修两门课的学生有 【详解】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为， 则， ， ， 所以该校共有340人. （2）只修一门课的学生有 , 所以只修一门课的学生有251人. （3）正好修两门课的学生有 ， 所以正好修两门课的学生有84人. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $