1.3集合的基本运算·讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学集合的并集、交集、补集运算核心知识点，承接1.1集合的表示、1.2集合的关系，通过类比实数运算让集合“动”起来，为后续解不等式、逻辑用语及概率等内容奠定基础。 资料以“理解+会求”为目标，通过超市进货情境引入并集、运动会参赛例子理解交集，结合Venn图与数轴培养数学思维，用集合语言描述几何位置关系发展数学表达，课中助力教师分层教学，课后通过易错点辨析和题型精练帮助学生查漏补缺。

1.3 集合的基本运算·讲义 人教A版必修第一册　第一章　集合与常用逻辑用语　共2课时 一、课标要求与教材位置 课程标准对本节的要求：理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用。三个动词都是"理解＋会求"，属于本章要求最高的一节。 本节是第一章的落脚点。1.1节学会写集合，1.2节学会比集合，本节让集合"动"起来——像实数有加减一样，集合之间也有运算。教材的引入正是这条类比：实数有加法，两个集合能不能相加？由此引出并集，再由并集类比出交集，最后在给定全集内引出补集。三种运算学完，第一章的集合部分才算完整。 往后看，本节的用处铺得很开：第二章解一元二次不等式，解集就是区间的交并；1.4节讲充分必要条件，"小范围推大范围"用交并语言描述最方便；1.5节含量词命题的否定与补集的思想同构；到概率一章，事件的和、积、对立事件就是集合的并、交、补换了名字。数轴与Venn图这两件工具在本节定型，往后三年一直用。 考试中的地位：集合运算是高考选择题第1题的固定考法，全国卷年年出现，题面通常给两个用描述法写的集合（一个离散、一个连续，或两个区间），考交、并、补的组合。本节直接决定那道送分题能不能拿稳。月考、期中除了运算本身，还必考含参数的运算问题（由A∪B＝B或A∩B＝∅反求参数范围），是第一章压轴小题的主要来源。 课时安排：本节2课时。第一课时学并集与交集，第二课时学全集与补集，并把三种运算综合起来（含德摩根律的发现与含参问题）。 二、知识精讲（第一课时　并集与交集） （一）并集的引入与定义 教材用两组例子引入。第一组：A＝{4，5，6，8}，B＝{3，5，7，8}，C＝{3，4，5，6，7，8}；第二组：A＝{x|x是有理数}，B＝{x|x是无理数}，C＝{x|x是实数}。两组的共同点是C由A、B的元素合并而成。教学中还可以用超市进货的情境：第一次进圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水六种，第二次进圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面四种，两次一共进了哪些品种——学生会自然地把重复的圆珠笔、方便面只数一次，互异性在这里再次派上用场。 定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作"A并B"。符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}。 定义里的"或"是本节第一个要讲透的字。数学中的"或"是可兼的：x∈A∪B包含三种情形——只属于A，只属于B，两者都属于。这与日常语言里"要么……要么……"的排他含义不同（"今晚吃面或吃饭"通常指只选一样）。学生若把"或"理解成排他的，就会把公共元素从并集里剔掉，得出A∪B＝{3，4，6，7}这样的错误答案。讲的时候把这一层挑明，并用Venn图指着公共区域说明它属于并集。 （二）并集的例题与运算规则 教材例1：设A＝{4，5，6，8}，B＝{3，5，7，8}，求A∪B。解：A∪B＝{4，5，6，8}∪{3，5，7，8}＝{3，4，5，6，7，8}。这里要落两条规则：一是公共元素5、8在并集中只写一次（互异性）；二是结果按从小到大排列，便于检查。顺带提一个学生常有的疑问：A∪B的元素个数等于A与B的元素个数之和吗？本例中A有4个、B有4个，A∪B只有6个——公共的两个被重复计算了。这个观察是"阅读与思考　集合中元素的个数"（容斥原理）的种子，本节点到为止，学有余力的可以课后读教材第15页。 教材例2：设集合A＝{x|－1＜x＜2}，集合B＝{x|1＜x＜3}，求A∪B。解：A∪B＝{x|－1＜x＜2}∪{x|1＜x＜3}＝{x|－1＜x＜3}。区间型集合求并集必须画数轴：把A、B两段画在同一条数轴上，并集就是两段"合起来盖住"的部分。这道题的两段有重叠，合起来是连通的一段；若两段不重叠（如A＝{x|x＜0}，B＝{x|x＞1}），并集就写成"x＜0或x＞1"，不能强行写成一个区间。 并集的常用性质（由定义直接得出，不必死记，用时能想明白即可）：A∪A＝A；A∪∅＝A；A∪B＝B∪A；A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)。还有一条最有用的：A∪B＝A的充要条件是B⊆A。这条把"运算结果"翻译成"包含关系"，是含参问题的通用入口，第二课时和作业里反复用到。 （三）交集的定义与例题 还是那两个集合A＝{4，5，6，8}，B＝{3，5，7，8}，把目光从"合起来"转向"公共部分"：C＝{5，8}。定义：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，读作"A交B"。符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}。 教材例3：新华中学开运动会，设A＝{x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学}，B＝{x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学}，求A∩B。解：A∩B就是新华中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合。这道题的价值在于让学生用生活语言复述"且"的含义——既……又……。 教材例4：设平面内直线l₁上点的集合为L₁，直线l₂上点的集合为L₂，试用集合的运算表示l₁、l₂的位置关系。解：直线l₁、l₂相交于一点P可表示为L₁∩L₂＝{点P}；直线l₁、l₂平行可表示为L₁∩L₂＝∅；直线l₁、l₂重合可表示为L₁∩L₂＝L₁＝L₂。这道题把几何位置关系翻译成集合运算，是本节最有数学味的一题，也是学生第一次体会"用集合语言描述数学对象"。特别注意平行的情形写成空集，而不能说"没有交集"——两条平行线的交集存在，就是空集。 交集的常用性质：A∩A＝A；A∩∅＝∅；A∩B＝B∩A；(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B。同样有一条关键的：A∩B＝A的充要条件是A⊆B。与并集那条对照记：并集等于大的那个，交集等于小的那个。 （四）Venn图与运算律的观察 并集、交集都可以用Venn图表示：画两个相交的圆A、B，A∪B是两个圆覆盖的全部区域，A∩B是中间重叠的那块。两个圆的相对位置有三种典型情形，各对应一类结论——相交（有公共元素，A∩B是那块重叠区）、包含（A画在B内部，此时A∩B＝A，A∪B＝B）、相离（无公共元素，A∩B＝∅，A∪B就是两块分开的区域）。让学生把这三种图画在笔记里，做题时先想"两个集合是哪种位置"，比直接套定义快得多。 教材课后与练习中反复出现的一组观察题：取A＝{1，2，3，4}，B＝{3，4，5，6}，C＝{1，3，6}，分别算(A∩B)∩C与A∩(B∩C)，再算(A∪B)∪C与A∪(B∪C)。算完会发现两组结果各自相等——交、并都满足结合律，所以三个集合连续求交或连续求并时不必加括号。同理由定义可知A∩B＝B∩A、A∪B＝B∪A（交换律）。这些规律不要求背，但要让学生亲手算一次，知道"集合运算和实数运算一样有章可循"。★优生班可以再补一组分配律的观察：(A∩B)∪C与(A∪C)∩(B∪C)，算出来也相等。 （五）区间型集合的交并：数轴是硬工具 凡是形如{x|a＜x＜b}的集合参与运算，一律画数轴。操作要领：把每个集合画成数轴上的一段（端点闭的画实心点，开的画空心圈），求并集看"两段合起来覆盖哪里"，求交集看"两段重叠在哪里"。端点是失分重灾区——画图时把每个端点单独盯一遍：这个点在A里吗？在B里吗？在结果里吗？例如A＝{x|x≤2}与B＝{x|x＞2}，A∩B＝∅（2属于A不属于B），A∪B＝R。若改成A＝{x|x≤2}与B＝{x|x≥2}，则A∩B＝{2}，A∪B＝R，一个端点的开闭就改变了答案。 三、知识精讲（第二课时　全集与补集） （六）全集 在研究问题时，我们常常需要确定研究对象的范围。如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。全集是相对的，随问题而定：讨论有理数与无理数时，全集取实数集；讨论方程x²＋1＝0的实数解时，全集取R；只在{1，2，3，4，5}这五个数里讨论问题时，全集就是这个五元集。这一点要向学生说清楚——没有一个绝对的、包罗万象的全集，"全"是就当前问题而言的。 （七）补集的定义 定义：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁_U A，即∁_U A＝{x|x∈U，且x∉A}。读作"A在U中的补集"。 三个书写与理解要点。第一，补集必须指明相对于哪个全集，脱离全集谈补集没有意义；同一个A在不同全集里补集不同（A＝{1，2}在U＝{1，2，3}中的补集是{3}，在U＝{1，2，3，4}中的补集是{3，4}）。第二，记号写法：∁的开口向右，U写在右下角，A写在后面；手写时U的位置要压低，不要写成大写并列。第三，由定义直接得到两条基本关系：A∪(∁_U A)＝U，A∩(∁_U A)＝∅——一个集合与它的补集拼起来正好是全集，且没有公共元素。这两条是后面所有补集运算的依据。 其余常用性质：∁_U U＝∅；∁_U ∅＝U；∁_U(∁_U A)＝A（补集的补集是自身，与"负负得正"同构，可作类比）。 （八）补集的例题 教材例5：设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，求∁_U A，∁_U B。解：先把全集写清楚，U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}；从U中去掉A的元素，得∁_U A＝{4，5，6，7，8}；从U中去掉B的元素，得∁_U B＝{1，2，7，8}。方法上强调一句：求补集的第一步永远是把全集的元素写出来，全集没写清就动手，必错。 教材例6：设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}。求A∩B，∁_U(A∪B)。解：A∩B＝∅（一个三角形不可能既是锐角三角形又是钝角三角形）；A∪B是所有锐角三角形与钝角三角形组成的集合，即所有斜三角形组成的集合，故∁_U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}。这道题在概念上很好——补集的结果要靠对全集的分类来判断：三角形按角分只有锐角、直角、钝角三类，去掉锐角与钝角，剩下的正是直角三角形。 （九）区间型集合的补集 全集为R时，求补集就是在数轴上取"没被盖住"的部分，同时把端点的开闭翻个面：∁_R{x|x＜a}＝{x|x≥a}；∁_R{x|x≤a}＝{x|x＞a}；∁_R{x|a＜x≤b}＝{x|x≤a或x＞b}。三条都不必背，画数轴当场看，但"端点开闭互换"这句话要写进笔记——学生的错误九成出在这里，把∁_R{x|x＜1}写成{x|x＞1}，漏掉了1。 （十）三种运算的综合与德摩根律（★） 把并、交、补放在一起，会出现∁_U(A∩B)、(∁_U A)∪(∁_U B)这类混合式子。运算顺序：先算括号内，再算括号外；同级从左到右。带补集的式子要特别看清∁的作用范围——∁_U(A∩B)是先求交再求补，(∁_U A)∩B是先求A的补再与B求交，两者完全不同。 引导学生自己发现的规律（教材习题与课堂例题中反复出现）：∁_U(A∩B)＝(∁_U A)∪(∁_U B)，∁_U(A∪B)＝(∁_U A)∩(∁_U B)。这两条称为德摩根律，教材没有正式命名，但在练习中大量使用。发现的路径是先算具体例子（如U＝R，A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＞3}，把四个式子都算出来对比），再用Venn图涂色验证。记忆的口诀可以给一句：补进括号，交并互换。★这条规律优生班要求会用会说理，普通班只要求"算出来发现相等"，不强求记忆。 （十一）含参数的集合运算问题 这是本节最重要的题型，也是月考压轴小题的主要来源。核心思路只有一句：把运算结果翻译成包含关系，再画数轴。三条翻译式必须熟到条件反射——A∪B＝A等价于B⊆A；A∩B＝A等价于A⊆B；A∩B＝∅表示两段在数轴上完全不重叠。翻译完之后，问题就退回到1.2节的包含关系求参数，那一套三步走（讨论空集、画数轴比端点、取并）原样搬过来用。 这里要特别提醒的是"空集是否要讨论"取决于题目怎么说。若题目写明"非空集合B"，则不必讨论B＝∅；若没有这句话，B⊆A型的问题必须先讨论B＝∅。学生的两类错误正好相反：一类是该讨论不讨论，丢一整支；另一类是题目已经写了"非空"还去讨论，白费工夫且可能答错。审题时把"非空"两个字圈出来。 四、概念辨析与易错点 1．并集里的"或"是可兼的。x∈A∪B包含"只在A""只在B""同时在A、B"三种情形，公共元素属于并集。把公共元素从并集中剔除是本节第一号错误。 2．并集的元素个数不等于两个集合元素个数之和（有公共元素时会重复），求并集后要按互异性合并同类项。 3．两个集合没有公共元素时，交集是空集，不能说"没有交集"。A∩B＝∅是一个正常的运算结果。 4．补集必须指明全集，∁A的写法是错的；同一集合在不同全集中的补集不同。 5．求补集第一步先把全集的元素写清楚。全集是{x|x是小于9的正整数}这类描述法时，先化成{1，2，3，4，5，6，7，8}再动手。 6．区间求补集时端点开闭要互换：∁_R{x|x＜1}＝{x|x≥1}，不是{x|x＞1}。这是本节丢分最多的单点。 7．∁_U(A∩B)与(∁_U A)∩B完全不同，看清∁的作用范围；混合运算先括号内后括号外。 8．含参问题先翻译再画图：A∪B＝A即B⊆A，A∩B＝A即A⊆B。翻译反了方向，后面全错。 9．B⊆A型含参问题是否讨论B＝∅，看题目有没有写"非空"。写了就不讨论，没写就必须讨论。 10．含参数解出的候选值要代回原集合检验互异性（1.1节的老规矩在本节仍然有效）。例如由A∪B＝A解得m＝1时若使集合出现重复元素，该值要舍去。 11．全集不是R时（如U＝{x|x≤4}），求补集要卡在全集边界上：∁_U{x|0≤x≤3}＝{x|x＜0或3＜x≤4}，右端写到4为止，写成"x＞3"就超出了全集。 12．∁_U A的结果仍是U的子集。检验方法：算完补集后，把A与∁_U A拼起来看是否正好是U，交起来看是否为空——这两条恒等关系是最快的自检工具。 五、题型归纳 题型一　列举型集合的交、并、补运算 例：已知全集U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，求A∪B、A∩B、∁_U A、(∁_U A)∪B。 解析：A∪B＝{1，2，3，4}（公共元素2只写一次）；A∩B＝{2}；∁_U A＝{0，4}（从U中去掉1、2、3）；(∁_U A)∪B＝{0，4}∪{2，4}＝{0，2，4}。方法点拨：列举型题目按定义逐元素处理即可，唯一要提防的是全集没写全、公共元素重复写。混合式子从内层括号往外算。 变式：已知全集U＝{1，2，3，4，5}，M＝{1，4}，N＝{2，5}，求N∪∁_U M。解析：∁_U M＝{2，3，5}，与N＝{2，5}求并集，公共元素2、5各写一次，得{2，3，5}。这是2023年全国甲卷的原题，考的正是"先补后并"的两步走，题面简单但步骤不能跳——不少学生把∁_U M算成{3}（漏了2、5），根源是没先把全集列清楚。 题型二　区间型集合的交、并、补运算 例：设全集U＝R，A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1或x＞4}，求A∩B、A∪B、∁_R B、A∪(∁_R B)。 解析：画数轴。∁_R B＝{x|－1≤x≤4}（端点开闭互换）；A∩B＝{x|－2≤x＜－1}；A∪B＝{x|x≤3或x＞4}；A∪(∁_R B)＝{x|－2≤x≤3}∪{x|－1≤x≤4}＝{x|－2≤x≤4}。方法点拨：三条纪律——必画数轴、端点逐个验、结果写完回代一两个具体数字检查（如取x＝－1.5验证是否真在A∩B里）。 题型三　由运算结果反求参数（★） 例：已知集合A＝{x|1＜x≤a}，B＝{x|1＜x＜2}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围。 解析：A∪B＝A等价于B⊆A。B＝{x|1＜x＜2}非空，A＝{x|1＜x≤a}要包含B，在数轴上A的右端必须够到2：需a≥2。检验a＝2：A＝{x|1＜x≤2}，B＝{x|1＜x＜2}⊆A成立。故a的取值范围是{a|a≥2}，即[2，＋∞)。方法点拨：第一步翻译（A∪B＝A即B⊆A），第二步画数轴比端点，第三步验端点能否取等。本题B的右端点2取不到，所以a＝2时恰好包住，等号保留。 变式（含互异性检验）：已知集合A＝{1，3，m²}，B＝{1，m}，A∪B＝A，求m。解析：A∪B＝A等价于B⊆A，故m∈A，即m＝3或m＝m²。由m＝m²得m＝0或m＝1。逐一检验：m＝3时A＝{1，3，9}、B＝{1，3}，元素互异，成立；m＝1时B＝{1，1}违反互异性，舍去；m＝0时A＝{1，3，0}、B＝{1，0}，成立。故m＝0或3。方法点拨：本题在"翻译＋求解"之外多一道检验关，1.1节的互异性在含参运算题里依旧管用——凡解出的参数值，代回把集合的元素写出来看一眼，是本章一以贯之的动作。 题型四　A∩B＝∅型求参数（★） 例：已知集合A＝{x|1＜x＜3}，非空集合B＝{x|2a－1≤x＜5}，若A∩B＝∅，求实数a的取值范围。 解析：题目写明B非空，故不讨论空集，但要保证B非空：2a－1＜5，得a＜3。A∩B＝∅意味着两段在数轴上不重叠：B在A的右侧，需2a－1≥3，得a≥2。取公共部分得2≤a＜3。方法点拨：A∩B＝∅的处理是"在数轴上把两段推开"，找准是左右哪一侧不重叠，再列端点不等式；本题B的左端点是闭的、A的右端点是开的，2a－1＝3时B从3开始而A到3为止（取不到），恰好不重叠，等号保留。这类端点必须单独验证，不能凭感觉。 题型五　补集综合与德摩根律（★） 例：设全集U＝R，A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＞3}，分别求∁_R(A∩B)、∁_R(A∪B)、(∁_R A)∩(∁_R B)、(∁_R A)∪(∁_R B)，并观察其中的关系。 解析：A∩B＝{x|3＜x＜5}，故∁_R(A∩B)＝{x|x≤3或x≥5}；A∪B＝R，故∁_R(A∪B)＝∅；∁_R A＝{x|x≥5}，∁_R B＝{x|x≤3}；(∁_R A)∩(∁_R B)＝∅；(∁_R A)∪(∁_R B)＝{x|x≤3或x≥5}。对照可见∁_R(A∩B)＝(∁_R A)∪(∁_R B)，∁_R(A∪B)＝(∁_R A)∩(∁_R B)。方法点拨：算完四个式子把结果并排写出来对比，规律自己会跳出来；再用Venn图涂两次色验证一遍。口诀"补进括号，交并互换"。 题型六　集合运算的语言表达题 例：学校开运动会，设A＝{x|x是参加100 m跑的同学}，B＝{x|x是参加200 m跑的同学}，C＝{x|x是参加400 m跑的同学}。学校规定每个参赛同学最多只能参加两项比赛，请用集合的运算说明这项规定，并解释A∪B与A∩C的含义。 解析：三项都参加的同学不存在，即A∩B∩C＝∅，这就是"最多只能参加两项"的集合表述。A∪B是参加100 m跑或参加200 m跑的同学组成的集合（两项中至少参加一项）；A∩C是既参加100 m跑又参加400 m跑的同学组成的集合。方法点拨：这类题考的是"把生活语言译成集合语言"，翻译的关键词就两个——"或"对应并集、"且／既又"对应交集、"都不"对应补集或空集。教材例3、例4是同一路数，作业与考试里以填空或简答形式出现。 题型七　并集元素个数与容斥（了解层次） 例：某班参加田赛的学生有16人，参加径赛的学生有25人，两项都参加的有7人，则该班参加本次运动会的学生共有多少人？ 解析：设田赛集合A、径赛集合B，参加运动会的人组成A∪B。两项都参加的7人在16与25中各算了一次，重复计算了7次，所以A∪B的元素个数为16＋25－7＝34人。方法点拨：这条关系写成一般形式就是"A∪B的元素个数＝A的元素个数＋B的元素个数－A∩B的元素个数"，属于教材第15页"阅读与思考　集合中元素的个数"的内容，本节只要求会在具体问题里用一次，不作硬性要求；感兴趣的学生课后读教材。 六、与考试的对应 高考层面：集合运算是全国卷选择题第1题的常规考法，近年真题如2023年全国甲卷考N∪∁_U M、2023年全国乙卷考用交并补的组合表示指定区间、2019年全国I卷考两个区间型集合求交集。这些题的共同结构是：先把描述法的集合化成具体的区间或列举形式（常要解一元二次不等式，第二章学完后更顺手），再做运算。本节练到位，那道题只需三十秒。 月考、期中层面：除了直接运算，必考的是含参数问题——由A∪B＝B、A∩B＝A、A∩B＝∅反求参数范围，常做压轴填空或选择的最后一题。这类题的失分点集中在三处：翻译方向反了、忘记讨论空集、端点等号取错。三处在本节都要专门练。 还有一类应用题（如运动会参赛人数、订报纸人数），用交并的元素个数关系解决，属于"阅读与思考"的容斥内容，考试中偶尔出现在填空题。本节讲到并集元素个数时可以点一句，作业不作要求。 七、教学提醒 1．两课时的分法：第一课时并集、交集（两个新概念＋数轴训练），第二课时全集、补集与三种运算的综合（含德摩根律与含参问题）。第一课时看似轻，但数轴功夫必须在第一课时练熟，否则第二课时的综合运算跟不上。 2．"或"与"且"的区别是第一课时的语言关。多让学生用汉语复述定义："A∪B是那些属于A或者属于B的元素组成的集合"，复述顺了再做题。 3．每道区间型题目都要求学生在学案上画数轴，教师巡视时重点看端点画法（实心空心）。这条纪律从本节立起来，第二章解不等式直接受益。 4．德摩根律是★内容：优生班要求会用、能用Venn图说清；普通班只要求在具体例子里算出相等，不强求记忆和证明。 5．含参问题第二课时只讲一道（题型三），另一类（A∩B＝∅型）放在作业B组，讲评课再展开。一节课塞两类含参，普通班消化不了。 6．本章即将结束，第二课时小结时把三节串一遍：1.1写集合、1.2比集合、1.3算集合，下一节转入逻辑用语。 八、题型精练（附详解） 1．设集合A＝{3，5，6，8}，B＝{4，5，7，8}，则A∩B＝（　　） A．{5，8}　　B．{3，6}　　C．{4，7}　　D．{3，5，6，8} 2．设集合M＝{x|x²＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x²－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝（　　） A．{0}　　B．{0，2}　　C．{－2，0}　　D．{－2，0，2} 3．已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则∁_U(A∩B)＝（　　） A．{2，3}　　B．{1，2，3}　　C．{1，4}　　D．{2，3，4} 4．设集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1或x＞4}，则A∪(∁_R B)＝（　　） A．{x|－2≤x≤4}　　B．{x|－1≤x≤3}　　C．{x|3≤x≤4}　　D．{x|x≤3或x≥4} 5．已知集合A＝{x|1＜x≤a}，B＝{x|1＜x＜2}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围是（　　） A．(1，＋∞)　　B．(1，2]　　C．(2，＋∞)　　D．[2，＋∞) 6．设A＝{x||x|＜2}，B＝{x|x＞a}，全集U＝R，若A⊆∁_U B，则（　　） A．a＝0　　B．a≤2　　C．a≥2　　D．a＜2 7．已知集合A＝{1，3，m²}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝（　　） A．3　　B．0或3　　C．1或0　　D．1或3 8．设全集U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，则∁_U A＝＿＿＿＿＿＿，∁_U B＝＿＿＿＿＿＿，A∩B＝＿＿＿＿，A∪B＝＿＿＿＿＿＿＿。 9．（解答题）设全集U＝R，A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＞3}，求∁_R(A∩B)、∁_R(A∪B)、(∁_R A)∪(∁_R B)，并说明∁_R(A∩B)与(∁_R A)∪(∁_R B)的关系。 10．（解答题）已知集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2x－4≥x－2}。(1)求A∩B；(2)若集合C＝{x|2x＋a＞0}满足B∪C＝C，求实数a的取值范围。 11．设全集U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，2}，B＝{2，3}，则(∁_U A)∩(∁_U B)＝（　　） A．{0，4}　　B．{4}　　C．{1，2，3}　　D．∅ 12．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，非空集合B＝{x|2a－1≤x＜5}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为（　　） A．a≥2　　B．a＞2　　C．2≤a＜3　　D．2＜a＜3 13．设集合U＝R，M＝{x|x＜1}，N＝{x|－1＜x＜2}，则{x|x≥2}＝（　　） A．∁_U(M∪N)　　B．N∪∁_U M　　C．∁_U(M∩N)　　D．M∪∁_U N 14．（解答题）已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0≤x≤3}，求A∩B、∁_U A、(∁_U A)∪B、∁_U(A∪B)。 参考答案与详解 1．A。A与B的公共元素是5和8，故A∩B＝{5，8}。选D是把交集当成了A本身。 2．D。x²＋2x＝0得x(x＋2)＝0，M＝{0，－2}；x²－2x＝0得x(x－2)＝0，N＝{0，2}。并集把两者元素合起来、公共的0只写一次，M∪N＝{－2，0，2}。选B或C是漏解了其中一个方程。 3．C。A∩B＝{2，3}，从U＝{1，2，3，4}中去掉2、3，得∁_U(A∩B)＝{1，4}。选A是没做补集这一步。 4．A。B＝{x|x＜－1或x＞4}，其补集把端点开闭互换并取中间段：∁_R B＝{x|－1≤x≤4}。与A＝{x|－2≤x≤3}求并集，画数轴合并得{x|－2≤x≤4}。 5．D。A∪B＝A等价于B⊆A。B＝{x|1＜x＜2}，A＝{x|1＜x≤a}，要包住B需a≥2；a＝2时A＝{x|1＜x≤2}⊇B成立，等号保留。故a≥2，选D。选B、C都是端点判断出错。 6．C。A＝{x|－2＜x＜2}，∁_U B＝{x|x≤a}。A⊆∁_U B要求A中每个元素都不超过a，A的右端逼近2，故需a≥2。a＝2时∁_U B＝{x|x≤2}⊇A成立。选C。 7．B。A∪B＝A等价于B⊆A，故m∈A，即m＝3或m＝m²。m＝3时A＝{1，3，9}、B＝{1，3}，元素互异，成立；m＝m²得m＝0或m＝1，m＝1时B＝{1，1}违反互异性舍去，m＝0时A＝{1，3，0}、B＝{1，0}成立。故m＝0或3。（本题的关键在解出候选值后检验互异性，直接答"0或1或3"是典型错误。） 8．U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}。∁_U A＝{4，5，6，7，8}；∁_U B＝{1，2，7，8}；A∩B＝{3}；A∪B＝{1，2，3，4，5，6}。 9．解：A∩B＝{x|3＜x＜5}，所以∁_R(A∩B)＝{x|x≤3或x≥5}。A∪B＝R，所以∁_R(A∪B)＝∅。又∁_R A＝{x|x≥5}，∁_R B＝{x|x≤3}，所以(∁_R A)∪(∁_R B)＝{x|x≤3或x≥5}。对比可见∁_R(A∩B)＝(∁_R A)∪(∁_R B)。（同理可验证∁_R(A∪B)＝(∁_R A)∩(∁_R B)＝∅，这两条即德摩根律，口诀：补进括号，交并互换。） 10．解：(1)由2x－4≥x－2得x≥2，故B＝{x|x≥2}。与A＝{x|－1≤x＜3}求交集，画数轴得A∩B＝{x|2≤x＜3}。(2)C＝{x|2x＋a＞0}＝{x|x＞－a/2}。B∪C＝C等价于B⊆C，即{x|x≥2}⊆{x|x＞－a/2}，需－a/2＜2（注意B的左端点2是闭的，C的左端是开的，故不能取等），解得a＞－4。所以实数a的取值范围是{a|a＞－4}。 11．A。∁_U A＝{0，3，4}，∁_U B＝{0，1，4}，两者的公共元素是0和4，故交集为{0，4}。也可用德摩根律：(∁_U A)∩(∁_U B)＝∁_U(A∪B)，A∪B＝{1，2，3}，其补集正是{0，4}——两条路殊途同归，可当堂对照一次。 12．C。题目已写明B非空，故不讨论空集，但要保证非空：2a－1＜5，得a＜3。A∩B＝∅要求两段不重叠，B在A右侧，需2a－1≥3，得a≥2。取公共部分得2≤a＜3。（端点验证：a＝2时B＝{x|3≤x＜5}，A＝{x|1＜x＜3}，A的右端3取不到、B从3开始，恰好不重叠，等号保留。） 13．A。M∪N＝{x|x＜2}，其补集为{x|x≥2}，A项正确。B项N∪∁_U M＝{x|－1＜x＜2}∪{x|x≥1}＝{x|x＞－1}；C项M∩N＝{x|－1＜x＜1}，补集为{x|x≤－1或x≥1}；D项M∪∁_U N＝{x|x＜1}∪{x|x≤－1或x≥2}＝{x|x＜1或x≥2}。均不符合。 14．解：先明确全集U＝{x|x≤4}。A∩B＝{x|－1＜x＜2}∩{x|0≤x≤3}＝{x|0≤x＜2}。∁_U A＝{x|x≤－1或2≤x≤4}（注意补集只在U内取，右端到4为止）。(∁_U A)∪B＝{x|x≤－1或2≤x≤4}∪{x|0≤x≤3}＝{x|x≤－1或0≤x≤4}。A∪B＝{x|－1＜x≤3}，故∁_U(A∪B)＝{x|x≤－1或3＜x≤4}。（全集不是R时，补集的右端要卡在全集边界上，这是本题的考查点。） 学科网（北京）股份有限公司 $