2.2函数的单调性及最值 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的单调性与最值”专题，依据近三年新高考考情统计，明确基础判定、综合应用（单调性与奇偶/导数结合）、新定义问题等核心考点，通过命题特征分析构建9类常考题型体系，对接高考评价要求，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题情境+方法建模+素养提升”策略，如复合函数“同增异减”法则应用、导数法求单调区间五步流程，培养学生数学思维与模型意识。设易错陷阱警示（如忽略定义域）和分层训练题，助力学生掌握得分技巧，教师可依托系统框架实现高效复习教学。

2026-2027 学年高三一轮复习 第二章第2讲 函数的单调性与最值 2024-2026近三年新高考考情统计 试卷 题号 命题载体 考查核心 难度 2024 新高考Ⅰ卷 单选T6、解答T18(1) 基础初等函数、分式函数 基础单调判定、导数求单调区间 极易/中等 2024 新高考Ⅱ卷 多选T9 抽象奇偶函数 单调性+奇偶联立解不等式 基础 2025 新高考Ⅰ卷 填空T8、T13 同构代数式、含参二次闭区间 构造单调性比大小、二次函数最值 中档 2025 新高考Ⅱ卷 解答T17(1) 简单三角导数函数 导数判断三角复合函数单调区间 中等 2026 新高考Ⅰ卷 解答T19基础小问 新定义单调函数+集合 单调性证明、简单参数范围 中档 2026 新高考Ⅱ卷 单选T7、多选T10 复合对数、分段绝对值函数 同增异减、分段单调陷阱 基础/中档 命题特征 1、试卷位置稳定 小题集中单选/多选前10题，解答题中等以下难度 2、考查分层清晰 基础（单一单调性、基础函数最值）； 综合（单调性+奇偶/周期/导数/三角 两两融合） （1）单调性+奇偶性/周期性结合，解抽象不等式 （2）指数、对数简单代数式构造函数，利用单调性比较大小 （3）新定义函数，证明单调性 3、高频基础陷阱 忽略定义域、单调区间误用∪、分段函数衔接忽略等号、极值与最值混淆、极值点需判断 左右导数符号是否变化 考点预测 1、单调性+奇偶/周期/对称性组合考查，选择填空为主 2、导数+三角/数列跨模块融合，重视分类讨论而非复杂放缩 3、简易新定义函数单调性证明，侧重理解与逻辑推理 备考建议 夯实基础 综合训练 思维训练 回归课本例题 单调+奇偶/周期/三角/导数专项，新定义题 从 套路记忆 转向 思维理解 与 情境转化 增函数的等价式 单调性定义与四大判定方法 判定方法： 1、定义法： 任取 → 作差 → 变形 → 判断符号 → 结论（证明题专用） 2、导数法： f'(x)0 递增；f'(x)0 递减（不恒为0） 3、图像法： 观察走势，上升递增，下降递减（选择填空可用来速判） 4、复合函数法： 内外单调性相同则增，相反则减（同增异减，先求定义域） 题型1：基础初等函数单调区间判定 见常见基础函数单调区间速查表（熟记） 1、写出完整定义域 优先确定函数存在的前提 2、跳出定义域陷阱 忽视定义域直接判单调是典型错误 3、绘制标准图象 借助基本初等函数图象特征 4、由左至右判断升降 观察图象走势确定增减性 5、规范书写区间 单调区间用逗号分隔 常见基础函数单调区间速查 函数类型 函数 单调递增区间 单调递减区间 一次函数 y = kx + b (k > 0) (-∞, +∞) 无 y = kx + b (k < 0) 无 (-∞, +∞) 二次函数 y = ax² + bx + c (a > 0) [, +∞) (-∞, ] y = ax² + bx + c (a < 0) (-∞, ] [, +∞) 反比例函数 y = k/x (k > 0) 无 (-∞, 0)、(0, +∞) 指数函数 y = aˣ (a > 1) (-∞, +∞) 无 y = aˣ (0 < a < 1) 无 (-∞, +∞) 对数函数 y = logₐx (a > 1) (0, +∞) 无 y = logₐx (0 < a < 1) 无 (0, +∞) 三角函数 y = sin x [+ 2kπ, + 2kπ] [+ 2kπ, + 2kπ] y = cos x [-π + 2kπ, 2kπ] [2kπ, π + 2kπ] 题型2：定义法证明函数单调性 易错警示 必须写明任意 取点必须在同一个单调区间内 变形无法继续判断时，不能硬下结论 解题流程 第一步：任取，设 第二步：作差， 第三步：变形，因式分解/配方 第四步：定号，判断差值正负 第五步：结论，判断增减性 例1：用定义法证明 解： = - ()=-+(- =+=(1- )= 0,>0,>0, 题型3：导数法判断单调性 例2：判断=x+cos x 在 R 上的单调性 解题流程 第一步：写定义域 第二步：求导分解 第三步：求临界点，解f'(x)=0 第四步：划分区间，判断f'(x)符号 第五步：写出单调区间 易错警示 三角函数可能导致无穷多个临界点 只取落在区间内的临界点 定义域 x∈R 别忘记 变式1：（含参数）判断 解：'(x)=1-sinx,在R'(x)=1-sinx令'(x)=0，x=+2k =x+cos x 在 R 上单调递增。 解：定义域为R, 令'(x)=0,，'(x)0， 综上在(-lna)递减,在(lna,+)递增。 题型4：复合函数"同增异减" 解题流程 第一步：求定义域，复合函数整体定义域 第二步：拆内外层 第三步：写单调区间，两层格子的单调区间 第四步：同增异减，取定义域交集判断 例3:求 解： 外层，外层单调递减， 内层u==, 故 求单调递减区间，外层递减，内层递增才可以，故 题型5：分段函数单调性+简单含参 解题流程 第一步：去绝对值拆分，拆分为分段函数 第二步：每段函数列单调条件 第三步：分段衔接处列不等式 第四步：联立回代检验 易错警示 衔接处漏等号 易漏分界点 忘记回代检验 例4:求 解：当时，要在单调递增， 则x恒成立，即恒成立，得 当时,即恒成立，不受的约束。 若在，需 综上， 题型6：图像法求单调性 例5:取值范围。 解： ， 解得1， 故的取值范围为. 题型7：基础同构构造+单调性比大小 解题流程：统一结构构造函数 → 判断单调性 → 比较自变量 核心逻辑：变形成同一函数 g(t)，利用单调性比较自变量 易错警示 找不到统一的函数结构，盲目变形 构造函数后忘记判断定义域内单调性 自变量不在同一单调区间内却强行比较 例6:已知 解： 在R上单调递增。 所以n,即n 题型8：简易新定义函数单调性 所谓"新定义"不过是换了一个名称，本质上就是定义法证明单调性 解题流程 第一步：仔细读题，将文字定义转化为数学表达式 第二步：套用定义法框架，任取、作差（或按新定义构造不等式）、变形、定号、结论 第三步：参数求解时，将新定义条件转化为不等式组求解 易错警示 "任意""存在"等量词理解错误 递增和递减的定义式符号记准确 证明时缺少规范的"任取""设"等步骤 例7:定义新运算：，已知，求x的取值范围。 解： 在R上单调递增。 ,即<,根据单调性得x-1<2,解得x<3. 题型9：综合应用（1、比较函数值大小） 例8:已知偶函数定义域为R，在上单调递减， 比较,,的大小。 解： 在[0,+∞)上单调递减， 1<2<4, 回代得到， 题型9：综合应用（2、恒成立/存在性求参数） 恒成立问题两条路：f(x)≥m 恒成立 ⇔ f(x)min≥m；f(x)≤m 恒成立 ⇔ f(x)max≤m 恒成立问题核心逻辑：分离参数 + 转化最值 优先讨论特殊点，再通过导数判断新函数单调性取最值 例9:当，求的取值范围。 解：当 当恒成立，分离参数恒成立， 令=, 当 =, 令,当0, 即时恒成立. 令，；，=,即. 最值定义与六大核心求法 最值是定义域内的全局比较结果，非局部极值 最大值 ∃x0D, ∀xD, f(x)≤ f(x0) 最小值 ∃x0D, ∀xD, f(x)≥ f(x0) 判定方法： 1、导数法（解答题首选） 定定义域→求导找极值点→计算极值点与端点函数值→对比得最值 2、配方法（二次函数专用）配方确定顶点最值，结合定义域区间判断最终最值 3、单调性法（基础速解） 区间单调递增则左端点最小、右端点最大，单调递减则相反 4、基本不等式法一正、二定、三相等；和定积最大，积定和最小 5、换元法根式换元、三角换元、分式换元，将复杂函数转化为常规函数求最值 6、数形结合法依托函数图像直观求解，适配分段函数、绝对值函数 函数最值三类标准求解步骤 最值问题万变不离其宗：先判单调，再比端点。含参的关键是分类讨论不重不漏 1、基础初等函数最值 确定定义域 判断单调性 单调函数取区间端点；二次函数结合对称轴求顶点最值 2、含参二次函数闭区间最值 写出对称轴 三类讨论：对称轴在区间左侧/内部/右侧 分别计算对应区间最值 检验参数取值范围，确保解在定义域内 3、导数型函数闭区间最值 定义域+求导找极值点，筛选落在区间内的极值点 计算所有极值点、区间端点函数值 对比数值，确定最大、最小值 题型9：综合应用（3、含参二次闭区间最值） 例10:求的最小值。 解： ①对称轴在区间左侧，单调递增， ②对称轴在区间内部， ③对称轴在区间右侧，单调递减， 综上， 题型9：综合应用（4、导数型函数闭区间最值） 例11:已知，求[-2,2]上的最大值与最小值。 解： 令0,极值点 极值为：+1=3, =-3, 端点值：+1=-1, -3, 比较大小，最大值3，最小值-1. 课堂小结 基础单调性求最值 导数极值 + 端点比较求最值 1. 判断单调性三大核心工具 图像法、定义法、导数法 2. 两种常用求最值的类型 3. 答题注意事项 先求定义域、单调区间规范书写、分清极值与最值、正确判断极值点 当堂训练 1、用复合函数法求 单调递增区间 2、定义法证明在R单调递减 3、用配方法求 在 [0,4] 最值 4、导数法求的单调区间 5、利用导数判断的单调性 6、已知，若 ≤0 恒成立，求 的范围 3.最大值9，最小值0 6. 2.成立 4.递增区间，（3，+） 递减区间（-1，3） （，+）上递增 课后作业 1.完成限时训练 2.订正错题 3.独立梳理本节知识框架 $