1.2 菱形的性质与判定 第1课时 菱形的性质 讲义 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

本初中数学讲义聚焦菱形的性质这一核心知识点，通过回顾平行四边形性质及菱形定义搭建学习支架，引导学生从一般到特殊，经旋转等腰三角形等动手操作探究菱形四边相等、对角线互相垂直平分的特殊性质。 资料以生活实例情境导入，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过动手实验与推理活动发展数学思维，结合例题变式训练提升数学语言表达能力。课中助力教师引导探究，课后通过检测与拓展阅读帮助学生巩固知识，查漏补缺。

2　菱形的性质与判定 第1课时　菱形的性质 【课堂引入】 同学们，仔细观察生活，菱形其实无处不在！户外围栏交错的菱形网孔、民族纹样里的菱形刺绣、游乐设施的菱形钢架、精致的菱形首饰轮廓，处处都能看见菱形。同样是四边形，为什么菱形被如此广泛地使用？它的边、角、对角线，究竟有着哪些不一样的特点？今天我们就一起来探究菱形的性质。 【教学目标】 课题 第1课时　菱形的性质 授课人 素养目标 1.经历菱形性质的探究过程，掌握菱形的两条性质． 2．经历菱形性质的探究过程，培养动手实验、观察推理的意识，发展形象思维和逻辑推理能力． 3．根据菱形的性质进行简单的证明，培养逻辑推理能力和演绎能力. 教学重点 菱形性质的证明 教学难点 菱形性质的灵活运用 授课类型 新授课 【课堂流程】 教学步骤 互动探究 设计意图 回顾 1.什么叫作菱形？ 2．菱形作为特殊的平行四边形，它具有平行四边形的哪些性质？ 通过回顾旧知，夯实知识基础，体会从一般到特殊的几何研究思路. 活动1：创设情境、导入新课 【课堂引入】 课前活动：将任意一个三角形绕着其中一边的中点旋转180°，所得图形与原图形可拼成一个什么图形？ 活动指导：按要求大胆尝试，同桌交流心得，小组内展示学习成果． 活动过程：学生上台展示三种图形． 让学生感受动手试验的乐趣，培养学生猜想的意识，使其感受直观操作得出猜想的便捷性，培养学生的观察、试验、猜想等合情推理能力. 活动2：实践探究、交流新知 【探究新知】 将任意一个等腰三角形绕着其中一边的中点旋转180°，所得图形与原图形可拼成一个什么图形？ 活动指导：将手中的等腰三角形纸片按照要求动手尝试，同桌交流心得，小组内展示学习成果． 观察第二幅图形，图中有哪些相等的线段？ 活动要求：结合活动一的经验，利用手中纸片折一折，转一转．独立思考，大胆猜想，同桌交流心得，小组内展示学习成果． 结论：AB＝AD＝CD＝BC，AO＝OC，OD＝OB. 归纳知识：除了平行四边形共有的性质之外，这个图形还具有以下特点，四条边都相等，对角线互相垂直平分． 教师引导学生归纳菱形的性质. 指导学生通过活动从边、角、对角线去发现菱形的性质，使学生在具体的操作过程中获得知识，减少对知识的生僻感. 活动3：开放训练、体现应用 【典型例题】 例1　如图，点在菱形纸板的对角线上，且，夕夕准备沿纸板上的虚线裁出“翼型”三角板（阴影部分）．求证：△△； 证明：点在菱形纸板的对角线上，且，夕夕准备沿纸板上的虚线裁出“翼型”三角板（阴影部分）． 四边形为菱形， ，， 在△和△中， ，，， △△； 从简单的问题入手，运用菱形的性质解决问题，让学生在解题过程中掌握菱形性质的应用，达到“学数学、用数学”的目的，进一步培养学生解决问题的能力和推理论证的能力. 活动4：开放训练、体现应用 例2　(教材第6页例1)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD＝60°，BD＝6. (1)求AB和AC的长． (2)求菱形ABCD的面积． 解：(1)∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝3. ∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形． ∴AB＝BD＝6. 在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2＋OB2＝AB2， ∴OA＝＝3.∴AC＝2OA＝6. (2)S菱形ABCD＝S△ABC＋S△ADC ＝AC·OB＋AC·OD ＝AC·(OB＋OD) ＝AC·BD ＝×6×6 ＝18. 【变式训练】 1．如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，则菱形的边长为(A) A．5　　　　　　B．10　　　　　　 C．6　　　　　　D．8 2．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则对角线AC＝5． 活动5：随堂检测 【随堂检测】 1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法错误的是(B) A．AB∥DC　　　　B．AC＝BD　　　　 C．AC⊥BD　　　　D．OA＝OC 2．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2 cm，则菱形的面积为(D) A．3 cm2 B．4 cm2 C. cm2 D．2 cm2 3．如图，菱形的对角线，相交于点，延长至点，使，连接． （1）求证：． （2）若，，求菱形的面积． 证明：四边形是菱形， ，， ， 是△的中位线， ， ，即； （2）解：，， ， ， ， 是△的中位线， ， ， ， ． 菱形的面积为． 进一步巩固所学新知，同时检测学习效果. 课堂小结 1.课堂小结： (1)菱形有哪些性质？ (2)学习完本节课，你还有哪些感到困惑的地方？ 2．布置作业： 教材第9页习题1.2第1，2，3题. 小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力. 教学反思 　　本节课依托平行四边形旧知开展《菱形的性质》教学，教学思路清晰。课堂结合生活实例情境导入，贴合学生认知，有效调动了学生的学习积极性。课堂聚焦菱形边、对角线的核心性质展开教学，通过旧知迁移新知，突出重难点，顺利完成基础教学任务。 本节课教学仍存在明显不足。一是学生自主探究时间不足，课堂以教师讲解为主，学生动手实践、自主推导性质的机会较少，对知识的理解较为浅层。二是缺乏分层教学指导，未兼顾不同层次学生的学情差异，无法精准适配学困生与优等生的学习需求。三是知识应用训练不足，侧重性质讲解，缺少变式练习，学生知识运用与迁移能力得不到有效提升。 针对以上问题，后续我将优化教学策略。课堂预留充足时间，增加学生动手探究实践，让学生自主推导、理解菱形性质。细化分层教学设计，设置梯度化学习任务，兼顾各层次学生发展。同时结合生活实例与几何习题，强化知识应用训练，夯实学生解题能力，切实提升课堂教学实效。 反思，更进一步提升. 【拓展阅读】 大自然中的菱形奥秘 大自然藏着无数精通几何的数学“大师”，随处可见的菱形结构，完美诠释了菱形独特的几何性质，兼具实用与智慧。许多植物、昆虫的身体构造，都精准运用了菱形的边角、对角线特性，适配生存需求。 菱叶的轮廓是标准的菱形，叶片四条边长度完全相等，完美契合菱形四边相等的核心性质。它的两组对边互相平行，对角大小分别相等，这样的结构让叶片受力均匀，既能最大程度承接阳光进行光合作用，又能抵御风雨侵袭，不易弯折破损。 枯叶蛱蝶的翅膀静止合拢时，整体呈现规整的菱形形态。翅膀的两条对角线互相垂直平分，将菱形均匀分成四个全等的直角三角形。独特的对角线性质，让蝴蝶翅膀开合对称、形态匀称，不仅贴合身体轮廓，还能精准模拟枯叶形态，依靠对称结构提升伪装效果，躲避天敌。 山间野生的菱形蛛网、植物的菱形叶脉纹理，也暗藏几何智慧。菱形对角线垂直、对称均衡的特点，让结构稳固抗压，同时极简的几何构架能最大程度节省生长材料。不同于普通四边形，菱形独特的边角与对角线性质，让它成为大自然最青睐的几何结构之一。 这些自然中的菱形结构，并非偶然形成，而是万物适配自然的进化结果。它们精准运用菱形四边相等、对角相等、对角线互相垂直平分的特殊性质，实现了稳固、省料、对称的绝佳效果，也让我们真切感受到菱形几何知识的实用价值与大自然的神奇数理之美。 学科网（北京）股份有限公司 $同步练习1.2菱形的性质与判定 第1课时 菱形的性质 1.在菱形 中，对角线 ,则菱形 的边长为( A.5 B.6 C.7 D.8 2.传统菱形窗花常用于中式装修装饰，某款菱形窗花的两条对角线长度分别为 的面积是( A B. 9 D 3.1 菱形 在平面直角坐标系中的位置如图所示，若点 ，点 y D B A. B C. D 4.如图，在菱形 中，点在边上，连接 、，若 ) B E A. B. c D 5.如图，菱形 的对角线， 交于点，若 ,则 的度数为 第1页（共7页） 和 ，那么这个菱形窗花 在轴上，则点的坐标为( ,则 的度数为( D 1 27 B 6.如图，晓进家有一个菱形中国结装饰，对角线， 相交于点，测得 ,过点作 于点，则的长为· B H 7.如图，菱形 中，对角线与相交于点，按如下步骤作图：以点为圆心，适当长为半径作弧， 分别交于点、，再分别以点、为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交点为，作射线， 交 于点，连结，若 ，则的长度为一· G E FH C 8.如图，在菱形 中，对角线、 相交于点， 是线段 的垂直平分线， 交于点，交 于点，连结，则△ 的周长为 A D O F B 9,如图，菱形 的对角线交于点，过点的直线分别与， 的延长线交于点，·求证： 第2页（共7页） y D E B 10.如图， 是△ 的边 的中线， 于，连接 (1)若四边形 是菱形，求证：△ (2)若 ，求 长 E 是 的中点，过点作 是直角三角形： 第3页（共7页） ，交的延长线于点，交 1.解：如图，四边形 是菱形，对角线 故选： y B C 2.解：菱形窗花的两条对角线长度分别为 这个菱形窗花的面积是 故选： 3.解： 四边形 为菱形， 由勾股定理可得， 点的坐标为 故选： 4.解：四边形 是菱形， 答案详解 和 第4页（共7页） 故选： 5.解：四边形 是菱形， 故答案为： 6.解：四边形 是菱形， 于点， 菱形 的面积 故答案为： 7.解：由题意知， 第5页（共7页） 四边形 为菱形， 9 在△ 中， 在△ 中， ，根据勾股定理得， 故答案为： 8.解：四边形 是菱形， 是线段 的垂直平分线， Y 的周长 故答案为：10. 9.证明： 四边形 是菱形， △ △ 10.(1)证明：四边形 是菱形， 是△ 的中线， 9 第6页（共7页） 即 △ 是直角三角形： (2)解：取中点，连结 ,如图所示： M G E B D 是△ 的边 的中线，则是 的中点， 是△ 的中位线， 是的中点， 在△ 和△ 中， △ △ 第7页（共7页）