第一章 预备知识 章末检测试卷-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 北师大版高一数学必修一第一章“预备知识”章末检测卷，120分钟150分，覆盖集合、命题、不等式等核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，渗透抽象能力、推理能力与运算能力，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|集合交集（第2题）、命题否定（第1题）|基础概念辨析，融入2023天津高考真题（第5题）| |多项选择题|3/18|不等式性质判断（第9题）、充分条件（第10题）|逻辑推理分层考查，部分选对给分体现区分度| |填空题|3/15|分式化简（第12题）、汽车租赁收入（第13题）|联系生活情境，强化数学建模（第13题）| |解答题|5/77|集合运算（第15题）、柯西不等式应用（第19题）|综合能力递进，第19题结合数学史渗透创新意识|

2026秋北师大版高一数学必修一 第一章 预备知识 章末检测试卷 [时间：120分钟　分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.命题“∀x∈R，2x2=3x”的否定是(　　) A.∀x∉R，2x2≠3x B.∀x∈R，2x2≠3x C.∃x∉R，2x2≠3x D.∃x∈R，2x2≠3x 2.已知集合A={x|-3<x<2}，B={x|x2≤4}，则A∩B等于(　　) A.{x|-2≤x≤2} B.{x|0<x<2} C.{x|-2<x<2} D.{x|-2≤x<2} 3.已知y=x2+3x+1，则y的最小值为(　　) A.-1 B.-2 C.- D.- 4.若3≤a≤5，-2≤b≤1，则2a-b的取值范围是(　　) A.[8，9] B.[4，8] C.[5，8] D.[5，12] 5.(2023·天津)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知关于x的不等式ax2-x+c>0的解集为{x|-2<x<1}，则函数y=ax2+x+c的图象为(　　) 7.已知实数a，b满足a>0，b>1，且a+b=5，则+的最小值为(　　) A. B. C. D. 8.若不等式(ax-2)(x-b)≥0对任意的x∈R恒成立，则a+2b的最小值为(　　) A.3 B.2 C.4 D.3 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列命题中不正确的是(　　) A.若ab>0，a>b，则< B.若a>b，则a|c|>b|c| C.若a>b，c>d，则a-c>b-d D.若a>b，c<d，则a+c=b+d 10.下面命题正确的是(　　) A.命题“∀x<1，x2<1”的否定是“∃x≥1，x2≥1” B.“x≤-1”是“x<1”的充分不必要条件 C.不等式≤1的解集为{x|x<-1或x≥0} D.若x>1，则x+的最小值为3 11.若S是含有n个元素的数集，则称S为n数集.n数集S中含有m(m≤n)个元素的子集，称为S的m子集.若S的一个t(4≤t≤n)子集中存在4个不同的数a,b,c,d，使得a+b=c+d，则称该子集为S的等和子集.下列结论正确的是(　　) A.3数集A有6个非空真子集 B.4数集B有6个2子集 C.若集合C={1，2，3，4，6}，则C的等和子集有2个 D.若集合D={1，2，3，4，6，13，20，40}，则D的等和子集有24个 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.若=，则b-a=　　　　. 13.某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高10x元(1≤x≤20，x∈N+)，则被租出去的汽车会减少10x辆.要使该公司每天租赁汽车的收入超过6.24万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为　　　　　元. 14.已知a>0，b>0，c>0，a2-ab+9b2-5c=0，则的最小值是　　　　.当取最小值时，m2-3m≥a+b-c恒成立，则实数m的取值范围是　　　　. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)已知集合 A={x||x-2|<1}，集合 B={x|x>a} . (1)若a=2，求 A∩B；(6分) (2)若A⊆B，求实数a的取值范围.(7分) 16.(15分)已知非空集合P={x|a+1≤x≤2a+1}，Q={x|-2≤x≤5}. (1)若a=3，求(∁RP)∩Q；(6分) (2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.(9分) 17.(15分)(1)若正实数x，y满足2x+y+6=xy，求xy的最小值；(7分) (2)当x>-1时，求的最小值.(8分) 18.(17分)设命题p：方程x2+(2m-4)x+m=0有两个不相等的实数根；命题q：对所有的2≤x≤3，不等式x2-4x+13≥m2恒成立. (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；(7分) (2)若命题p，q一真一假，求实数m的取值范围.(10分) 19.(17分)19世纪，柯西在其著作《分析教程》中提出了著名的柯西不等式的雏形，在这个不等式的证明中带有“配凑”的色彩.配凑好比一个工匠加工一块原材料，原材料(原表达式)形状不规则，而工匠的目标是把它放进一个标准的模具(基本不等式的形式)里.为此，他需要“削”(拆项)、“补”(添项)、“打磨”(调整系数)，直到原材料严丝合缝地嵌入模具，从而得到一个完美的产品(最值). 例如：①求函数f(x)=x+(x>1)的最小值.可作如下处理： f(x)=x+=(x-1)++1≥2+1=3，当且仅当x=2时，等号成立. ②已知x为正实数，且x2+=1，求x的最大值.可作如下处理： x=x··≤·=×=， 当且仅当x2=且x2+=1，即y=±，x=时，等号成立. 根据以上信息解决以下问题： 已知a>0，b>0. (1)若a-b=1，证明：a+≥5；(4分) (2)若(m2-3m)(a+b)≥3a+4恒成立，求实数m的取值范围；(6分) (3)若c>0，ab+2ac+(1+)2bc=4-2，求a+2b+3c的最小值.(7分) 学科网（北京）股份有限公司 答案解析 [时间：120分钟　分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.命题“∀x∈R，2x2=3x”的否定是(　　) A.∀x∉R，2x2≠3x B.∀x∈R，2x2≠3x C.∃x∉R，2x2≠3x D.∃x∈R，2x2≠3x 答案　D 2.已知集合A={x|-3<x<2}，B={x|x2≤4}，则A∩B等于(　　) A.{x|-2≤x≤2} B.{x|0<x<2} C.{x|-2<x<2} D.{x|-2≤x<2} 答案　D 解析　解不等式x2≤4可得-2≤x≤2，即B={x|-2≤x≤2}. 又A={x|-3<x<2}， 所以A∩B={x|-2≤x<2}. 3.已知y=x2+3x+1，则y的最小值为(　　) A.-1 B.-2 C.- D.- 答案　C 解析　y=x2+3x+1=-，其图象是对称轴为直线x=-，开口向上的抛物线， 所以当x=-时，y有最小值，最小值为-. 4.若3≤a≤5，-2≤b≤1，则2a-b的取值范围是(　　) A.[8，9] B.[4，8] C.[5，8] D.[5，12] 答案　D 解析　由3≤a≤5，-2≤b≤1可得6≤2a≤10，-1≤-b≤2，故5≤2a-b≤12. 5.(2023·天津)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　因为由a2=b2，得a=±b，当a=-b≠0时，a2+b2=2ab不成立，充分性不成立； 由a2+b2=2ab，得(a-b)2=0，即a=b，显然a2=b2成立，必要性成立，所以“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件. 6.已知关于x的不等式ax2-x+c>0的解集为{x|-2<x<1}，则函数y=ax2+x+c的图象为(　　) 答案　B 解析　由题意可知，a<0且 ∴ ∴函数y=ax2+x+c=-x2+x+2的图象为B项. 7.已知实数a，b满足a>0，b>1，且a+b=5，则+的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　因为a>0，b>1，且a+b=5，所以b-1>0， 则+=[a+(b-1)]× =≥ =，当且仅当=，即a=8-4，b=4-3时，等号成立. 8.若不等式(ax-2)(x-b)≥0对任意的x∈R恒成立，则a+2b的最小值为(　　) A.3 B.2 C.4 D.3 答案　C 解析　不等式(ax-2)(x-b)≥0可化为ax2-(ab+2)x+2b≥0， 当a=0时，不等式为-2x+2b≥0，不满足对任意的x∈R恒成立； 当a<0时，y=ax2-(ab+2)x+2b的图象开口向下，不满足题意， 所以a>0，且Δ=(ab+2)2-4a×2b≤0，所以(ab-2)2≤0，所以ab=2，且a>0，b>0. 所以a+2b≥2=4，当且仅当a=2b，即a=2，b=1时等号成立， 所以a+2b的最小值为4. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列命题中不正确的是(　　) A.若ab>0，a>b，则< B.若a>b，则a|c|>b|c| C.若a>b，c>d，则a-c>b-d D.若a>b，c<d，则a+c=b+d 答案　BCD 解析　∵ab>0，a>b，∴a·>b·，∴>，故A正确；取c=0，可排除B；取a=3，b=1，c=0，d=-4，此时a-c<b-d，故C错误；取a=3，b=1，c=-4，d=0，此时a+c<b+d，故D错误. 10.下面命题正确的是(　　) A.命题“∀x<1，x2<1”的否定是“∃x≥1，x2≥1” B.“x≤-1”是“x<1”的充分不必要条件 C.不等式≤1的解集为{x|x<-1或x≥0} D.若x>1，则x+的最小值为3 答案　BCD 解析　命题“∀x<1，x2<1”的否定是“∃x<1，x2≥1”，故A选项错误； x≤-1⇒x<1，x<1推不出x≤-1，故“x≤-1”是“x<1”的充分不必要条件，故B选项正确； 由≤1，得x<-1或x≥0，故C选项正确； ∵x>1，∴x-1>0，∴x+=x-1++1≥2+1=3，当且仅当x-1=，即x=2时等号成立，故D选项正确. 11.若S是含有n个元素的数集，则称S为n数集S.n数集S中含有m(m≤n)个元素的子集，称为S的m子集.若在n数集S的任何一个t(4≤t≤n)子集中，存在4个不同的数a，b，c，d，使得a+b=c+d，则称该S的t子集为S的等和子集.下列结论正确的是(　　) A.3数集A有6个非空真子集 B.4数集B有6个2子集 C.若集合C={1，2，3，4，6}，则C的等和子集有2个 D.若集合D={1，2，3，4，6，13，20，40}，则D的等和子集有24个 答案　ABD 解析　3数集A有23-2=6(个)非空真子集，A正确； 假设B={x，y，z，p}， 则B的2子集有{x，y}，{x，z}，{x，p}，{y，z}，{y，p}，{z，p}，共6个，B正确； C的等和子集有{1，2，3，4}，{1，3，4，6}，{1，2，3，4，6}，共3个，C错误； 因为4+6<13，6+13<20，13+20<40，所以在D中，只有1+4=2+3，1+6=3+4两组符合条件的等式.在D的4子集中， D的等和子集有{1，2，3，4}，{1，3，4，6}，共2个； 在D的5子集中，D的等和子集有{1，2，3，4，6}，{1，2，3，4，13}，{1，2，3，4，20}，{1，2，3，4，40}，{1，3，4，6，13}，{1，3，4，6，20}，{1，3，4，6，40}，共7个； 在D的6子集中，D的等和子集有{1，2，3，4，6，13}，{1，2，3，4，6，20}，{1，2，3，4，6，40}，{1，2，3，4，13，20}，{1，2，3，4，13，40}，{1，2，3，4，20，40}，{1，3，4，6，13，20}，{1，3，4，6，13，40}，{1，3，4，6，20，40}，共9个； 在D的7子集中，D的等和子集有{1，2，3，4，6，13，20}，{1，2，3，4，6，13，40}，{1，2，3，4，6，20，40}，{1，2，3，4，13，20，40}，{1，3，4，6，13，20，40}，共5个； 在D的8子集中，D的等和子集有{1，2，3，4，6，13，20，40}，共1个.综上，D的等和子集有2+7+9+5+1=24(个)，D正确. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.若=，则b-a=　　　　. 答案　2 解析　由题意a≠0，则=0，解得b=1， 则a=，解得a=-1(a=1不满足互异性，舍去)， 所以b-a=2. 13.某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高10x元(1≤x≤20，x∈N+)，则被租出去的汽车会减少10x辆.要使该公司每天租赁汽车的收入超过6.24万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为　　　　　元. 答案　250 解析　依题意，每天有(300-10x)辆汽车被租出去， 该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入为 (300-10x)·(200+10x) =-100x2+1 000x+60 000. 因为要使该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入超过6.24万元， 所以-100x2+1 000x+60 000>62 400， 即x2-10x+24<0，解得4<x<6， 又因为1≤x≤20且x∈N+，所以x=5， 即该汽车租赁公司每辆汽车每天的租金应定为250元. 14.已知a>0，b>0，c>0，a2-ab+9b2-5c=0，则的最小值是　　　　.当取最小值时，m2-3m≥a+b-c恒成立，则实数m的取值范围是　　　　. 答案　1　 解析　因为a2-ab+9b2-5c=0， 所以=·=≥=1，当且仅当=，即a=3b时等号成立. 当a=3b时，c=3b2，a+b-c=-b2+4b，所以当b=2时，a+b-c取得最大值4， 所以由m2-3m≥a+b-c恒成立可得，m2-3m≥4，解得m≤-1或m≥4. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)已知集合 A={x||x-2|<1}，集合 B={x|x>a} . (1)若a=2，求 A∩B；(6分) (2)若A⊆B，求实数a的取值范围.(7分) 解　(1)当a=2时，A={x|1<x<3}，B={x|x>2}，所以A∩B={x|2<x<3}. (2)集合A={x|1<x<3}，集合B={x|x>a}， 因为A⊆B，所以a≤1， 所以实数a的取值范围是(-∞，1]. 16.(15分)已知非空集合P={x|a+1≤x≤2a+1}，Q={x|-2≤x≤5}. (1)若a=3，求(∁RP)∩Q；(6分) (2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.(9分) 解　因为P是非空集合，所以2a+1≥a+1，即a≥0. (1)当a=3时，P={x|4≤x≤7}， ∁RP={x|x<4，或x>7}， Q={x|-2≤x≤5}， 所以(∁RP)∩Q={x|-2≤x<4}. (2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件， 则PQ，即 且a+1≥-2和2a+1≤5的等号不能同时取得，解得0≤a≤2， 即实数a的取值范围为{a|0≤a≤2}. 17.(15分)(1)若正实数x，y满足2x+y+6=xy，求xy的最小值；(7分) (2)当x>-1时，求的最小值.(8分) 解　(1)xy=2x+y+6≥2+6， 令=t，可得t2-2t-6≥0， 又∵t>0，解得t≥3， 故xy的最小值为18. (2)设x+1=t，则x=t-1(t>0)， ∴题中式子变为 =t++5≥2+5=9，当且仅当t=，即t=2，x=1时，取等号， ∴的最小值为9. 18.(17分)设命题p：方程x2+(2m-4)x+m=0有两个不相等的实数根；命题q：对所有的2≤x≤3，不等式x2-4x+13≥m2恒成立. (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；(7分) (2)若命题p，q一真一假，求实数m的取值范围.(10分) 解　(1)若命题p为真命题，即方程x2+(2m-4)x+m=0有两个不相等的实数根， 则有Δ=(2m-4)2-4m=4m2-20m+16>0， 解得m<1或m>4. ∴实数m的取值范围为{m|m<1或m>4}. (2)若命题q为真命题，则对所有的2≤x≤3，不等式x2-4x+13≥m2恒成立.设y=x2-4x+13，只需2≤x≤3时，m2≤ymin即可. ∵y=x2-4x+13=(x-2)2+9，2≤x≤3. ∴ymin=9，∴m2≤9，解得-3≤m≤3. ∴当命题q为真命题时，实数m的取值范围为 {m|-3≤m≤3}. ∵命题p，q一真一假， ∴若命题p为真命题，命题q为假命题，则有 解得m<-3或m>4； 若命题p为假命题，命题q为真命题，则有 解得1≤m≤3. 综上所述，当命题p，q一真一假时，实数m的取值范围为{m|m<-3或1≤m≤3或m>4}. 19.(17分)19世纪，柯西在其著作《分析教程》中提出了著名的柯西不等式的雏形，在这个不等式的证明中带有“配凑”的色彩.配凑好比一个工匠加工一块原材料，原材料(原表达式)形状不规则，而工匠的目标是把它放进一个标准的模具(基本不等式的形式)里.为此，他需要“削”(拆项)、“补”(添项)、“打磨”(调整系数)，直到原材料严丝合缝地嵌入模具，从而得到一个完美的产品(最值). 例如：①求函数f(x)=x+(x>1)的最小值.可作如下处理： f(x)=x+=(x-1)++1≥2+1=3，当且仅当x=2时，等号成立. ②已知x为正实数，且x2+=1，求x的最大值.可作如下处理： x=x··≤·=×=， 当且仅当x2=且x2+=1，即y=±，x=时，等号成立. 根据以上信息解决以下问题： 已知a>0，b>0. (1)若a-b=1，证明：a+≥5；(4分) (2)若(m2-3m)(a+b)≥3a+4恒成立，求实数m的取值范围；(6分) (3)若c>0，ab+2ac+(1+)2bc=4-2，求a+2b+3c的最小值.(7分) (1)证明　由题意可得a=b+1，所以a+=b+1+=b+2+-1≥2-1=5， 当且仅当b+2=，a=b+1，即b=1，a=2时等号成立，故a+≥5. (2)解　因为a>0，b>0，根据基本不等式3a+4=3a+2≤3a+a+4b=4(a+b)，当且仅当a=4b时等号成立， 若(m2-3m)(a+b)≥3a+4恒成立，则(m2-3m)(a+b)≥4(a+b)恒成立，因为a+b>0， 得m2-3m≥4，解得m≤-1或m≥4， 故实数m的取值范围为(-∞，-1]∪[4，+∞). (3)解　由题意得，ab+2ac+(3+2)bc=(-1)2，而(a+2b+3c)2=a2+4b2+9c2+4ab+6ac+12bc， 又(a+2b+3c)2-4[ab+2ac+(3+2)bc]=a2+c2-2ac+4b2+8c2-8bc=(a-c)2+4≥0， 当且仅当a=c，b=c时等号成立，故(a+2b+3c)2≥4(-1)2，又a+2b+3c>0，所以a+2b+3c≥2(-1)， 即a+2b+3c的最小值为2(-1). $