第27章 反比例函数 单元测试 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级数学反比例函数单元卷，120分钟120分，通过选择、填空、解答题梯度设计，融合冷却塔、绿道工程等现实情境，落实数学眼光、思维与语言素养，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|表达式求法、图象性质、点坐标比较|第10题以双曲线冷却塔为背景，考查反比例函数实际应用| |填空题|6/18|k值范围、面积计算、实际问题建模|第13题结合绿道工程，体现反比例函数在工程问题中的应用| |解答题|8/72|函数综合、几何图形结合、实际应用|21题过氧乙酸消毒问题融合正反比例函数，24题菱形与反比例函数综合考查推理能力|

2026-2027学年人教版九年级数学上册第27章 反比例函数 单元测试 时间：120分钟 试卷满分：120分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）已知反比例函数的图象过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）已知反比例函数的图象经过点，下面说法错误的是（     ） A．反比例函数的关系式为 B．点在反比例函数图象上 C．反比例函数的图象在第二、四象限 D．当时，y随x增大而减小 3．（本题3分）已知变量与成反比例，当时，；那么当时，的值是（     ） A．2 B． C． D．3 4．（本题3分）点，，是反比例函数图象上的三个点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（本题3分）某水果超市准备用300元购进一批橙子进行销售，则购进橙子的数量y（斤）与橙子单价x（元/斤）之间的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，点和点分别在反比例函数和两个图象上，轴且交轴于点，若，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 8．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数是常数，与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，则的面积为（     ） A．1 B．2 C． D． 9．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、都在反比例函数（）的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若菱形的面积为40，则的值为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 10．（本题3分）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图2）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，、分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为（ ）米． ． A．100 B．110 C．115 D．120 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）已知反比例函数的图象在第二、四象限内，那么k的取值范围是________． 12．（本题3分）如图，若点在反比例函数的图象上，且的面积是，则________． 13．（本题3分）成都天府绿道要修一段步道，工程总量固定，每天修建的长度米和修建天数天成反比例函数关系．若每天修40米，需要6天完工；若每天修建30米，则需要________天完工． 14．（本题3分）点，在函数的图象上，若，则______（填“”、“”或“”） 15．（本题3分）如图，正比例函数与反比例函数图象交于点A、B，已知点A的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是______． 16．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、C关于坐标原点对称，且均在反比例函数 图象上，轴于点B，轴于点 D，连结、，则四边形的面积为_______． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）一个反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)当时，求的值． 18．（本题8分）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且A点的横坐标与B点的纵坐标都是． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积 19．（本题8分）如图，的顶点，，，反比例函数的图象经过点A． (1)求反比例函数的表达式． (2)将向上平移m个单位长度，当点B落在反比例函数的图象上时，求m的值． 20．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点． (1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式； (2)点P是反比例函数右支下方x轴上的动点，且为等腰三角形，求出所有满足条件的P点． 21．（本题9分）过氧乙酸消毒剂是一种广谱、高效、环保型的消毒剂，比如在食品加工、医院病房、住宅、衣柜等区域均有很好的杀菌效果．对房间进行消毒时，采用浓度为的过氧乙酸消毒溶液进行喷雾消毒，每立方米空气中的含药量不低于8毫升且持续7分钟以上，能够达到最佳的消毒效果．李某进行消毒时，室内每立方米空气中的含药量y（毫升）与喷洒消毒液的时间x（分钟）成正比例关系，喷洒完成后，y与x成反比例关系（如图所示）．已知喷洒消毒液用时6分钟，此时室内每立方米空气中的含药量为16毫升． (1)分别求出当和时，y与x之间的函数关系式； (2)通过计算说明，李某此次消毒能否达到最佳消毒效果． 22．（本题9分）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数图象的一个交点为． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，求的取值范围； (3)求． 23．（本题10分）某文具店销售一款笔记本，进价为每本10元，售价不低于进价，不高于成本价的5倍．根据市场调研： 当售价不超过20元时，每天的销售量（本）与售价x（元）满足一次函数关系： ； 当售价超过20元时，每天的销售量（本）与售价x（元）满足反比例函数关系： ． (1)分别求售价为15元和25元时，每天的销售量； (2)设每天的利润为w元，分别写出两种售价区间内w与x的函数关系式； (3)若每天的利润不低于300元，求售价x的取值范围． 24．（本题12分）如图1，的边在轴的正半轴上，，反比例函数（）的图象经过点． (1)求反比例函数的关系式和点B的坐标； (2)如图2，过的中点D作轴交反比例函数图象于点P，连接、． ①求的面积； ②M是边上的一点，N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形是矩形，若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C B A C D A B B 1．C 【详解】∵反比例函数的图象过点， ∴将代入， 得， 解得． 2．D 【分析】根据题意求得反比例函数的解析式，根据k的值，判断函数的图象所在象限以及增减性即可求解． 【详解】解：A、∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为y，正确，不符合题意； B、∵反比例函数的解析式为， ∴当时，y， ∴点在反比例函数图象上，正确，不符合题意； C、∵反比例函数的解析式为， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，正确，不符合题意； D、∵反比例函数的解析式为y， ∴此函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大， ∴当时，y随x增大而增大，原说法错误，符合题意． 3．C 【分析】先根据反比例函数的定义设出函数解析式，再利用已知条件求出反比例函数的比例系数，最后代入的值求解即可． 【详解】解：∵与成反比例， ∴设反比例函数解析式为，即， 把，代入得， ∴反比例函数解析式为， 当 时，代入得， 解得． 4．B 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据各点横坐标的特点进行解答即可. 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象在一、三象限，并且在每一象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴A点在第三象限， ∴， ∵， ∴B、C两点在第一象限， ∴， ∴． 5．A 【分析】先将、两点代入函数，求出的值，再结合图象，根据函数的图象在函数的图象上方部分对应的自变量取值直接作答即可． 【详解】解：将，两点代入， 得，， 解得：， ，， 由图象可知，当时，函数的图象在函数的图象上方， 当时，的取值范围是． 6．C 【详解】解：由题意得，变形得． 7．D 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，证明四边形和四边形是矩形，且，，，则，据此即可求出答案． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ∵轴且交轴于点， ∴， ∴四边形和四边形是矩形，且， ∵矩形的顶点A，矩形的顶点B分别在反比例函数和的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：． 8．A 【分析】设点A坐标为，根据反比例函数图象的中心对称性质得点B坐标为，再根据计算即可． 【详解】解：设点A坐标为， ∵点A与点B关于原点对称， ∴点B坐标为， ∴， 即的面积为1． 9．B 【分析】过点作轴于点，记与轴交于点F，与轴交于点N，连接，，由菱形的性质可得，求出，证明，则有，根据反比例函数的意义可得，即可求的值． 【详解】解：过点作轴于点，记与轴交于点F，与轴交于点N，连接，， 是的中点，四边形是菱形， ∴，， ，， 轴，O为的中点， ∴，，，， ∴， ∴， ∴点N是的中点， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ∵，，均垂直轴， ∴， ∴四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ． 10．B 【分析】先利用几何图形的对称性确定关键点的坐标，进而利用待定系数法求出反比例函数的解析式，最后根据上口宽确定点的横坐标，代入解析式求出其纵坐标，该纵坐标即为冷却塔的高度． 【详解】解：由题可知，四边形是矩形，在轴上，轴垂直平分， ∵， 根据对称性可知：， ∴， ∵，且， ∴， 设所在的反比例函数解析式为， 把代入中，得， 解得， ∴所在的反比例函数解析式为， ∵，且图形关于轴对称， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴把代入中，得， ∵所在直线为轴，即地面高度为0， ∴整个冷却塔的高度为110． 11． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限内， ∴， 解得． 12． 【分析】过双曲线上任一点作坐标轴的垂线，这一点与原点所连线段，原点与垂足的连线段，这三条线段围成的直角三角形面积是一个定值，即． 【详解】解： 的面积为， ． ． 图象在第二象限， ． ． 13． 【分析】结合已知条件求出工程总长度，再用总长度除以每天修建的长度，即可得到所需天数，用到反比例函数两变量乘积为定值的性质． 【详解】解 ∵每天修建的长度和修建天数成反比例函数关系 ∴设， 可得，其中为工程总长度 将，代入式子 得， 即工程总长度为（米） 当时， 代入得 解得 答：需要天完工． 14．> 【分析】由，双曲线在第二、四象限，根据即可判断在第二象限，在第四象限，从而判定． 【详解】解：， 双曲线在第二、四象限， ， 在第二象限，在第四象限， ． 15． 或 【分析】先利用正比例函数和反比例函数的对称性，因为两个函数的交点关于原点对称，所以由点A的横坐标为1，可得到点B的横坐标．将不等式变形为，问题转化为找正比例函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围．结合函数图象，分和两个区间，根据两个交点的横坐标，确定满足的x的范围． 【详解】解：正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此它们的交点、也关于原点对称． 已知点横坐标为，因此点横坐标为． ，即找正比例函数值大于反比例函数值时的范围． 观察图象可得：当时，正比例函数图象在反比例函数图象上方，满足； 当时，正比例函数图象也在反比例函数图象上方，满足． 因此不等式的解集为 或 ． 16． 【分析】设，由关于原点对称得由轴得，由轴得，则，高，再由四边形是平行四边形，则面积． 【详解】解：由题意，可设， 关于原点对称， ∴， 轴， ， 轴， ， ， ∴，且， 四边形是平行四边形，且， 四边形的面积为． 17．(1) (2) 【详解】（1）解：函数的图象经过点 将点代入，得， 该反比例函数的表达式为； （2）解：当时，． 18．(1) (2)6 【分析】（1）先求出，设反比例函数的解析式为，将代入求解即可； （2）连接、，先求出直线与x轴的交点坐标，再根据割补法计算即可． 【详解】（1）解：∵A点的横坐标为， ∴A点的纵坐标， 即， 设反比例函数的解析式为， 将代入得， 解得：， ∴； （2）解：如图，连接、，设直线与x轴的交点为D， 当时，解得， 即， ∴． 19．(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）利用平行四边形的性质得到，轴，求出，平移后点B的坐标为，代入解析式即可求出m的值． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． ∴． ∴反比例函数的表达式为． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵，， ∴，轴． ∵， ∴． ∵向上平移m个单位长度， ∴平移后点B的坐标为． ∵平移后点B落在反比例函数的图象上， ∴． ∴． 20．(1)一次函数解析式为，反比例函数的解析式为， (2)或． 【分析】（1）将点代入求得即可得到反比例函数解析式，进而确定，再运用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）设，，先求得，再分、、三种情况列方程求得解并取符合题意的解即可解答． 【详解】（1）解：将点代入， ∴， ∴， 将代入，得， ∴， 将代入， ∴，解得：， ∴． （2）解： 设，， ∵， ∴， 由为等腰三角形： ①当时，，解得： （不合题意舍去）或， ∴点P的坐标为：， ②当时，，解得：（不合题意舍去）或， ∴点P的坐标为； ③当时，，解得：（不合题意舍去）． 综上所述，P点的坐标为或． 21．(1) (2)能，理由如下： 当时，， 当时， ∴， ∴李某此次消毒能达到最佳效果． 【分析】（1）由求正比例函数关系式，代入反比例函数，求反比例函数关系式； （2）分别把代入正比例函数关系式和反比例函数关系式，求出相应的时间，再把时间差和7分钟比较，超过7分钟则能达到消毒的效果． 【详解】（1）由题意：设时，， 把点代入得：， ， ∴ 设时，， 把点代入得：， ， ∴ ∴y与x的函数关系式为； （2）略 22．(1) (2)或 (3)1 【分析】（1）先求出点M坐标，再代入中求解即可； （2）联立方程组求得两个函数的另一个交点坐标，结合图象，找出一次函数图象位于反比例函数图象上方部位的点的横坐标的取值范围即可解答； （3）求出点B的坐标，然后利用坐标与图形性质和三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：将代入中，得， ∴， 将代入中，得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：解方程组，得或， 经检验均为所列方程组的解， ∴两个函数的另一个交点坐标为， 由图知，当时，的取值范围为或； （3）解：∵当时，， ∴，则， ∴． 23．(1)售价为15元时，销售量为75本；售价为25元时，销售量为48本 (2)时，；时， (3) 【分析】（1）把和分别代入函数关系式即可求解； （2）分和进行分类讨论即可求解； （3）分和进行分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：当时， （本）； ·当时， （本）． ∴售价为15元时，销售量为75本；售价为25元时，销售量为48本； （2）解：当时， ； 当时， ． （3）解：①当时， 令，化简得， 令， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线的图象开口向上， ∴的解集为， ∵， ∴ ②时， 令，整理得，且， 解得， ∵， ∴． 又售价不低于进价，不高于成本价的5倍， ∴， ∴， 综上所述，． 24．(1)（）；点 (2)①3；存在，点M的坐标为或 【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数关系式，再根据平行四边形的性质结合点A、O、C的坐标即可求出点B的坐标； （2）①延长DP交OA于点E，由点D为线段BC的中点，可求出点D的坐标，再令反比例函数关系式中y＝2求出x值即可得出点P的坐标，作AE⊥x轴，PF⊥x轴，由此即可得出AE，PF，EF的长度，根据反比例中的模型：三角形的面积公式等于梯形面积，即可得出结论； ②首先，由于四边形是矩形，其邻边必然垂直，即，过作的垂线分别交，于点，，已知点，所以可以求出直线的解析式；接下来，因为点必须落在平行四边形的边上，所以需要分情况讨论：分别令直线与平行四边形的两条边（、）所在的直线方程联立求解，最后，通过验证求出的交点是否在线段范围内，即可筛选出所有符合条件的点的坐标． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的关系式为. 四边形为平行四边形，且点，，点， 点，点. （2）解：①作轴于点E，作轴于点F，如图3所示， 点为线段的中点，点、， 点， 令中，则， 点， 根据反比例函数的几何意义得， ， ②假如四边形是矩形，则，过作的垂线分别交，于点，，作轴于点，如下图： 点， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把代入得， ， 直线的关系式为， 联立， 解得， ； ∴点的坐标为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $