第25章 一元二次方程 单元测试 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级数学上册第25章一元二次方程单元测试卷，120分钟120分，全面覆盖定义、解法、根的判别式、实际应用等核心知识，通过生活情境与几何问题融合，培养抽象能力、运算能力及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|定义、根的判别式、直角三角形边长|结合降价问题（第8题）考查模型意识| |填空题|6/18|配方法、分支问题、矩形折叠|第14题以植物分支建模，体现数学应用| |解答题|8/72|解方程、利润问题、动态几何|文创手办利润（第22题）关联函数与方程，动态几何（第24题）提升空间观念|

2026-2027学年人教版九年级数学上册第25章 一元二次方程 单元测试 时间：120分钟 试卷满分：120分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列方程是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（     ） A．3，5 B．3， C．，5 D． 3．（本题3分）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．（本题3分）关于的方程，则方程根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．无法确定 5．（本题3分）已知是方程的解，则的值是（     ） A． B． C．或3 D．或1 6．（本题3分）若直角三角形的两边长是方程的实根，则该直角三角形的面积是（     ） A．18 B．24或6 C．32 D．18或36 7．（本题3分）若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 8．（本题3分）某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 9．（本题3分）已知关于的方程，，是此方程的两个实数根，给出四个结论：①；②；③；④若且，则，则正确结论的序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 10．（本题3分）如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线将它分成面积相等的两部分，则x的值是（    ） A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 12．（本题3分）设m、n是方程的两实数根，则＝_____． 13．（本题3分）把方程化成的形式，则m的值是________． 14．（本题3分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 15．（本题3分）已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是 _____． 16．（本题3分）如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）解方程： (1)； (2)． 18．（本题8分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 19．（本题8分）小李解方程的过程如下： 解：方程的两边同除以，得，解得． 老师觉得小李的解法存在问题，请你分析问题所在，并写出正确的解答过程． 20．（本题9分）某服装厂为学校艺术团生产一批演出服，总成本3200元，售价每套40元，服装厂向25名家庭贫困学生免费提供．经核算，这25套演出服的成本正好是原定生产这批演出服的利润．问这批演出服生产了多少套？ 21．（本题9分）某镇政府规划在新城区政府大楼前建设一块长a米，宽b米的长方形草坪，并计划在该草坪上修筑宽都为2米的两条互相垂直的人行道（如图）． (1)用含a，b的代数式表示两条人行道的总面积； (2)若已知，并且四块草坪的面积之和为2204平方米，试求原长方形的长与宽各为多少米？ 22．（本题9分）某福州文创网店售卖2026闽超联赛吉祥物福小龙纪念手办．进价为30元/个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于30元，日销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）之间满足一次函数的关系．销售期间获得部分数据如下表： 销售单价x/元 40 41 42 43 44 45 日销售量y/个 500 490 480 470 460 450 (1)请求出y与x的函数关系式及x的取值范围； (2)当销售单价为多少元时，每日销售利润为8000元？ 23．（本题9分）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：． 请借助整体思想完成： (1)计算． (2)，求的值． 24．（本题12分）如图：在直角坐标系中，长方形中，，，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长的速度移动，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长的速度运动，设点的运动时间为秒． (1)如图1，当为何值时，的面积为； (2)当是的角平分线时，求出此时点的坐标； (3)当为何值时，是等腰三角形？ 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D C C B A A B D 1．B 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键． 含有一个未知数，且未知数的次数最高是2的整式方程是一元二次方程，依据一元二次方程的定义判断各选项即可． 【详解】解：A、方程分母含有未知数，是分式方程，不符合一元二次方程定义，故选项不符合题意； B、对去括号、移项、合并同类项，得，符合一元二次方程定义，故选项符合题意； C、未说明，当时方程不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、对去括号、移项、合并同类项，得，是一元一次方程，故选项不符合题意． 2．B 【分析】一元二次方程的一般式为（），其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，先将原方程整理为一般式，再确定对应系数即可. 【详解】解：∵方程化成一般式为， ∴一次项系数为，常数项为. 3．D 【分析】利用一元二次方程的判别式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得． 4．C 【分析】计算方程的根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况，利用判别式 时方程有实数根的性质解题. 【详解】解：对于一元二次方程 ，其中 ，，， ∴ ； ∴方程有两个实数根. 5．C 【分析】把方程的解代入得到关于的一元二次方程，解关于的一元二次方程即可． 【详解】解：将代入得． 整理得． 因式分解得． ∴或， ∴或． 6．B 【分析】先求解一元二次方程，得到实根，确定直角三角形已知两边的长度，分情况进行讨论即可 【详解】解：∵， ∴ ∴或， ①若两边分别是方程的两根，且两边为直角边时，该直角三角形的面积是； ②若两边分别是方程的两根，且当长是8的边是斜边时，第三边是， ∴该直角三角形的面积是． 7．A 【分析】把代入一元二次方程中，得到，再把代入，即可． 【详解】解：将代入，得， ， ． 8．A 【分析】以每次降价前的价格为计算基数，结合最终售价列方程即可． 【详解】解：∵商品原价为289元，平均每次降价的百分率为， ∴第一次降价后的售价为元， ∵第二次降价以第一次降价后的售价为基数， ∴两次降价后的售价为元， ∵ 两次降价后售价为256元， ∴可列方程． 9．B 【分析】利用一元二次方程的判别式判断根的情况，结合根与系数的关系逐个验证结论即可，用到完全平方公式变形等初中知识点． 【详解】解：①∵关于的方程，，是此方程的两个实数根， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，即，①正确； ②∵关于的方程，，是此方程的两个实数根， ∴ ∵， ∴，②正确； ③∵，且 ，， ∴ ∵， ∴，③错误； ④原方程变形为， 由，可得， ∴，， ∴，④正确； 综上，正确结论是①②④． 10．D 【分析】将图形补全为大矩形，根据题意得到，然后列方程求解即可． 【详解】解：如图，将图形补全为大矩形， ∴， ∵直线将原图形分成面积相等的两部分， ∴， ∴， 解得或6． 11． 【分析】当一元二次方程有实数根时，根的判别式大于等于，据此列不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，即， 解得， ∴的取值范围是． 12．7 【分析】根据m、n是方程的两实数根，得到，，变形得，整体代入即可． 【详解】解：方程可化为， ∵m、n是方程的两实数根， ∴，， ∴． 13．3 【详解】解： ， ， ， ， ∴． 14．9 【分析】设每个支干长出x个小分支，主干为1个，支干为个，小分支为个，根据总数是91列出一元二次方程求解． 【详解】解：设每个支干长出x个小分支， 根据题意得， 解得，（舍去） ∴每个支干长出9个小分支． 15．17 【分析】先得出，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两根， ∴， 则原式 ． 16． 【分析】设切去正方形的边长为 ，根据矩形的长和宽分别减去 表示出底面的长和宽，利用矩形面积公式列一元二次方程求解，并根据实际意义检验根的合理性即可． 【详解】解：设矩形纸板各角应切去正方形的边长为． 根据题意，得 ． 整理，得 ． 解得 ． 当 时，，不合题意，舍去． 所以 ，即矩形纸板各角应切去正方形的边长为1． 17．(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法求解； （2）利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， 解得：，； （2）解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 18．(1)证明：∵该方程是关于的一元二次方程， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根，即有两个实数根； (2)解：可以，理由如下： 由求根公式得， ∴， ∵为整数，且方程的两个实数根都为正整数， ∴为正整数 ∴为整数，且 ∵为整数， ∴的可能取值为， 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，不符合要求； 当时，，不符合要求 ∴该方程的两个实数根可以都为正整数． 【分析】（1）计算值，再判断的符号即可； （2）先由求根公式求出，，则为正整数，故为整数，且，则的可能取值为，，再分别代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 19．两边同除以时，未考虑到可能为． 正确解答：， 移项，得， 提取公因式，得，即， 或， 解得，． 【详解】略 20．这批演出服生产了100套 【分析】设这批演出服生产了x套，由题意得：，然后进行求解即可． 【详解】解：设这批演出服生产了x套，由题意得： ，即， 解得：， 经检验：都是方程的根，但负数不符合题意，舍去， ∴原方程的解为， 答：这批演出服生产了100套． 21．(1)平方米 (2)长为60米，宽为40米 【分析】（1）直接根据题意列代数式即可； （2）设，则，根据题意，得，然后解方程求得x值即可解答． 【详解】（1）解：∵两条人行横道的长分别为a米和b米，宽均为2米， ∴人行横道的面积为平方米； （2）解：∵， ∴设，则， 根据题意，得 解得或（舍去） ∴，， 答：原长方形的长为60米，宽为40米． 22．(1)y与x的函数关系式为，的取值范围是 (2)当销售单价为50元时，每日销售利润为8000元． 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出y与x的函数关系式，根据题意列出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出的取值范围； （2）根据题意列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 将，代入得， 解得， ∴y与x的函数关系式为， 由题意可得， 解得， 综上所述，y与x的函数关系式为，的取值范围是； （2）解：由题意可得， 解得，， ∵， ∴， ∴当销售单价为50元时，每日销售利润为8000元． 23．(1) (2) 【分析】（1）将原式变形为，再将看成一个整体，利用平方差公式和完全平方公式计算即可； （2）把看成一个整体，利用平方差公式计算，最后解方程即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ， ． 令， ， ． 又，即， ， ． 24．(1) (2)或 (3)或或或 【分析】（1）用含的式子表示三角形底与高，代入面积公式列方程，舍去负根即可求出的值； （2）利用长方形对边平行得到，结合角平分线条件推导出，得到，用表示，在中利用勾股定理列出关于的方程求解，即可得到点坐标； (3)先写出三点坐标，借助平面内两点距离公式写出、、三条边长代数式，分、、三类情况列方程求解，舍去不符合实际运动意义的根，即可得到所有符合条件的的值． 【详解】（1）解：如图，由题意得，， ， 当的面积为时， ，解得或（不合题意，舍去）， 即当时，的面积为； （2）解：如图， ∵四边形是长方形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得或， 即或， ∴此时点的坐标为或； （3）解：由题意得，，， ∴，，， 是等腰三角形，可分三种情况讨论： ①，则 ， 解得或（不合题意，舍去）； ②，则 ， 解得或； ③，则 ， 解得或（不合题意，舍去）； 综上，或或或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $